2－1
1. 2036 3 4 2. 11 3. 9 2 4. 1, , , 5, 7
5. 五 1、3或 7 6. 0 , 0 2 3
7. (E) 8. (B) 9. (C) 10. (C)(E) 11. (A)(C)(D) 12. 17 13. 6,8,2, 4 14. 6 , 8 15. 28 17 16. 1 , 3 , 2 , 5
一、概念題（共 10 格，每格 5 分）
1.多項式 3 除以 2的餘式為 ，除以 2的餘式為 。
Ans:
①所求 2 2 3 2 2048 12 2036
②令 2，則 3 3 3 4
2. 3 14 19 1， 。
Ans:
3.設 √ 1， 2 7 ，求 。
Ans:
1， ∙ 2 ∙ 7 ∙ ∙ ∙ 2 7 9 2
4. a、 ∈ ，方程式 2 5 7 0的所有可能最簡有理根（即分數根）為 ， 此方程式共有六個複數根（若有重根，則重複計算），此六個根的乘積為 。
Ans:
①由牛頓定理得所有可能有理根為 1， ， ， 5， 7
②由根與係數關係得六根乘積 7
5.多項式 的圖形如右，若方程式 0沒有虛根，則 的次數最少可為 次，而不等式 0的解則為 。
Ans:
① 在 1及 3有重根，最少次數為2 2 1 5
②看略圖得 0的解為 1、3 或 7
6.實係數多項式 ，若 11 11 4 6，其中 √ 1，a、 ∈ ，則 數對 ,
.
，且 1 。
Ans:
2 多項式函數
2－2
令 1 ，則 1 ，相加相減只剩實部與虛部
故 1 1 4 及 1 1 6 ，得 , 0 , 0 且 1 2 3
二、單一選擇題（共 3 題，每題 5 分）
7.右圖的拋物線是下列哪一個二次函數的圖形？
(A) 3 2 1 (B) 4 6 (C) 4 12 9 (D) 2 3 1 (E) 4 5。
Ans:
①∵開口朝上 ∴(B)(D)不合
②∵與 x 軸不相交 ∴判別式應小於 0 (A) 2 4 ∙ 3 ∙ 1 0
(C) 12 4 ∙ 4 ∙ 9 0
(E) 4 4 ∙ 1 ∙ 5 4 0
∴選(E)
8.若 a、b 為方程式 3 1 0之兩根，則計算 √ √ 的值為何？
(A)1 (B) 1 (C)2 (D) 5 (E)√5。
Ans:
由判別式知 a、 ∈ ，由根與係數知 3且 1 ∴ 0且 0，則
√ √ √ √ 2√ ∙ √ 2√ 3 2 ∙ √1 3 2 1
∴選(B)
9. 為實係數多項式，若 1 、 3 、 5 、 9 的函數值為正數， 0 、 4 、 6 、 7 、 11 的函數值為負數，且 2 0， √ 1，則 的次數至少為幾次？
(A)6次 (B)7 次 (C)8 次 (D)9 次 (E)10 次。
Ans:
與x軸至少有6個交點，加上兩個共軛虛根
∴ 至少為 6 2 8 次，選(C)
三、多重選擇題（共 2 題，每題 5 分）
10.設 ，已知 2 1 2 3 0， √ 1，則以下的
推論哪些正確？
(A) 2 0 (B) 1 2 0 (C) 2 0 (D)若實數 p、q 滿足 ∙ 0，則在p、 q之間可找到實數r滿足 0 (E)a、b、c、d 至少有一個為虛數。
Ans:
0
1 3 4 5 6 7 9 11 x
2－3
52 37
2 2- 2+ 2 2
+ - + - +
若 為實係數，則 0有五個根，但 0只到四次
∴ 應為虛係數，則虛根不一定成對，也不能用勘根定理
由根與係數得四根之和為 2 1 2 3
∴另一根 2 ，得 2 0 ∴選(C)(E)
11.二次函數 ，其中 a、b、c 為實數， 1 5 ，則下列哪些選項為 真？
(A) 0 (B) 2 (C) 2 (D) 1 4 (E) 3 7 。
Ans:
如右圖
(A)開口必朝下，合 (B)頂點在x2處，應為b 2，不合 (C) 的 2 ，合 (D) 1 3 4 ，合 (E)∵ 2 為 3 與 7 的中點 ∴應為 3 7 ，不合 故選(A)(C)(D)
四、填充題（共 5 格，每格 5 分）
12.不等式 4 2 2 5 2 37 0有 個整數解。
Ans:
4 2 0 根為 √216 8 2 √2 得2 √2 或 2 √2 372
∵√2≒ 1.414 ∴ 1，2，4，5，6，…，18，共 17 個整數
13.已知三次多項式 的圖形通過 1 , 8 ， 0 , 4 ，並在 1 , 0 處與 x 軸相切，試求 序組 , , , 。
Ans:
∵切 x 軸於 1 ∴ 1為 0的二重根，即 有 1 2的因式
設 1 2 ， 1 4 8
得 2， 0 1 ⋅ 0 4 ，則 6
∴ 1 2 6 4 6 3 8 2 2 4， , , , 6 , 8 , 2 , 4
14.a、 ∈ ，二次多項方程式 0的根均為有理根，若 ∙ 3 0， ∙ √19 0， 則數對 , 。
Ans:
由牛頓法得知有理根的分母必為 1 ∴其有理根必為整數根
∵ ∙ 3 0 ∴在 、3 之間有根，即 2 為根
∵ ∙ √19 0 ∴在 、√19之間有根，即 4 為根
得 2 2 4 2 6 8 ， 6， 8
−1 2 5
c
2－4
15.若 1 2 3 1 7 2 1 15，求 除以 2 3 的餘式為 。
Ans:
設 3 1 ∙ ，所求即
0代入得 0 1 8 3 7 15 11，得 1 11 ⋯①
4代入得 4 1 8 75 49 15 101，得 3 3 101 ⋯②
① ②得4 11 101 4 112 28， 17
∴所求 28 17
16.小明利用綜合除法要把 表示成 2 1 的多項式，右
邊是他處理的過程，顯然他忘記老師的叮嚀，沒有把過程中所得的商除以 2， 所得
8 2 1 12 2 1 4 2 1 5是錯誤的，若正確的答案為 2 1 2 1 2 1 ，請問序組 , , ,
。
Ans:
由小明的過程知正確的 為
8 1
2 12 1
2 4 x 1
2 5
∴ 2 1 3 2 1 2 2 1 5為正確的
∴ , , , 1 , 3 , 2 , 5
