無理數兩大類。有理數指的是有限小數與無限循環小數，而無理數指的是無限不 循環小數。 任意分數「b/a」，可藉由〝b÷a〞的計算來化為小數。如果除得盡，即表示餘 數為0，此時所得的商是有限小數。如果除不盡，最多經過 a 個計算步驟後，某 個餘數一定會再出現，此時所得的商是無限循環小數。假設「b/a」已是最簡分數 的形式，也可由分母a 所含的質因數種類來判斷 b/a 可化為有限小數或無限循環 小數： （1）分母 a 僅含 2 或 5 的質因數，則 b/a 必能化成有限小數。 （2）分母 a 含有 2 和 5 以外的質因數，則 b/a 必能化成無限循環小數。 詳細原因可參考國民小學數學教學指引第十一冊第四單元的參考事項（國 立編譯館，民79 ）。 反之，任意有限小數必可化成分數b/a 的型式，而分母 a 僅含 2 或 5 的質因 數；無限循環小數也可化成分數，而其分母含有2 和 5 以外的質因數。原因如下
（1）a.b1＝a＋0. b1＝a＋b1/10＝a b1/10 同理，a.b1 b2＝a b1 b2/100 a.b1 b2 b3＝a b1 b2 b3/1000 （2）a.b1＝a b1/9 [分析]：X＝0. b1 b1 b1……… 10X＝b1. b1 b1……… →9X＝b1 →X＝b1/9
→a.b1＝a＋b1＝a＋b1/9＝a b1/9 （3）a. b1b2＝a b1 b2－b1/90 [分析]：X＝0. b1 b2 b2……… 100X＝b1 b2. b2 b2……… 10X＝b1 .b2 b2 b2……… →90X＝b1 b2－b1 →X＝b1 b2－b1/90
→a. b1b2＝a＋b1 b2－b1/90＝a b1 b2－b1/90
小數 有理數 無理數 有限小數 無限循環小數 無限不循環小數 p/q p1/q1 分數 q 的質因數所成的集合是{2，5}的子集。 q1的質因數所成的集合不是{2，5}的子集。 圖一 小數的分類 三、結語： 本文旨在介紹非數理系師院生在小數常發生的幾個錯誤觀念，並由此提出 具體意見以做為師範學院數學科教學資源的參考。對非數理系的師院生而言， 「普通數學」是他們唯一加強數學知識的課程。因此建議師院的教授，能在此唯 一的課程中，補充小數除法、小數的分類，小數與分數的關係等相關教材，以期 能澄清師院生這幾個嚴重的錯誤觀念。 參考資料 簡茂發、劉湘川（民82）。八十一學年度國民教育階段學生基本學習成就評量國 小組試題編製及抽測結果報告。臺中市：國立臺中師範學院。 國立編譯館 (民 79)。國民小學數學教學指引第十至十一冊。台北市：作者。 Polya, G.（1973）. How to solve it. (2nd ed)．Princeton, NJ：Princrton University
press.
