壽險精算
(Life Contingencies)
授課教師：余清祥教授
日期：2005年10月11日 第三章：人壽保險
(Life Insurance)
http://csyue.nccu.edu.tw人壽保險(Life Insurance)
人壽保險：以被保險人的死亡與否決定 理賠。
Æ嚴格而言，應該以死亡險稱呼。
台灣壽險市場中人壽保險仍佔大多數，
此一現象在未來將會有所改變。
Æ美國年金險比例超過20%，約與人壽保 險相當。
臺灣未來老年人口結構 臺灣未來老年人口結構
65歲以上人口 65-74歲
人口
75歲 以上人口 占總人口%
人數 (萬人)
中高 中 低
93年 214 9.4 9.4 9.4 128 59.8 86 40.2 100年 246 10.5 10.6 10.6 138 56.1 108 43.9 110年 392 16.2 16.5 16.9 249 63.7 142 36.3 120年 566 23.2 24.3 25.4 320 56.7 245 43.3 140年 695 31.7 35.5 39.2 319 46.0 375 54.0
人數 (萬人)
占65 歲以 上人 口%
人數 (萬人)
占65 歲以 上人 口%
年別 (民國)
資料來源：行政院經濟建設委員會人力規劃處
資料來源：行政院經濟建設委員會人力規劃處(2004)(2004)
國內壽險保費收入比例
壽險業保費收入結構
金額（單位：百萬元） 92 年
90年 91年 92年 成長
％
占率
％ 壽險合計 569,081 699,586 871,559 24.6 76.95 傷害險合計 55,568 59,630 61,554 3.2 5.43 健康險合計 100,308 113,347 125,922 11.1 11.12 年金險合計 3,933 16,724 73,617 340.2 6.50
總 計 728,890 889,287 1,132,652 27.4 100
險 別
美國壽險業保費收入結構
美國壽險業保費收入結構
金額（單位：百萬美元） 2003
1993 2002 2003 成長％ 占率％
壽險 94,448 134,483 124,210 -7.6 24.65 年金險 68,658 108,703 115,382 6.1 22.90 健康險 156,445 269,296 264,319 -1.8 52.45
總計 319,551 512,482 503,910 -1.7 100
險 別
人身保險類型
本課程先介紹常見的死亡險與生存險，
包括純保費與責任準備金的計算。這兩 種保險在被保險人死亡後理賠或停止給 付，與被保險人的死亡機率有關，原則 上不重複發生。
保險也可考慮發生次數不止一次的事 件，例如：健康保險、失業保險，其計 算原理也類似，但不在本課程範圍內。
人壽保險的假設
人壽保險的保費計算取決於利率、死亡 率，傳統的計算方法乃假設兩者皆為定 值。近十餘年來市場利率變化頗大，台 灣地區居民死亡率下降亦多，平均每年 每人可延長約0.2歲的壽命，假設兩者為 定值並不適當。
Æ為求簡化示範，本章假設利率及死亡率 皆為定值。
常見的人壽保險類型
本章介紹的人壽保險類型包括以下四 種：
終身及定期保險
生存險與生死合險
延遲險
(
或稱為遞延險)
可變保額保險
常用的人壽保險符號
現值(Present value)函數：zt
貼現(Discount)函數：vt
(一般而言， vt ＝ (1+i)− t)
保額(Benefit)函數：bt Æ這三者的關係為
z
t＝b
tv
t代表在保險生效日後 t 年後之現值。
人壽保險現值計算公式
年終給付人壽保險現值計算以E(Z)表示，
變異數的計算公式亦然。以終身壽險為例：
∑
∑
∞= + +
+
∞
=
+ + = = ⋅
=
=
0
1 1
0
1
1 ( )
) (
) (
k
k x x
k k k
k
k k
k
kv b v P K k b v p q
b E Z
E
∑
∞= + ⋅ +
=
=
0
) 1
(
k
k x x k k
x E Z v p q
A
2 0
) 1 ( 2 2
2 2
2) ( )
( )
( x
k
k x x k k x
x A v p q A
A Z
E Z
E Z
Var
∑
∞= + ⋅ + −
=
−
=
−
=
人壽保險現值計算公式(續)
立即給付人壽保險現值計算也類似，
變異數的計算公式亦然。以終身壽險為例：
dt p
v b v
b E Z
E ( ) = (
t t) = ∫0∞ t t t x ⋅
µx+t
dt p
v Z
E
Ax = ( ) =
∫
0∞ t t x ⋅µx+t2 2
0 2
2 2
2) ( )
( )
(Z E Z E Z Ax Ax v t t px x tdt Ax
Var = − = − =
∫
∞ ⋅µ + −死亡時立即給付之保險現值
例題一、死亡率滿足
l
x=100−x, 0< x <100
， 且利率為8%，試求40歲及60歲投保一單 位終身壽險之現值。Æ由題目可知死亡率滿足DeMoivre’s Law，
可推得
t x
w x
w
t x
p
xw
x tt
= − −
−
−
= −
+1
, µ
) 2144 .
0 (
3099 .
0
40 1
40 60
0
40 0
07969 .
60 0
=
=
=
= ∫
− +∫
−同理，
A
dt e
dt p
v
A
w t t xµx t t在死亡年底給付之保險現值
例題二、如果利率6%、存活機率p
x
= 0.95、Ax
= 0.6，試求Ax+1。Æ由下式
再加上 也就是
1 1
1
| 1
: + + = + +
= x x x x x x
x
A vp A vq vp A
A
05 . 0 9434
. 06 0
. 1
1 = =
= q
xv 及
617 .
0
) 95 . 0 )(
9434 .
0 ( )
05 . 0 )(
9434 .
0 ( 6
. 0
1
1
=
⇒
+
=
+
+ x
x
A
A
例題三、利率6%、死亡機率q80 = 0.2，在80 歲購買遞減終身壽險，在保單生效後的第 k 年之保額為(20−k)，這個終身壽險的現值為 13。如果死亡機率變成q80 = 0.1，其他條件不 變，試求壽險現值。
Æ由題意
死亡率減半後
225 .
8 12 . 0
4 ) 06 . 1 ( ) 13
(
) 06 (
. 1
8 . 0 06
. 1
) 2 . 0 ( 13 20
) (
20 )
(
1
| 19 : 81
1
| 19 : 81
1
| 19 : 80 81
80 1
| 20 : 80
− =
=
⇒
+
=
⇒
+
=
DA
DA
DA vp
vq DA
267 .
06 12 . 1
) 225 .
12 ( 9 . 0 2
) 225 .
12 )(
9 . 0 ( )
1 . 0 ( 20 )
( 180:20|
+ =
=
+
= v v
DA
