單元三 三角形的邊角關係

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單元三 三角形的邊角關係

課文A： 三角形的三邊關係

在國小的時候有學過三角形的三邊關係，來回憶一下吧！

如上圖，「從 B 點走到 C 點再走到 A 點」會比「直接從 B 點走到 A 點」

所花的距離還要長，也就是 a+b>c。同理:c+a>b，b+c>a。即三角形任意兩 邊長的和大於第三邊長。

如果有一個三角形，它的三邊分別為 7、4、x，請問 x 的範圍是如何？

三角形任意兩邊長的和大於的三邊長：

x+7>4 ⇒ x>−3…(1)

從上面例子發現，三角形的任一邊長必須要大於另外兩邊長的差。

像是例子中的一邊 x，一定要大於另外兩邊的差 7−4=3。

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例題一：已知三角形的三邊長均為整數，且其中兩邊為 2、13，請問第三 邊可能為何？

◎解題思維：

利用「任意兩邊長的和大於第三邊長」、「任一邊長大於另外兩邊長的差」

解：由題目條件列式：2+13>第三邊>13−2 15>第三邊>11

邊長均為整數，所以第三邊可能是 12、13、14。

例題二：下列各組數為三條線段的長度，有哪幾組可以構成三角形？

(1)4、5、8 (2) 5、9、16

◎解題思維：利用「兩邊和>第三邊>兩邊差」判斷。

解：(1)4、5、8

兩邊和>第三邊>兩邊差：4+5>8>5−4

5+8>4>8−5

8+4>5>8−4

每一邊都符合三角形的三邊關係，所以 4、5、8 這組三條線段可以形成 一個三角形。

(2)5、9、16

兩邊和>第三邊>兩邊差：5+9≯16>9−5不合

9+16>5≯16−9

16+5>9≯16−5

不符合三角形的三邊關係，所以 5、9、16 這組三條線段不能形成一個三 角形。

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從上題來看，每次討論一組都要討論三條式子，很多很麻煩，有辦法 可以討論少一點的嗎？

其實是有辦法的，因為「兩邊差」關係其實就是「兩邊和」關係移項 而來的，所以當「兩邊和」關係都成立時，自然而然「兩邊差」關係就都 會成立了！

這樣還是要檢查「兩邊和>第三邊」的三條式子，其實可以更少。

如果給三條線段，a>b>c，要檢驗「兩邊和>第三邊」，理論上是要檢 查下方三種狀況，但是我們知道最長邊一定大於另外兩邊，那最長邊再加 上一邊就一定會大於第三邊！

b+c>a（檢查這個式子就好）

a>b ⇒ c+a>b（不用檢查一定對）

a>c ⇒ a+b>c（不用檢查一定對）

因此，只要檢查「最短邊+第二長邊>最長邊」會不會成立就好了！

例題二另解：

(1) 4、5、8 4<5<8

而且 4+5>8 ，可以形成一個三角形。

(2)5、9、16 5<9<16

而且 5+9≯16，所以不可以形成一個三角形。

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例題三：如果有三條線段分別為(x−3)、(x+2)、(x+7)，若此三條線段可以 圍成一個三角形，則 x 的範圍為何？

◎解題思維：

注意三線段必須為正數，以及「最短邊+第二長邊>最長邊」的關係找 出範圍。

解：

三條線段的長度一定為正，也就是：

x−3>0 ⇒x>3…(1) x+2>0

x+7>0

這三條線段的長度大小為(x−3)<(x+2)<(x+7)。

所以可以列式成：

x−3+x+2>x+7 (整理)

2x−1>x+7 (右邊的 x 移項到>左邊變成−x) (左邊的−1 移項到>右邊變成+1) 2x−x>7+1

x>8…(4)

由(1)、(2)、(3)、(4)可以得到：x>8

重點提問

1.請舉例出一組三邊長，而它可以形成一個三角形。

2.請解釋為什麼所舉的這組三邊長可以形成一個三角形。

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․隨堂練習：

1.已知三角形的三邊長均為整數，且其中兩邊為 15、9，請問第三邊可能 為何？

2.下列各組數為三條線段的長度，有哪幾組可以構成三角形？

(1) 5、5、5 (2) 5、12、13 (3)4、4、9 (4) 13、7、20 (5) 2、4、8

3.如果有一個三角形，其三邊分別為(x−1)、(x+9)、(x+11)，則 x 的範圍為 何？

還是不太懂，請看下面影片 課文

https://youtu.be/oCDK9XEF8Bk

例題一、三

https://youtu.be/TnkYy-C1xcw

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課文B： 三角形的對邊與對角關係

介紹完三角形的三邊關係後，要介紹三角形的對邊與對角關係。我們 來看看下面的例子。

如圖△ABC 中，最大角∠B 與最長邊 CA 會 是對邊對角關係；第二大角∠A 與第二長邊

BC 會是對邊對角關係；最小角∠C 與最短

邊 AB 會是對邊對角關係。

所以我們可以知道：在同一個三角形中，大邊就會對大角、大角也會 對大邊。所以當我們知道三角形中三邊長度的大小關係，就可以推論出三 個內角角度之間的大小關係；反過來也可以，當我們知道三角形中三個內 角角度的大小關係，就可以推論出三角形三邊的大小關係。舉一些例子來 看看！

例題一：△ABC 中， AB =4、 BC =5、 CA =8，比較∠A、∠B、∠C 的大 小關係為何？

◎解題思維：利用大邊對大角的關係找出角的大小。

解：

先依據題目將三角形畫出來：

已知 CA > BC > AB ，根據「同一個三角形中，大邊對大角」。

所以∠B>∠A>∠C。

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例題二：△ABC 中，∠A=42°、∠B=112°，比較 AB 、 BC 、CA 的長短關 係為何？

◎解題思維：利用大角對大邊的關係找出角的大小。

解：因為∠B>∠A>∠C，根據「同一個三角形中，大角對大邊」。

所以 CA > BC > AB 。

例題三：如右圖是一個社區三角公園△ABC，其中∠B=42°、∠C=72°。

已知曉明和小華從公園一邊 BC 的中點 P，兩人同時反方向沿著三角公園 跑，如果兩人的速率一樣，請問誰會先抵達 A 點？

◎解題思維：

曉明從 P 點出發，最後跑到 A 點，所以他跑的距離就是 PB BC





解：如下圖△ABC 中，∠C=72°、∠B=42°，得知∠C>∠B。

根據「大角對大邊」，所以 BA > CA 。 又因為 P 是 BC 的中點，所以 PB = PC 。 因此 PB BC



PC CA 

小華走的距離會比較短。

兩人的速率一樣，故小華會先抵達 A 點。

B

A

C 曉明 P 小華

42° 72°

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例題四：如圖，四邊形 ABCD 中，∠A=53°、

∠ABD=40°、∠DBC=85°、∠C=66°，則 AD 、

BD 和 CD 的大小關係為何？

◎解題思維：

四邊形 ABCD 被分成兩個三角形△ABD 跟△BDC。兩個三角形要比較 邊長，除了用大角對大邊的性質，還要利用共同邊 BD 進行判斷。

解：

△ABD 中，∠A=53°、∠ABD=40°，所以∠A>∠ABD。

故 BD > AD ……(1) (大角對大邊)

△BCD 中，∠DBC=85°、∠C=66°，所以∠DBC>∠C。

故 CD > BD ……(2) (大角對大邊) 合併(1)、(2)， CD > BD > AD 。

重點提問

根據上面的課文，請說明一個三角形的內角與對邊會有什麼樣的關係。

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․隨堂練習：

1.△ABC 中， AB =6、 BC =12、 CA =11，比較∠A、∠B、∠C 的大小關係 為何？

2.△ABC 中，∠A=40°、∠B=90°，比較 AB 、 BC 、 CA 的長短關係為何？

3. 如右圖是一個社區三角公園△ABC，其中∠B=70°、

∠C=42°。已知曉明和小華從公園一邊 BC 的中點 P，

兩人同時反方向沿著三角公園跑，如果兩人的速率 一樣，請問誰會先抵達 A 點？

4. 如圖，四邊形 ABDC 中，∠A=116°、∠ABC=27°、

∠DCB=71°、∠D=48°，則 AB 、 AC 、 DB 和 DC 的大 小關係為何？

B

A

C 曉明 P 小華

還是不太懂，請看下面影片

https://youtu.be/RRianpZiwas