2-1 一般三角函數的性質與圖形
除了常用的“角度”外，我們可以用弧長
半徑來衡量角度的大小，這就是“弧度”的概念。
這種以弧度為單位來測量角的大小的度量方式，稱為弧度制。用“弧度”來表示角的大小 時，可將“弧度”兩字省略，但若用“度”來表示角的時候，“°”不能省略，例如 θ＝60
°不可記為 θ＝60
※弧度
(1) 若一圓的半徑為 r，則弧長 s 所對應的圓心角 θ 為 θ＝s
r 弧度。
(2) 弧度與度的關係：2π 弧度＝360° 或 π 弧度＝180°。
※度與弧度的換算 (1) 1 弧度＝180
。 (2) 1°＝180
弧度。
例題1--- (1)分別將 50°及 －220°化為弧度。 (2)分別將5
6
及 －3 化為度。
--- 解 (1) 設 x（弧度）＝50°，由 50
180
x ，得 x＝5 18
，故 50°＝5 18
。
設 y（弧度）＝－220°，由 220 180
y，得 y＝－11 9
，
故－220°＝－11 9
。
(2) 設 x（角度）＝
5 6
弧度，由 5
6
180
x ，得 x＝150°，故 5
6
＝150°。
設 y（角度）＝－3 弧度，由 3
180
y ，
得 y＝－3×180
≈－3×（57.2958°）≈－171.89°，
故－3≈－171.89°。
隨堂練習--- 請將下表完成：
度 0° 45° 90° 150° 210° 360°
弧度 6
3
3
4
π 3
2
---
※扇形的弧長與面積公式
若圓半徑為 r，扇形 COD 的圓心角∠COD＝θ（弧度），0 ≤ θ ≤ 2π，如圖 3 ，令扇形的弧 長為 s，面積為 A，則
(1) s＝rθ。
(2) A＝1
2 r2θ＝1 2 rs。
例題2--- 已知一扇形半徑為 12 公分，圓心角為 45°，試求此扇形的弧長及面積。
--- 解 如圖 4 ，因 45°＝ 4
，故弧長為s＝rθ＝12‧ 4
＝3π（公分），
而扇形面積為A＝1
2 r2θ＝1
2‧122‧ 4
＝18π（平方公分）。
或用 A＝1
2 rs＝18π。
隨堂練習--- 已知一扇形半徑為 6 公分，圓心角為 120°，試求此扇形的弧長及面積。
---
※三角函數的定義
如圖 5，當 θ 為一銳角，可以畫出一個三個角為 θ，90°－θ，90° 的直角三角形，我們定義 sin θ＝對邊長
斜邊長，稱為 θ 的正弦，
cos θ＝鄰邊長
斜邊長，稱為 θ 的餘弦，
tan θ＝對邊長
鄰邊長，稱為 θ 的正切，
cot θ＝鄰邊長
對邊長，稱為 θ 的餘切，
sec θ＝斜邊長
鄰邊長，稱為 θ 的正割，
csc θ＝斜邊長
對邊長，稱為 θ 的餘割。
例題3--- 試求 sin 6
，cos 6
，tan 6
，cot 6
，sec 6
，csc 6
的值。
--- 解 由 6
＝30°，如圖 6，在 30°－60°－90°的直角三角形中，三邊長的比例為 1： 3：2，
故由定義可得
sin 1
6 2 2
k
k ， 3 3
cos6 2 2
k
k ，
tan 1
6 3 3
k
k ， 3
cot 3
6
k
k ，
2 2 sec6 3 3
k
k ， 2
csc 2
6
k
k 。
隨堂練習--- (1) 試求 4
的六個三角函數值。
(2) 直角三角形兩股長為 7 與 24，試求最小角的正割值。
---
※廣義角三角函數的定義
設 θ 是一個標準位置角，在角 θ 的終邊上任取一點 P（x，y），x，y 不同時為 0，且
2 2
OP r x y ＞0，如圖 7，則定義角 θ 的六個三角函數值如下：
sin θ＝ y
r ， cos θ＝ x r ， tan θ＝ y
x ， cot θ＝ x y ， sec θ＝r
x， csc θ＝ r y 。
例題4--- 試求下列各值：
(1) cot 300°。 (2) sec5 6
。
---
cot θ＝
1 3
3 3
x y
。
sec θ＝
2 2 3 3 3
r x
。
隨堂練習--- 試求下列各值：
(1) cot 150°。 (2) sec4 3
。 (3) csc11 6
。
---
※倒數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin θ‧csc θ＝1。
(2) cos θ‧sec θ＝1。
(3) tan θ‧cot θ＝1。
隨堂練習--- 試利用三角函數的倒數關係，在空格中填入適當的函數名稱或數字：
(1) sec 17°＝ 1
17。 (2)
1 sin4
5 ＝ 4 5 。 (3) tan11
7
‧cot11 7
＝ 。
---
※商數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) tan θ＝sin
cos
。 (2) cot θ＝
cos sin
。
隨堂練習--- 試利用三角函數的商數關係，在空格中填入適當的函數名稱：
(1)
sin15 cos15
＝ 15
。
(2) cot 143°‧ sin 143°＝ 143°。
--- ---
※平方關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin2 θ＋cos2 θ＝1。
(2) 1＋tan2 θ＝sec2 θ。
(3) 1＋cot2 θ＝csc2 θ。
隨堂練習--- 試利用三角函數的平方關係，完成下列各題：
(1) sin2 35°＋cos2 35°＝ 。 (2) tan27
8
－sec27 8
＝ 。
(3) csc211 9
－cot211 9
＝ 。
例題5--- 證明 sin θ（1＋tan θ）＋cos θ（1＋cot θ）＝sec θ＋csc θ。
--- 解 sin θ（1＋tan θ）＋cos θ（1＋cot θ）
＝sin θ 1 sin
cos
＋cos θ 1 cos
sin
（商數關係）
＝sin (cos sin ) cos (sin cos )
cos sin
＝（sin θ＋cos θ） sin cos cos sin
＝（sin θ＋cos θ）
2 2
sin cos sin cos
＝（sin θ＋cos θ）
1 sin cos
（平方關係）
＝ 1
cos ＋ 1 sin
＝sec θ＋csc θ。 （倒數關係）
隨堂練習--- 證明 cos 1 sin
1 sin cos
＝2 sec θ。
---
例題6--- 證明下列各式：
(1) csc（－θ）＝－csc θ。
(2) sec（π－θ）＝－sec θ。
(3) tan 2 ＝cot θ。
--- 解 (1) csc（－θ）＝ 1
sin( ＝) 1 sin
＝－ 1
sin ＝－csc θ，
故 csc（－θ）＝－csc θ。 （負角關係）
(2) sec（π－θ）＝ 1
cos( )＝ 1 cos
＝－ 1
cos ＝－sec θ，
故 sec（π－θ）＝－sec θ。 （補角關係）
(3) tan
2
＝ sin 2 cos 2
＝ cos sin
＝cot θ，
故 tan 2 ＝cot θ。 （餘角關係）
隨堂練習--- 證明下列各式：
(1) sec（－θ）＝sec θ。
(2) cot（π－θ）＝－cot θ。
(3) csc 2 ＝sec θ。
---
隨堂練習--- 請於下表中填上三角函數值的正負及給定角 θ 的三角函數值。
θ 所在象限 一 二 三 四
cot θ sec θ csc θ
例題7--- 若 π ≤ θ＜3
2
且 cot θ＝2，試求 csc θ 及 sec（π－θ）的值。
--- 解 由題意知 θ 為第三象限角且 cot θ＝ 2
1
＝2，
如圖 10，故取 θ 終邊上一點 P（－2，－1），則OP ( 2) 2 ( 1)2 5，
於是 r＝ 5，x＝－2，y＝－1，
5 5
sec 2 2
r
x ，
csc 5 5
1
r
y ，
由倒數關係及補角關係可得 sec（π－θ）＝ 1
cos( )＝ 1 cos
＝－sec θ＝－ 5 2
＝ 5 2 。
隨堂練習--- 若3
2
≤ θ＜2π 且 sec θ＝2，試求 cot（π＋θ）的值。
---
軸上角 0
2
π 3
2
cot θ sec θ csc θ
例題8--- 小賢想要測量學校旗桿的高度。首先站在 A 點，測得正北方的旗桿頂的仰角為 α。然後走直線 10 公尺到旗桿正西方的 B 點，測得旗桿頂的仰角為 β。試求旗桿的高度。（以 α，β 表示）
--- 解 設旗桿高度為 h，旗桿底部為 O 點，如圖 11，
在△APO中， AO
h ＝cot α，故
AO＝h cot α，
在△BPO中，BO
h ＝cot β，故
BO＝h cot β，
又△AOB 為直角三角形，故AO2＋BO2＝AB2，
圖 11 即（h cot α）2＋（h cot β）2＝102，
故 h＝ 2 2 10
cot cot （公尺）。
隨堂練習--- 承例題 8，若已知旗桿高 20 公尺，α＝ 3
，β＝ 4
，試求小賢走了多遠？
---
三角函數的圖形
※正弦函數
正弦函數 y＝sin x 的圖形
且正弦函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。
(3) 週期為 2π。 (函數圖形經過 2π 單位後會重複出現) (4) 振幅為1。 圖形連續不間斷且在 y＝±1 之間擺動
x 0 6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
π 7 6
5 4
4 3
3 2
5 3
7
4
11 6
2π …
y 0 1 2
2 2
3
2 1 3 2
2 2
1
2 0 －1
2 － 2
2 － 3
2 －1 － 3
2 － 2 2 －1
2 0 … (1) x 由 0 增加到 2
時，y 由 0 增加到 1，
(2) x 由 2
增加到 π 時，y 由 1 減少到 0，
(3) x 由 π 增加到3 2
時，y 由 0 減少到－1，
(4) x 由3 2
增加到 2π 時，y 由－1 增加到 0。
※餘弦函數
餘弦函數 y＝cos x 的圖形
且餘弦函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。
(3) 週期為 2π。
y＝cos x 的圖形向右平移 2
單位，就會和 y＝sin x 的圖形重合。
cos 2
x
＝cos 2
x
＝sin x
例題9--- 將 y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，並利用圖形回答下列各題：
(1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形有幾個交點？
(2) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，解 sin x＝cos x。
--- 解 將 y＝sin x 和 y＝cos x 的圖形畫在同一平面上，如圖 14，
圖 14 觀察可得
(1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，兩圖形有 2 個交點。
(2) 上述 2 個交點的 x 坐標是 x＝ 4
和 x＝5 4
，
故 sin x＝cos x 在 0 ≤ x ≤ 2π 的解為 x＝ 4
和 x＝5 4
。
隨堂練習--- 在 0 ≤ x ≤ 2π 時，何時 sin x ≤ cos x？
---
※正切函數
正切函數 y＝tan x 的圖形
且正切函數的
(1) 定義域為 |
2
x x為實數且x ＋， 為整數k k
。 (2) 值域為{y|y 為實數｝。
(3) 週期為 π。
※餘切函數
餘切函數 y＝cot x 的圖形
且餘切函數的
(1) 定義域為{x|x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數｝。
(3) 週期為 π。
※正割函數
正割函數 y＝sec x 的圖形
圖 17 且正割函數的
(1) 定義域為 |
2
x x為實數且x ＋， 為整數k k
。 (2) 值域為{y|y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。
(3) 週期為 2π。上述的值域亦可合併表示為{y|y 為實數，|y| ≥ 1｝。
※餘割函數
餘割函數 y＝csc x 的圖形
且餘割函數的
(1) 定義域為｛ x|x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。
(2) 值域為｛ y|y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。
(3) 週期為 2π。
※函數圖形的平移 設 h，k＞0。
(1) y＝f（x）＋k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向上平移 k 單位而得。
(2) y＝f（x）－k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向下平移 k 單位而得。
(3) y＝f（x＋h）的圖形是將 y＝f（x）的圖形向左平移 h 單位而得。
(4) y＝f（x－h）的圖形是將 y＝f（x）的圖形向右平移 h 單位而得。
例題10--- 試利用 y＝sin x 的圖形，畫出下列圖形。
(1) y＝2＋sin x。 (2) y＝sin 3
x
。
--- 解 (1) y＝2＋sin x 的圖形為 y＝sin x 的圖形向上平移 2 單位而得。
圖 19 注意到週期沒有改變。
(2) y＝sin 3
x
的圖形為 y＝sin x 的圖形向右平移 3
單位而得，圖形如圖 20。
圖 20 注意到週期沒有改變。
隨堂練習--- (1) 利用 y＝cos x 的圖形畫出 y＝cos x－1 的圖形。
(2) 利用 y＝tan x 的圖形畫出 y＝tan 2
x
的圖形。
---
※函數圖形的伸縮 設 a＞0。
(1) y＝af（x）的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的縱坐標都乘上a 倍而得。
(2) y＝f（ax）的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的橫坐標都乘上1
a 倍而得。
例題11--- 試利用 y＝cos x 的圖形，畫出下列圖形。
(1) y＝2 cos x。 (2) y＝cos 2x。 (3) y＝2 cos 4
x
。
--- 解 (1) y＝2 cos x 的圖形是將 y＝cos x 的圖形上每一點的縱坐標都乘上 2 倍而得，圖形如圖
21。
可看出由 y＝cos x 變成 y＝2 cos x 的效果是沿 y 軸方向伸長了 2 倍，亦即振幅為原來 的 2 倍，注意到週期沒有改變。
(2) y＝cos 2x 的圖形是將 y＝cos x 圖形上每一點的橫坐標都乘上1
2倍而得，圖形如圖 22。
圖 22
可看出由 y＝cos x 變成 y＝cos 2x 的效果是沿 x 軸方向壓縮成1
2倍。注意到週期由 2π 變成 π，振幅不變。
(3) y＝2 cos 4
x
的圖形是將 y＝cos x 的圖形先向左平移 4
單位，縱坐標再乘上 2 倍 而得，圖形。
隨堂練習--- (1) 畫出 y＝－cos x 的圖形，並求其週期。
(2) 畫出 y＝cos 1 2
x
的圖形，並求其週期。
(3) 畫出 y＝3 cos（x－π）的圖形，並求其週期。
---
例題12--- 在－2π ≤ x ≤ 2π 的範圍中，試求方程式 sin x＝ 6x
的實根個數。
--- 解 直接求解 x 並不可行，我們換個方式將問題視為
“ y＝sin x 的函數圖形和 y＝ 6x
的函數圖形有幾個交點？”
因此將兩圖形繪出後即可判斷。
圖 24
如圖 24，可知在－2π ≤ x ≤ 2π 的範圍中，兩函數圖形有 3 個交點，即 sin x＝ 6x
在此範圍中有 3 個實根。
隨堂練習--- 在－π ≤ x ≤ π 的範圍中，利用圖形求方程式 cos x＝1
2的實根個數。
---
習題2-1 一﹑基本題
1. 試將下列度化為弧度或將弧度化為度：
(1) 15°。 (2)－300°。 (3)3 4
。 (4)－7 3
。
2. 已知一扇形面積為 4 平方公分，且弧長為 2 公分，試求此扇形的半徑與圓心角。
3 試求下列各值：
(1) cot 3
。 (2) csc 4
。 (3) sec（－4π）。
4. 已知（5，－12）為標準位置角 θ 終邊上的一點，試求角 θ 的六個三角函數值。
5. 證明下列各式：
(1) csc θ＋cot θ＝ sin 1 cos
。
(2) tan4 θ＋tan2 θ＝sec4 θ－sec2 θ。
6. 試利用 y＝sin x 的圖形，繪出下列函數圖形，並求其週期﹑最大值與最小值。
(1) y＝2 sin x。 (2) y＝sin 2x。
(3) y＝sin（－x）。 (4) y＝sin 4
x
＋1。
7. (1) 終邊在 x 軸正向上的角為 360°‧n，n 為整數，寫成弧度為何？
(2) 終邊在 y 軸負向上的角寫成弧度為何？
(3) 終邊在直線 x＋y＝0 上的角寫成弧度為何？
二﹑進階題
8. 如右圖，有甲﹑乙兩棟大樓相隔一條大馬路，已知甲棟大樓樓高 60 公尺。今自甲﹑乙棟 大樓樓底測得對方樓頂的仰角分別為 α，β，若已知cot α＝ 4
15，cot β＝1
3，試問：
(1) 馬路寬多少公尺？
(2) 乙棟大樓樓高多少公尺？
9. 如右圖所示，超級市場中的罐頭每三罐用塑膠繩捆起來一起販售。已知罐頭橫截面的圓其 半徑為 3 公分，試求塑膠繩的長度。
10. 已知 θ 是第二象限角且 cot θ＝－3
4，試求 θ 的其他三角函數值。
11. 設 0＜θ＜π，且 sin θ＋cos θ＝1
5，試求下列各值：
(1) sin θ cos θ。 (2) tan θ＋cot θ。 (3) cot θ。
12. (1) 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍中，試求方程式 sin x＝－
3
2 的實根 x。
(2) x 為實數，試求方程式 sec x＝2 的所有實根。
13. 若函數 f（x）＝2 sin 1 2
x
的部分圖形如下圖所示，其中 0 ≤ θ ≤ 2π，則 θ 的值為何？
14. 在 0 ≤ x ≤ 2π 的範圍中，解不等式 cos x ≥ 1 2。
三﹑挑戰題
15. 在 －π ≤ x ≤ π 的範圍中，試求方程式 x＋tan x＝0 的實根個數。
