頭腦瑜珈操印啦印啦！

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會

<作品說明書>

科別：數學科 組別：國小組

作品名稱：頭腦瑜珈操 印啦印啦!

關鍵詞：印度乘法、速算法、面積

編號：

- 1 -

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會

《頭腦瑜珈操 印啦印啦!》

～ 目 錄 ～

摘要 ... 2

壹、研究動機 ... 2

貳、研究目的 ... 2

參、研究設備及器材 ... 2

肆、研究過程或方法 ... 3-21 伍、研究結果 ...21-23 陸、討論 ... 24

柒、結論 ... 24

捌、參考資料 ... 24

- 2 -

作品名稱：頭腦瑜珈操 印啦印啦!

摘要

17×12=？56×54=？85×85=？96×97=？12345×11=？以上這幾道題目您需要 花多少時間計算呢？告訴你，印度人 10 秒內就能全部解答！別懷疑，印度數學就是這麼 神奇！邀請您與我們一同探究印度數學的奧秘，這套「頭腦瑜珈操」不分男女老少，

人人都可以練習。不僅許多繁複的乘法運算，能在彈指間正確計算出來，更能從中培 養敏捷的反應、創新的思維、嚴謹的邏輯思考能力，體會印度數學好玩有趣的一面。

壹、研究動機

記得某次的數學課堂上，我們成功推導出圓面積公式─「半徑×半徑×圓周率」

後，老師給我們 5 分鐘寫 2 道練習題，全班興致勃勃的利用公式計算習題，結果時間一 到，卻有一半的人哀嚎著還沒算完……核對完答案後，全班不到三分之一的人全對，原 因是許多人都計算錯誤！老師見識到我們如此「突出」的計算能力，感到望塵莫及！

突然老師如救世主般的問我們，想不想要學又快又準確的速算法啊？大家異口同 聲的說：「要！要！要！」接著，只見老師輕輕鬆鬆，快速的算出15×15、25×25、35×35 等平方問題，讓我們感到非常驚訝且佩服！於是，我們拿起筆和紙，驗算了老師出的題 目，突然間，發現這些數之間似乎存在某些規律，而且越算越有趣。

老師接著介紹這是印度乘法計算，並說印度小孩不只會「99 乘法表」，而且還會背

「1919 乘法表」呢！這激起我們對印度乘法的興趣，開始蒐集資料進行研究，並試圖 解開神秘的印度乘法之謎，展開一場數理探討之旅！

貳、研究目的

一、探討印度式乘法計算背後隱藏的原理。

二、延伸分析及應用印度式乘法公式

三、探討印度式乘法計算是否比一般乘法直式計算更快速、準確？

參、研究設備及器材

研究紀錄簿、紙、筆、計算機、電腦、計時器

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肆、研究過程或方法

雖然我們發現15×15、25×25、35×35等個位數是 5 的兩位數乘法計算規律，但卻只 知其然，而不知其所以然！所以我們就去請教老師，老師指點我們朝幾個方向去思 考，並推薦我們閱讀幾本印度數學相關的書籍。我們才發現，原來印度式乘法計算的 公式有好幾種，於是，我們運用所學的圖形面積概念、乘法分配律、結合律、上網蒐 集資料等方法，試圖來解開印度式乘法之謎，並將研究過程記錄下來，亦希望可以將 現有的公式推衍至更多位數的乘法運算。最後，我們還做了前後測的比較，想瞭解使 用印度式乘法計算與一般乘法直式計算的差異。

研究過程及記錄剪影

- 4 -

研究過程流程圖

頭腦瑜珈操 印啦印啦!

一、破解公式

二、推衍公式

破解兩位數乘法運算原理後，將其原理推 論至被乘數和乘數的百位數字及十位數字 相同之三位數乘法運算，並歸納出通式。

三、探究特例公式

1. 利用面積概念解釋至少有一個乘數 接近 100 的兩位數乘法原理(補數之 應用) 。

2. 利用乘法直式算則解釋任意數和 11 相乘的運算原理。

四、前後測比較

- 5 -

1.印度式乘法計算方式：

步驟○¹：(十位數)×(十位數+1)

步驟○²：在步驟○¹乘積後面接著寫上 25

例：15 × 15 = 2 25 ○² 將25寫在2後面

○¹1×（1+1）=2

15×15= 1×（1+1） 25 = 1×2 25 = 225 2.原理探索及分析：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來理解，兩個數字相乘，可視為矩形的兩個邊長 相乘來求面積。

(1) 以下圖表示 15×15：

畫一個邊長 15 的正方形(不需考慮單位，只要長度比例正確即可)，沿正 方形的兩邊截取一個邊長為 10 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移 接到箭頭所指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 20(=10+5+5)、寬 10(=15-5)的長方形和邊長 5 的正方形。計算新圖形的面積只需將長方形 及正方形的面積相加：

5 10 5

10

5

10 5 5

5 10

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長方形面積：20×10=200………對應步驟○¹ 正方形面積：5×5=25……….對應步驟○²的 25

新圖形面積：200+25=225……….對應步驟○²

(2)󠆽 推導通式─以下圖表示十位數相同，個位數是 5 的兩位數乘法運算：

畫一個邊長 10a+5 的正方形(a=1~9)，沿正方形的兩邊截取一個邊長為 10a 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所指的長邊後，整個圖 形變成兩部分─長 10a+5+5=10a+10=10×(a+1)、寬 10a 的長方形和邊長 5 的正方形。計算新圖形的面積只需將長方形及正方形的面積相加：

長方形面積：(10a+10)×10a=10×(a+1) ×10a=a×(a+1) ×100

………...….……….對應步驟○¹

正方形面積：5×5=25………對應步驟○²的 25

新圖形面積： a×(a+1) ×100+25= a×(a+1) 25……….對應步驟○²

▲經過以上的論證，我們猜測，此規則應該不僅適用於個位數是 5 的兩位數乘法，應 該也可以推論至個位數相加等於 10 的兩位數乘法。果不其然，我們查到了公式。

5 10a 5

10a

5

10a 5 5

5 10a

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(二) 第二式 個位數相加等於 10 的兩位數乘法運算 1.印度式乘法計算方式：

步驟○¹：(十位數)×(十位數+1) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹乘積的後面 (若步驟○²乘積小於10，須在十位補0)

○² 3×7=21

例：53 × 57 = 30 21 ○³ 將21寫在30後面

○¹5×（5+1）=30

53×57= 5×（5+1） 3×7 = 5×6 21 = 3021 2.原理探索及分析：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來理解，兩個數字相乘，可視為矩形的兩個邊長 相乘來求面積。

(1) 以下圖表示 53×57：

(2)

畫一個長 53、寬 57 的長方形(不需考慮單位，只要長度比例正確即可)，

沿長方形的兩邊截取一個邊長為 50 的正方形。把寬邊截取下來的長方 形移接到箭頭所指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 60(=50+3+7)、寬 50(=57-7)的大長方形和長 3、寬 7 的小長方形。計算新圖形的面積只需 將大長方形及小長方形的面積相加：

7 50 3

50

7

50 3 7

50

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大長方形面積：60×50=3000………對應步驟○¹ 小長方形面積：3×7=21………..…….對應步驟○²

新圖形面積：3000+21=3021………對應步驟○³

(2)󠆽 推導通式─以下圖表示十位數相同，個位數相加等於 10 的兩位數乘法運算：

(3)

畫一個長 10a+b、寬 10a+(10-b)的長方形 (a=1~9，b=1~9)，沿長方形的兩邊 截取一個邊長為 10a 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所 指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 10a+b+(10-b)=10a+10=10×(a+1)、

寬 10a 的大長方形和長 b、寬 10-b 的小長方形。計算新圖形的面積只需 將大長方形及小長方形的面積相加：

大長方形面積：(10a+10)×10a=10×(a+1) ×10a=a×(a+1) × 100

………...….……….對應步驟○¹ 小長方形面積：b×(10-b)……….………..…….對應步驟○²

新圖形面積： a×(a+1) ×100+ b×(10-b) = a×(a+1) b×(10-b)

……對應步驟○³ (若b×(10-b)小於 10，須在十位數補 0) 10-b

10a b

10a

10-b

10a b (10-b)

10a

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▲若個位數相乘小於 10，須在十位數補 0，因為(十位數)󠆽×(十位數+1)的單位 是 100，所以若是個位數相乘小於 10 沒有補 0，則(十位數)󠆽×(十位數+1)的 單位會變成 10。

例如：39×31= 3×（3+1） 9×1 = 3×4 9 = 129

很顯然 129 這個答案是錯誤的，12 的單位應該是百，所以是 1200+9=1209 才是正確答案。因此，個位數相乘小於 10，須在 十位數補 0。

▲推導出第一式、第二式後，我們便想，如果個位數是任意數的兩位數乘法是否也有 公式可循？後來發現，原來這就是印度小孩都要背的「1919 乘法表」。

(三) 第三式 個位數為任意數的兩位數乘法運算 1. 11×11~19×19 印度式乘法計算方式：

步驟○¹：(被乘數+乘數的個位數字) ×10 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○¹和步驟○²的乘積相加

○² 3×2=6

例：13 × 12 = 150 + 6 =156 ○³ 將前兩步驟的乘積相加

○¹（13+2）×10=150

13×12= （13+2）×10 + 3×2 = 150 + 6 = 156 2.原理探索及分析：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來理解，兩個數字相乘，可視為矩形的兩個邊長 相乘來求面積。

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(1) 以下圖表示 13×12：

畫一個長 13、寬 12 的長方形(不需考慮單位，只要長度比例正確即可)，

沿長方形的兩邊截取一個邊長為 10 的正方形。把寬邊截取下來的長方 形移接到箭頭所指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 15(=10+3+2)、寬 10(=12-2)的大長方形和長 3、寬 2 的小長方形。計算新圖形的面積只需 將大長方形及小長方形的面積相加：

大長方形面積：15×10=150………對應步驟○¹ 小長方形面積：3×2=6………..…….對應步驟○²

新圖形面積：150+6=156………對應步驟○³

(2)󠆽 推導通式─以下圖表示十位數為 1，個位數為任意數的兩位數乘法運算：

畫一個長 10+a、寬 10+b 的長方形(a=1~9，b=1~9)，沿長方形的兩邊截取一 個邊長為 10 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所指的長邊

2 3 10 3

10

2

10 3 2

10

a b 10 a

10

b

10 a b

10

- 11 -

後，整個圖形變成兩部分─長 10+a+b、寬 10 的大長方形和長 a、寬 b 的 小長方形。計算新圖形面積只需將大長方形及小長方形的面積相加：

大長方形面積：(10+a+b)×10….………對應步驟○¹ 小長方形面積：a×b………….………..…….對應步驟○²

新圖形面積：(10+a+b)×10+ a×b ………對應步驟○³

3. 1919 乘法延伸應用至 21×21~99×99 乘法計算：

步驟○¹：(被乘數+乘數的個位數字) ×十位的整十數 (即21~29的就乘以20、31~39的就乘以30……) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○¹和步驟○²的乘積相加

○² 4×7=28

例：24 × 27 = 620 + 28 =648 ○³將前兩步驟的乘積相加

○¹（24+7）×20=31×20=620

24×27= （24+7）×20 + 4×7 = 620 + 28 = 648

58×56= （58+6）×50 + 8×6 = 3200 + 48 = 3248

(1)󠆽 推導通式─以下圖表示十位數相同，個位數為任意數的兩位數乘法運算：

c b 10a b

10a

c

10a b c

10a

- 12 -

畫一個長 10a+b、寬 10a+c 的長方形(a、b、c=1~9)，沿長方形的兩邊截取 一個邊長為 10a 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所指的 長邊後，整個圖形變成兩部分─長 10a+b+c、寬 10a 的大長方形和長 b、

寬 c 的小長方形。計算新圖形的面積只需將大長方形及小長方形的面積 相加：

大長方形面積：(10a+b+c)×10a….………對應步驟○¹ 小長方形面積：b×c…….……….………..…….對應步驟○²

新圖形面積：(10a+b+c)×10a + b×c ………對應步驟○³

▲推導出第一、二、三式後，我們便思考著這三種公式只能用在兩位數乘法嗎？是否 可以推論至三位數乘法？

二、推衍公式 ─ 被乘數和乘數的百位數字及十位數字相同之三位數乘法運算 (一) 第四式 101~109 的三位數乘法運算

1.將 第三式 印度乘法計算方式推廣至 101~109 三位數乘法運算：

步驟○¹：(被乘數+乘數的個位數字) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹的後面 (若步驟○²乘積小於10，須在十位補0)

○² 4×2=8

例：104 × 102 = 106 08 ○³ 將8前一位數字補0寫在106後面

○¹104+2=106

104×102= 104+2 4×2 = 106 08 = 10608 2.原理探索及分析：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來理解，兩個數字相乘，可視為矩形的兩個邊長 相乘來求面積。

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(1) 推導通式─以下圖表示百位數為 1，十位數為 0，個位數為任意數的三位 數乘法運算：

畫一個長 100+a、寬 100+b 的長方形(a=1~9，b=1~9)，沿長方形的兩邊截取一 個邊長為 100 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所指的長邊 後，整個圖形變成兩部分─長 100+a+b、寬 100 的大長方形和長 a、寬 b 的 小長方形。計算新圖形面積只需將大長方形及小長方形面積相加：

大長方形面積：(100+a+b)×100….………對應步驟○¹ 小長方形面積：a×b………….……….…………..…….對應步驟○²

新圖形面積：(100+a+b)×100+ a×b= (100+a+b) a×b

………..對應步驟○³(若a×b小於 10，須在十位數補 0) (二) 第五式 個位數相加等於 10 的三位數乘法運算

1.將 第二式 印度乘法計算方式推廣至三位數乘法運算：

步驟○¹：(前兩位數)×(前兩位數+1) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹乘積的後面(若個位數相乘小於10，須在十位補0)

○² 9×1=9

例：119 × 111 = 132 09 ○³ 將9前一位數字補0寫在132後面

○¹11×（11+1）=132

a b 100 a

100

b

100 a b

100

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119×111= 11×（11+1） 9×1 = 132 09 = 13209

利用 1919 乘法公式速算 11×12= (11+2) ×10 + 1×2 =132 326×324= 32×（32+1） 6×4 = 1056 24 = 105624

利用 1919 乘法公式速算 32×33= (32+3) ×30 + 2×3 =1056 532×538= 53×（53+1） 2×8 = 2862 16 = 286216

利用 1919 乘法公式速算 53×54= (53+4) ×50 + 3×4 =2862 2.原理延伸及探索：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來推論 第二式 乘法計算至三位數乘法，兩個數 字相乘，可視為矩形的兩個邊長相乘來求面積。

(1)推導通式─以下圖表示百位數及十位數相同，個位數相加等於 10 的三位 數乘法運算：

(4)

畫一個長 10a+b、寬 10a+(10-b)的長方形 (a=10~99，b=1~9)，沿長方形的兩 邊截取一個邊長為 10a 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭 所指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 10a+b+(10-b)=10a+10=10×(a+1)

、寬 10a 的大長方形和長 b、寬 10-b 的小長方形。計算新圖形的面積只 需將大長方形及小長方形的面積相加：

大長方形面積：(10a+10)×10a=10×(a+1) ×10a=a×(a+1) × 100

………...….……….對應步驟○¹ 10-b

10a b

10a

10-b

10a b (10-b)

10a

- 15 -

小長方形面積：b×(10-b)……….………..…….對應步驟○²

新圖形面積： a×(a+1) ×100+ b×(10-b) = a×(a+1) b×(10-b)

…………對應步驟○³ (若b×(10-b)小於 10，須在十位數補 0) (三) 第六式 個位數為任意數的三位數乘法運算

1.將 第三式 印度乘法計算方式推廣至三位數乘法運算：

步驟○¹：前兩位數×前兩位數 ×100 步驟○²：個位數相加×前兩位數×10 步驟○³：個位數相乘

步驟○⁴：將步驟○¹、步驟○²和步驟○³的乘積相加

○² (9+7) ×15×10=16×15×10=2400 ○³ 9×7=63

利用1919乘法公式速算16×15= (16+5) ×10 + 6×5 =240 例：159 × 157 = 22500 +2400+ 63 =24963

○¹15×15×100=22500

利用 第一式 乘法公式速算15×15= 1×(1+1) 25=225 2.原理延伸及探索：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來推論 第三式 至個位數為任意數的三位數乘 法，發現寬邊截取下來的長方形移接到箭頭所指的長邊後，寬邊並不一定 是整百，如此在計算大長方形面積時，並無較顯著的簡化計算。因此，我 們調整成正方形及大、小長方形三部分的面積來計算。

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(1)以下圖表示 159×157：

正方形 A 面積：150×150=15×15×100….…….………對應步驟○¹

大長方形 B 面積：(9+7) ×150=(9+7)×15×10 ……..…….對應步驟○² 小長方形 C 面積：9×7……….…………對應步驟○³

新圖形面積：A+B+C=15×15×100+(9+7)×15×10+9×7

……….…….………對應步驟○⁴ (2)推導通式─以下圖表示百位數及十位數相同，個位數為任意數的三位數乘

法運算：

畫一個長 10a+b、寬 10a+c 的長方形 (a=10~99，b、c=1~9)，沿長方形的兩 邊截取一個邊長為 10a 的正方形。把寬邊截取下來的長方形移接到箭頭 所指的長邊後，整個圖形變成三部分─邊長為 10a 的正方形、長 b+c、

7 9 150 9

150

7

A B

C

150 9 7

150

b

c

10a b

10a

c

A B

C

10a b c

10a

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寬 10a 的長方形和長 b、寬 c 的小長方形。計算新圖形的面積只需將正 方形、大長方形及小長方形的面積相加：

正方形 A 面積：10a×10a=a×a×100….…….…………...…對應步驟○¹ 大長方形 B 面積：(b+c) ×10a=(b+c)×a×10 ……..…….對應步驟○² 小長方形 C 面積：b×c……….…………對應步驟○³

新圖形面積：A+B+C= a×a×100+(b+c)×a×10+ b×c

……….…….………對應步驟○⁴ 三、探究特例公式 ─ 至少有一個乘數接近 100 的兩位數乘法

正當我們興高采烈的使用已經瞭解原因的通式計算乘法時，某位同學在網路上蒐集

印度數學相關資料時，卻發現了以下這張圖片，不過，97×96 應該是利用 第三式 ： (97+6) ×90+7×6=103×90+42=9270+42=9312 來計算，不是嗎？但它卻使用了其他 方法，這讓大夥非常想要一探究竟！於是，我們開啟了另一段探索之旅。

(一) 第七式 至少有一個乘數接近 100 的兩位數乘法(補數之應用) 1.印度式乘法計算方式：

步驟○¹：以100為基數，分別找出被乘數和乘數的補數

(補數：讓一個數變成整十、整百、整千……的數，例如：1是讓99變成100的補數) 步驟○²：用100減去兩補數之合，再×100

步驟○³：兩個補數相乘

步驟○⁴：將步驟○²、○³的乘積相加

- 18 -

例：55 × 95 = 5000 + 225 =5225 ○⁴將前兩步驟的乘積相加

100-55 100-95 100-50×100

45 + 5 =50 ○¹找出被乘數和乘數的補數、○²100減去兩補數之合，再×100 45 × 5 =225 ○³兩個補數相乘

2.原理探索及分析：

我們嘗試用幾何圖形面積概念來理解，兩個數字相乘，可視為矩形的兩個邊長 相乘來求面積。

(1)推導通式○¹ ─以下圖表示長 a、寬 b 的兩位數乘法運算：

畫一個長 a、寬 b 的長方形(a=11~99，b=11~99)，沿寬邊截取一個長為長邊 補數的長方形，移接到箭頭所指的長邊後，整個圖形變成兩部分─長 100、寬 b-(100-a)=b-100+a=a+b-100=100-[(100-a)+(100-b)]的大長

方形和長 100-a、寬 a-[b-(100-a)]=a-(a+b-100)=100-b 的小長方形。

計算新圖形面積只需將大長方形及小長方形的面積相加：

大長方形面積：b-(100-a)×100={100-[(100-a)+(100-b)]} ×100

….……….…………對應步驟○²

小長方形面積：(100-a)×(100-b)………….………..…...對應步驟○³

新圖形面積：{100-[(100-a)+(100-b)]} ×100 +(100-a)×(100-b)

………對應步驟○⁴ 100-b

a

b

a 100-a

b-(100-a)

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(2)推導通式○² ─：

在推導上一個通式時，我們發現大長方形的寬：b-(100-a)其實就是乘 數減去被乘數的補數；或者，也可以從長邊截取一個寬為寬邊補數的長 方形，移接到箭頭所指的長邊後，如下圖。

整個圖形變成兩部分─長 a-(100-b)、寬 b+(100-b)=100 的大長方形和

長 b-[a-(100-b)]=b-(a+b-100)=100-a、寬 100-b 的小長方形。大長方 形的長就是被乘數減去乘數的補數。因此，我們整理出另一個通式：

大長方形面積：b-(100-a)×100 或 a-(100-b)×100 小長方形面積：(100-a)×(100-b)

新圖形面積：b-(100-a)×100 或 a-(100-b)×100 +(100-a)×(100-b) 步驟○¹：以100為基數，分別找出被乘數和乘數的補數

(補數：讓一個數變成整十、整百、整千……的數，例如：1是讓99變成100的補數) 步驟○²：被乘數減去乘數的補數，再×100 (或乘數減去被乘數的補數)

步驟○³：兩個補數相乘

步驟○⁴：將步驟○²、○³的乘積相加

例：97 × 96 = 9300 + 12 =9312 ○⁴將前兩步驟的乘積相加

3 4 97-4或96-3×100 (或乘數減去被乘數的補數) ○¹找出被乘數和乘數的補數 ○²被乘數減去乘數的補數，再×100

3 × 4 = 12 ○³兩個補數相乘

100-a a

b

a-(100-b)

b

100-b

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另外，我們在閱讀印度數學的相關書籍時，還看到了一個有趣的計算，不管是幾位 數，只要乘以 11，都適用喔！

(二) 第八式 任意數和 11 相乘的乘法運算 1.印度式乘法計算方式：

步驟○¹：把和 11 相乘的數的首位和末位數字拆開，中間留出空位 步驟○²：把這個數各個位數上的數字依次相加

步驟○³：把步驟○²求出的和依次填寫在步驟○¹留出的空位上

例：123 × 11 = 1 3

1+2 2+3

579 × 11 = 5 12

5+7 7+9 (滿10進1) 2.原理探索及分析：

(1)推導通式─我們嘗試用直式計算來理解 a b c d × 11 a b c d

× 1 1 a b c d a b c d

a (a+b) (b+c) (c+d) d ▲口訣：兩邊一拉，中間一加

某數乘以11，也就是某數的11倍，算式中 a b c d 的11倍，可 拆成 a b c d 的10倍再加上 a b c d 的1倍，而 10 倍就會讓各個位數上的數字前進一位，例如：原本百位數字b乘以10倍後 就會進位到千位，再加上原本千位數字a的1倍，千位數就會變成a+b。依此 類推：百位數=b+c，十位數=c+d；萬位數則由原本的千位數a進位，個位數僅 有原本d的1倍。

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四、印度式乘法計算與一般乘法直式計算之速度及答對率比較

為了更瞭解每位同學計算能力的狀況，老師在我們開始探究印度式乘法運 算之前，先讓我們做了一份共有 20 題乘法計算的試題，試題內容主要以二、三 位數的乘法為主，並於探究結束後，再做了一次試題，測驗結果如下：

受試者 測驗時間 (四捨五入至小數第 3 位) 答對率

前測 後測 比值 前測 後測

A 生 5 分 23 秒 2 分 05 秒 323/125=2.584 90% 100%

B 生 5 分 54 秒 2 分 13 秒 354/133=2.662 100% 100%

C 生 7 分 32 秒 2 分 04 秒 452/124=3.645 80% 90%

D 生 4 分 29 秒 1 分 42 秒 269/102=2.637 95% 100%

由測驗結果可知，同樣一份試題，四位學生使用印度式乘法計算所花的時間 比一般乘法直式計算所花的時間快約 2~3 倍，答對率亦提升5~10%。

某生前後測之比較

伍、研究結果

一、利用面積概念解釋十位數相同的兩位數乘法運算原理 (一) 第一式 個位數是 5 的兩位數乘法運算

步驟○¹：(十位數)󠆽×(十位數+1)

步驟○2 ：在步驟○¹乘積後面接著寫上 25

推導通式：(10a+5) ×(10a+5)=a×(a+1) ×100+25= a×(a+1) 25 (a=1~9)

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(二) 第二式 個位數和是 10 的兩位數乘法運算 步驟○¹：(十位數)×(十位數+1)

步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹乘積的後面 (若步驟○²乘積小於10，須在十位補0) 推導通式：(10a+b) ×(10a+10-b)=a×(a+1) ×100+ b×(10-b)

= a×(a+1) b×(10-b) (a、b=1~9) (三) 第三式 個位數是任意數的兩位數乘法運算

步驟○¹：(被乘數+乘數的個位數字) ×十位的整十數

(即21~29的就乘以20、31~39的就乘以30……) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○¹和步驟○²的乘積相加

推導通式：(10a+b) ×(10a+c) =(10a+b+c)×10a + b×c (a、b、c=1~9) 二、將上述三式原理推論至被乘數和乘數的百位數字及十位數字相同之三位數乘法運算，

並歸納出通式。

(一) 第四式 101~109 的三位數乘法運算 步驟○¹：(被乘數+乘數的個位數字) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹的後面 (若步驟○²乘積小於10，須在十位補0) 推導通式：(100+a) ×(100+b) =(100+a+b)×100+ a×b

= (100+a+b) a×b (a、b=1~9) (二) 第五式 個位數相加等於 10 的三位數乘法運算

步驟○¹：(前兩位數)×(前兩位數+1) 步驟○²：個位數相乘

步驟○³：將步驟○²乘積寫在步驟○¹乘積的後面(若個位數相乘小於10，須在十位補0) 推導通式：(10a+b) ×(10a+10-b)=a×(a+1) ×100+ b×(10-b)

= a×(a+1) b×(10-b) (a=10~99，b=1~9) (三) 第六式 個位數為任意數的三位數乘法運算

步驟○¹：前兩位數×前兩位數 ×100 步驟○²：個位數相加×前兩位數×10 步驟○³：個位數相乘

步驟○⁴：將步驟○¹、步驟○²和步驟○³的乘積相加

推導通式：(10a+b) ×(10a+c) =a×a×100+(b+c)×a×10+ b×c (a=10~99，b、c=1~9)

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三、利用面積概念解釋至少有一個乘數接近 100 的兩位數乘法原理(補數之應用) 第七式 步驟○¹：以100為基數，分別找出被乘數和乘數的補數

(補數：讓一個數變成整十、整百、整千……的數，例如：1是讓99變成100的補數) 步驟○²：用100減去兩補數之合，再×100

步驟○³：兩個補數相乘

步驟○⁴：將步驟○²、○³的乘積相加

推導通式○¹ ：a×b={100-[(100-a)+(100-b)]} ×100 +(100-a)×(100-b) (a、b=11~99)

步驟○¹：以100為基數，分別找出被乘數和乘數的補數

(補數：讓一個數變成整十、整百、整千……的數，例如：1是讓99變成100的補數) 步驟○²：被乘數減去乘數的補數，再×100 (或乘數減去被乘數的補數)

步驟○³：兩個補數相乘

步驟○⁴：將步驟○²、○³的乘積相加

推導通式○² ：a×b= b-(100-a)×100 或 a-(100-b)×100 +(100-a)×(100-b) (a、b=11~99)

四、利用乘法直式算則解釋任意數和 11 相乘的運算原理(▲口訣：兩邊一拉，中間一加) 第八式 步驟○¹：把和 11 相乘的數的首位和末位數字拆開，中間留出空位

步驟○²：把這個數各個位數上的數字依次相加

步驟○³：把步驟○²求出的和依次填寫在步驟○¹留出的空位上

推導通式： a b c d × 11= a a+b b+c c+d d (a、b、c、d=1~9)

五、印度式乘法計算與一般乘法直式計算之速度及答對率比較

經過前後測的比較，我們發現印度數學乘法計算比一般乘法直式計算速度快 約 2~3 倍，答對率亦有明顯的提升，幾乎高達 95%以上。尤其對於原本直式計算 需要花較久時間的人，效能顯著提升。除此之外，印度數學運算方法靈活，一道 題目可能會有 2~3 種計算方式，毫不死板，是能夠活躍大腦思維的有效工具。

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陸、討論

經過演算、推論、實測後，我們瞭解到：沒有一套數學公式是萬能的！必須視題 目而定，在研究過程中，我們發現有些運算適合使用印度式乘法計算，又快又準確；

有些則較適用一般乘法直式計算；也有些運算雙管齊下(印度式+一般式)，效果更佳！

雖然印度式乘法計算公式並非萬能，無法適用所有情況，但卻讓我們在面對不同 問題時，有了更多不同的思維，去分析、拆解題目的狀況，化繁為簡，不再只有單一運 算法則。例如：227×123，雖然百位數不同，但我們可以把227拆成100+127，所以 227×123=(100+127) ×123=100 ×123+127×123=12300+15621=27921，是不是簡 單又輕鬆呢？ 第五式+1919 乘法

柒、結論

經過一連串的觀察、演算、分析及歸納後，我們成功借助平面圖形的分析，解開 5 種印度式乘法運算背後所隱藏的原理，更將其原理推論至更多位數的乘法運算，推 導出不同的通式。

回想探究之初，印度數學提供的簡算法是一種抽象的數學運算法則，它訓練左腦 的數理思維能力，過程中大腦神經緊繃，甚至略感疲憊！但練習到一定階段之後，透 過畫出圖形、分析圖形，激發右腦圖像思考，讓抽象的數學運算法則在腦海裡有了清 晰的圖像，思路越來越敏捷、順暢，便是澈底的愉悅和放鬆，連心情也跟著開朗起 來，這種感覺和練習完身體瑜珈一樣，通體舒暢！

這套「頭腦瑜珈操」讓我們獲益良多，不僅提升了我們邏輯思維及計算的能力，

更讓我們對數理探究充滿興趣！未來，我們一定會秉持這份熱忱，繼續探究生活中潛 藏的奧秘！

捌、參考資料

羅倩宜(民 98)。印度吠陀數學秒算法。台北縣：世茂出版社。

王擎天(民 99)。印度數學。台北縣：漢湘文化。

康軒出版社(民 109)。國小數學第八冊第八單元-周長與面積。新北市：康軒出版社。

康軒出版社(民 109)。國小數學第九冊第七單元-整數四則運算。新北市：康軒出版社。

康軒出版社(民 109)。國小數學第十一冊第九單元-比、比值與成正比。新北市：康軒出版社。