單元 7: 連續性
( 課本 x 1.6) 一 . 口語 , 直觀上的定義
函數 f 在點 x = c 連續 (continuous) 若且為若函數 f 的圖形在點 x = c 處無斷開的現象.
三種圖形斷開 (亦即, 造成不連續) 的現象, 如下圖所示.
現象 1: 在點 x = c1, f(c1) 未定義.
現象 2. 在點 x = c2,
x!clim2 f(x) 不存在, 因為根據圖示,
x!clim2 f(x) = 4 但
x!clim+2 f(x) = 2
兩邊的行為不一致, 故極限不存在; 雖然 f(c2) = 4
有定義.
現象 3. 在點 x = c3,
f(c3) 6= limx!c
3 f(x) 雖然
f(c3) = 5 有定義, 且
x!clim3 f(x) = 6 亦存在.
二 . 正式定義
定義 1
令 c 2 (a; b) 且 f 的定義域包含 (a; b). 則 函數 f 在點 x = c 連續若且為若(i) f(c) 有定義.
(ii) f 在點 x = c 的極限
x!clim f(x) 存在.
(iii) f 在點 x = c 的函數值等於極限值, 亦即,
x!clim f(x) = f(c)
定義 2.
函數 f 在開區間 (a; b) 上連續若且為若 f 在 (a; b) 中的每一點均連續.註 1.
由定義 1 的 (iii) 知, 若一函數在點 x = c 的極 限可由代入法求得, 亦即,x!clim f(x) = f(c) 則此函數在點 x = c 連續. 故
(1) 多項式在每一實數都連續, 因為對任一實數 c,
x!clim p(x) = p(c)
(2) 有理函數在分母不等於 0 的地方均連續, 因為若分 母 q(c) 6= 0, 則
x!clim
p(x)
q(x) = p(c) q(c)
註 2.
非連續點 (discontinuous points), 如圖中的 c1, c2, c3, 可分成如下的二類.(1) 可移除的 (removable): 經由重新定義, 可使其成 為連續點的非連續點, 此乃相當於極限存在, 卻不連 續的情形, 因為只要將函數值重新定義成極限值即可, 例如, 點 x = c1, 原先:
x!clim1 f(x) = 5 但 f(c1) 未定義, 所以不連續. 修正: 令
f(c1) = 5 則
f(c1) = 5 = limx!c
1 f(x) 故變成連續.
點 x = c3, 原先:
f(c3) = 5 6= 6 = limx!c
3 f(x) 故不連續.
修正: 令 f(c3) = 6, 則
f(c3) = 6 = limx!c
3 f(x) 故在 x = c3 連續.
(2) 不可移除的 (nonremovable): 無法改變非連續 性的非連續點, 此乃相當於極限不存在的情形, 因為 極限是由那點附近的行為所決定, 與那點的函數值不 相干, 故無論如何定義那點的值, 那點附近的行為還 是一樣, 因而極限依然不存在, 無法滿足那點的極限 值等於函數值的條件, 所以還是不連續, 例如, 點 x = c2, 原先:
x!clim2 f(x) 不存在, 因為
x!clim2 f(x) = 4 6= 2 = lim
x!c+2 f(x) 故不連續.
修正: 不可行, 因為只改變在點 x = c2 的函數值, 這點附近的行為並沒改變, 故極限值依然不存在, 因 而依然是非連續.
例 1.
試求下列各函數的連續點及非連續點. (a) f(x) = 1x
(b) f(x) = x2 1 x 1
(c) f(x) = 1 x2 + 1
<解> (a) f(x) 為一有理函數, 且分母等於 0 乃相當於 x = 0, 所以除了 x = 0 以外, f 在其餘點均連續. 故,
連續點 = ( 1; 0) [ (0; 1) 又
x!0lim+ 1
x = 1
0+ = 1
其中 0+ 表示任意靠近 0 的正數. 故在非連續的點 x = 0 的雙邊極限
x!0lim 1 x
不存在. 因此, x = 0 為一不可移除的非連續點. 另外,
x!0lim 1
x = 1
0 = 1
其中 0 表示任意靠近 0 的負數. 因此, 當 x 由左邊任 意靠近 0 時, 函數值 f(x) 是無界地遞減, 圖示如下. (b) f(x) 是一有理函數, 且分母等於 0 乃相當於 x = 1. 因此,
連續點 = ( 1; 1) [ (1; 1) 又
x!1lim
x2 1
x 1 = lim
x!1
(x + 1)(x 1)
= lim x 1
x!1(x + 1) = 2 故令
f(1) = 2
時, 則函數 f 在 x = 1 變成連續. 因此, x = 1 為一 可移除的非連續點, 如圖所示.
(c) f(x) 為一有理函數, 且分母恆不等於 0, 故 f 在每 一實數都連續. 因此,
連續點 = ( 1; 1)
三 .
閉區間上的連續性定義 3.
設函數 f 的定義域為閉區間 [a; b], 則 f 在閉 區間 [a; b] 上連續若且為若(i) f 在開區間 (a; b) 上連續.
(ii) x 由右邊任意靠近 a 時,
x!alim+ f(x) = f(a)
亦即, f 在 x = a 的右邊連續, 且當 x 由左邊任意 靠近 b 時,
x!blim f(x) = f(b)
亦即, f 在 x = b 的左邊連續. 也就是說, 只考慮 端點在定義域內的單邊連續性, 因為不在定義域內的 端點的另一邊無從考慮, 故此較鬆的條件是合理的.
例 2.
令函數 g(x) =( 5 x; 1 x 2;
x2 1; 2 < x 3:
試討論 g 的連續性.
<解> 函數 g(x) 的定義域為 [ 1; 3], 可將其分成三部 份, 分別討論連續性如下:
(1) [ 1; 2): 此時
g(x) = 5 x 為一多項式, 故 g 在其上連續.
(2) (2; 3]: 此時
g(x) = x2 1 亦為一多項式, 故 g 在其上亦連續.
(3) 連接點 x = 2: 首先,
(i) g(2) = 5 2 = 3, 故函數 g 在點 x = 2 有定義.
(ii) 當 x 由右邊接近 2 時的單邊極限
x!2lim+ g(x) = lim
x!2+(x2 1) = 4 1 = 3 且由左邊接近 2 時的單邊極限
x!2lim g(x) = lim
x!2 (5 x) = 5 2 = 3 結果一致. 故函數 g 在點 x = 2 的雙邊極限
x!2lim g(x) = 3 是存在的.
(iii) 由 (i) 與 (ii), 得
x!2lim g(x) = 3 = g(2)
亦即, 函數 g 在 x = 2 的極限值等於函數值. 因此, 根據連續性的定義, 函數 g 在點 x = 2 也連 續.
最後, 合併 (1)-(3), 得函數 g 在閉區間 [ 1; 3] 上均 連續.
四 . 最大整數函數
最大整數函數 (greatest integer function) 又稱作 高斯函數, 定義為
[[x]] def= 小於或等於 x 的最大整數 例如,
[[1:5]] = 1; [[3]] = 3; [[ 2:1]] = 3 以及
[[ 5]] = 5; [[0:5]] = 0; : : :
其圖形如下, 乃一種階梯函數 (step function). 由圖 知, 當 x 由右邊接近 2 的單邊極限
x!2lim+[[x]] = lim
x!2+ 2 = 2 且當 x 由左邊接近 2 的單邊極限
x!2lim [[x]] = lim
x!2 1 = 1 結果不一致. 故
x!2lim [[x]]
不存在, 因而 x = 2 為一個不可移除的非連續點. 同理, 令 n 為任一整數, 當 x 由右邊接近 n 時,
x > n 且 x < n + 1
故右單邊極限
x!nlim+[[x]] = lim
x!n+ n = n 當 x 由左邊接近 n 時,
x < n 且 x > n 1 故左單邊極限
x!nlim [[x]] = lim
x!n (n 1) = n 1 結果不一致. 因此, 雙邊極限
x!nlim [[x]]
不存在, 由此導出 x = n 為一不可移除的非連續點. 綜 合上述, 得所有的整數, 即 0, 1, 2, : : :, 均為不可 移除的非連續點, 與圖形一致.
應用 1.
模型化成本函數. 設某裝訂公司在一個 8 小 時的輪班 (shift) 中可裝訂 10,000 本書且固定成本 (每個輪班) 為 $5,000. 若裝訂一本需 $3. 試求裝訂 x 本的總成本.<解> 令 C(x) 為裝訂 x 本的總成本. 根據題意, 當 x = 0
時, 不需要任何輪班及裝訂, 故總成本 C = 0
當
1 x 10000
時, 需要 1 個輪班及裝訂 x 本書, 故總成本 C = 5000(1) + 3x
當
10001 x 20000 時, 需要 2 個輪班及裝訂 x 本書, 故總成本
C = 5000(2) + 3x 當
20001 x 30000 時, 需要 3 個輪班及裝訂 x 本書, 故總成本
C = 5000(3) + 3x
以此類推, 可導出每超過一個 10,000 本書, 就要多一個 輪班, 而造成固定成本增加 $5,000. 因此, 根據前述列 舉的情況, 可歸納出, 當 x = 0; 1; 2; : : : 時, 總成本
C(x) = 5000 1 + x 1 10000
+ 3x
且圖形如下.
應用 2.
複利 (compound interest). 將利息加入 本金 (deposit) 中, 一起生利息的方式, 稱作複利. 例 如, 設本金為 $10,000, 年利率 (annual interest rate) 為 6%, 且採用季複利 (compoundedquarterly), 亦即, 每季 (3 個月) 期滿後, 計算利息, 並加入本金, 繼續生息, 則
每季的利率 = 0:06
4 = 0:015 (因為一年有四季), 且在第一季內的結餘為
10; 000 第二季內的結餘為
10; 000 + 10; 000(0:015) = 10; 000(1 + 0:015) 第三季內的結餘為
10; 000(1 + 0:015) + 10; 000(1 + 0:015)
(0:015)
= 10; 000(1 + 0:015)2 第四季內的結餘為
10; 000(1 + 0:015)3
第五季內的結餘為
10; 000(1 + 0:015)4 ...
由此導出每滿 1
4 年, 多計算一次利息並加入本金, 亦即, 多乘一次 (1 + 0:015). 因此, 儲蓄 t 年後的結餘
A = 10; 000(1 + 0:015)[[4t]]
且圖形如下.
