第12章空間中的平面與直線班級

高三複習試題

第 12 章 空間中的平面與直線

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、多選題

（ ）1.下列哪些選項與方程組 2 3 0 4 3 6 0

x y z

x y z

  

   

 的解集合相同﹖ (1)y  0 (2) 2 3 0 0 x z y

 

 

 (3)x  y  0 (4) 1 3

2 2 0 4 3 6 0

x y z

x y z

   



   



(5) 6 4 9 0

2 3 0

x y z

x y z

  

   

 ﹒(學測)

解答 245

解析 2 3 0 4 3 6 0

x y z

x y z

  

   

  x；y：z 1 3

3 6 ：3 2

6 4 ：2 1

4 3 (  3)：0：2﹐可令

3 0 2

x t

y z t

  

 

 

﹐

(2) 2 3 0 0 x z y

 

 

  令 z  2t﹐則 x   3t﹐y  0（合）

(4)

1 3 2

2 3 0

2 2 0

4 3 6 0 4 3 6 0

x y z

x y z

x y z

x y z

        

 

    

   



（合）

(5) 6 4 9 0

2 3 0

x y z

x y z

  

   

  x：y：z 4 9

1 3：9 6

3 2 ：6 4

2 1  3：0：(  2)（合）

故選(2)(4)(5)﹒

（ ）2.設坐標空間中三條直線 L1﹐L2﹐L3的方程式分別為 L1﹕ 3 4

1 6 8

x y z

  ﹔L2﹕ 3 4

1 3 4

x y z

  ﹔L3﹕

1 3 4

x  y z ﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)L1與 L2相交 (2)L2與 L3平行 (3)點 P(0,  3,  4)與

Q(0,0,0)的距離即為點 P 到 L3的最短距離 (4)直線 L﹕

0

3 4

4 3

x

y z

 

  

 

 



與直線 L1﹐L2皆垂直 (5)三直線

L1﹐L2﹐L3共平面﹒(97 學測) 解答 1245

解析 (1)○﹕L1﹐L2有公共點(0,  3,  4)且d₁ // d₂ ﹐∴L1﹐L2相交

(2)○﹕d₂  d₃﹐L3上一點(0,0,0)不在 L2上﹐∴L2//L3

(3)╳﹕PQ(0,3,4) ﹐d₃ (1,3, 4)﹐PQ d ₃ 0﹐表示PQ與 L3不垂直﹐

∴PQ非最短距離

(4)○﹕d_L (0,4, 3) ﹐d₁ (1,6,8)﹐d₂ (1,3, 4)﹐d_L d₁ 0且d_Ld₂ 0﹐ 又 L 和 L1﹐L 和 L2均有公共點(0,  3,  4)﹐∴L 和 L1﹐L2均垂直

(5)○﹕由(1)L1﹐L2相交﹐由(2)L2//L3﹐故設 L1﹕ 3 6 4 8 x t

y t

z t

 

   

   



﹐L3﹕ 3 4 x t y t z t

 

  

  



令 3 6 3 4 8 4 t t

t t t t

 

   

   



 t  1﹐t  1﹐得交點(1,3,4)﹐∴L1﹐L2﹐L3共平面

故選(1)(2)(4)(5)﹒

（ ）3.假設坐標空間中三相異平面 E1﹑E2﹑E3皆通過(  1,2,0)與(3,0,2)兩點﹐試問以下哪些點也同時在此三平 面上﹖ (1)(2,2,2) (2)(1,1,1) (3)(4,  2,2) (4)(  2,4,0) (5)(  5,  4,  2)﹒(94 學測)

解答 2

解析 題意知三平面共線﹐僅需驗證向量是否成比例﹐即知是否在線上﹐亦即在三平面上﹐

令 P(  1,2,0)﹐Q(3,0,2)﹐則PQ(4, 2,2) 2(2, 1,1) ﹐

(1)╳﹔令 A(2,2,2)﹐PA(3,0, 2)PQ

(2)○﹕令 B(1,1,1)﹐PB(2, 1,1) // PQ

(3)╳﹕令 C(4,  2,2)﹐PC(5, 4, 2) PQ

(4)╳﹕令 D(  2,4,0)﹐PD ( 1, 2,0)PQ

(5)╳﹕令 E(  5,  4,  2)﹐PE    ( 4, 6, 2) PQ 故選(2)﹒

（ ）4.設













L3

L2

L1

(0, 3, 4)

(1,3,4)

解答 235

解析 (1)若



 a

 

 要成立﹐

但找不到實數 a 使上式成立﹐所以



(2)若



因此(1,  4,a)  (1,  2,1)  0 亦即 1  8  a  0﹐所以 a   9

(3)(4)(5)考慮方程組 ₁

2

4 10

2 5

2 5 4 3

a x y az

E x y z

E x y z



   

    



：

：

：

由  得  2y  (a  1)z  5﹐由  2  得 y  2z  13﹐

當 2 1

1 2

 a

  即 a  5 時﹐方程組恰有一組解﹐其幾何意義為三平面恰交於一點﹔

當 2 1 5

1 2 13

 a

 

 即 a  5 時﹐方程組無解﹐其幾何意義為三平面沒有共同交點﹔

找不到實數 a 滿足 2 1 5 1 2 13

 a

 

 ﹐所以此方程組不可能無限多組解﹐

亦即三平面不可能交成一直線 故選(2)(3)(5)﹒

（ ）5.坐標空間中﹐直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點﹒已知 L 為平面 2x  y  2 上通過點 (2,2,2)的一直線﹐請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點﹖ (1)(2,2,2) (2)(2,0,2) (3)

4 2 ( , ,0)

5 5 (4) 4 2 ( , , 2)

5  5 (5) 8 2 2 ( , , )

9  9 9 ﹒(99 學測) 解答 135

解析 設投影點 H﹐A(2,2,2)只需判別OH AH 0即可﹐

(1)○﹕H(2,2,2)在平面 2x  y  2 上﹐AH  0 ﹐∴OH AH 0 (2)╳﹕H(2,0,2)不在平面 2x  y  2 上

(3)○﹕ 4 2 ( , ,0)

5 5

H  在平面 2x  y  2 上﹐但是OH AH 0﹐

4 2

( , ,0) 5 5

OH  ﹐ 6 12

( , , 2) 5 5

AH     ﹐ 24 24

25 25 0 OH AH    

(4)╳﹕ 4 2 ( , , 2)

5 5

H   在平面 2x  y  2 上﹐

H L

O

A

4 2 ( , , 2)

5 5

OH   ﹐ 6 12

( , , 4) 5 5

AH     ﹐OH AH 0

(5)○﹕ 8 2 2 ( , , )

9 9 9

H   在平面 2x  y  2 上﹐

8 2 2

( , , ) 9 9 9

OH   ﹐ 10 20 20

( , , )

9 9 9

AH    ﹐OH AH 0 故選(1)(3)(5)﹒

二、填充題

1.設 O(0,0,0)為坐標空間中某長方體的一個頂點﹐且知(2,2,1)﹐(2,  1,  2)﹐(3,  6,6)為此長方體中與 O 相鄰的三頂 點﹒若平面 E﹕x  by  cz  d 將此長方體截成兩部分﹐其中包含頂點 O 的哪一部分是個正立方體﹐則(b,c,d)  ____________﹒(97 學測)

解答 (  2,2,9)

解析 令 A(2,2,1)﹐B(2,  1,  2)﹐C(3,  6,6)﹐OA3﹐OB3﹐OC9﹐

∴平面必過OC的三等分點 D﹐則 1

OD3OC D(1,  2,2)﹐OC(3, 6,6) 3(1, 2, 2) ﹐

取N (1, 2, 2) ﹐∴x  2y  2z  k  0﹐

(1,  2,2)代入得 k   9﹐得 x  2y  2z  9  0  x  2y  2z  9﹐故(b,c,d)  (  2,2,9)﹒

2.如圖﹐在坐標空間中﹐A﹑B﹑C﹑D﹑E﹑F﹑G﹑H 為正立方體的八個頂點﹐已知其中四個點的坐標 A(0,0,0)﹑B(6,0,0)﹑

D(0,6,0)及 E(0,0,6)﹐P 在線段 CG 上且CP : PG1 : 5﹐R 在線段 EH 上且ER : RH 1 : 1﹐Q 在線段 AD 上﹒若 空間中通過 P﹐Q﹐R 這三點的平面﹐與直線 AG 不相交﹐則 Q 點的 y 坐標為____________﹒（化成最簡分數）

(102 學測) 解答 15

11

解析 依題意﹐得 G(6,6,6)﹑P(6,6,1)﹑R(0,3,6)﹒

設 Q(0,y,0)﹐0  y  6﹐

為通過 P﹑Q﹑R 三點的平面﹒

A(2,2,1) B(2, 1, 2) C(3, 6,6)

D O (0,0,0)

x

y z

A

B C

D E

F G

H

Q P

R

由與直線 AG 不相交﹐得知

與直線 AG 平行﹐因此﹐的法向量 n 與直線 AG 的方向向量 l 垂直﹒取

( 6, 3,5) ( 6, 6, 1) (33 5 , 36, 6 18) n PR PQ      y    y   y

1 1

(6,6,6) (1,1,1)

6 6

l  AG 

因為 n  l ﹐所以 n l 0﹐即

(33  5y,  36,  6y  18)  (1,1,1)  0  15  11y  0﹒

解得 15

y11﹒

3.坐標空間中 xy 平面上有一正方形﹐其頂點為 O(0,0,0)﹐A(8,0,0)﹐B(8,8,0)﹐C(0,8,0)﹐另一點 P 在 xy 平面的上方﹐

且與 O﹑A﹑B﹑C 四點的距離皆等於 6﹒若 x  by  cz  d 為通過 A﹑B﹑P 三點的平面﹐則(b,c,d)  ____________﹒

(98 學測)

解答 (0,2,8)

解析 坐標化﹐如圖﹐

2 2 2

36 (16 16) 4

PH OP OH     ﹐∴PH 2﹐則 P 點的坐標為(4,4,2)﹐

(0,8,0)

AB ﹐AP ( 4, 4, 2)﹐ABAP(16,0,32) 16(1,0, 2) ﹐

則N (1,0, 2)﹐所求平面 1  (x  8)  0  (y  0)  2  (z  0)  0  x  0y  2z  8﹐

則 b  0﹐c  2﹐d  8﹐故(b,c,d)  (0,2,8)﹒

4.H﹕x  y  z  2 為坐標空間中一平面﹐L 為平面 H 上的一直線﹒已知點 P(2,1,1)為 L 上距離原點 O 最近的點﹐則 ____________為 L 的方向向量﹒(100 學測)

解答 (2,  1,  3)

解析 ∵P 為 L 上距離原點 O 最近的點﹐∴OPL﹐OP(2,1,1)﹐

又平面 H 的法向量 n ﹐ n L﹐ n  (1, 1,1)﹐ x

y z

O

P (4,4,2)

B (8,8,0) A (8,0,0)

C (0,8,0)

H (4,4,0)

L 的方向向量 1 1 1 2 2 1

( , , ) (2, 1, 3) 1 1 1 1 1 1

d OP n    

  ﹒

5.平面 x  y  z  0 與三平面 x  2﹐x  y   2﹐x  y  2 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形﹒此三角形之周長 化成最簡根式﹐可表為a bc d ﹐其中 a﹐b﹐c﹐d 為正整數且 b  d﹐則 a  (1)____________﹐b  (2)____________﹐

c  (3)____________﹐d  (4)____________﹒(104 學測) 解答 (1)6;(2)2;(3)2;(4)6

解析 如下圖﹐此三角形的三頂點就是平面 x  y  z  0﹐

與另三平面之任二平面的交點﹐

解三個聯立方程式﹕

2 2

0

 

   

   

 x x y x y z

﹐

2 2

0

  

  

   

 x y x y x y z

﹐ 2

2 0

 

  

   

 x x y x y z

﹒

得三頂點為 A(2,4,2)﹐B(0,2,2)﹐C(2,0,  2)﹒

故周長為ABBC CA 2 22 64 26 22 6﹒ 即 a  6﹐b  2﹐c  2﹐d  6﹒

6.如圖﹐ABCD  EFGH 為邊長等於 1 之正立方體﹒若 P 點在立方體之內部且滿足 3 1 2

4 2 3

AP AB AD AE﹐則 P 點至直線 AB 之距離為____________﹒（化成最簡分數）(94 學測)

解答 5 6

解析 令 A(0,0,0)﹐B(0,1,0)﹐E(0,0,1)﹐D(  1,0,0)﹐P(x,y,z)﹐

則 3 1 2

4 2 3

AP AB AD AE 3 1 2 1 3 2

( , , ) (0,1,0) ( 1,0,0) (0,0,1) ( , , )

4 2 3 2 4 3

x y z       ﹐

1 3 2 ( , , )

2 4 3

P  到 y 軸之投影點為 3

(0, ,0)

Q 4 ﹐故 1 ^{2 2} 2 ² 25 5

( ) 0 ( )

2 3 36 6

PQ      ﹒

A C

B

A B

D C E

H G

F P

7.坐標空間中有四點 A(2,0,0)﹐B(3,4,2)﹐C(  2,4,0)與 D(  1,3,1)﹒若點 P 在直線 CD 上變動﹐則內積 PA PB 之最小

可能值為____________﹒（化為最簡分數）(103 學測)

解答 5 4

解析 利用直線參數式CD﹕ 0

2 4 ,

z t

x t

y t t

 

  

  





﹐設點 P(  2  t,4  t,t)﹒因為

(4 , 4 , ) (5 , ,2 ) PA PB       t t t t t t

 (4  t)(5  t)  (  4  t)t  (  t)(2  t)  3t²  15t  20 5 ² 5

3( ) 2 4

 t  ﹒所以當 5

t2時﹐PA PB 有最小值5 4﹒

8.一礦物內含 A﹑B﹑C 三種放射性物質﹐放射出同一種輻射﹒已知 A﹑B﹑C 每公克分別會釋放出 1 單位﹑2 單位﹑

1 單位的輻射強度﹐又知 A﹑B﹑C 每過半年其質量分別變為原來質量的1 2﹑1

3﹑1

4倍﹒於一年前測得此礦物的輻 射強度為 66 單位﹐而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位﹐且目前此礦物的輻射強度為 8 單位﹐則目前此礦 物中 A﹑B﹑C 物質之質量分別為(1)____________﹐(2)____________﹐(3)____________公克﹒(103 學測)

解答 (1)4;(2)1;(3)2

解析 設 A﹑B﹑C 一年前分別有 x﹐y﹐z 公克﹐

2 66

1 2 1

2 3 4 22

1 2 1

4 9 16 8 x y z

x y z

x y z

   

   



   





2 66

4 1 3 2 44 8 1 9 4 32 x y z

x y z

x y z

   

   



   



   2 1

3y2z22﹐   10 3

9 y4z34 4 3 132 40 27 1224

y z

y z

 

  



  10    3z  96﹐z  32﹐y  9﹐x  16﹐

則目前此礦物 A﹑B﹑C 物質之質量分別為 1 ² 16( )

2 ﹐ 1 ²

9( )3 ﹐ 1 ² 32( )

4  4﹐1﹐2（公克）﹒ A (0,0,0) B (0,1,0)

C D( 1,0,0) E(0,0,1)

H G

F

P (x,y,z)

x

y z