反向且長度為

高雄市明誠中學 高二數學複習測驗 日期：100.12.27 範

圍 3-2 向量內積(A) 班級 普二 班 姓 座號 名

一、填充題 ( 每題 10 分 )

1.設



^{a =}

(

^4,−3

)

﹐則

(1)與 a



反向且長度為 8 的向量為___________﹔(2)向量

(

^{−1, 2}

)

^{在 a}



上的正射影為__________﹒

解答 (1) 32 24 5 , 5

− 

 

 ;(2) 8 6 5 5,

− 

 

 

解析 (1)所求

( )

( ) ( )

2 2

4, 3 8 32 24

8 8 4, 3 ,

5 5 5

4 3

a a

− −

−  

= ⋅ = ⋅ + − = − = − 

 

^﹒

(2)



^{u = −}

(

^{1, 2}

)

﹐ u



在 a



的正射影

( ) ( )

2

4 6 2 8 6

4, 3 4, 3 ,

25 5 5 5

u a a a

 

 ⋅  − −   

 

=  =  − = − − = − 

 

 

   

^﹒

2.設



^{a =}

( )

^{2, 1} _﹐



_{b =}

₍

_1,−3

₎

_{﹐ t 為實數﹐則}

(1) a

 

+t b 的最小值為____________﹔(2) a



在 b



上的正射影為____________﹒

解答 (1)7 10

10 ;(2) 1 3 10 10,

− 

 

 

解析 (1)

 

^{a +t b =}

(

^{2+t, 1 3− t}

)

﹐

∴

(

²

) (

^{2 1 3}

)

^{2 10 2 2 5 10 1 2 49}

10 10 a +t b = +t + − t = t − + =t t−  +

 

_﹐

∴ 1

t=10時﹐ a

 

+t b 的最小值為 7 7 10 10 = 10 ﹒

(2)所求 ₂ ^{2 3}

(

^{1, 3}

)

^{1 , 3}

10 10 10

a b b b

 

 ⋅   −   

 

=  =  − = − 

 

 

   

^﹒

3.已知

 ^{a =} ( ) ^7,1

_﹐

 _{b = ( ) 3, 4}

_{﹐求 (1)}

 

_{a⋅ b}

₌

__________﹒ (2)



a _與



_b 的夾角__________﹒

解答 (1)25;(2)

45°

解析 (1)

 

a⋅ b = × + × =7 3 1 4 25﹒

(2)設 a



與 b



的夾角為θ ﹒因為



a = 7²+1² =5 2﹐



b = 3²+4² =5﹐

所以 25 1

cos 5 2 5 2

a b a b

θ = ^⋅ = =

×

   

^{﹒ 故θ =45° ﹒}

4.設

k

為實數﹐

 ^{a =} ( ^{1, 3 −} )

_﹐

 _{b = ( 2, 1 − )}

_﹒若^_{ a +k b} ^_{⊥ b}



  

 _﹐則

_k

的值為____________﹒

解答 −1

解析 因為 a

  

+k b ⊥ b ﹐且

 

^{a +k b =}

(

^{1, 3− +}

) (

^{k 2, 1− = +}

) (

^{1 2 , 3k − −k}

)

_﹐

所以

  

a +k b ⋅ b =0﹐即

(

^{1 2 , 3+ k − −k}

) (

^{⋅ 2, 1− = ﹒}

)

⁰

(

1 2+ k

)

× + − − × − = ﹐整理得 52

(

3 k

) ( )

1 0 k+ = ﹐解得5 0 k= − ﹒ 1

5.求兩直線

L

₁

: 3 x + − = y 3 0

與

L

₂

: 2 x − + = y 1 0

的交角____________﹒

解答

45°

﹐

135°

解析 L 與₁ L 的法向量分別為₂



n1 =

( )

3,1 _與



n₂ =

₍

2, 1−

₎

_﹒ 若



n_{1 與}



_{n2 的夾角為θ ﹐}

則 ^{1 2}

1 2

6 1 5 1

cos 10 5 5 2 2

n n n n

θ= ^⋅ = ⁻ = =

×

   

^{﹐θ =45° ﹒}

故L 與₁ L 有一交角為 45° ﹐另一交角為180₂ ° − ° =45 135° ﹒

6.求兩平行直線

L

₁﹕3x+4y+ =2 0與

L

₂﹕6x+8y+ =7 0的距離____________﹒

解答 3 10

解析 將L 的方程式改寫為 6₁ x+8y+ = ﹐兩平行直線間的距離公式﹐距離4 0

2 2

4 7 3 6 8 10

d −

= =

+ ﹒

7.已知

 ^{a =} ( ) ^{7, 4}

_﹐

 _{b = ( ) 1, 2}

_﹐求



_{a 在}



_b 上的正射影及正射影的長____________﹒

解答 (1)

( ) ^{3, 6}

^;(2)

^{3 5}

解析 設 a



在 b



上的正射影為 c



﹒

(1)利用正射影公式﹐得 ₂ ^{7 8} 3 3 1, 2

( ) ( )

3, 6 5

a b

c b b b

b

 

 ⋅   + 

 

=  =  = = =

 

 

      

^﹒

(2)正射影的長為



c = 3²+6² =3 5﹒

8.在△

ABC

中﹐三頂點坐標為

^A ( ^{− 2, 3} )

^﹐

^B ( ^{2, 2 −} )

^﹐

^C ( ) ^{3, 7}

^﹐求

(1)AB AC

 

⋅ = ____________﹒ (2)

∠ BAC

的度數____________﹒

解答 (1)0;(2)

  90°

(2) 0

cos 0

41 41 AB AC

BAC

AB AC

∠ = ⋅ = =

×

   

^{﹐∠BAC=90° ﹒}

9.已知

 ^{a =} ( ) ^{k , 2}

_﹐

 _{b = − ( 4, 3 k − 1 )}

_﹐且

 

_{a ⊥ b ﹐求}

_k

的值____________﹒

解答 1

解析 因為 a

 

⊥ b ﹐所以

 

a⋅ b =0 _⇒

_{( ) (}

k, 2 ⋅ −4,3k− = 1

₎

0 ⇒ ^{k× − +}

( ) (

^{4 2 3k− = 1}

)

⁰

^⇒⇒ 2k− = ⇒ 2 0 k= ﹒ 1

10.若L 過₂

( )

1, 2 且L 與 L ：₂ x− − = 之夾角等於y 5 0 L ： 2₁ x+3y= 與 L：0 x− − = 之夾角﹐求y 5 0 L 之₂ 方程式______________________﹒

解答 2x+3y− = 或 38 0 x+2y− = 7 0 解析 設所求為 2

1

y m

x

− =

− ⇒ mx− − + =y m 2 0⇒ N



2=

(

m, 1−

)

_﹐



_N =

₍

_{1, 1}−

₎

_﹐



_N1=

_{( )}

_{2, 3 ﹐}

1 2

2

1 2

2 3 1

cos 13 2 1 2

N N N N m

N N N N m

θ = ^⋅ = ^⋅ = ⁻ = ⁺

⋅ + ⋅

⋅ ⋅

   

   

⇒6m²+13m+ = ⇒6 0

(

^{3m+2 2}

)(

^m+3

)

⁼⁰ ⇒ 2

m= − 或3 3 m= − ﹐ 2 L ： 22 x+3y− = 或 38 0 x+2y− = ﹒ 7 0

11.設^A

( )

^{1, 4 ﹐B}

( )

^{5, 2 ﹐C}

( )

^{3, 6} ﹐求△ ABC 的垂心 H 之坐標____________﹒

解答 7 14 3 3,

 

 

  解析 設^{H x y ﹐}

( )

^,

0 0 AH BC BH AC

 ⋅ =



 ⋅ =



   

^{⇒ −}

^{( (}

^{xx−1,5,yy− ⋅ −− ⋅42}

^{) ( ) ( )}

^{2, 22, 4}

⁾

⁼⁼⁰⁰⇒

( ) ( )

( ) ( )

2 1 4 4 0

2 5 2 2 0

x y

x y

− − + − =



− + − =

 ⇒ 2 7 0

7 0 x y x y

− + − =

 + − =

 ﹐

∴

( )

^{, 7 14,}

H x y 3 3 

=  

 ﹒

12.若一直線過點

( )

^{3, 1 且與直線x+ 3y}− = 夾角 60° ﹐求其方程式____________﹒ ^{3 0} 解答 x− 3y− +3 3= 與0 x= 3

解析 設所求為^{y− =1 m x}

(

⁻³

)

^{⇒ mx− −y 3m+ = ﹐1 0}



n1 =

(

m, 1−

)

_﹐

已知直線之法向量



^{n2 =}

( )

^{1, 3} ﹐ ^{1 2}

1 2

cos 60 n n n n

° = ± ⋅

⋅

   

^{⇒ 12= ± mm2−+ ⋅1 23 ⇒ m= 13 ﹐}

∴所求為x− 3y− +3 3= 與0 x= ﹒ 3

13.設

x

為實數﹐

 ^{a =} ( ) ^{x , 4}

_﹐

 _{b = ( ) 1, 2}

_﹒若



_{a 在}



_{b 上的正射影為}

_{( − − 2, 4 )}

_﹐則

_x

的值為___________﹒

解答

− 18

解析 利用正射影公式 a b₂ b b

 

 ⋅ 

 

 

 

 

   

^﹐

⁽

^{− − = 2, 4}

⁾

^{x5+8}



^b _﹒

因為



^{b =}

( )

^{1, 2} _﹐所以 ⁸ ₂

5 x+

= − ⇒ x= − ﹒ 18

14.已知一正方形的中心為

^P ( ) ^1,1

﹐它一邊所在直線的方程式為x+2y+ =2 0﹒

(1)求此正方形的面積____________﹒ (2)求此正方形的兩對角線所在直線之方程式____________﹒

解答 (1)20;(2)x−3y+ =2 0及3x+ − =y 4 0 解析 (1)利用點到直線距離公式﹐得

2 2

1 2 1 2 5 5 5 1 2

d + × +

= = =

+ ﹒

正方形邊長 2= d =2 5﹒故正方形的面積⁼

( )

^{2 5 2=20﹒}

(2)設所求直線的法向量



n1 =

( )

a b, _﹒x+_2y+ = 的法向量_{2 0}



n2 =

( )

1, 2 _﹐

1 2

1 2

cos 45 n n n n

° = ±

 

⋅

 

^{⇒ 12 = ± a2a++b22b× 5﹒}

兩邊平方﹐

( )

( )

2

2 2

1 2 2 5

a b a b

= +

+ ⇒ ⁵

(

^a2+b2

) (

^{=2 a2+4ab+4b2}

)

^⇒⇒ 3a²−8ab−3b²= ⇒ 0

(

3a+b a

)(

−3b

)

= 0 ^⇒⇒ 1

a= −3b或a=3b﹒ 所求直線的法向量為

(

1, 3− 或

) ( )

3,1 ﹐又兩對角線均過P

( )

1,1 ﹐

15.設直線 L 通過點

(

− − 且與向量2, 3

) 

^{u =}

( )

^{1, 2} 垂直﹐則直線 L 的方程式為____________﹒

解答 x+2y+ = 8 0

解析 直線 L 與向量



^{u =}

( )

^{1, 2} 垂直⇒取直線 L 法向量



^{u =}

( )

^{1, 2}

設所求為x+2y+ = ﹐k 0

(

− − 代入得 2 62, 3

)

− − + = ⇒k 0 k= ﹐∴ L ：8 x+2y+ = ﹒ 8 0

16.設 3x+4y= ﹐ x ﹑ y 為實數﹐則1

(

^x−5

) (

^{2+ y−4}

)

²的最小值為____________﹒

解答 6

解析

(

^x−5

) (

^{2+ y−4}

) ( )

^{2 = 5, 4 到直線 3x+4y}− = 的距離為最小值﹐∴所求^{1 0} 15 16 1 5 6 + −

= = ﹒

17.已知點^P

( )

^{2,3 ﹐直線 L ： 1}

2

x t

y t

= − +

 = −

 ﹐ t 為實數﹐則 (1)設θ是直線 L 與 y 軸的一個夾角﹐θ 為____________﹔

(2) P 點在直線 L 上的投影點為____________﹔

解析 (1)V



L =

(

^{1, 1}−

)

_﹐V



_y軸=

_{( )}

_{0, 1 ⇒cos}

⁽

^{1, 1}

^{) ( )}

^{0, 1 1}

2 1 2

θ = ± ^{− ⋅} = ±

⋅ ﹐∴θ =45° 或135° ﹒

(2)^H

(

^{− +1 t, 2− ﹐t}

)

^PH



^{= − + − −}

(

^{3 t, 1 t}

)

﹐PH V

 

⋅ _L =0_{⇒ 3}− + + + = ⇒_{t 1 t 0} t= ﹐∴1 ^H

( )

^{0, 1﹒}

(3)PH = 2²+2² = 8=2 2﹒

18.已知一正三角形的重心為

^P ( ^{0 , 1} )

﹐且一邊所在直線的方程式為3x+4y+ =1 0﹒求此正三角形的 面積____________﹒

解答

3 3

解析 P是正三角形的重心﹐P也是正三角形的內心﹒

∠ PAH = ° 30

﹒ 又

2 2

3 0 4 1 1 5 5 1 3 4

× + × +

= = =

PH +

﹐故

AH = 3 × PH = 3

﹒ P為重心﹐

CH = 3 PH = 3

﹒故所求 2 3 3

2 3 3

= × = ﹒

19.設

^{A a,} ( ¹ )

^﹐

^B ( ^{2 , − 2} )

^與

^C ( ^{3 4 ,} )

^{為坐標平面上三點﹐而}

^O

^{為原點﹒若向量OA}



_與OB



_在向量OC



上的正射影相同﹐求

a

的值____________﹒

解答 −2

解析 依題意及利用正射影公式﹐得 _{2 2}

   

 ⋅   ⋅ 

  =  

   

   

   

       

OA OC OB OC

OC OC

OC OC

得 _{OA OC}

   

⋅ =_{OB OC}⋅

_{⇒ ( a , 1 ) ( ⋅ 3, 4 ) ( = 2, − ⋅ 2 ) ( 3, 4 ) ⇒ 3 a + = − 4 2 ⇒ a = − 2}

_﹒ 20.設^A

( )

^{3, 2 ﹐B}

( )

^{1, 4 及直線 L：y=mx}− ﹐若 AB 與 L 交於 P 且 AP：⁶ PB= ：3﹐則 m = ____________﹒ 2 解答 4

解析 AP ：

2

3 8 1 PB m

m

= −

+ ：

2

10 1 m

m

−

 3+ = m− ：8 m−10 = 2：3

⇒ 2m−10 =3 3m− 8

⇒77m²−352m+176= 0

⇒7m²−32m+16= 0

⇒

(

^{m−4 7}

)(

^m−4

)

^{= ﹐0 m= 或4 4}

7﹐但4

7代入使 A ﹑ B 同側（不合）﹐故m= ﹒ 4