EduMath 24 (6/2007)
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一個幾何證明的謬誤
馮德華
伊利沙伯中學舊生會中學
在一次的公開考試中，有一條類似以下的數學題目：
已知 ABCD 為一平行四邊形（見圖一），對角線 AC 與對角線 BD 交於 E。
證明
ABC 與 CDA 全等。
圖 一 有些學生利用以下證明方法：
證明一 AB = CD （平行四邊形對邊）
BC = DA （平行四邊形對邊）
AC = CA （公共邊）
ABC CDA
（S.S.S.）證明二 AB = CD （平行四邊形對邊）
BC = DA （平行四邊形對邊）
ABC = CDA
（平行四邊形對角） ABC CDA
（S.A.S.）他們正確嗎？請大家先決定證明一及證明二是否正確，才繼續閱讀本 文。
B A
C D
E
數學教育第二十四期 (6/2007)
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筆者用該題的主幹，再提出另一條題目：
已知 ABCD 為一平行四邊形（見圖一），對角線 AC 與對角線 BD 交於 E。
證明 AB = CD。
證明三 因 ABCD 為一平行四邊形，
AB = CD
（平行四邊形性質）證明四 因
ABC 與 CDA 全等，
AB = CD
（全等三角形的對應邊）在證明三中，學生未有對 AB = CD 作出過任何證明，只有提出「平行 四邊形性質」。是否提出「平行四邊形性質」的就算正證明正確呢？又甚麼 是「平行四邊形性質」呢？
在證明四中，學生指出「因
ABC 與 CDA 全等」
，所以用「全等三 角形的對應邊」的「理由」，就可以證明 AB = DC，對嗎？難道不需先證明「ABC 與
CDA 是全等」的嗎？
有些老師覺得這只是在校內評分時「手嚴手鬆」的問題，況且很多教 科書都這樣記載，會考評卷時也不會有太多要求，學生又有如此「好」表 現，就接受這樣證明吧。
筆者對此不敢苟同。因為學生犯的是「循環」論證的謬誤，而「循環」
論證正是「邏輯證明」的大忌，筆者試舉一例說明甚麼是「循環」論證：
甲問乙： 你住在那裡？
乙答： 我住在丙家對面。
甲再問乙： 那麼丙住在那裡？
乙答： 丙住在我家對面。
甲再問乙： 那麼你住在那裡？
乙答： 我住在丙家對面。
甲再問乙： 那麼丙住在那裡？
乙答： 丙住在我家對面。
… ……
甲與乙答問的對話就是一個「循環」答問，乙從未對甲作出一個有「意 義」或有「答案」的回答，最後甲仍然不知道乙住在那裡。以上的證明三 及證明四就像甲與乙的答問般，學生從未對該題目的「證明」作「回答」，
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我們怎能接受這樣的「證明」呢？
再看一例：
已知 ABCD 為一平行四邊形（見圖一），對角線 AC 與對角線 BD 交於 E。
證明
ABC 與 CDA 全等。
證明五 因 ABCD 為一平行四邊形，
ABC CDA
（平行四邊形性質）ABC CDA 的確是「平行四邊形性質」
，但你會接受證明五的「證 明」嗎？以下是該題目的正確證明：
已知 ABCD 為一平行四邊形（見圖一），對角線 AC 與對角線 BD 交於 E。
證明
ABC 與 CDA 全等。
證明六
CAB = ACD
（內錯角，AB // DC）ACB = CAD
（內錯角，AD // BC）AC = CA （公共邊）
ABC CDA
（A.S.A.）經過證明
ABC 與 CDA 全等之後，我們得出以下性質：
ABC = CDA
（全等三角形的對應角）即（平行四邊形對角相等）
AB = CD （全等三角形的對應邊）
BC = DA （全等三角形的對應邊）
即（平行四邊形對邊相等）
「平行四邊形」是一個有兩對邊平行的四邊形，經嚴格證明得到
ABC
與CDA 全等後，才有「平行四邊形對角相等」
、「平行四邊形對邊相等」、「平行四邊形性質」等推論。我們不能本末倒置、倒果為因用這些「性質」
或「推論」去證明
ABC 與 CDA 是全等的，或者用作證明某四邊形是一
個「平行四邊形」的根據。證明一及證明二就是犯了「循環」論證的謬誤。這不是老師在校內評分時「手嚴手鬆」的不同，而是一個「對與錯」的嚴 重問題。
作者電郵：twfung@alumni.cuhk.net
