高三複習試題 第章直線與圓班級座號姓名◎學測篇一、單選題

x y

O

(,1)

(,-1) (-1,-1)

(-1,1)

高三複習試題

第 9 章 直線與圓

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點 A(  n,0)與點 B(0,2)的直線亦通過點 P(7,k)﹐其中 k 為 某一正整數﹖ (1)2 個 (2)4 個 (3)6 個 (4)8 個 (5)無窮多個﹒(96 學測)

解答 2

解析 2 0 2

( 2) 14 0 ( ) 7 0

AB BP

m m k n k

n

 

     

   ﹐

1 2 7 14 2 14 7 2 1 n

k

n  1﹐2﹐7﹐14﹐k  16﹐9﹐4﹐3﹐故選(2)﹒

（ ）2.試問坐標平面上共有幾條直線﹐會使得點 O(0,0)到此直線之距離為 1﹐且點 A(3,0)到此直線之距離為 2﹖

(1)1 條 (2)2 條 (3)3 條 (4)4 條 (5)無窮多條﹒(98 學測) 解答 3

解析 即求以 O(0,0)為圓心﹐半徑為 1 與以 A(3,0)為圓心半徑為 2 的公切線﹐

且二圓外切﹐則共有 3 條﹐故選(3)﹒

（ ）3.在坐標平面上﹐以(1,1)﹐(  1,1)﹐(  1,  1)及(1,  1)等四個點為頂點的正方形﹐與圓 x²  y²  2x  2y  1

 0 有幾個交點﹖ (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)0 個﹒(103 學測) 解答 2

解析 將圓改寫成標準式﹐得(x  1)²  (y  1)²  1﹐

得知其圓心為(  1,  1)﹐半徑為 1﹒

由下圖得知此圓與正方形共有 2 個交點﹒

故選(2)﹒

（ ） 4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形

ABCDEFGH

內部，如右圖。已知目標函數ax by 3（其中 , a b 為實數）的最大值

只發生在 B 點。請問當目標函數改為 3 bx ay  時，最大值會發生在下

A(3,0) O(0,0)

x y

O

L1

L₂

A( b,0) B( d,0)

列哪一點？(1) A (2) B (3)C (4)D (5)E (104 學測) 解答 1

解析

（ ）5.有一個圓形跑道分內、外兩圈，半徑分別為 30，50 公尺。今甲在內圈以等速行走、乙在外圈以等速跑 步，且知甲每走一圈，乙恰跑了兩圈。若甲走了 45 公尺，則同時段乙跑了:

(1) 90 公尺 (2) 120 公尺 (3) 135 公尺 (4) 150 公尺 (5) 180 公尺 (97 學測) 解答 4

解析

二、多選題

（ ）1.如下圖﹐兩直線 L1﹑L2之方程式分別為 L1﹕x  ay  b  0﹐L2﹕x  cy  d  0﹔試問下列哪些選項是正 確的﹖ (1)a  0 (2)b  0 (3)c  0 (4)d  0 (5)a  c﹒(92 學測)

解答 45

解析 如圖﹐因為 L1的斜率為 1

a且 A(  b,0)﹐L2的斜率為 1

c且 B(  d,0)﹐

所以 1 a 0

  ﹐ 1 c 0

  ﹐ b  0﹐ d  0﹐因此 a  0﹐b  0﹐c  0﹐d  0﹐ 又

因 L1的斜率大於 L2的斜率﹐即 1 1 a c

   ﹐

兩邊同乘(  ac)得 c  a（因  ac 為負數﹐所以方向改變）﹐故選(4)(5)﹒

x y

O

L1

L2

（ ）2.如下圖所示﹐坐標平面上一鳶形 ABCD﹐其中 A﹐C 在 y 軸上﹐B﹐D 在 x 軸上﹐且ABAD2﹐BCCD4﹐ 5

AC ﹒令m_AB﹐m_BC﹐m_CD﹐m_DA分別表直線 AB﹐BC﹐CD﹐DA 之斜率﹒試問以下哪些敘述成立﹖

(1)此四數值中以m_AB為最大 (2)此四數值中以m_BC為最小 (3)m_BC  m_CD (4)m_ABm_BC  1 (5)m_CDm_DA0﹒(94 學測) 解答 235

解析 (1)╳﹕m_CD最大 (2)○

(3)○﹕BC﹐CD對 y 軸成對稱

(4)╳﹕∵5²  2²  4²﹐∴AB與BC不垂直 (5)○ 故選(2)(3)(5)﹒

（ ）3.設﹕x²  y²  10x  9  0 為坐標平面上的圓﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)的圓心坐標為(5,0) (2)上的點與直線 L﹕3x  4y  15  0 的最遠距離等於 4 (3)直線 L1﹕3x  4y  15  0 與相切 (4)

上恰有兩個點與直線 L2﹕3x  4y  0 的距離等於 2 (5)上恰有四個點與直線 L3﹕3x  4y  5  0 的距 離等於 2﹒(97 學測)

解答 124

解析 x²  y²  10x  9  0  (x  5)²  y²  16﹐圓心 O(5,0)﹐半徑 4﹐

(1)○

(2)○﹕O(5,0)代入 L 成立﹐表示 L 通過圓心﹐則最遠距離為 4 (3)╳﹕ ₁

2 2

15 0 15

( , ) | | 6 4 3 4

d O L  

  

 ﹐∴不相切

(4)○﹕ ₂

2 2

( , ) | 15 | 3 3 4

d O L  

 ﹐∴恰有兩點到 L2的距離為 2

(5)╳﹕ ₃

2 2

( , ) | 15 5 | 2 3 4 d O L   

 ﹐∴恰有 3 點

故選(1)(2)(4)﹒

（ ）4.坐標平面上四條直線 L1﹐L2﹐L3﹐L4與 x 軸﹑y 軸及直線 y  x 的相關位置如圖所示﹐其中 L1與 L3垂直﹐

而 L3與 L4平行﹒設 L1﹐L2﹐L3﹐L4的方程式分別為 y  m1x﹐y  m2x﹐y  m3x 以及 y  m4x  c﹒試問 下列哪些選項是正確的﹖ (1)m3  m2  m1 (2)m1  m4   1 (3)m1   1 (4)m2  m3   1 (5)c  0﹒

2 2

3

2 2 2

2

x y

O A

C

B D

(98 學測) 解答 234

解析 由圖知 m2  m1  0﹐m3  m4  0﹐

(1)╳

(2)○﹕L1  L3且 L3//L4﹐∴L1  L4  m1  m4   1 (3)○﹕L1直線較 y   x 靠近 y 軸﹐∴m1   1 (4)○﹕m2  m1  0﹐∴m2  m3   1

(5)╳﹕令 x  0﹐則 y  c  0 故選(2)(3)(4)﹒

（ ）5.考慮坐標平面上以 O(0,0)﹐A(3,0)﹐B(0,4)為頂點的三角形﹐令 C1﹐C2分別為△OAB 的外接圓﹑內切圓﹒

請問下列哪些選項是正確的﹖ (1)C1的半徑為 2 (2)C1的圓心在直線 y  x 上 (3)C1的圓心在直線 4x

 3y  12 上 (4)C2的圓心在直線 y  x 上 (5)C2的圓心在直線 4x  3y  6 上﹒(100 學測) 解答 34

解析 由圖知△OAB 為直角三角形﹐

(1)(2)(3)∵△OAB 為直角三角形﹐設外接圓圓心 P﹐半徑 R﹐

∴外接圓圓心 P 在AB中點﹐

則外接圓半徑 1 5

2 2

R AB ﹐ 3 ( , 2)

P 2 ﹐

1 4 3 12 3 4

x y

AB：    x y ﹐ 故(1)(2)為錯﹐(3)正確 (4)(5)令內接圓圓心 Q﹐半徑 r﹐

ABO  AOQ  BOQ  AQB

1 1 1 1

3 4 3 4 5 1

2 2 r 2 r 2 r r

              ﹐ ∴Q(1,1)﹐∴Q 在直線 x  y 上﹐故(4)正確﹐(5)錯誤 故選(3)(4)﹒

（ ）6.設坐標平面上﹐x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為格子點﹒請選出圖形上有格子點的選項﹕ (1)y  x²

(2)3y  9x  1 (3)y²   x  2 (4)x²  y²  3 (5) ₉ 1 log 2

y x ﹒(103 學測)

解答 135

x y

O L1

L2

L3

L4

y=x

O

B(0,4)

A(3,0) x y

P Q

解析 (1)有格子點(1,1)﹒

(2)若 x﹐y 為整數﹐則 3y 是 3 的倍數﹐但 9x  1 不是 3 的倍數﹐得知圖形無格子點﹒

(3)有格子點(  3,1)﹒

(4)兩非負整數的和為 3 之情形﹐有 0  3 與 1  2 兩種﹐但因為 2﹐3 皆非完全平方數﹐

所以圖形無格子點﹒

(5)有格子點(3,1)﹒

故選(1)(3)(5)﹒

（ ）7.平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為m m m ，並假設₁, ₂, ₃ m₁m₂ m₃。則下列選項那些必定正確﹖

(1)m m_{1 2}  1 (2)m m_{1 3} 1 (3)m₁0 (4)m₂0 (5)m₃0 (學測補) 解答 35

解析

（ ）8.在坐標平面上，圓 C 的圓心在原點且半徑為 2，已知直線 L 與圓 C 相交，請問 L 與下列哪些圖形一定相

交? (1) x 軸 (2) 1 ( )2

y x (3)x²y² 3 (4)(x2)²y²16 (5)

2 2

9 4 1 x y

  (100 學測) 解答 45

解析

三、填充題

1.坐標平面上有兩條平行直線﹒它們的 x 截距相差 20﹐y 截距相差 15﹒則這兩條平行直線的距離為___________

(98 學測) 解答 12

解析 如圖﹐△OAB 中﹐AB 15²20² 25﹐

△OAB 面積 1 1

15 20 25 12

2 2 h h

        ﹐表示二平行直線的距離為

12﹒

2.坐標平面上﹐一圓與直線 x  y  1 以及直線 x  y  5 所截的弦長皆為 14﹒則此圓的面積為____________



解答 51

解析 因為兩平行直線 x  y  1  0 與 x  y  5  0 所截的弦等長﹐

且其距離為

2 2

| ( 1) ( 5) | 4 2 2 2 1 ( 1)

  

 

  ﹐

x y

O B

h

A 20

15

r d d 7

7 7

7

x y

A P(1,0)

所以弦心距 1

2 2 2

d  2  ﹒因此﹐圓的半徑r 7²( 2)²  51﹒ 故此圓的面積為 51



3.阿德賣 100 公斤的香蕉﹐第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部分﹐第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降為每公 斤 32 元﹐到第三天全部賣完﹐三天所得共為 3720 元﹒假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t﹐可算得第二天賣 出香蕉的公斤數為 at  b﹐其中 a  (1)____________﹐b  (2)____________﹒(102 學測)

解答 (1)  2;(2)70

解析 依題意﹐可列得 40(100  (at  b  t))  36(at  b)  32t  3270﹐

整理得(280  4b)  (  4a  8)t  0﹒

因為是恆等式﹐所以 280 4 0 4 8 0

b a

 

  

 ﹒

解得 a   2﹐b  70﹒

4.坐標平面上的圓 C﹕(x  7)²  (y  8)²  9 上有____________個點與原點的距離正好是整數值﹒(93 學測) 解答 12

解析 設 P 為圓 C 上任一點﹐O 為圓點﹐

因 C﹕(x  7)²  (y  8)²  9 的圓心為 K(7,8)﹐半徑 r  3﹐

所以OP的最大值為OK r 7²8²  3 113 3 13. ﹐ 最小值為OK r 7²8²  3 113 3 7. ﹐ 因此若OP為整數值﹐則OP8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13﹐

若以 O 為圓心﹐分別以 8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13 為半徑畫弧﹐與圓 C 共交於 12 個點﹒

5.設 A(0,0)﹐B(10,0)﹐C(10,6)﹐D(0,6)為坐標平面上的四個點﹒如果直線 y  m(x  7)  4 將四邊形 ABCD 分成面積相 等的兩塊﹐那麼 m  ____________﹒（化成最簡分數）(95 學測)

解答 1 2

解析 y  m(x  7)  4 表過(7,4)之直線﹐

令 x  10﹐y  3m  4﹐x  0﹐y   7m  4﹐

梯形 ABEF 之面積 1 1

( 7 4 3 4) 10 (10 6)

2 m m 2

       

4 8 6 1

m m 2

      ﹒

6.設 P﹐A﹐B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點﹐其中 P 點 坐標為(1,0)﹐

A 點坐標為 12 5 ( , )

13 13

 ﹐且APB 為直角﹐則 B 點坐標為

D(0,6)

A(0,0) B(10,0) C (10,6)

(7,4) F

E

x y

x y

O

K 8

8

____________﹒（化成最簡分數）(96 學測)

解答 12 5 ( , )

13 13

解析 APB 為直角﹐表示AB為直徑﹐

利用分點公式可得 12 5 ( , )

13 13

B  ﹒

7.設 ( , )a b 為二次曲線x²y²6x2y 9 0上的點，a²b²2b的最大值為____________。(92 學測補) 解答 15

解析

8.設實數a0。若 ,x y 的方程組

2 1

2 122 x y x y a x ay

  

  

  



有解，則 a___________。(99 學測)

解答 14 解析

9.小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里，並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 A，B 等距，則此超級市場與 A 的距離須為_____________公里。(化為最簡根式) (103 學測)

解答 4 3 解析