第三章．导数与微分

第三章．导数与微分

上面我们给出了描述 实数变量的一种特殊行为的概念—极限，这个概念是我们描述一大类刻画函数的 局部性质的工具，本章正是应用这个工具得到了微积分的两个基本概念：导数与微分。

导数，导函数，导数的几何意义

从直观的角度来讲，极限是我们观 察运动细节的方式，运用这种方式，可以很自然地描述我 们关于运 动的细节 的任何概念。关于运动变化发展的一个很基本的观念，就是变化率的观念。应该说这个观念的起 源并不是以极限的观念为前提的，但是要 清楚地表述变化率的概念，则非使用 极限作为工具不可。

在实际问题当中，变化率的概念总是两个变量的比值，甚至一般是两个取确定大小的 变量的比值，但 这种作法从严格的意义上讲，是一种近似。

比方说变 量x和y之间的具有函数关系y=f（x），那么y对于x的变化率就一般表述为 ，分子与分母 分别是两个相对应的变量的 变化值。显然这个变化率的刻画运动 真实情况的能力是由我 们所取的 的大 小决定的， 越大，那 么包含在 内部的 变化情 况就不能通过这 个变化率表达出来。相反， 越小，

那么包含在 内部的变化情 况就能更多地通过这 个变化率表达出来。因此如果我 们希望 这个变化率的概 念，能 够尽量详细 地刻 画运动的实际 情况，就必须尽可能地使得 尽量地小。显然这里就需要使用极限 的概念，我们正是这样定义得到导数的概念的。

对于函数y=f（x）来说，在某点存在 极限不一定要求函数在这点有定 义，而如果我 们要求刻画函数在 这点附近的变化率这种性质，则显 然应该要求函数在这点有定义。因此我们首先假设函数y=f（x）在 点x₀ 的某个邻域内有定义。然后考虑自变量在这个邻域内的变化，已 经相应的因变量的变化：

设x从x₀变化到 ，那么因变量就有相 应的从 变化到 ，按照变化率的一般定 义，就是

，

显然这个变量依 赖于 ，那么我们如何得到刻划函数在x₀处的变化率 这种性质的变量呢？自然就是 使用取极限的方法：

我们定义极限

。

如果 这个极 限存在，就 称为函 数y=f（x）在 x₀点的导 数。这个导 数仍然是刻划 了函数 在x₀这点变 化 率，因为我们已经应该 理解到，极限是一 个过程，而确定的极限值，则是度量 这个过程的一 个数值。

这样我们就得到了使用数值对函数在某一点的变化率性质的刻划，进一步，我们看到 这个刻划函数在 一点的性 质，还可以看成是一个随 着这个点的位置的 变化而 变化的新的函数，这个函数具有 与所研究的函 数相同的自变量，那 么如果在上述的邻域内的每一点都存在，导数，或者说可以定义这样的导数的话，与 这个邻域上定义的函数　y=f（x）相 对应 的新的函数是以 每一点上的 导数作为因变量的，这个函数称 为导 函数，在不至于混淆的情况下，也可以称为导数，写成 。

导数的概念可以用几何图形得到非常直观的表达，因为本来微积分的概念就有很 强的几何直 观性质，

x y

∆

∆

∆x

∆x ∆x ∆x

∆x

∆x

x0+∆x f(x0) f(x0+∆x)

x f x x x

f x y

∆

−

∆

= +

∆

∆ ( ₀ ) ( ₀)

∆x

x f x x x

f x

y

x

x ∆

−

∆

= +

∆

∆

→

∆

→

∆

) ( ) lim (

lim ^{0 0}

0 0

) ( '

' f x

y =

Ｐａｇｅ　１　ｏｆ　９ 第三章

待。

？

应用导数概念描述物理量。

导数概念具有很 强的实际问题 的背景，而我们在实际问题 当中总是能够遇到大量的需要应用导数概念 来加以刻划的概念，甚至可以说，导数的概念构成一 种思路，当我们在处理真实世界的问题时，常常遵循 这个思路来获得对于实际对 象的性质的刻划。

前面我们已经讨论了导数的几何意义，其实完全可以反过来说，正是由于当初在几何 学问题中，为了 要描述斜率这个概念，才 启发人们建立了抽象的一般的导数的概念。而在其他的 领域，这种相互发明的情 况是屡见不鲜的。

比方说在物理学领域，需要大量地应用导数的概念，来刻划属于变化率，增长率，强度，通量，流量 等等一大类的物理量。例如速度，加速度，电流强度，热容，等等。而我们在实际问题当中，更是应该 善 于提取复杂现象当中所蕴涵的导数概念。

分段函数在分段点处的导数。

完全根据左右极限的概念，我们可以在上面的导数定义当中，把 变化率的极限分成左右极限两种情况 来考虑，这样 就能够自然地得到左右导数的概念，不 过，必 须主要的是，任何 时候，导数尽管作 为一个极 限，但导数的存在，并非只是要求这个相应极限的存在，更要求函数在相应的点有定义。

同左右极 限主要应用于分段函 数一样，左右 极限也是主要用 来分析分段函 数在分段点处 的性质。显 然，如果分段函数在分段点处有定 义，那么它在分段点处的导数会出现两种情况：一是在分段点处同时存 在左右导数，但它们不相等；一是在分段点处的左右导数相等，这样这个函数在分段点处就存在导数，而 不只是存在左右导数。

这两种情况如图所示，可以得到很好的表示：

图中函数在A点处，左右 导数同时存在但不相等。

Ｐａｇｅ　２　ｏｆ　９ 第三章

图中函数在A点处，左右 导数同时存在并且相等。

这里我们实际 上可以得到一个函数在某 点存在导数的一个充要 条件，即函数在该点同时存在左右 导 数，并且左右导数相等。

函数可导与连续的关系。

从上面的对于分段 点的分析，就可以知道

（1）函 数在某 点处存在 导数，则必定在该点处连续，首先因 为存在导数，必定意味着同时存在左右 导数，并且相等， 这也就是说必定同时存在左右极限，同 样相等，而且这个极限必定等于函数在这点的函 数值。否则 就会总是大于某个确定的数值。

换一种说法，就是如果函数在邻域

存在极限

则显然极限 也必定存在，并且只能是0，这正是函 数在这点连续的定义。

（2）函 数在某 点处连续，则不一定在该点处存在 导数，而 尽管是可能同时存在左右极限的。正如上 面的第一种分段函 数的情况所给出的例子。

基本导数四则运算法则与求导公式。

由于导数实质上就是一 个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四 则 运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。

（1） ，其中c为任意常数。

（2） ，其中a和b是任意常数。

（3） 。

（4） ，（ 。

直接从导数的定 义出发，也就是 运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的 表达式，即常 数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。从这三种基本初等函 数 的导数表达式，加上基本 导数四则运算法 则和函 数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的 导数公式。

我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推 导出这些基本求导公式来，而不是 死记硬背，因 为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟 练地，深刻地加以掌握，才能在实际应用当中 加以灵活运用。

∆y

x x x− ≤∆

≤ 0

0

x f x x x

f x

y

x

x ∆

−

∆

= +

∆

∆

→

∆

→

∆

) ( ) lim (

lim ^{0 0}

0 0

y

x ∆

→

∆lim

0

' )' (

' c x c x

y = ⋅ = ⋅

) ( ' ) ( ' )]' ( ) ( [

' au x bv x au x bv x

y = + = +

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' )]' ( ) ( [

' u x v x u x v x u x v x

y = = +

) (

) ( ' ) ( ) ( ) ( ]' ' ) (

) [ (

' ₂

v x

x v x u x v x u x v

x

y = u = −

) 0 ) (x ≠ v

（1） y =c

0 '= y

（2） y =x^a y'=ax^{a 1−}

Ｐａｇｅ　３　ｏｆ　９ 第三章

复合函数的求导法则。　

由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函 数的导函数如何变化呢？这 里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：

两个 函数y=f（u），u=g（x）可以通过复合 构成一个 复合函 数，其中 g在x点 处可导，f在相应 的u=g

（x）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g（x）]在同样的x点处也可导，并且导数等于：

这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。

这里是只有一个中间变量的情形，如果有多个中间变量，则表达式的形式是类似的：

y =a^x y'= a^xlna

（4） y =log_ax

a x x y ^ae

ln log 1

'= =

（5） y =sinx y'=cosx x

y =cos

x y'= −sin tgx

y =

x x

y cos

sec 1

'= ² = ₂

ctgx y =

x x

y sin

csc 1

'=− ² =− ₂ x

y =sec

tgx x x

y = )'=sec ⋅ cos

( 1 ' x

y =csc

ctgx x y'= −csc ⋅

（6） y =arcsinx

x

y 2

1 ' 1

= − x

y =arccos

x

y 2

1 ' 1

− −

= arctgx

y =

y x₂

1 ' 1

= + arcctgx

y =

y x₂

1 ' 1

− +

=

dx du du dy dx dy = ⋅

Ｐａｇｅ　４　ｏｆ　９ 第三章

。

应用这个法则，就可以直接求出用基本初等函数通过有限的复合过程构造出来的复杂函数，而无论复 合的层次有多少。

隐函数求导法。对数求导法。

我们已经讨论的函数都是采用所谓显函数的形式，就是函数表达式直接给出了因变量如何通 过对自变 量作什么样的运算而得到。还有一 种表达函数的形式，就是所谓隐 函数形式，这种函数表达形式给出的是 自变量与因变量之间的关系，而 没有直接给出由自变量得到因变量的表达式。这种形式的函 数的导数的求 法，一般就是应用链导法。

对隐函数应用 链导法的核心思想就是引入中 间变量，即 对于一个同 时包含了自变量与因变量的表 达 式，把包含了因变量的部分作为因变量自身的函数，从而总是能 够对一个隐函数的表 达式的 两边同时关于 本来的自变量求导。尽管在实际的运算过程中，我们并不一定需要特意地指出引入了什么样的中间变量。

在这里，初 学者往往不能灵活地把任何一个包含 变量的表达式的某个部分，看成是一个新的变量，这 就反映了初学者还没有深刻地理解所 谓变量的含义，这也正是我 们在本课程开始的时候，着重强调变量这 一类的基本概念的重要性的原因所在了。

下面我们会通过例子和 练习来帮助同学们熟练掌握这个特别有用的求导法。

我们知道 对于通 过乘法，乘方，及其逆 运算所 组成的 复杂形式的函 数，可以通 过取对数简化函数的形 式，如果在这个基础上再运用隐函数的求 导法，就能 简化一大类的通过乘法，乘方，及其逆 运算所 组成的 复杂形式的函数的求导运算，这就是对数求导法。

在运用对数求导法时，必须注意到，如果被取对数的项有可能取负值，则必须先对这项取绝对 值，才 能接着取对数。

反函数求导法。

应用链导 法可以直接对一个函数的反函数求导。这里的关键 是对每一个函数的自 变量与因变量不能搞 混淆了。任何就是注意反函数存在的 条件。

设函数 ，则有 。

参数式所确定的函数的求导法。

函数还有一种表示方法，就是通过引入参变量而得到 参数方程所表示的函 数。对参数方程求导，需要 综合运用链导法和反函数求导法。

设参数方程为

那么我们有

dx dw dv

du du dy dx

dy = ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅

) ( ),

(x x f ¹ y

yx f y

= −

= '

' 1 x y

y x =





=

= ) (

) (

t g y

t f x

Ｐａｇｅ　５　ｏｆ　９ 第三章

高阶导数。

既然导函数本身就是一个新的函数，那么应该同样可以再次 对它关于自变量取导数，甚至多次地重 复 这种步骤，从而得到所谓高阶导数。我们在后面的学习当中，会遇到高阶导数极其重要的应用。高 阶导数 在实际问题当中也是极其有意义的，例如加速度的概念，就是基于位移对时间的二次导数，而二阶导数的 几何意义也是极其鲜明的，即能反映曲线的凹向。

尽管求高阶导数只是上面所讨论的求 导法的重复，并没有出现什么新的计算原理，不过掌握一些有用 的公式，对于我们的计算还是能起到很大的简化作用，下面列出几个这样的公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

以及一个基本求导法则：

（6）

这几个公式是常用的基本公式，本身 并不复杂，只有自己动手作推导，然后多加练习，就一定能够熟 练运用。

进一步我们还可以自己推导出初等函数以及隐函数和参数式所 确定的函数的高阶导 数的求法。这里的 关键是除了原始的自 变量以外，其他的任何引入的参数 或者中间变量，包括最终的因变量，都必须看成是 另外的用来求导的变量的函数，随时清醒地意识到这点，可以使得我们能够有条不紊地一 步一步运用基本 求导法和基本公式解 决任何的求导问题。因为从本质上来看，任何初等函 数的导函数总还是初等函 数，而 且总能够通过固定的步骤求出来。这点和我们在后面要学习的积分法具有本质的不同。

微分。

我们知道 导数的概念是用来研究函数在一 点及其附近的局部性质的精 确工具，而 对于函数在某点附近 的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通 过最为简单的线性函数来逼近， 这就是微分的方法。

) ( '

) ( '

) ( '

) ( ' 1

t f

t g

t x

t y dt dt dx dy

dx dt dt dy dx dy

=

=

⋅

=

⋅

=

) (

) ,

(e^{x (n)}=e^x −∞< x<+∞

) (

2), ) sin(

(sinx ⁽ⁿ⁾ = x+n⋅π −∞ <x<+∞

) (

2), ) cos(

(cosx ⁽ⁿ⁾ = x+n⋅π −∞< x<+∞

) 1 ( ) , 1 (

)!

1 1 (

)]

1

[ln( ^{( ) 1} >−

+

− −

+ = ⁻ x

x

x ^{n n} n _n

) (

! ) 1 ) (

( 1 ₁

) (

a x

n a

x ⁿ

n n

+

= −

+ ⁺

x y x y x dx

d y

&

&&

&

&&

&

3 2

2 = −

Ｐａｇｅ　６　ｏｆ　９ 第三章

， 我们有如下的所谓增量公式：

这里 是一个 时的无穷小量。因此我们可以取

，

这个近似等式在点x的附近是随着 越小而越精确的，由于函数在某点的导数是一个常数，因此上面 的表达式是一个线性函 数，这里的 实质就是在某 点的附近，用一 个线性函数替代原来一般是比较复杂一些 的函数，从而在这点的附近能够应 用简单 的方式研究这个函数的性质。一般地，我 们就可以定义一个新的 概念：

就称为函数在x点处的微分。

从微分的概念，我 们还可以更进一步地理解导数的概念：

我们看上面的表达式究竟是什么样的意思：就是任何一个函数，因 变量在某点的微分就是函数在这点 的导数和自变量在这点附近的一个足够小的增量的乘积，那 么我们同样可以定义这个函数里的自变量的微 分。怎么定义呢？就是在 这个函数里，把自 变量看成另一个函数的因变量，从而使得这个函数成为一个具 有新的变 量的复合函数，我们 可以这样定义这 个函数，即 g（x）=x，这样就在形式上 没有改变原 来的函 数，而实质上应该说我们对这个函数的看法有了改变，那么函数g的微分有时什么呢？可以得到就是：

这样我们就从微分的角度得到了导数记号的新的意义，即

，

。

回顾一下我们以前对导 数的定 义，是来自两个增量的比值的极限，作 为一个极限，写成比值的形式，

却还是一 个整体的意思，现在我们看到，这种比值的形式还是可以赋予比 值的意 义的。这样 就使得我们可 以合理地对导 数的这种形式应用除法的 运算法则了。例如在我们应 用链导法时，已经不自觉使用了的一 样。

微分的四则运算法则。微分形式不变性。

进一步利用微分 与导数的这种比值形式的关系，就可以直截了当地从导数的运算法则得到相应的微分 的运算法 则，即直接在表达导数运算法则的恒等式的两边乘dx即可，因 为对于导数的这种作为两个微分的 比值的看法允许这么作：

（1） ，其中 c为任意常数。

（2） ，其中a和b是任意常数。

x f x x x

f x y

∆

−

∆

= +

∆

∆ ( ₀ ) ( ₀)

x x x

x f x f x x f

y= +∆ − = ∆ + ∆ ∆

∆ ( ) ( ) '( ) α( )

) ( ' )

( f x

x

x y −

∆

= ∆

∆

α ∆x→0

x x f

y≈ ∆

∆ '( )

∆x

x x f dy = '( )∆

x dx=∆

dx x f dy = '( )

) ( ' x dx f

dy =

dx c x c d

dy= ( ⋅ )= ⋅

) ( ) ( )]

( ) (

[au x bv x adu x bdv x

d

dy= + = +

Ｐａｇｅ　７　ｏｆ　９ 第三章

（4） ，（ 。

对于函数的自变量，我们知道还可以更进一步地看成是 另一个新的变量的函数，这样 就使得原来的函 数转变为一个复合函数，这是我们构造函 数或者 说理解函数结构的常用方法。那么因变量的微分是否与自 变量究竟是最终的自变量，还是仅仅只是一个中间变量有关呢？这里存在一个微分的基本性质，就是说微 分的形式是与变量在函 数里的地位没有关系的，这就是所谓微分的形式不变性。

我们可以通过运 用两个不同的途径来求一 个变量的微分而得到微分不 变性的一个说明。一是对于一 个 函数直接 运用微分的定义；二是把 这个函数的自 变量看成另一个新的变量的因变量，从而对于复合函数运 用 链 导 法 而 得 到 原 来 变 量 的 微 分 的 新 的 表 示 形 式，最 终 可 以 发 现 者 两 个 结 果 是 一 样 的。即 对 于 函 数

，直接根据微分的定 义，我们可以得到 y的微分表示为 ，而如果我们任意引入一

个新的函数 ，这样 就使得变量y成为了一 个新的复合函数的因 变量： ，对于这个复 合函数，我们仍然可以直接应用微分的定 义，得到 变量y的微分的表达式：

，

注意，这里的 是从导数的本来定义来理解的，暂时不能看成是 两个变量的微分的比值。

另外，变量y的这个复合函数的导数可以通 过链导法表示如下：

，

把这个导数的表达式代入上面的变量y的微分的表达式，可以得到

，

我们可以看到，其中包含了函数g的或者说变量x的微分的表达式，即 ，代入，我 们就

得到了和直接应用微分定 义所得到的，用 变量x表达的变量y的微分一样的形式： 。这就是 所谓的微分形式不变性。

微分不变性最为重要的意义就是说明了可以对于任意的 变量取微分，而 无论这个变量在还是中所处的 地位如何。

进一步，对于引入了中间变 量的链导 法，反函数求导法，参数方程的求导法，我们都可以在非常简单 的意义上来加以理解，即 总是可以把导数看成是两个不同变量的微分的比值，从而可以对于导数与微分应 用除法的 运算法 则。这就极大地简化了我们有关导数与微分的运算，加深了我 们对于导数与微分之间的关 系的理解。

基本微分公式。

基于基本函数的导数公式和微分形式的不变性，我们可以直接得到基本函数的微分公式，实际 上，也 就是把导数看成两个微分量的比 值，然后在导数公式的恒等式两边乘dx即可。我们列出如下，以便记忆：

) (

) ( ) ( ) ( ) ] (

) (

)

[ ( ₂

v x

x dv x u x v x du x

v x d u

dy= = −

) 0 ) (x ≠ v

) ( x f

y = dy= f'(x)dx

) (u g

x= y = f[g(u)]

du du dy = dy⋅

du dy

) ( ' ) ( ' x g u du f

dx dx dy du

dy = ⋅ =

du u g x f dudu

dy = dy = '( ) '( )

du u g dx= '( )

dx x f dy = '( )

（1） y =c

=0 dy

Ｐａｇｅ　８　ｏｆ　９ 第三章

考虑到我们前面讨论过的一 个结论，即在函 数里面，对于任何变量取微分总是有意义的，那么我们对于 上面的微分公式，可以有另一种观点，即把dx前面的表达式部分拿到微分号后面，就得到了变量y所代表 的函数。这种观点就是我们在后面要研究的积分的概念。

（2） y =x^a dy =ax^a−1⋅dx

（3） y =a^x dy =a^xlna⋅dx

（4） y =log_ax

adx dx x

x dy ^ae

ln log 1

=

=

（5） y =sinx dy =cosx⋅dx x

y =cos

dx x dy =−sin ⋅ tgx

y =

xdx dx

x

dy cos

sec² ⋅ = 1₂

= ctgx

y =

xdx dx

x

dy sin

csc² ⋅ =− 1₂

−

= x

y =sec

dx tgx x x

d

dy = )=sec ⋅ ⋅ cos

( 1

x y =csc

dx ctgx x dy =−csc ⋅ ⋅

（6） y =arcsinx

dx x

dy 2

1 1

= − x

y =arccos

dx x

dy 2

1 1

− −

= arctgx

y =

dx x

dy ₂

1 1

= + arcctgx

y =

dx x

dy ₂

1 1

− +

=

Ｐａｇｅ　９　ｏｆ　９ 第三章