中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書
排版\030422-封面
國中組 數學科
030422-封面
公正無私 -海盜分金幣的最佳平分解
學校名稱：嘉義市立民生國民中學
作者： 指導老師：
國二 林宥呈 國二 蔡博丞
蕭文彥 張仁澤
關鍵詞：梯形面積分割、遞迴數列
壹、研究動機
有一天，我們在看科學研習月刊56-9期，發現了「海盜分金幣」這個問題。說明如下：
海盜頭目想要犒賞他兩位手下，頭目把總數分別是一塊金幣、兩塊金幣、三塊金幣、四塊 金幣的四堆金幣放在同一條直線上的四個位置，相鄰的位置等距，兩位手下必須在討論後選擇 四個位置中的兩個位置，兩人分別可以得到距離自己較近的金幣，離兩人一樣近的金幣就平分，
若希望能夠分的最公平，兩人要站在哪裡？
我們做了文獻探討，發現在第58屆中小學科展博覽會國中組第一名也是以此當作他們研究 的問題，在理解他們的方法後，我們不斷思考有沒有更簡單的方法能夠解決這個問題，因此開 啟了這次的研究。
貳、研究目的
我們想深入探討兩名、三名、… 至k名海盜要如何分，才能使每人獲得的金幣數量最接近？
並找出這個問題的一般性解法，我們要解決的問題如下：
一、 在金幣以1、2、3、4、…、n排列時，兩位手下要如何分，才能使兩人的金幣數量最接近？
二、 在金幣以m、m+1、m+2、……、n排列時，兩位手下要如何分，才能使兩人的金幣數量 最接近？
三、 在金幣以m、m+1、m+2、……、n排列時，三位手下要如何分，才能使三人的金幣數量 最接近？
參、研究設備及器材
筆、紙、電腦、數學課本、Excel、GeoGebra、word
摘要
本作品從海盜分金幣的題目著手，探討金幣以 m、m+1、m+2、……、n 排列 時，哪裡是使金幣均分的最佳分割位置。我們從文獻探討，第 58 屆中小學科學 展覽國中組數學科第一名作品中出發，另外發展出以圖形化來找尋最佳分割位置 的方式，完成了兩人、三人分金幣的最佳分割位置，並獲得更為簡潔、具推廣性 的做法及結論。
此外，我們更從研究結果中獲得了一些令人訝異但尚未經證明的發現，期望 能於未來有更多的深入研究。
2
肆、研究過程與方法
研究一、在金幣以 1、2、3、4、…、n 排列時，兩位手下要如何分，才能使兩人 的金幣數量最接近？
一、釐清問題、尋找規律、文獻探討：
1. n=3 的情形。
兩人分別站在 3 和 2 差的會最少。
以紅色箭頭處分割
站在 3 的人可以拿到 3
站在 2 的人可以拿到 1+2=3，恰平分
2. n=4 的情形。
兩人分別站在 4 和 2 差的會最少。
以紅色箭頭處分割
站在 4 的人可以拿到 4+3
2=5.5 站在 2 的人可以拿到 1+2+3
2=4.5 3. n=5 的情形。
兩人分別站在 5 和 3 差的會最少。
以紅色箭頭處分割
站在 5 的人可以拿到 5+4
2= 7 站在 3 的人可以拿到 1+2+3+4
2= 8 4. n=6 的情形。
兩人分別站在 5 和 4；或是 6 和 3 差最少。
以紅色箭頭處分割
站在 5、6 的人可以拿到 5+6=11
站在 3、4 的人可以拿到 1+2+3+4=10
在找規律的過程中，會找到兩人的站位不同，但有相同分配結果的可能。
因此我們發現討論金幣的分割點(如上圖紅色箭頭)，比討論海盜的站位方式更具有效率。
(圖 2) (圖 1)
(圖 3)
(圖 4)
定義E(n)為金幣以 1～n 堆排列時，兩人分得金幣差最小的實驗分割點。
則我們逐一將n = 2、n = 3 …、n = 12的實驗結果紀錄如下：
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
實驗
分割點 1.5 2.5 3 4 4.5 5.5 6 6.5 7.5 8 9
最小差 1 0 1 1 1 2 0 3 1 2 3
在苦思不著規律的時候，我們開始進行文獻探討，才發現原來這個題目已經是第 58 屆中小 學科學展覽國中組的第一名作品：｢金金｣計較所研究的主題。
經過閱讀與探討，他們利用一元二次方程式的求解來解決這個問題，並在兩人分 m 堆金幣 的狀況獲得了一些發現與結論，整理如下：
1. 有 m 堆金幣時(1~m 個)，可利用𝑒0(𝑚) =−1+√1+8𝑚(𝑚+1)
4 = 𝑝 + α，(𝑝 ∈ ℕ，且0 ≤ α < 1) 來判斷分割點：
{
α = 0 時，將第𝑝袋平分，或切在𝑝與𝑝 + 1 之間 0 < 𝛼 < 0.5 時，切在𝑝與𝑝 + 1 之間
α = 0.5 時，將第𝑝 + 1 袋平分，或切在𝑝與𝑝 + 1 之間 0.5 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1 袋平分
。
2. (1) 可使兩人均分的堆數可以遞迴關係式表示：
{𝑚𝑛 = 2𝑚𝑛−1+ 𝑚𝑛−2+ 1 𝑚1 = 1, 𝑚2 = 3
(2) 存在兩種最佳解的堆數(即α = 0或 0.5)可以遞迴關係式表示：
{𝑚𝑛 = 6𝑚𝑛−1− 𝑚𝑛−2+ 2 𝑚1 = 2, 𝑚2= 14
但我們並不滿足於使用一元二次方程式求解得到的結論，總覺得這麼有規律的排列應該能有 更直觀的作法，而開啟了我們的研究。
我們發展出了直角三角形平移法、上下界逼近法來解決這個問題，其研究過程說明如下：
(表 1)
4 二、直角三角形平移法：
我們把金幣的數量實際畫出來，發現若將圖形思考成連續性的數字，則看起來像是個 直角三角形，而且這個直角三角形的面積恰好與金幣的數量相等。因此，我們若能找到直 角三角形的面積分割線，便能有效率的找出分金幣較佳的分割點，從而知道所有可能的站 位。
(圖 5)是以n = 7為例的示意圖，
此時我們以兩股分別為 7、8 的直角三角形 來模擬，其面積分割線如(圖 5)紅線。
依此發展我們的等面積分割點公式，
其說明與證明如下：
【公式 1】直角三角形等面積分割點：
設兩股分別為𝑛、𝑛 + 1的直角三角形面積為𝐴，△ADE=1
2△ 𝐴𝐵𝐶，
令𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐿1(𝑛)，則𝐿1(𝑛) =𝑛+1
√2
【證明】：
如圖，因∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴𝐷𝐸，
(1) 𝐷𝐸̅̅̅̅2: 𝐵𝐶̅̅̅̅2 = 1: 2 ⇒ 𝐷𝐸̅̅̅̅2: 𝑛2 = 1: 2
⇒ 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 𝑛
√2
(2) 𝐴𝐷̅̅̅̅2: 𝐴𝐵̅̅̅̅2 = 1: 2 ⇒ 𝐴𝐷̅̅̅̅2: (𝑛 + 1)2 = 1: 2
⇒ 𝐴𝐷̅̅̅̅ =𝑛 + 1
√2 = 𝐿1(𝑛)
為了能夠直觀理解計算結果的面積分割點，我們利用平移，採用與前作不同的判斷方式：
當計算結果恰為整數𝑝時，即表示第𝑝袋被平分，
當計算結果的恰為𝑝 +0.5 時，即表示要切在第𝑝袋與第𝑝 + 1袋之間(不平分)。
(圖 5)
A
n
𝐿1(𝑛)
n+1 B
C
E
D
(圖 6)
下圖為我們將(圖 5)放在直角坐標平面上的示意圖(圖 7)：
定義𝐿2(𝑛)為座標平面上直角三角形的等面積分割位置，如(圖 7)所示。
故以𝐿1(𝑛)作對應之直角三角形的等面積分割點𝐿2(𝑛) = 𝐿1(𝑛) − 0.5 於是我們以實驗分割點E(n)與面積分割點𝐿2(𝑛)作比較，結果如下表：
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
實驗 分割點
E(n)
1.5 2.5 3 4 4.5 5.5 6 6.5 7.5 8 9
面積 分割點
𝐿2(𝑛)
1.62132 2.328427 3.035534 3.742641 4.449747 5.156854 5.863961 6.571068 7.278175 7.985281 8.692388
n 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
實驗 分割點
E(n)
424.5 460 495.5 530.5 566 601.5 636.5 672 707.5
面積 分割點
𝐿2(𝑛)
424.4711 459.8265 495.1818 530.5371 565.8925 601.2478 636.6032 671.9585 707.3138
由(表 2)可知，面積分割點𝐿2(𝑛)與實驗分割點相近，但並沒有如我們預想的隨著𝑛變大而更加趨 近實驗結果，因此無法幫助我們精準的判斷適當的分割點位置。
(圖 7) 𝐿2(𝑛)
(表 2)
6
於是我們使用同時具有兩個最佳分割點的 n 來幫助我們作判斷。
Ex：
1. n = 14時，
𝑆10.5−1
2∑14𝑘=1𝑘 = 55 − 52.5 = 52.5 − 50 =1
2∑14𝑘=1𝑘− 𝑆10， 𝐸(14) = 10 或 10.5，此時𝐿2(14) ≈ 10.1066
2. n = 84時，
𝑆60−1
2∑84𝑘=1𝑘 = 1800 − 1785 = 1785 − 1700 =1
2∑84𝑘=1𝑘− 𝑆59.5， 𝐸(84) = 59.5 或 60，此時𝐿2(84) ≈ 59.6041
3. n = 492時，
𝑆348.5−1
2∑492𝑘=1𝑘= 60726 − 60639 = 60639 − 60552 =1
2∑492𝑘=1𝑘− 𝑆348， 𝐸(492) = 348 或 348.5，此時𝐿2(492) ≈ 348.1036
4. n = 2870時，
𝑆2030−1
2∑2870𝑘=1 𝑘 = 2060450 − 2059942.5
= 2059942.5 − 2059435 = 1
2∑2870𝑘=1 𝑘− 𝑆2029.5，
𝐸(2087) = 2029.5 或 2030，此時𝐿2(2870) ≈ 2029.6037 5. n = 16730時，
𝐸(16730) = 11830 或 11830.5，此時𝐿2(16730) ≈ 11830.10355 6. n = 97512時，
𝐸(97512) = 68951.5 或 68952，此時𝐿2(97512) ≈ 68951.60356 7. n = 568344時，
𝐸(568344) = 401880 或 401880.5，此時𝐿2(568344) ≈ 401880.10355 8. n = 3312554時，
𝐸(3312554) = 2342329.5 或 2342330，此時𝐿2(3312554) ≈ 2342329.60355
統整如下表：
n 14 84 492 2870 16730 97512 568344 3312554 實驗
分割 點 E(n)
10 或 10.5
59.5 或 60
348 或 348.5
2029.5 或 2030
11830 或 11830.5
68951.5 或 68952
401880 或 401880.5
2342329.5 或 2342330 𝐿2(𝑛)
小數 部分
0.1066 0.6041 0. 1036 0.6037 0.10355 0.60356 0.10355 0.60355
我們發現，若 n 同時具有兩個最佳分割點，𝐿2(𝑛)的小數部分趨近於某特定值
𝑡1 = 0.1035 與𝑡2 = 0.6035，其對應的理想值應為 0.25 與 0.75，公式與理想具有約0.1465的誤差！
接著我們使用文獻探討所得到的公式與我們的公式函數繪出，也確實看到了誤差。如下圖。
如上圖呈現，前作公式𝑒0(𝑛) =−1+√1+8𝑛(𝑛+1)
4 與我們所寫出的公式𝐿2(𝑛) =𝑛+1
√2 −1
2存在些微
的誤差，此誤差經過計算發現雖遞減，但卻始終存在。
(表 3)
(圖 8)
8
經過探究，我們找到了誤差的原因在於我們所畫出的直角三角形與實際的階梯圖形中，產生了 許多的小直角三角形，而我們高估了左側的面積、低估了右側的面積，導致最後的𝐿2(𝑛)比理想 值小。如下圖呈現：
而我們也在前作的公式𝑒0(𝑛)與𝐿2(𝑛)的比較中獲得了印證，得證 0.1465 的誤差即為1
2−√2
4的 近似值，其說明與證明如下：
三角形面積分割點與前作公式𝑒0(𝑛)的誤差
【公式二】
𝑒0(𝑛) − 𝐿2(𝑛) ≈ 0.1465 ≈1 2−√2
4
【證明】
𝑒0(𝑛) − 𝐿2(𝑛) = √1 + 8𝑛(𝑛 + 1)
4 − (𝑛 + 1
√2 −1 2)
= √1 + 8𝑛(𝑛 + 1)
4 −√2(𝑛 + 1) − 1
2 =√1 + 8𝑛(𝑛 + 1) − 2√2(𝑛 + 1)
4 +1
2 因此當𝑛趨近於無窮大時，
lim𝑛→∞(𝑒0(𝑛) − 𝐿2(𝑛)) = lim
𝑛→∞(√1+8𝑛(𝑛+1)−2√2(𝑛+1)
4 +1
2)= lim
𝑛→∞(1+8𝑛(𝑛+1)−(2√2(𝑛+1))2 4(√1+8𝑛(𝑛+1)+2√2(𝑛+1))+1
2)
=lim
𝑛→∞((8𝑛2+8𝑛+1)−(8𝑛2+16𝑛+8)
4(√1+8𝑛(𝑛+1)+(2√2(𝑛+1))+1
2) = lim
𝑛→∞( −8𝑛−7
4(√1+8𝑛(𝑛+1)+(2√2(𝑛+1))+1
2) = lim
𝑛→∞(
−8𝑛 𝑛 −𝑛7 4(√1
𝑛2+8𝑛(𝑛+1)
𝑛2 +2√2(𝑛+1)𝑛 )
+1
2) = −8
4(√8+2√2)+1
2=1
2−√2
4 得證。
(圖 9)
故取𝑒(𝑛) = 𝐿2(𝑛) + (12−√2
4) =𝑛+1
√2 −√2
4 = 2𝑛+1
2√2，並令𝑒(𝑛) = 𝑍 + α，𝑍 ∈ Ν, 0 ≤ α < 1
因此，我們可以藉由𝐿2(𝑛)的誤差調整得到𝑒(𝑛)，再利用𝑒(𝑛)所計算之𝑍 + α來判斷分割點𝐸(𝑛)：
(1) 若0 ≤ α ≤ 0.25，𝐸(𝑛) = 𝑍
例如：兩人分 21 堆金幣，𝑒(21) ≈ 15.2028，故分割點在 15 上，其中一人拿𝑆14+15
2 = 112.5，
另一人拿 118.5 差距最小。
(2) 若0.25 ≤ α ≤ 0.75，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 0.5
例如：兩人分 33 堆金幣，𝑒(33) ≈ 23.6881，故分割點在 23.5 上，其中一人拿𝑆23 = 276，
另一人拿285差距最小。
(3) 若0.75 ≤ α < 1，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 1
例如：兩人分 46 堆金幣，𝑒(46) ≈ 32.8805，故分割點在 33 上，其中一人拿𝑆32+33
2 = 544.5，
另一人拿536.5差距最小。
三、上下界逼近法：
當我們發現使用三角形面積切割法所算出的分割點低估了理想值𝑒(𝑛)位置後，接著就發展 出了上下界逼近法來解決這個問題：
如右圖，以𝑛 = 7為例，
(1) 若以線段 L(點(−1
2, 0)與點(71
2, 7))為斜邊所圍成 之直角三角形計算其面積切割線，計算之結果將 低估理想值𝑒(𝑛)。
(2) 若以線段 U(點(1
2, 0)與點(71
2, 8))為斜邊所圍成 之直角三角形計算其面積切割線，計算之結果將 高估理想值𝑒(𝑛)。
故我們可知理想值𝑒(𝑛)必介於 𝐿2(𝑛) =𝑛+1
√2 −1
2、𝑈2(𝑛) = 𝑛
√2+1
2之間，
我們找出了理想值𝑒(𝑛)逼近法公式的另一種證明方式如下：
(圖 10)
(圖 10)
10
【公式三】
𝑛→∞lim𝑒(𝑛) = 2𝑛 + 1 2√2 =1
2(𝑈2(𝑛) + 𝐿2(𝑛))
【證明】
𝑈2(𝑛) − 𝐿2(𝑛) = 1 − 1
√2= 1 −√2
2 = 2 (1 2−√2
4 ) = 2(𝑒(𝑛) − 𝐿2(𝑛)) ⇒ 𝑒(𝑛) − 𝐿2(𝑛) = 𝑈2(𝑛) − 𝑒(𝑛) =12(𝑈2(𝑛) − 𝐿2(𝑛)) = 1 − 1
√2 因此當𝑛相當大時， lim
𝑛→∞𝑒(𝑛) =1
2(𝑈2(𝑛) + 𝐿2(𝑛)) =1
2(𝑛+1
√2 −1
2+ 𝑛
√2+1
2) =2𝑛+1
2√2得證。
實際計算驗證，我們也發現公式確實能夠幫助我們判斷實驗分割點的位置，統整如下表：
研究二、在金幣以 m、m+1、m+2、…、n 排列時，兩位手下要如何分，才能使 兩人的金幣數量最接近？
在研究一時，確認我們將階梯以三角形來逼近的作法可 行以後，我們開啟了第一堆金幣不為 1 的研究，並探討 一般化的狀況，在金幣以𝑚、𝑚 + 1、
𝑚 + 2、…、𝑛排列時，最佳的分割點所在位置：
首先，我們嘗試使用上下界逼近法來解決這個問題，
我們畫出了 L、U 兩條線段，其圍成的梯形面積亦恰與
所求的階梯面積相同，其示意圖如下：
顯然，𝐿因高估左側面積、低估右側面積，
故其面積切割線較實驗分割點偏左，𝐿(𝑚, 𝑛) < 𝐸(𝑚, 𝑛) 同理，𝑈因高估右側面積、低估左側面積，
故其面積切割線較實驗分割點偏右，𝑈(𝑚, 𝑛) > 𝐸(𝑚, 𝑛)
n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
𝑒2(𝑛) 理想值
分割點 35.709 71.064 106.420 141.775 177.130 212.486 247.841 283.196 318.552 353.907
E(n) 實驗
分割點 35.5 71 106.5 142 177 212.5 248 283 318.5 354
(圖 11) (表 4)
故我們可以利用𝑈(𝑚, 𝑛)、𝐿(𝑚, 𝑛)找到實驗分割點的 可能範圍。
但我們經過觀察，從圖形中發現了更好的模擬方式，
其圖形如右：
如此的面積模擬方式有以下優點：
1. 模擬的梯形面積依然與階梯的面積相同。
2. 可使斜線的斜率為 1，降低計算的複雜程度。
3. 能夠使面積分割點與實驗分割點有重疊的可能 因此我們發展了關於金幣以𝑚、𝑚 + 1、𝑚 + 2、…、𝑛 排列時，兩人分金幣的公式。
其結果以及證明過程如下：
【公式四】𝑚、𝑚 + 1、𝑚 + 2、…、𝑛排列時，
梯形面積切割線公式 k = 1−2m+√2𝑚2−2𝑚+2𝑛+2𝑛2+1
2
【證明】
(𝑚−0.5+𝑛+0.5)×(𝑛−𝑚+1)
2
×
12
=
[(𝑚−0.5)+(𝑘+𝑚−0.5)]×𝑘 2⇒ (𝑚 + 𝑛)(𝑛 − 𝑚 + 1) = (2m + k − 1) × k × 2
∴ k = 2 × (1 − 2m) + √4 × (1 − 2𝑚)2− 8 × (𝑚2− 𝑚 − 𝑛 − 𝑛2) 4
∴ k = 1 − 2m + √2𝑚2− 2𝑚 + 2𝑛 + 2𝑛2+ 1 2
接著我們代入不同的值也驗證了我們的公式確實能精確的找到最佳分割點：
(1) m=2
m 2 2 2 2 2 2 2 2
n 9 55 131 360 642 1749 2293 3324 公式
分割點 6.80073 39.25876 92.99059 254.9142 454.3173 1237.084 1621.749 2350.777 實驗
分割點 7 39.5 93 255 454.5 1237 1621.5 2351 (圖 12)
(表 5)
12
(2) m=3
m 3 3 3 3 3 3 3 3
n 15 91 218 713 1315 1748 2658 3542 公式
分割點 11.1018 64.7244 154.512 504.523 930.200 1236.37 1879.84 2504.92 實驗
分割點 11 64.5 154.5 504.5 930 1236.5 1880 2505
(3) m=4
m 4 4 4 4 4 4 4 4
n 47 343 549 1026 1428 2197 2738 3425 公式
分割點 33.6786 242.903 388.563 725.849 1010.10 1553.86 1936.41 2422.19 實驗
分割點 33.5 243 388.5 726 1010 1554 1936.5 2422
(4) m=5
m 5 5 5 5 5 5 5 5
n 75 243 969 1536 2036 2654 3409 5619 公式
分割點 53.4813 172.209 685.547 1086.47 1440.02 1877.01 2410.88 3973.58 實驗
分割點 53.5 172 685.5 1086.5 1440 1877 2411 3973.5
由上表可知，公式分割點k(𝑚, 𝑛)與實驗分割點相近，也驗證了我們確實可以利用公式分割點來 判斷實驗分割點。我們將獲得的與結論整理如下：
有 n-m＋1 堆金幣時(m~n 個)，可利用k(𝑚, 𝑛) =1−2m+√2𝑚2−2𝑚+2𝑛+2𝑛2+1
2 = 𝒑 + 𝛂，
(𝑝 ∈ ℕ，且0 ≤ α < 1)來判斷分割點：
{
0 ≤ α < 0.25 時，將第𝑝袋平分 0.25 < 𝛼 < 0.75 時，切在𝑝與𝑝 + 1 之間
0.75 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1 袋平分
若𝛼 = 0.25，則”將第𝑝袋平分” 與 “切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 均為最佳平分解 若𝛼 = 0.75，則“切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 與 ”將第𝑝 + 1 袋平分” 均為最佳平分解
(表 6)
(表 7)
(表 8)
其說明如下：
(1) 若0 ≤ α ≤ 0.25，𝐸(𝑚, 𝑛) = 𝑝
例如：兩人分第 3 堆到第 1315 堆金幣，k(3,1315) ≈ 930.20065，
距離可分割點 930 最近，故判斷分割點𝐸(3,1315) = 930，
其中一人拿3 + 4 + ⋯ 929 +930
2 = 431982，另一人拿930
2 + 931 + 932 + ⋯ + 1315 = 432820時，
差距最小。
(2) 若0.25 ≤ α ≤ 0.75，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 0.5
例如：兩人分第 2 堆到第 642 堆金幣，𝑘(2,642) ≈ 454.3173，
距離可分割點 454.5 最近，故判斷分割點𝐸(2,642) = 454.5，
其中一人拿1 + 2 + ⋯ + 454 = 103284，另一人拿455 + 456 + ⋯ + 642 = 103118時，差距最小。
(3) 若0.75 ≤ α < 1，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 1
例如：兩人分第 4 堆到第 343 堆金幣，𝑘(4,343) ≈ 242.9038，
距離可分割點 243 最近，故判斷分割點𝐸(4,343) = 243，
其中一人拿4 + 5 + ⋯ + 242 +243
2 = 29764.5，另一人拿243
2 + 244 + 245 + ⋯ 343 = 29471.5時，
差距最小。
接著，我們找到了 m、n 能被平分的點來做觀察，獲得了令人訝異的發現：
(表 9) (表 10)
(表 11)
(表 12)
(表 13)
14
在表 9～表 18 中，我們獲得了五個發現，部分尚無法獲得證明，分項條列如下：
【發現 1】：固定𝑚，當可完全平分之𝑛值呈等差數列時，實驗分割點恰有一組(某堆平分、某堆 不平分、某堆平分)解亦成等差數列。
【說明】
(1)m=2 時，分別取 n 值為 5、10、15，其實驗分割點分別為 4、7.5、11，為一等差數列。
(2) m=3 時，分別取 n 值為 73、102、131，其實驗分割點分別為 52、72.5、93，
為一等差數列。
(3) m=4 時，分別取 n 值為 667、836、1005，其實驗分割點分別為 472、591.5、711，為 一等差數列。
(4) m=5 時，分別取 n 值為 906、1075、1244，其實驗分割點分別為 641、760.5、880，
為一等差數列。
(表 14) (表 15)
(表 16)
(表 17)
(表 18)
【發現 2】：對任意𝑚 ≥ 2之正整數，均分別有一組 3 項之等差數列，公差滿足遞迴關係式 { 𝑎1 = 5、𝑎2 = 29
𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2的可完全平分𝑛值。（稱為等差組解）
【說明】
(1) 以𝑚 = 2為例，存在可平分之𝑛值為 5、10、15，為公差 5 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 32、61、90，為公差 29 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 189、358、527，為公差 169 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 1104、2089、3064，為公差 985 之等差數列
(2) 以𝑚 = 3為例，存在可平分之𝑛值為 12、17、22，為公差 5 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 73、102、131，為公差 29 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 428、597、766，為公差 169 之等差數列 亦存在可平分之𝑛值 2497、3482、4467，為公差 985 之等差數列 同樣的規律亦發生在任意𝑚 ≥ 2之正整數。
且 5、29、169、985…為一滿足遞迴數列：{ 𝑎1 = 5、𝑎2= 29 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。
亦即，以𝑚 = 2為例，接著能找到三項公差為𝑎5 = 6 × 985 − 169 = 5741之等差數 列(𝑛 = 6437、12178、17919)。
【發現 3】：承發現 2，對任意𝑚 ≥ 2之正整數，其等差組解的距離，亦滿足遞迴關係 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2
【說明】
(1) 以𝑚 = 2為例，第一組等差組解為(5,10,15)、第二組等差組解為(32,61,90)、
第三組等差組解為(189,358,527)、第四組等差組解為(1104,2089,3064)，
兩等差組之間的距離我們定義為（後組的首項）－（前組的末項）。
故𝑚 = 2時，等差組距形成的數列為{17,99,577,3363, … }，此數列滿足遞迴關係 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。（起始項為𝑎1 = 17, 𝑎2 = 99）
(2) 同理，在𝑚為其他≥ 2之正整數時，亦可藉由遞迴關係𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2找到下一組 等差組解，僅僅起始項不同。
16
【發現 4】：對任意𝑚 ≥ 2之正整數，其第一組等差組解中的每一項，分別對應為公差 7 的等差 數列。其第二組等差組解中的每一項，分別對應為公差 41 的等差數列。其第三組等差 組解中的每一項，分別對應為公差 239 的等差數列…。其公差數列{7,41,239, … }亦滿足 遞迴關係式𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。
【說明】
(1) 𝑚 = 2、3、4、5…之第一組等差組解的第一項分別為{5,12,19,26 … }，恰為等差數 列，公差 7。
(2) 𝑚 = 2、3、4、5…之第二組等差組解的第一項分別為{32,73,114,155 … }，恰為等差 數列，公差 41。
(3) 𝑚 = 2、3、4、5…之第三組等差組解的第一項分別為{189,428,667,906 … }，恰為等 差數列，公差 239。
(4) 公差數列{7,41,239, … }滿足遞迴關係式𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。(起始項𝑎1 = 7, 𝑎2 = 41)
【證明 4-1】
當 m 為已知數時，n=7m-9，實驗分割點 e(n)=5m-6 (1) 當 m=2 時⇒ n = 5，e(n) = 4
2+3+4
2 = 7 =4
2+ 5, ⇒ 成立
(2) 設 m=k 時，n=7*k-9=7k-9，e(n)=5*k-6=5k-6，成立 則k + (𝑘 + 1) + ⋯ ⋯ (5𝑘 − 8) + (5𝑘 − 7) +5𝑘−6
2 = 5𝑘−6
2 + (5𝑘 − 5) + ⋯ + (7𝑘 − 9) (3) 承(2)，則當 m=k+1 時⇒n=7× (𝑘 + 1)-9=7k-2，e(n)=5× (𝑘 + 1)-6=5k-1
(5𝑘 − 5) + (5𝑘 − 4) + ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 9) − 𝑘 + (5𝑘 − 6) + (5𝑘 − 5) + ⋯ ⋯ (5𝑘 − 2) +5𝑘 − 1
2
=[(5𝑘 − 5) + (5𝑘 − 4) + ⋯ ⋯ + (5𝑘 − 1)] + [5k + ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 9) +5𝑘−1
2 ] − 𝑘 + [(5𝑘 − 6) + ⋯ ⋯ + (5𝑘 − 2)]
令[5k + ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 9) +5𝑘−1
2 ] = 𝑎
=25k − 15 + a + 24k − 20 = 49k − 35 + b…
5𝑘 − 1
2 + 5𝑘 + (5𝑘 + 1) + ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 2) = [5𝑘 − 1
2 + 5k + (5𝑘 + 1) ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 9)]
+[(7𝑘 − 8) + (7𝑘 − 7) ⋯ ⋯ + (7𝑘 − 2)] = 𝑏 + 49𝑘 − 35 = 49𝑘 − 35 + 𝑏 …
∵= ∴ 得證
故當 m 為已知數時⇒ n = 7m − 9，實驗分割點 e(n) = 5m − 6 成立
【證明 4-2】
當 m 為已知數時，n = 41m − 50，實驗分割點e(n) = 29m − 35 (1) 當m = 2時⇒ n = 41 × 2 − 50 = 32，e(n) = 29 × 2 − 35 = 23
2 + 3 + ⋯ ⋯ + 22 +23
2 = 263.5 =23
2 + 24 + ⋯ ⋯ + 32 ⇒ 成立
(2) 設 m=k 時，n = 41 × k − 50 = 41k − 50，e(n) = 29 × k − 35 = 29k − 35，成立 則 k+(𝑘 + 1) + ⋯ ⋯ (29𝑘 − 37) + (29𝑘 − 36) +29𝑘−35
2 = 29𝑘−35
2 + (29𝑘 − 34) +
⋯ ⋯ + (41𝑘 − 50)
(3) 承(2)，則當m = k + 1時⇒ n = 41 × (k + 1) − 50 = 41k − 9，e(n) = 29 × (k + 1) − 35 = 29k − 6
(29𝑘 − 34) + (29𝑘 − 33) + ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 50) − 𝑘 + (29𝑘 − 35) + (29𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ + (29𝑘 − 7) +29𝑘 − 6
2
=[(29𝑘 − 34) + (29𝑘 − 33) + ⋯ ⋯ + (29𝑘 − 6)] + [(29𝑘 − 5) + ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 50) +29𝑘−6
2 ] − 𝑘 + [(29𝑘 − 35) + (29𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ (29𝑘 − 7)]
令[(29𝑘 − 5) + ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 50) +29𝑘−6
2 ] = 𝑎
=841k − 580 + a + 840k − 609 = 1681k − 1189 + a…
29𝑘 − 6
2 + (29𝑘 − 5) + ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 9)
= [29𝑘 − 6
2 + (29𝑘 − 5) ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 50)]
+[(41𝑘 − 49) + (41𝑘 − 48) ⋯ ⋯ + (41𝑘 − 9)] = 𝑎 + 1681𝑘 − 1189
= 1681𝑘 − 1189 + 𝑎 …
∵= ∴ 得證
故當 m 為已知數時⇒ n = 41m − 50，實驗分割點 e(n) = 29m − 35 成立
【證明 4-3】
當 m 為已知數時，n = 239m − 289，實驗分割點e(n) = 169m − 204 (1) 當 m=2 時⇒ n = 239 × 2 − 289 = 189，e(n) = 169 × 2 − 204 = 134
2 + 3 + ⋯ ⋯ + 133 +134
2 = 8977 =134
2 + 135 + ⋯ ⋯ + 189 ⇒ 成立
18
(2) 設 m=k 時，n=239×k-289=239k-289，e(n)=169×k-204=169k-204，成立 則 k+(𝑘 + 1) + ⋯ ⋯ (169𝑘 − 202) + (169𝑘 − 203) +169𝑘−204
2 =169𝑘−204
2 +
(169𝑘 − 205) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 289)
(3) 承(2)，則當m = k + 1時⇒ n = 239 × (k + 1) − 289 = 239k − 50，e(n) = 169 × (k + 1) − 204 = 169k − 35
(169𝑘 − 203) + (169𝑘 − 202) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 289) − 𝑘 + (169𝑘 − 204) + (169𝑘 − 203) + ⋯ ⋯ + (169𝑘 − 36) +169𝑘 − 35
2
= [(169𝑘 − 203) + (169𝑘 − 202) + ⋯ ⋯ + (169𝑘 − 35)]
+ [(169𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 289) +169𝑘 − 35 2 ] − 𝑘 + [(169𝑘 − 204) + (169𝑘 − 203) + ⋯ ⋯ (169𝑘 − 36)]
令[(169𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 289) +169𝑘−35
2 ] = 𝑎
=28561k − 20111 + a + 28560k − 20280 = 57121k − 40391 + a…
169𝑘 − 35
2 + (169𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 50)
= [(169𝑘 − 34) + ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 289) +169𝑘 − 35 2 ]
+[(239𝑘 − 288) + (239𝑘 − 287) ⋯ ⋯ + (239𝑘 − 50)] = 𝑎 + 57121𝑘 − 40391
= 57121k − 40391 + a …
∵= ∴ 得證
故當 m 為已知數時⇒ n = 239m − 289，實驗分割點e(n) = 169m − 204 成立
【發現 5】：等差組解不一定為所有可平分之𝒏值，常有非等差組解交錯於其中，非等差組解存 在滿足遞迴關係式𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2之組內距離。
【說明】
(1) 𝑚 = 4時，存在非等差組解：第一組(8,11)、第二組(51,68)、第三組(300,399)、
第四組(1751,2328)，其各組內距離所形成的數列{3,17,99,577 … }滿足遞迴關係式 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。(起始項𝑎1 = 3, 𝑎2 = 17)
(2) 𝑚 = 6時，存在非等差組解：第一組11,20)、第二組(70,121)、第三組(411,708)、
第四組(2398,4129)，其各組內距離所形成的數列{9,51,297,1731 … }滿足遞迴關係式 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。(起始項𝑎1 = 9, 𝑎2 = 51)
研究三、在金幣以 m、m+1、m+2、…、n 排列時，三位手下要如何分，才能使三 人的金幣數量最接近？
由研究二中，我們發展出較佳的面積模擬方式，如下圖，並依此方法進行研究三，討論三位手 下分 m、m+1、m+2、…、n 等 n－m＋1 堆金幣的問題。
並推導了三人分金幣之公式如下：
定義D1(m, n)為座標平面上梯形的三等分面積分割位置中的第一分割位置。
定義D2(m, n)為座標平面上梯形的三等分面積分割位置中的第二分割位置。 如(圖 13)所示。
【公式五】：D1(m, n) =√24m2−24m+12n+12n2+9 6
【證明】：
(𝑚 − 0.5 + 𝑛 + 0.5) × (𝑛 − 𝑚 + 1)
2 ×1
3＝[(𝑚 − 0.5) + (𝑟 + 𝑚 − 0.5)] × 𝑟 2
⇒ (𝑚 − 0.5 + 𝑛 + 0.5) × (𝑛 − 𝑚 + 1) = 3r(2m + r − 1)
⇒ 3𝑟2+ 3(2𝑚 − 1)𝑟 − (𝑚 + 𝑛) × (𝑛 − 𝑚 + 1) = 0
⇒ r =−3 × (2m − 1) + √9 × (2𝑚 − 1)2 − 12 × (𝑚2− 𝑚 − 𝑛 − 𝑛2) 2×3
⇒ r =−6m+3+√24m2−24m+12n+12n2+9 6
可知 D1(m, n) = r + m − 0.5 =√24m2−24m+12n+12n2+9 6
【公式六】：D2(m, n) =√12m2−12m+24n2+24n+9
6
【證明】：
(𝑚 − 0.5 + 𝑛 + 0.5) × (𝑛 − 𝑚 + 1)
2 ×2
3＝[(𝑚 − 0.5) + (𝑡 + 𝑚 − 0.5)] × 𝑡 2
⇒ 2(𝑚 − 0.5 + 𝑛 + 0.5) × (𝑛 − 𝑚 + 1) = 3t(2m + t − 1)
⇒ 3𝑡2 + 3(2𝑚 − 1)𝑡 − 2(𝑚 + 𝑛) × (𝑛 − 𝑚 + 1) = 0
⇒ t =−(6m − 3) + √(6m − 3)2+ 24(−m2+ m + n + n2) 6
⇒ t =−6m+3+√12m2−12m+24n2+24n+9
6 可知 D2(m, n) = t + m − 0.5 =√12m2−12m+24n2+24n+9
6
(圖 13)
20
接著我們代入不同的值也驗證了我們的公式確實能精確的找到最佳分割點：
(1) m=1
m 1 1 1 1 1 1 1 1
n 10 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 6.075909 29.15905 86.89217 173.4942 288.9641 433.3016 577.6391 693.1091
實驗
第 1 分割點 6 29 87 173.5 289 433.5 577.5 693
公式
第 2 分割點 8.578073 41.23409 122.8831 245.3574 408.6566 612.7808 816.9049 980.2042
實驗
第 2 分割點 8.5 41 123 245.5 408.5 613 817 980
(2) m=3
m 3 3 3 3 3 3 3 3
n 10 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 6.396614 29.22756 86.91519 173.5058 288.971 433.3062 577.6426 693.112
實驗
第 1 分割點 6.5 29 87 173.5 289 433.5 577.5 693
公式
第 2 分割點 8.693868 41.25833 122.8912 245.3615 408.6591 612.7824 816.9061 980.2052
實驗
第 2 分割點 8.5 41.5 123 245.5
408.5 613 817 980
(3) m=5
m 5 5 5 5 5 5 5 5
n 10 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 7.088723 29.38679 86.96886 173.5327 288.9872 433.317 577.6506 693.1187
實驗
第 1 分割點 7 29.5 87 173.5 289 433.5 577.5 693
公式
第 2 分割點 8.958236 41.31485 122.9102 245.371 408.6648 612.7862 816.909 980.2076
實驗
第 2 分割點 9 41.5 123 245.5 408.5 613 817 980
(表 19)
(表 20)
(表 21)
(4) m=7
m 7 7 7 7 7 7 7 7
n 10 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 8.057088 29.63528 87.05314 173.5749 289.0125 433.3339 577.6633 693.1293
實驗
第 1 分割點 8 29.5 87 173.5 289 433.5 577.5 693
公式
第 2 分割點 9.358597 41.4035 122.94 245.3859 408.6738 612.7922 816.9134 980.2113
實驗
第 2 分割點 9.5 41.5 123 245.5 408.5 613 817 980
(5) m=10
m 10 10 10 10 10 10 10 10
n 20 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 14.15097 30.17035 87.23675 173.6671 289.0679 433.3708 577.691 693.1524
實驗
第 1 分割點 14 30 87 173.5 289 433.5 577.5 693
公式
第 2 分割點 17.61391 41.59627 123.0051 245.4185 408.6933 612.8052 816.9232 980.2195
實驗
第 2 分割點 17.5 41.5 123 245.5 408.5 613 817 980
(6) m=15
m 15 15 15 15 15 15 15 15
n 20 50 150 300 500 750 1000 1200
公式
第 1 分割點 16.74067 31.46824 87.69407 173.8972 289.2062 433.4631 577.7603 693.2101
實驗
第 1 分割點 16.5 31.5 87.5 174 289 433.5 578 693
公式
第 2 分割點 18.71497 42.07434 123.1676 245.5 408.7423 612.8379 816.9477 980.2399
實驗
第 2 分割點 18.5 42 123 245.5 408.5 613 817 980
(表 22)
(表 23)
(表 24)
22 由上表可知我們能使用
切點 1 公式：D1(m, n) =√24m2−24m+12n+12n2+9
6 = 𝑝1+ α1，(𝑝1 ∈ ℕ，且0 ≤ α1 < 1) 切點 2 公式：D2(m, n) =√12m2−12m+24n6 2+24n+9= 𝑝2+ α2，(𝑝2 ∈ ℕ，且0 ≤ α2 < 1)
並驗證可使用α來判斷切點：{
0 ≤ α < 0.25 時，將第𝑝袋平分 0.25 < 𝛼 < 0.75 時，切在𝑝與𝑝 + 1 之間
0.75 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1 袋平分 若𝛼 = 0.25，則”將第𝑝袋平分” 與 “切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 均為最佳平分解 若𝛼 = 0.75，則“切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 與 ”將第𝑝 + 1 袋平分” 均為最佳平分解
此結論較前作討論標準差要簡單的多，也擁有能夠往 4 人以上金幣的最佳分割點的推廣與發展 可能。
伍、研究結果與結論
一、 我們使用三角形面積分割法完成兩人分1~n堆金幣分割點公式：
𝑒(𝑛) =𝟐𝒏+𝟏
𝟐√𝟐 = 𝑍 + α，𝑍 ∈ Ν, 0 ≤ α < 1 並利用α來判斷分割點：
(1) 若0 ≤ α ≤ 0.25，𝐸(𝑛) = 𝑍
例如：兩人分 21 堆金幣，𝑒(21) ≈ 15.2028，
故分割點在 15 上，其中一人拿𝑆14+15
2 = 112.5，另一人拿 118.5 差距最小。
(2) 若0.25 < α < 0.75，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 0.5
例如：兩人分 33 堆金幣，𝑒(33) ≈ 23.6881，
故分割點在 23.5 上，其中一人拿𝑆23= 276，另一人拿285差距最小。
(3) 若0.75 ≤ α < 1，𝐸(𝑛) = 𝑍 + 1
例如：兩人分 46 堆金幣，𝑒(46) ≈ 32.8805，
故分割點在 33 上，其中一人拿𝑆32+33
2 = 544.5，另一人拿536.5差距最小。
二、兩人分1~n堆金幣時，我們發現並證明L(𝑛) < 𝑒(𝑛) < U(𝑛)，且 𝑒(𝑛) =1
2(L(𝑛) + U(𝑛)) =𝟐𝒏+𝟏
𝟐√𝟐，從而獲得逼近𝑒(𝑛)的另一種方法。
三、在兩人分m~n堆金幣的狀況中，我們使用梯形模擬階梯面積，得到分割點公式：
k(𝑚, 𝑛) =1−2m+√2𝑚2−2𝑚+2𝑛+2𝑛2+1
2 = 𝑝 + α，(𝑝 ∈ ℕ，且0 ≤ α < 1)
並驗證可使用α來判斷分割點：{
0 ≤ α < 0.25 時，將第𝑝袋平分 0.25 < 𝛼 < 0.75 時，切在𝑝與𝑝 + 1 之間
0.75 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1 袋平分 若𝛼 = 0.25，則”將第𝑝袋平分” 與 “切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 均為最佳平分解 若𝛼 = 0.75，則“切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 與 ”將第𝑝 + 1 袋平分” 均為最佳平分解
四、 在兩人分m~n堆金幣的可完全平分的狀況中，我們獲得了 5 個發現，但部分仍尚待論證：
(1) 固定𝑚，當可完全平分之𝑛值呈等差數列時，實驗分割點恰有一組(某堆平分、某堆不平 分、某堆平分)解亦成等差數列。
(2)對任意𝑚 ≥ 2之正整數，均分別有一組 3 項之等差數列，公差滿足遞迴關係式 { 𝑎1 = 5、𝑎2 = 29
𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2的可完全平分𝑛值。（稱為等差組解）
(3)對任意𝑚 ≥ 2之正整數，其等差組解的距離，亦滿足遞迴關係𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2
(4) 對任意𝑚 ≥ 2之正整數，其第一組等差組解中的每一項，分別對應為公差 7 的等差數列。
其第二組等差組解中的每一項，分別對應為公差 41 的等差數列。其第三組等差組解中 的每一項，分別對應為公差 239 的等差數列…。其公差數列{7,41,239, … }亦滿足遞迴關 係式𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2。
(5) 等差組解不一定為所有可平分之𝑛值，常有非等差組解交錯於其中，非等差組解存在滿 足遞迴關係式𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2之組內距離。
五、在三人分m~n堆金幣的狀況中，我們使用梯形模擬階梯面積，得到切點公式：
第一分割點公式：D1(m, n) =√24m2−24m+12n+12n2+9
6 = 𝑝1+ α1，(𝑝1 ∈ ℕ，且0 ≤ α1 < 1) 第二分割點公式：D2(m, n) =√12m2−12m+24n2+24n+9
6 = 𝑝2+ α2，(𝑝2 ∈ ℕ，且0 ≤ α2 < 1)
並驗證可使用α來判斷切點：{
0 ≤ α < 0.25 時，將第𝑝袋平分 0.25 < 𝛼 < 0.75 時，切在𝑝與𝑝 + 1 之間
0.75 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1 袋平分 若𝛼 = 0.25，則”將第𝑝袋平分” 與 “切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 均為最佳平分解 若𝛼 = 0.75，則“切在𝑝與𝑝 + 1 之間” 與 ”將第𝑝 + 1 袋平分” 均為最佳平分解
24
陸、討論與未來展望
一、希望能在研究二的五個發現中獲得論證，並解開在可完全平分點中滿足遞迴關係式 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2的秘密。
二、能在三人、四人…乃至於一般化 k 人分金幣找到最佳分割點的方式。
三、未來亦希望能發展公差≠1 的等差數列金幣數，分割點的調整與探討。甚至延伸至金幣數為 其他數列的最佳分割點。
柒、參考文獻
1、游森棚(2017)森棚教官的數學題，科學研習月刊 56-9 期。
2、「金金計較」中華民國第五十八屆中小學科學展覽國中組數學科參展作品。
3、OEIS 數列網 https://oeis.org/A001541
A001541 𝑎0 = 1 、 𝑎1 = 3; for n > 1, 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1− 𝑎𝑛−2
【評語】 030422
這是在數學月刊中所給出的一個問題。問題非常的有趣。在 先前的科展中，也曾經有作品針對這個問題作了分析。在本作品 中，作者們試圖透過更直觀的面積的等分的角度來處理這樣的一 個問題，想法頗為有趣，值得嘉許。原始的問題當然可以藉由這 樣的方式來想像，就如同我們可以把連續正整數的和跟梯形面積 的計算做連結一樣，但是當所考慮的是離散的個數和時，用三角 形或梯形的面積的觀點來看與真實的問題當然就會有著落差。作 者們所給的較為精簡的、或是更進一步調整後所得出的分割點的 位置的計算式其實是精確的式子取極限的結果。表示式確實比原 本的式子精簡，但要說明當計算所得出的數字並非整數，此時該 做怎麼樣的選擇這一部份可能就會有些困難。後半部關於各堆金 幣的金額為 m，m+1，…，n，以及三人分金幣的討論大部分都是 根據計算所觀察到的現象來說明，比較欠缺理論上的論述。如果 能針對觀察到的一些可等分的條件為何為真，或是給出的計算式 所得出的分割點為何可以保證是最佳的分割點這些問題，給出一 些理論上的說明，作品就會更完整也更好。有點可惜了。
C:\Users\cutes\Downloads\030422-評語
作品簡報
公正無私-
海盜分金幣的最佳平分解
第61屆全國中小學科學展覽 國中組 數學科
緣起：海盜分金幣問題
數量為1～ n 的n堆金幣等距排列 ，兩人選擇金幣 位置站位，並分別可得到距離自己較近的金幣。
若等距則平分，如何站位能使兩人分的最平均？
①
②
兩人分別站在4和2差的會最少。
站在4的人可以拿到4+1.5=5.5；
站在2的人可以拿到1+2+1.5=4.5
兩人分別站在5和4；或是6和3差最少 站在5、6的人可以拿到5+6=11
站在3、4的人可以拿到1+2+3+4=10
※ 討論分割點較有效率！
研究問題
在金幣以1、2、3、4、…、n排列時，
兩位手下如何分，能使兩人的金幣數量最接近？
在金幣以m、 m +1、 m +2、…、n排列時，
兩位手下如何分，能使兩人的金幣數量最接近？
在金幣以m、 m +1、 m +2、…、n排列時，
三位手下如何分，能使三人的金幣數量最接近？
在金幣以m、 m +1、 m +2、…、n排列時，
k位手下如何分，能使k人的金幣數量最接近？
文獻探討
第58屆全國科展國中組數學科第一名「金金計較」
解決方法：解一元二次方程式、佩爾方程。
結果1：兩人分 n堆金幣時(1~n個)，利用
𝒆
𝟎𝒏 =
−𝟏+ 𝟏+𝟖𝒏(𝒏+𝟏)𝟒
= 𝒑 + 𝛂 (𝒑 ∈ ℕ，且𝟎 ≤ 𝛂 < 𝟏) 判斷分割點
結果2： 找到使兩人均分的堆數之遞迴關係式。
結果3：找到 存在兩種最佳解的堆數之遞迴關係式。
結果4：三人分n堆金幣時(1~n個)，討論平分與否
分四種狀況討論，以標準差判斷最佳站位。
研究一-直角三角形平移法
把金幣排列成階梯狀圖 形，使用直角三角形來 模擬，找出面積分割線，
置於座標平面上。
直角三角形面積分割點 𝐿 2 (𝑛)= 𝑛+1
2 − 1
2 𝐿
2(7)
n 600 650 700 750 800 850 900
面積分割點
𝐿
2𝑛 424.47 459.82 495.18 530.53 565.89 601.24 636.60
實驗分割點
研究一-直角三角形平移法校正
使用具兩個最佳切割位置的𝑛來確定誤差量。
在理想值應為0.25與0.75的位置做計算，發現小數部分趨 近於某特定值𝑡 1 = 0.1035與𝑡 2 = 0.6035，公式與理想具 有約0.1465 ≈ 1
2 − 2
4 的誤差。
原因：
𝑒 𝑛 = 𝐿
2𝑛 + 1
2 − 2
4 = 2𝑛 + 1
2 2
研究一-上下界逼近法
畫出U、L兩斜直線
並作兩三角形之面積分割線，
與x軸分別交於𝑈 2 𝑛 、 𝐿 2 𝑛
U高估右面積；L高估左面積 因此理想值𝑒 𝑛 滿足
𝑈 2 𝑛 > 𝑒 𝑛 > 𝐿 2 𝑛 。
上下界逼近法公式：
𝑒 𝑛 =
12
𝑈
2𝑛 + 𝐿
2𝑛 =
2𝑛+12 2
（在𝑛相當大時）
研究二-兩人分金幣(m~n)
更好的模擬方式 (如右圖)
優點：
(1) 面積仍相同 (2) 計算更簡單
(3) 與正確值有重疊的可能
結果：
k 𝑚, 𝑛 =
1−2m+ 2𝑚2−2𝑚+2𝑛+2𝑛2+12
= 𝑝 + α
(𝑝 ∈ ℕ，且0 ≤ α < 1)0 ≤ α < 0.25時，將第𝑝袋平分 0.25 < 𝛼 < 0.75 時，切在𝑝與𝑝 + 1之間
0.75 < 𝛼 < 1 時，將第𝑝 + 1袋平分
若𝛼 = 0.25，則”將第𝑝袋平分” 與 “切在𝑝與𝑝 + 1之間”
若𝛼 = 0.75，則“切在𝑝與𝑝 + 1之間” 與 ”將第𝑝 + 1袋平分” 均為最佳平分解！
兩人分金幣恰平分解之五大發現
使用研究二結果，找出所有m、n能被平分的點
① 固定m值，均存在 ② 公差數列均滿足遞迴關係式
等差組解 公差5 公差29 公差169 公差985
公差3.5
公差20.5
公差119.5
公差696.5
兩人分金幣恰平分解之五大發現
③ 固定m值，等差組解之間的距離滿足遞迴關係式𝑎
𝑛= 6𝑎
𝑛−1− 𝑎
𝑛−2組間距17
組間距99
組間距577
組間距108
組間距630
組間距3672
兩人分金幣恰平分解之五大發現
④改變m值，各等差組解間距相同，此間距亦滿足關係式𝑎
𝑛= 6𝑎
𝑛−1− 𝑎
𝑛−27 7
7 7
41
41
41
41 239
239
239 1393 239
1393
1393
1393
6
36
210
1224
研究三-三人分金幣(m~n)
第一分割點公式：
D1 m, n = 24m2 − 24m + 12n + 12n2 + 9
6 = 𝑝1+ α1
(𝑝1 ∈ ℕ，且0 ≤ α1 < 1)
第二分割點公式：
D2 m, n = 12m2− 12m + 24n + 24n2 + 9
6 = 𝑝2 + α2
(𝑝2 ∈ ℕ，且0 ≤ α2 < 1)
