勾股定理證明-G239

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勾股定理證明-G239

【作輔助圖】

1. 分別直角三角形ABC 的 AB 、 BC 及 AC 為邊向外作正三角形 BCD 、正三角形 ACE 及正三角形 ABF 。

2. 過 E 作 AC 垂直線交 AC 於G ，過 D 作 BC 垂直線交 BC 於 H 。 3. 連BE 交於 I 、連 AD 與 BC 交於 J 。

4. 連 BG 、AH 、 CF 。

A B

C D

E

F G

H

【求證過程】

先證明其中兩組三角形面積相等，也不難發現其中有兩組全等的三角形。再透過面積分割就可以得到大正三角形的面積會等於兩個小正三角形的面積和，推導出畢氏定理的關係式。

1. 先證明CIE與 BIG 面積相等，再同理可得 CDJ  AHJ： 因為 BC 平行於 GE (內錯角相等)，所以 EGC  EGB(同底等高), 因此

, CIE EGC EIG EGB EIG BIG

          

同理，因為 CA 平行於 DH ，所以

. CDJ AHJ

  

2. 不難發現 CAF 與 EAB 全等，同理可證 CBF 與 DBA 全等，以下我們給出證明：

因為

CA EA(正三角形邊長), 且

BA FA(正三角形邊長),

(2)

又

60 , CAF CAB

EAB

   

 

因此

CAF EAB

   (SAS 全等).

同理可證

. CBF DBA

  

3. 接著就可以推導面積關係式：

   

1 1

2 2

,

ABF ACF BCF ABC EAB DAB ABC

EAI ABG BIG BDJ ABH HAJ ABC EAI ABC EIC BDJ ABC CJD ABC EAI EIC DBJ DJC

ACE BCD

      

     

             

   

              

   

       

   

再透過相似形面積比為邊長平方比關係得

2 2 2

. AB  AC BC 此即為畢氏定理關係式。

【註與心得】

1. 來源：此證明是作者 Loomis 在 1900 年寫下的，使用了非正方形的其它多邊形。

收錄在Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第 239 號

2. 心得：這個證明用到了比較不易觀察到的特性，梯形的對角線兩側的三角形面積會均等。以及用了旋轉的想法來觀察三角形的全等。另外在同理可證的部分也可以供給學生當作練習。我想這些都是教學上很棒的材料。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。