單元 2 多項式函數 三年____班 座號：____ 姓名：
P21 是非：1.多項式 f (x)＝(x3＋2x－1)(x2＋1)＋(x2＋x＋1)除以 x2＋1 的餘式為______
2.設 f 1(x)、f 2(x)皆為實係數三次多項式，g(x)為實係數二次多項式。已知 f 1(x)、f 2(x)除以 g(x)的餘式分別為 r1(x)、
r2(x)，試判斷下列敘述正確與否：
(1) f 1(x)除以－3g(x)的餘式為－
3 1r1(x)
(2) f 1(x)＋f 2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x)＋r2(x) (3) f 1(x)f 2(x)除以 g(x)的餘式為 r1(x) r2(x)
3.多項式 f (x)除以 x2＋3x＋2 的餘式為 2x－1，則 f (－1)＝_____
P21 是非：判斷下列各敘述，選出正確的選項？
(1)若三次多項式 f (x)除以 x－2 的餘式為 3，則 x－2 為 f (x)－3 的因式
(2)已知多項式 f (x)為三次多項式，若 f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，則 f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)
(3)設 f (x)為一未知的實係數多項式，但知道 f (x)除以(x－5)(x－6)2的餘式為 5x2＋6x＋7。根據上述所給條件，
可求出 f (x)除以(x－6)2的餘式
(4)若多項式 f (x)除以 x2－1 的餘式為 2x＋1，則 f (x)可能為一次式
P21 是非：設 f (x)為實係數三次多項式，且其最高次項係數為 1，已知 f (1)＝1，f (2)＝2，f (5)＝5，則 f (6)＝______
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基 E1：下列哪些式子為 x 的多項式？(多選) (1) 5 (2)
2
x －23
5x＋1 (3) x ＋2 x ＋1 (4)
x
＋2 (5) x ＋2 12 x基 E2：(1)利用綜合除法計算多項式 6x ＋53 x －2x－5 除以 x＋2 3
1，得商式為_______，餘式為_______
(2)利用綜合除法計算多項式 6x ＋53 x －2x－5 除以 3x＋1，得商式為_______，餘式為_______ 2
基 E3：設 f (x)為一多項式且次數不低於 2，若 f (x)除以 x－1 得餘式為 5，f (x)除以 x－2 得餘式為 7，
則 f (x)除以(x－1)(x－2)之餘式為________
基 E4：若多項式 x2＋x＋2 能整除 x5＋x4＋x3＋px2＋2x＋q，則數對(p，q)＝_____
活 E1：已知實係數多項式 f (x)除以 x2＋2 的餘式為 x＋1。若 x f (x)除以 x2＋2 的餘式為 ax＋b，則數對(a，b)＝____
活 e1：設 f (x)為一實係數多項式，若(x＋1) f (x)除以 x2＋x＋1 的餘式為 5x＋3，則 f (x)除以 x2＋x＋1 的餘式為_____
活 E2：設 f (x)＝x5＋6x4－4x3＋25x2＋30x＋20，試求 f (－7)＝______
活 e2：設 f (x)＝(x＋5) －4(x＋55 ) －72(x＋54 ) －56(x＋53 ) ＋15(x＋5)＋7，則 f (x)除以(x－6)的餘式為_____ 2
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活 E3：(1)設多項式 f (x)＝2x3－3x2－4x－1＝a(x−2)3＋b(x−2)2＋c(x−2)＋d，求序組(a，b，c，d)＝_____
(2)承(1)，計算 f (2.0001)＝_______ (四捨五入至小數點後第三位) (3) f (x)除以(x−2)2的餘式為______
(4) f (2＋ 3 )＝______
活 e3：(1)設多項式 f (x)＝7x3－22x2＋12x－4＝a(x−2)3＋b(x−2)2＋c(x−2)＋d，求序組(a，b，c，d)＝_____
(2)承(1)，計算 f (1.9999)＝_______ (四捨五入至小數點後第三位)
活 E4：多項式 f (x)除以(3x－1)(x－2)的餘式為 ax＋3，g(x)除以(x－2)(2x＋3)的餘式為 3x－2b，若 f (x)－g(x)除以 x－2 的 餘式為 5，則 a＋b＝_____
活 e4：已知 f (x)與 g(x)為兩多項式，若多項式 f (x)＋g(x)除以 x2＋2x－3 得餘式為 2x＋3，f (x)－g(x)除以 x2＋2x－3 得餘式 為 4x－1，則 f (x)除以 x－1 之餘式為_____
P25 是非：(1) y＝2x 的圖形之對稱中心為_____
(2) y＝x2的圖形之對稱中心為_____
(3) y＝x3的圖形之對稱中心為_____
基 E5：坐標平面上，設點 A(3，4)，則：
(1)點 A 對 x 軸的對稱點坐標為______
(2)點 A 對 y 軸的對稱點坐標為______
(3)點 A 對直線 y＝x 的對稱點坐標為______
(4)點 A 對原點(0，0)的對稱點坐標為______
P26 是非：判斷下列敘述是否正確？
(1)若 y＝f (x)為一次函數，且 f (3)＞f (2)，則 f (4)＞f (3)
(2)一次函數 y＝f (x)＝ax＋b 的圖形必通過坐標平面上的三個象限
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基 E6：某次數學考試，班上同學成績最高為 50 分，最低為 10 分，老師決定用一個一次函數來加分，已知 10 分調整 為 60 分，且此一次函數圖形的斜率為
4
3，則：
(1)此一次函數為______ (2)若魯伕原來成績為 26 分，則調整後變為_____分
P28 是非：試判斷下列各敘述正確與否？
(1)若二次函數 y＝－2(x−3)2＋1，且 0 ≤ x ≤ 2，則 y 的最大值為 1
(2)已知二次函數 y＝f (x)的圖形頂點坐標為(2，3)，且 3＜f (1)＜f (4)，則 f (x)之圖形的開口向上 (3)承(2)，f (5)＞f (4)
P28 是非：試判斷下列各敘述正確與否？
(1)已知實係數多項式函數 y＝f (x)與 y＝g(x)的圖形皆為拋物線，則 y＝f (x)＋g(x)的圖形亦為拋物線 (2)設 Γ 為 y＝ax2＋bx＋c 的圖形，其中 a，b，c 為實數，則當 a＞0 時，Γ 的圖形會通過第一象限 (3)承(2)，當 c＞0 時，Γ 的圖形會通過第一象限
基 E7：設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t)＝－t2＋10t＋11，其中 1 ≤ x ≤ 10，則這段時間內該地區的最大溫差為 (1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36
基 E8：若函數 y＝ax2＋bx＋c 之圖形交 x 軸於(－1，0)，(3，0)兩點，且其最大值為 1，則序組(a，b，c)＝______
基 E9：一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的出入口，如右圖示。
此農夫所能圍成的最大面積為_____平方公尺
活 E5：若二次函數 y＝f (x)＝－x2＋kx＋k＋1 之圖形與 x 軸交於 A、B 兩點，且 AB ＝4，則 k＝____
2 公尺
111 上高三數(自)(單元 2 多項式函數) 第 8 頁 學測複習(新大滿貫)CJT
活 e5：設 a，b 為實數。已知坐標平面上拋物線 y＝x2＋ax＋b 與 x 軸交於 P，Q 兩點，且PQ＝ 。 7 若拋物線 y＝x2＋ax＋(b＋2)與 x 軸的兩交點為 R，S，則 RS ＝______
活E6：如圖，有一根垂直地面的噴水柱，柱上由下而上有三個噴水點 A1，A2，A3。已知這三點皆往 左右平行地面方向噴水，且噴水的力道與水量都相同，即三點噴水的軌跡皆為全等的拋物線 圖形。若由 A1、A2、A3 噴出的水在右側地面的落點分別為 B1、B2、B3，試回答下列問題：
(1)若點 A1 到地面的距離為 2 公尺，點 B1 到柱子的距離為
2
公尺，點 A2 到地面的距離 為 4 公尺，則點 B2 到柱子的距離為幾公尺？(2)承(1)，若A A1 2＝A A2 3 ，試比較B B 與1 2 B B 的大小。 2 3 (已知 2 1.414≈ ， 3 1.732≈ ， 6 2.449≈ )
活 e6：阿銀用他的新武器「阿姆斯特朗炮」由圖中 A 點處發射一個炮彈，已知此炮彈的飛行 路徑為拋物線，當炮彈飛至距離 A 點 2 公里的 B 點正上方時，位於 B 點的新八說：
「飛好高的炮彈，離地面有 3 公里高，這個炮的完成度真高。」最後這個炮彈在 離 A 點水平距離 6 公里處，擊中高 3 公里的塔之塔頂(圖中 D 點)，
則在這個炮彈飛行的過程中，離地面最高為_____公里
p32 是非：試判斷下列各敘述正確與否？
(1)三次函數 y＝－2x3＋6x 圖形的對稱中心為(0，0) (2)右圖為三次函數 y＝ax3＋px 的圖形，則 a＜0，p＞0 (3)函數 y＝(x−2)3－4(x−2)的圖形會通過四個象限
基 E10：已知 f (x)＝2x3＋6x，則：
(1)將 y＝f (x)的圖形向左平移 2 單位，向下平移 3 單位，得 y＝g(x)的圖形，則 g(x)＝__________
(2)將 y＝h(x)的圖形向左平移 3 單位，向下平移 5 單位，得 y＝f (x)的圖形，則 h(x)＝__________
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基 E11：已知 f (x)＝2x3＋6x2＋3x＋3＝a(x－h)3＋p(x－h)＋k，則：
(1)序組(a，p，h，k)＝_________
(2) y＝f (x)的圖形之對稱中心為_______
(3) y＝f (x)的圖形在 x＝h 附近的一次近似為_______
(4) y＝f (x)的圖形在 x＝－2 附近的局部特徵近似於直線 y＝mx＋b，則數對(m，b)＝_____
活 E7：已知函數 y＝f (x)＝ax 與 y＝g(x)＝x3＋bx 的圖形有三個相異交點 A(0，0)，B(－7，21)與 C，則 C 點之坐標為_______
活 e7：三次函數 f (x)＝(x−2)3－3(x−2)＋1，若一次函數 y＝ax＋b 的圖形通過點(2，1)且與 y＝f (x)的圖形另交於兩點 A(1，s)與 B(t，－1)，則數對(s，t )＝______
活 E8：有一長方體紙盒其長、寬、高分別為 4、3、2 單位長，現在將長減少 x 單位，寬與高都增加 x 單位，其中 0≤x＜4，
若將 x 由 0 逐漸增加，則下列何者正確？
(1)此長方體的體積會一直變大 (2)此長方體的體積會一直變小 (3)此長方體的體積會先變大再變小
(4)此長方體的體積會先變小再變大 (5)此長方體的體積不會變化
活e8：已知二次函數 y＝f (x)的圖形如圖，其中V 為頂點，則函數 y＝xf (x)的圖形可能為下列何者？
(1) (2) (3) (4) (5)
P35 是非：判斷下列各式之敘述正確與否？
(1)不等式(1－x)(x－2)＞0 的解為 1＜x＜2 (2)無論 x 為任何實數，x2＋x＋1 的值必為正數 (3)不等式(x−1)2＞0 的解與 x2＋x＋1＞0 的解相同
111 上高三數(自)(單元 2 多項式函數) 第 12 頁 學測複習(新大滿貫)CJT
基 E12：已知三次多項式函數 y＝f (x)的圖形如圖所示，則不等式 f (x)≤0 的解為________
基 E13：設 x 為實數，求下列各不等式之解：
(1)求解 x2－5x＋6 ≤ 0，得解為_________
(2)求解－2x2＋3x＋1＜0，得解為_________
(3)求解－6(x－1)(x－2)(x－3) ≥ 0，得解為_________
基 E14：設 x 為實數，求下列各不等式之解：
(1)求解(x＋1)3(x－1)2(x－3)(x－5)4(x2＋x＋1) ≥ 0，得解為_________
(2)求解(x＋1)3(x－1)2(x－3)(x－5)4(x2＋x＋1)＞0，得解為_________
基 E15：設 x 為實數，若二次函數 f (x)＝kx2＋2x＋k 之值恆為正，則 k 的範圍為_______
活 E9：若 a 為整數，一元二次不等式 x2＋(a－3)x－3a＜0 的整數解為 4，5，6，則 a 之值為_________
活 e9：請問對於下列哪些選項，可以找到實數 a，使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式 x2＋(2－a)x－2a＜0？
(1)－1，0 (2) 1，2，3，……(所有的正整數) (3)－3，－4，－5，……(所有小於－2 的整數) (4) 97，2008 (5)－
π
，π
(π
是圓周率) (多選)111 上高三數(自)(單元 2 多項式函數) 第 14 頁 學測複習(新大滿貫)CJT
混合題：以人造衛星製作地圖時，由於不同時期拍攝的影像之間會有誤差，必須和地面坐標對照進行校正，其中一種校 正方式是選定該地區的幾個地面控制點和衛星影像對照後建立多項式，再以地面坐標算出衛星影像上的估計坐 標。假設有一條直線道路，以道路上某定點作為坐標原點，道路本身作一數線，另選定道路上 4 個控制點 A，B，
C，D，其地面坐標與對應的衛星影像坐標如下表：
建立一個三次多項式函數 y＝f (x)，滿足 f (1)＝6，f (2)＝15，f (3)＝18，f (5)＝30，其中 x 為地面坐標，y 為衛星 影像上的估計坐標。試回答下列問題：
1.關於多項式 f (x)的敘述，請選出正確的選項。(多選) (1) f (x)除以 x－1 的餘式為 6x
(2) f (x)除以(x－1)(x－2)(x－3)(x－5)的餘式為 6x (3) f (x)除以(x－1)(x－3)(x－5)的餘式為 6x (4) f (x)除以(x－1)(x－3)的餘式為 6x (5) f (x)的首項係數為 1
2.設 f (x)＝a(x−3)3＋b(x−3)2＋c(x−3)＋d，試求 a，b，c，d 之值
3.設道路上兩點 E 與 F 的地面坐標分別為 2.98 與 2.99，則 E 與 F 經由 y＝f (x)估計得到在衛星上的坐標之距離 為_______。(四捨五入至小數點後第二位)
點
坐標 A B C D
地面坐標(x) 1 2 3 5
衛星影像上的估計坐標(y) 6 15 18 30
