2 多項式函數

2－1  ^103MH408T

1.  2036 3 4 2. 11   3. ^{9 2}   4. 1, , , 5, 7 

        5. 五          1、3或 7  6. 0 , 0 2 3

7. (E)   8. (B)   9. (C)     10.  (C)(E) 11.  (A)(C)(D)    12. ¹⁷   13. 6,8,2, 4 14. 6 , 8   15.  ^{28 17}   16. 1 , 3 , 2 , 5  

一、概念題（共 10 格，每格 5 分）

1.多項式 ³ 除以 ²的餘式為 ，除以 ²的餘式為 。   ^①所求 2 2 3 2 2048 12 2036 

②令 2，則 3 3 4  

2. 3 14 19 1， 。   

3.設 √ 1， 2 7 ，求 。 

  1， ∙ 2 ∙ 7 ∙ ∙ 2 7 9 2 

4. a、 ∈ ，方程式 2 5 7 0的所有可能最簡有理根（即分數

根）為 ，此方程式共有六個複數根（若有重根，則重複計算），此六個根的乘 積為 。 

 ①由牛頓定理得所有可能有理根為 1， ， ， 5， 7 

②由根與係數關係得六根乘積 7

5.多項式 的圖形如右，若方程式 0沒有虛根，則 的次數最少可為 次，而不等式 ⁰的解  則為 。 

 ① 在 1及 3有重根，最少次數為2 2 1 5 

②看略圖得 0的解為 1、3 或 7 

6.實係數多項式 ，若 ¹₁ ¹₁ ⁴ ₆，其中 √ 1，a、 ∈ ，則數對  ,

.

，且 ¹ 。 

 令 1 ，則 1 ，相加相減只剩實部與虛部 

故 1 1 4 及 1 1 6 ，得 , 0 , 0 且 1 2 3  

二、單一選擇題（共 3 題，每題 5 分）

7.右圖的拋物線是下列哪一個二次函數的圖形？

(A) 3 2 1   (B) 4 6   (C) 4 12 9   (D) 2 3 1    (E) 4 5。 

①∵開口朝上 ∴(B)(D)不合 

②∵與 x 軸不相交 ∴判別式應小於 0 (A) 2 4 ∙ 3 ∙ 1 0 

(C) 12 4 ∙ 4 ∙ 9 0 

(E) 4 4 ∙ 1 ∙ 5 4 0 

∴選(E) 

8.若 a、b 為方程式 3 1 0之兩根，則計算 √ √ 的值為何？

(A)1 (B) 1 (C)2 (D) 5 (E)√5。 

 ^{由判別式知 a、 ∈ ，由根與係數知 3且 1 ∴ 0且 0，則}

√ √ √ √ 2√ ∙ √ 2√ 3 2 ∙ √1 3 2 1

∴選(B) 

9. 為實係數多項式，若 ¹、 ³、 ⁵、 ⁹ 的函數值為正數， ⁰、 ⁴ 、 6 、 7 、 11 的函數值為負數，且 2 0， √ 1，則 的次 數至少為幾次？

(A)6次 (B)7 次 (C)8 次 (D)9 次 (E)10 次。 

  與x軸至少有6個交點，加上兩個共軛虛根 

∴ 至少為 6 2 8 次，選(C) 

2 ^{多項式函數}

0

1 3 4 5 6 7 9 11 x

2－2 

52 37

2 2- 2+ 2 2

+ - + - +

三、多重選擇題（共 2 題，每題 5 分）

10.設 ，已知 ^{2 1 2 3 0}，

√ 1，則以下的推論哪些正確？

(A) 2 0 (B) ^{1 2 0} (C) ^{2 0} (D)若實數 p、q 滿足

∙ 0，則在p、q之間可找到實數r滿足 ⁰ (E)a、b、c、d 至 少有一個為虛數。 

  若 為實係數，則 0有五個根，但 0只到四次   

∴ 應為虛係數，則虛根不一定成對，也不能用勘根定理 

   由根與係數得四根之和為 2 1 2 3  

∴另一根 2 ，得 2 0 ∴選(C)(E)   

11.二次函數 ，其中 a、b、c 為實數， 1 5 ，則 下列哪些選項為真？

(A) 0 (B) ² (C) ² (D) ^{1 4} (E) ^{3 7} 。 

 如右圖 

(A)開口必朝下，合 (B)頂點在^x²處，應為^b ²，不合  (C) 的 2 ，合 (D) 1 3 4 ，合  (E)∵  2 為 3 與 7 的中點 ∴應為 3 7 ，不合  故選(A)(C)(D) 

四、填充題（共 5 格，每格 5 分）

12.不等式 4 2 2 5 2 37 0有 個整數解。

4 2 0 根為 ^√₂^{16 8} 2 √2 得2 √2 或 2 √2 ³⁷₂

∵√2≒ 1.414 ∴ 1，2，4，5，6，…，18，共 17 個整數

13.已知三次多項式 的圖形通過 1 , 8 ， 0 , 4 ，並在 1 , 0 處 與 x 軸相切，試求序組 ^{, , ,} 。

∵切 x 軸於 1 ∴ 1為 0的二重根，即 有 1 ²的因式

設 1 ² ， 1 4 8

得 2， 0 1 ⋅ 0 4 ，則 6

∴ 1 ² 6 4 6 ³ 8 ² 2 4， , , , 6 , 8 , 2 , 4

14.a、 ∈ ，二次多項方程式 0的根均為有理根，若 ∙ 3 0，

∙ √19 0，則數對 ^, 。

由牛頓法得知有理根的分母必為 1 ∴其有理根必為整數根

∵ ∙ 3 0 ∴在 、3 之間有根，即 2 為根

∵ ∙ √19 0 ∴在 、√19之間有根，即 4 為根

得 ² 2 4 ² 6 8 ， 6， 8

15.若 1 2 3 1 7 2 1 15，求 除以 2 3 的餘式

為 。

設 3 1 ∙ ，所求即

0代入得 0 1 8 3 7 15 11，得 1 11 ⋯①

4代入得 4 1 8 75 49 15 101，得 3 3 101 ⋯②

① ②得4 11 101  4 112 28， 17

∴所求 28 17

16.小明利用綜合除法要把 表示成

2 1 的多項式，右邊是他處理的過程，顯然他忘記老 師的叮嚀，沒有把過程中所得的商除以 2，所得

8 2 1 12 2 1 4 2 1 5是錯誤的，

若正確的答案為 ^{2 1 2 1}

2 1 ，請問序組 ^{, , ,} 。

由小明的過程知正確的 為

8 1

2 12 1

2 4 1

2 5

∴ 2 1 3 2 1 2 2 1 5為正確的

∴ , , , 1 , 3 , 2 , 5

−1 2 5

c

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