勾股定理證明-G250

勾股定理證明-G250

【作輔助圖】

1. 以ABC的 AB 為邊，向內作正方形 ABDE ；再分別以 AC 及 BC 為邊，向外作正 方形 ABFG 及正方形 BCHI 。其中我們將會說明 E 會落在 FG 線段上，且 IHD 共線。

2. 連 GC 及 CI ，分別交AE 於 J ，交 BD 於 K 。

3. 接著連接 FJ 並延伸交 GA 於 L ，連接HK 並延伸至 M ，使得 FLHM。最後連接 FH 。

A B

C

D E

F

G

H

I J

K

L

M

【求證過程】

在作完輔助圖後，我們不難看出 ABC 與另外六個直角三角形全等，在給出證明 之後。我們將兩個小正方形面積視為是包含它們的六邊形扣掉兩個直角三角形，再將 六邊形拆解，可以重新拼湊出大正方形，也就證明了畢氏定理的關係式。

1. 不難看出

 ABC ,  AEG ,  DBI ,  FHC

其中

 ABC ,  AEG

( ),

ABEA 正方形的邊 並且

90 ,

CAB EAC GAE

     

以及

( ),

AC AG 正方形的邊 所以

ABC AEG

   (SAS 全等).

另一組考慮

 ABC ,  DBI

( ),

ABBD 正方形的邊 並且

90 ,

CBA DBC DBI

     

以及

( ), BCBI 正方形的邊 所以

ABC DBI

   (SAS 全等).

接著考慮

 ABC ,  FHC

( ),

ACFC 正方形的邊 並且

( ),

BCHC 正方形的邊 以及

90 ,

ACB FCH

   

所以

ABC FHC

   (SAS 全等).

綜合以上可得此結論

. ABC AEG DBI FHC

      

2. 也不難發現

 GJA GJF , 

因為

GJ GJ(共用邊), 並且

( ),

GAGF 正方形的邊 以及

45 ,

AGJ FGJ

   

所以

GJA GJF

   (SAS 全等).

3. 我們也可以證明

 BIK ,  HIK

因為

KI KI(共用邊), 並且

( ),

BI HI 正方形的邊 以及

45 ,

BIK HIK

   

所以

BIK HIK

  

4. 可以看出

 FLG ,  AEG ,  DBI ,  MHI

其中 FLG  AEG的全等是因為

( ),

GF GA 正方形的邊 並且

( ),

GFL GAE GJF GJA

     

以及

90

FGL EGA

    (共用角), 所以

AEG FLG

   (ASA 全等) 另外一個組合

 DBI ,  MHI

( ),

BI HI 正方形的邊 並且

( ),

DBI MHI BIK HIK

     

以及

BID HIM

   (共用角), 所以

. DBI MHI

   綜合以上我們知道

, FLG AEG DBI MHI

      

( ).

HM FLDB FLG DBI

5. 可以從輔助圖上看到G E F共線及 IHD共線，在這裡給個證明：

因為

90 ,

AGE AGF

   

所以

G E F三點共線.

另一方面, 因為

90 ,

BIH BID

   

所以

I H D三點共線.

6. 考慮

 GEJ ,  IHK

因為

( ),

GE IH AEG MHI 並且

( ),

GEJ IHK AEG MHI

     

以及

45 ,

EGJ HIK

   

所以

GEJ IHK

   (SAS 全等).

. FEJ DHK

  

7. 其中

 FEJ ,  DHK

因為

( ),

EFJ HDK FLG DBI

     

並且

180

180 ( )

,

FEJ GEA

IHM AEG MHI DHK

   

     

  以及

( ) ,

EF GF GE

ID IH AEG ELG DBI MHI DH

 

        

 所以

FEJ DHK

   (ASA 全等).

8. 接著我們就可以推導面積關係式如下：

2

2

( ) 2

,

ACFG BCHI FGABIH FCH ABC FGABIH ABC

FJKH JABK FEJ EAG KBIH ABC

FJKH JABK EAG DHK KBIH ABC

FJKH JABK ABDE

     

  

        

        

 



六邊形 六邊形

梯形 梯形 四邊形

梯形 梯形 四邊形

梯形 梯形

此即為畢氏定理關係式

2 2 2

. a b c

【註與心得】

1. 來源：此證明由 Joseph Zelson 於 1939 年寄給作者，收錄在《勾股定理》一書中的 幾何篇編號第250 號。

2. 心得：此證明的過程作的輔助線相對是比較特別的，也用到了梯形面積公式以及 一些代數運算規則，在教學是相對較複雜的選擇。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

●

4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面 積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。