第三章 研究方法
本研究的工具是使用自編測驗卷與量表去瞭解實施數學寫作活動後，學生在 解方程式應用問題表現及學習態度上的差別。資料收集除了學生測驗時的放聲思 考及測後訪談，尚有寫作學習單與日誌。在資料分析方面主要以質的分析為主。
本章共分為六節，第一節提出研究架構圖，第二節描述研究對象，第三節介紹研 究工具，第四節談研究步驟與過程，第五節提出分析架構，最後一節說明本研究 的研究限制。
第一節 研究架構
依據本研究第一章所提之研究動機與研究目的，經文獻探討後，提出本研究 之架構，如下所示：
研究對象
方程式應用問題前測 情意相關問卷前測
數學寫作 活動意見 調查 方程式應用
問題後測
學生寫作 內容分析 前測解題歷程分析
後測解題歷程分析
寫 作 活 動 的 實 施
寫作適應期
寫作創作期
正式訓練期 配合解題歷程 熟悉寫作形式
後設認知能力
數學日誌寫作
情意相關 問卷後測
比較 比較
比較
如圖 3-1-01，在數學寫作活動實施前後，分別對研究對象進行方程式應用問 題、情意相關問卷前、後測，同時，將前、後測的解題歷程進行分析。本研究的 研究問題即是藉由探討前、後測之間的差異，來說明數學寫作活動對學生解題歷 程和數學態度產生怎樣的影響。而學生寫作內容品質的分析，以及學生對數學寫 作活動意見的調查結果，可以用來做為三角校正。
第二節 研究對象
一、研究對象挑選
本研究採個案研究法，經由對三位學生解題歷程的分析，來探討他們透過數 學寫作訓練後，在解方程式應用問題成就表現及其解題歷程的改變，茲將樣本選 取的流程如圖 3-2-01：
圖 3-2-01 研究對象選取流程圖 目前就讀台南市某國中，研究者曾任
課的班級學生為研究對象。研究期 間，該班為八年級升九年級的學生。
依研究者自編安置性測驗分層取樣，
依據分數的高低次序，從最高部分向 下取總人數的 27%為高分組，再從最 低部分向上取 27%為低分組，其於為 中分組。(郭生玉，民 93)
該班為研究者任職時的導師班，
因此對學生已有認識，且對其數 學能力也都瞭解。選取該班學生 為研究對象，可以方便觀察研究。
從高、中、低分組各取一名表達力 佳，且配合度高的學生共三位做為本 研究的對象，並且分別稱為學生 H、
M、L。
安置性測驗是用來評量學生的起 點行為，以便將學生安置在適當 的教學計劃中(郭生玉，民 93)。本 研究中安置性測驗的目的是希望 瞭解學生在「解方程式」及「方 程式應用問題」的學習狀況，以 確定學生的基本概念和起點行 為、熟悉學生的能力，以作為分 層取樣的依據。
以安置性評量中「第一大題計算 題大部分正確者」為挑選研究對 象的依據，採自由意願並且經過 家長的同意。
二、研究對象描述
經由挑選的程序，決定了三位學生作為此研究欲觀察分析的對象，以下對三 位學生稍做描述：
1. 由安置性測驗結果之高分組中所選出的學生 H，為班上中上程度的學生，安 置性評量的成績為 95 分。該生平時在班上較為安靜，但卻善於與教師溝通。
處事態度認真，對於自己的課業也絕不馬虎，在語文表現極為優秀，喜歡用 文字表達。
2. 由安置性測驗結果之分組中所選出的學生 M，為班上中等程度的學生，安置 性評量的成績為 73 分。該生個性活潑好動，喜歡交朋友，興趣是畫小插圖。
父母工作繁忙，因此孩子下課後都往補習班跑，很依賴補習班老師，在數學 上的解題常使用補習班教的小技巧。
3. 由安置性測驗結果之低分組中所選出的學生 L，為班上中下程度的學生，安 置性評量的成績為 40 分。該生人緣不錯，與同學相處融洽，完全沒有接受補 習班的課後輔導，在時間上全能配合。數學成績一直不起色，對自己也沒有 信心，但還不致於逃避這個科目。
第三節 研究工具
一、安置性測驗卷
本測驗的目的，是希望瞭解學生在「解方程式」及「方程式應用問題」的學 習狀況，以確定學生的基本概念和起點行為、熟悉學生的能力，以作為分層取樣 的依據。試題來源主要參考九年一貫數學領域各版本中「一元一次方程式」、「二 元聯立方程式」及「一元二次方程式」各單元的課本和習作，先後與數位國中數 學科教師及指導教授討論，編製出第一次預試試卷。並以台北市某兩個國中各一 班學生共 64 人進行安置性測驗預試，測得難度和鑑別度，難度取 0.38 到 0.80 之 間，刪去鑑別度 0.2 以下的題目，加以編排後得到本研究之正式安置測驗卷(如附 錄一)。測驗卷內容難度與鑑別度分配如表 3-3-01，利用α係數估計出試題的信 度為 0.83，顯示受試者對試題的反應接近一致性：
表 3-3-01 安置測驗卷各題之難度與鑑別度分配 題號 數學內容 難度 鑑別度 一、1 一元一次方程式 0.80 0.23 一、2 一元一次方程式 0.78 0.31 一、3 二元一次聯立 0.63 0.63 一、4 二元一次聯立 0.51 0.75 一、5 一元二次方程式 0.72 0.56 一、6 一元二次方程式 0.63 0.75 二、1 一元一次方程式 0.57 0.63 二、2 二元一次聯立 0.63 0.50 二、3 一元二次方程式 0.38 0.75 二、4 二元一次聯立 0.57 0.87 二、5 一元一次方程式 0.53 0.94 二、6 二元一次聯立 0.41 0.69 二、7 一元二次方程式 0.44 0.88
預試完後再對研究樣本進行正式測試，測驗結果均由研究者親自批改，計算 題全對才給分，而應用問題則採部分給分制，表 3-3-02 為應用問題各題評分標 準：
表 3-3-02 安置性測驗卷第二大題應用問題各題評分標準
題號 答 題 程 度 得分 1. 若五個連續奇數的和為
145，則第二大的數為多 少？
能設出末知數，並寫出其餘 4 個數的表示 情形
3
能正確列出對應的等式 +3
能計算出正確的 x 值 +3
能寫出正確的答案 +1
2. 小芳的撲滿裡有 5 元硬幣 和 10 元硬幣共 20 個，算 一算，共有 140 元。則 5 元和 10 元硬幣分別有多少 個？
能設出未知數及另一者的表示（或設二元） 2 能正確列出對應的等式（或聯立方程組） +4
能計算出正確的值 +3
能寫出正確的答案 +1
3. 有一長方形花園，其面積 為 180 平方公尺。若它的 長比寬多 3 公尺，則此花 園的周長是多少公尺？
能設出未知數及另一者的表示 能正確列出對應的等式
能計算出正確的 x 值 能寫出正確的答案
2 +4 +3 +1 4. 設甲、乙兩人共有 120 元。
如果甲給乙 10 元，甲所有 錢就是乙所有錢的 2 倍，
問甲原來有多少元？
能設出未知數及另一者的表示（或設二元）
能正確列出對應的等式（或聯立方程組）
能計算出正確的值 能寫出正確的答案
2 +4 +3 +1 5. 一群學生乘車去郊遊，需
先繳車費，預計每人要平 均分攤 120 元。後來人數 增加了 2 人，這樣每個人 可以少攤 3 元。請問原來 這群學生的人數是多少 人？
能設出未知數
能正確列出對應的等式 能計算出正確的 x 值 能寫出正確的答案
1 +5 +3 +1
6. 學生分配宿舍，若 4 人住 一間，則有 2 人無宿舍住；
若 5 人住一間，則剩餘宿 舍 2 間沒人住，問學生共 有多少人？
能設出未知數（一元或二元）
能正確列出對應的等式（或聯立方程組）
能計算出正確的值 能寫出正確的答案
2 +4 +3 +1 7. 如圖，在長 10 公尺、寬 8
公尺的長方形土地上，開 闢等寬的道路，其中斜線 部分為四個面積相等的花
能設出未知數
能正確列出對應的等式 能計算出正確的值 能寫出正確的答案
1 +5 +3 +1
圃。若道路的面積占全體 面積的 9
16，則道路的寬度 為多少公尺？
二、方程式應用問題前、後測試卷
本測驗的目的，係探討三位學生對方程式應用問題的解題歷程，在經過數學 寫作的訓練後，是否有所改變。試題之設計，是參考國中數學新舊版本的課本和 習作、袁媛(民 82)所撰論文之代數文字題測驗，以及林清江、張景媛(民 82)對國 中生代數應用題教學策略效果之評估的研究中，所編製的數學測驗卷，並與指導 教授及多位數學教師討論而成，所以本份試卷具有專家效度。題目挑選主要以敍 述稍為冗長，複雜度稍高為依據，並將前後測各題目的相似性和難易度做一一對 應，控制使得前後測試題(如附錄二)為「表異結似」1的題目(結構對照表如下)，
目的是為了更清楚比較出學生在面對結構相似的題目，其解題歷程是否因受到數 學寫作訓練的影響而有所改變。
表 3-3-03 前測第 1 題與後測第 1 題題目結構對照表
前測試題 1 後測試題 1
題目 大炳家有一塊長方形的草地，它 的長是 30 公尺、寬是 20 公尺。
大炳想要將草地上一棟邊長為 10 公尺的正方形舊房子改建成 渡假別墅。若每邊增加的長度要 相同，請問要每邊分別增加多少 公尺，才能使保留的草地面積為 375 平方公尺？
李老師有一塊每邊長為 20 公 尺的正方形土地。想在中間用 柵欄圍出一個長寬相差 4 公尺 的長方形區域養羊，且希望柵 欄外的土地面積為 80 平方公 尺。請問養羊區域的長和寬分 別為多少公尺？
問題呈現的 表徵方式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題
1 王婉馨(民 95)將問題之間的相似性區分四種，其中「表異結似」是指表面不相似但結構相似的 問題。也就是，問題的表徵或書寫符號的表面變項不相同(表面不相似)，但問題的概念、原則 具有深層的數學結構關係的相似(結構相似)。
10 m 8 m
表面句子結 構
(1)大炳家有一塊長方形的草 地，它的長是 30 公尺、寬是 20 公尺
(2)想要將草地上有一棟邊長為 10 公尺的正方形舊房子改建 成渡假別墅。若每邊增加的長 度要相同
(3)保留的草地面積為 375 平方 公尺
(4)請問要每邊分別增加多少公 尺
(1)李老師有一塊每邊長為 20 公尺的正方形土地
(2)想在中間用柵欄圍出一個 長寬相差 4 公尺的長方形區 域養羊
(3)希望柵欄外的土地面積為 80 平方公尺
(4)請問養羊區域的長和寬分 別為多少公尺？
知識向度 基模知識：長方形面積公式＝長×寬 正方形面積公式＝邊長×邊長 總面積與各部分面積的關係
策略知識：假設增加的邊長為 x 公尺（或寬為 x 公尺），可以得 到土地上新區域的面積，再依(3)列出等式
程序性知識：解一元二次方程式 解題過程之
數學結構
＊一元二次方程式
(a)設每邊分別增加 x 公尺 (b)(10+x)(10+ +x) 375=30 20× (c)(10+x)2 =225
10+ = ±x 15
x=5or−25(不合) (d)每邊應增加 5 公尺
＊一元二次方程式
(a)設寬 x 公尺，長 x+2 公尺 (b) (x x+ +4) 80=20 20× (c)x2+4x−320= 0 (x−16)(x+20)= 0 x=16or−20(不合) (d)寬為 16 公尺
長為16 4+ =20公尺
表 3-3-04 前測第 2 題與後測第 2 題題目結構對照表
前測試題 2 後測試題 2
題目 棒球隊長去運動用品店買手套 10 個和棒球 50 個，總共花了 7000 元。回來後發現手套太多，棒球 太少，於是他拿 1 個手套去換棒 球，老闆對他說：「再拿 100 元
媽媽在大賣場買了茶壺 15 個，
茶杯 50 個，總共花了 8000 元。
回來後發現茶壺太多，茶杯太 少，於是他拿 1 個茶壺去換茶 杯，店員對她說：「如果妳再拿 x
x 10 20 10
30 20
20 x x+2
來，我換給你 5 個棒球。」請問：
棒球 1 個和手套 1 個各是多少 元？
50 元來，可以換 5 個茶杯。」
請問：茶壺 1 個和茶杯 1 個各是 多少元？
問題呈現的 表徵方式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題 表面句子結
構
(1)棒球隊長去運動用品店買手 套 10 個和棒球 50 個，總共花 了 7000 元。
(2)回來後發現手套太多，棒球太 少，於是他拿 1 個手套去換棒 球
(3)老闆對他說：「再拿 100 元來，
我換給你 5 個棒球。」
(4)請問：棒球 1 個和手套 1 個各 是多少元？
(1)媽媽在大賣場買了茶壺 15 個，茶杯 50 個，總共花了 8000 元。
(2)回來後發現茶壺太多，茶杯 太少，於是他拿 1 個茶壺去換 茶杯
(3)店員對她說：「如果妳再拿 50 元來，可以換 5 個茶杯。」
(4)請問：茶壺 1 個和茶杯 1 個各 是多少元？
知識向度 基模知識：等值問題：一個手套（茶壺）相當於多少棒球（茶杯）
的價值
策略知識：分別設手套和棒球（或茶壺和茶杯）的單價，由(1)列 出第一個等式，(3)則可看出兩者之間價錢的關係，來 列第二個等式
程序性知識：解二元一次方程式 解題過程之
數學結構
＊二元一次方程式
(a)設手套 1 個 x 元，棒球 1 個 y 元
(b) 10 50 7000 100 5
x y
x y
+ = ⊗
⎧⎨ + = ⊕
⎩
L LLL
(c)⊕×10 10x−50y= −1000L
20 6000 300
300+100=5y 80 x
x
y
⊗ + =
= ⊕
= 代入
(d)手套 1 個 300 元 棒球 1 個 80 元
＊二元一次方程式
(a)設茶壺 1 個 x 元，茶杯 1 個 y 元
(b) 15 50 8000 50 5
x y
x y
+ = ⊗
⎧⎨ + = ⊕
⎩
L LLL
(c)⊕×10 10x−50y= −500L
25 7500 300
300+50=5y 70 x
x
y
⊗ + =
= ⊕
= 代入
(d)茶壺 1 個 300 元 茶杯 1 個 70 元
表 3-3-05 前測第 3 題與後測第 3 題題目結構對照表
前測試題 3 後測試題 3
題 目
快樂國中某社團共 30 人，今年收得社費 10600 元。已知繳費的標準為：一年級、
某種牌子的飲料有大小包裝 3 種，大 瓶、中瓶、小瓶一瓶各需 25、20、15
二年級、三年級分別是每人 500 元、300 元、100 元。如果一年級的人數比二年級 人數的 2 倍少 6 人，那麼三年級有多少人？
元。小炳買了 25 瓶此牌飲料共花了 515 元。如果所購買的大瓶數比小瓶 數的 2 倍少 2 瓶，那麼小炳買了幾瓶 中瓶？
問 題 呈 現 的 表 徵 方 式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題
表 面 句 子 結 構
(1)快樂國中某社團共 30 人
(2)一年級、二年級、三年級分別是每人 500 元、300 元、100 元
(3)共收得社費 10600 元
(4)一年級的人數比二年級人數的 2 倍少 6 人
(5)那麼三年級有多少人
(1)小炳買了 25 瓶此牌飲料
(2)大瓶、中瓶、小瓶一瓶各需 25、
20、15 元 (3)共花了 515 元
(4)大瓶數比小瓶數的 2 倍少 2 瓶 (5)那麼小炳買了幾瓶中瓶
知 識 向 度
基模知識：單價×數量＝總額
轉換「幾倍少幾人（瓶）」至數學運算符號
策略知識：假設二年級有 x 人（小瓶有 x 瓶），依(4)列出一年級人數（大瓶數），
再依(1)列出三年級人數（中瓶數），最後由「單價×數量＝總價」列出 方程式
程序性知識：解一元一次方程式 解
題 過 程 之 數 學 結 構
＊一元一次方程式：
(a)設二年級人數為 x 人 則一年級有2x−6人 三年級 30− −x (2x− 人 6) 30− −x (2x− =6) 36 3− x
(b)500x+300(2x− +6) 100(36 3 ) 10600− x = (c)5x+6x− +18 36 3− x=106
8x+18 106= x=11
(d)三年級有36 3 11 3− × = 人
＊一元一次方程式：
(a)設小瓶有 x 瓶 則大瓶有2x−2瓶
中瓶有 25− −x (2x− 瓶 2) 25− −x (2x−2)=27 3− x
(b)25(2x− +2) 20(27 3 ) 15− x + x=515 (c)10x−10 108 12+ − x+3x=103 x− =5 0
x=5
(d)中瓶有27 3 5 12− × = 瓶
表 3-3-06 前測第 4 題與後測第 4 題題目結構對照表 前測試題 4 後測試題 4
題目 有一天大毛對小毛說：「你這 毛頭小子，八年前我的年齡是 你的 4 倍，現在可能不只 4 倍 了。」小毛說：「你的數學真 差，兩年後，你的年齡只是我 的 2 倍而已，有朝一日，我還 能迎頭趕上呢！」問大毛及小 毛現在各幾歲？
大毛和小毛錢筒裡各有若干元，
兩人每天各存 20 元，大毛對小毛 說：「兩天前我的錢是你的 5 倍，
現在可能不只 5 倍了。」，小毛說：
「你錯了，三天後，你的錢只是 我的 3 倍而已，我會慢慢趕上你 的！」請問大毛和小毛現在各有 多少錢？
問題呈現的 表徵方式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題 表面句子結
構
(1)年齡隱藏性知識：一年增加 一歲
(2)八年前我的年齡是你的 4 倍 (3)兩年後，你的年齡只是我的
2 倍而已
(4)問大毛及小毛現在各幾 歲？
(1)兩人每天各存 20 元 (2)兩天前我的錢是你的 5 倍 (3)三天後，你的錢只是我的 3 倍
而已
(4)請問大毛和小毛現在各有多少 錢？
知識向度 基模知識：倍數關係
策略知識：＊設小毛現年 x 歲（或現有 x 元），並由(2)來假設出大 毛現年幾歲（或現有幾元），再依(3)列出等式
＊設小毛現年 x 歲（或有 x 元）、大毛現年 y 歲（或有 y 元），並以(2)(3)分別列出兩條方程式，再解聯立 程序性知識：解一元一次方程式或二元一次聯立方程組
解題過程之 數學結構
＊一元一次方程式 (a)設小毛現年 x 歲 則小毛八年前x−8歲 大毛八年前 4(x− 歲 8) (b) 4(x− +8) 10=2(x− +8 10) (c)4x−32 10+ =2x− +16 20 2x=26
x=13
(d)小毛現為 13 歲
大毛現為 4(13 8) 8 28− + = 元
＊一元一次方程式 (a)設小毛現在有 x 元 則小毛兩天前有x−40元 大毛兩天前有 5(x−40)元 (b) 5(x−40) 100+ =3(x−40 100)+ (c)5x−200 100+ =3x−120 300+ 2x=280
x=140
(d)小毛現有 140 元 大毛現有
5(140 40)− +40=540元
＊二元一次聯立方程組 (a)設小毛現年 x 歲、大毛 y 歲 (b) 8 4( 8)
2 2( 2)
y x
y x
− = − ⊗
⎧⎨ + = + ⊕
⎩
L L (c)⊕ − ⊗：10= − +2x 36 x=13
代入⊗得y=28 (d)小毛現為 13 歲 大毛現為 28 歲
＊二元一次聯立方程組
(a)設小毛現有 x 元、大毛 y 元 (b) 40 5( 40)
60 3( 60)
y x
y x
− = − ⊗
⎧⎨ + = + ⊕
⎩
L L (c)⊕ − ⊗：100= − +2x 380 x=140
代入⊗得y=540 (d)小毛現有 140 元 大毛有 540 元
表 3-3-07 前測第 5 題與後測第 5 題題目結構對照表
前測試題 5 後測試題 5
題 目
量販店一瓶賣價 150 元的洗髮精，一 天可賣掉 250 瓶。若每瓶降價 1 元，
則每天多賣出 2 瓶，某日該品牌洗髮 精共賣得 37200 元。問該日此品牌洗 髮精一瓶賣價多少元？賣出幾瓶洗 髮精？
台南麵包店新推出的中秋月餅一個 售價 45 元，一天可賣掉 500 個。若 每個漲價 1 元，其銷售量就減少 10 個，某日此中秋月餅共賣得 22500 元。問該日此中秋月餅一個多少元？
共賣出幾個？
問 題 呈 現 的 表 徵 方 式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題
表 面 句 子 結 構
(1)量販店一瓶賣價 150 元的洗髮 精，一天可賣掉 250 瓶
(2)若每瓶降價 1 元，則每天多賣出 2 瓶
(3)某日該品牌洗髮精共賣得 37200 元
(4)該日此品牌洗髮精一瓶賣價多少 元？賣出幾瓶洗髮精？
(1)台南麵包店新推出的中秋月餅一 個售價 45 元，一天可賣掉 500 個 (2)若每個漲價 1 元，其銷售量就減少
10 個
(3)某日此中秋月餅共賣得 22500 元 (4)該日此中秋月餅一個多少元？共
賣出幾個？
知 識
基模知識：單價×數量＝總價
策略知識：假設降價（或漲價）為 x 元，並根據規則(2)列出調價後的出售
向 度
量，再依「新單×新數量＝總價」列出等式。
程序知識：解一元二次方程式 解
題 過 程 之 數 學 結 構
＊一元二次方程式 (a)設每瓶降價x元 則每瓶150−x元
賣250 2x+ 瓶
(b)(150−x)(250 2 )+ x =37200
(c)37500 250− x+300x−2x2 =37200
2 2
2 50 300 0 25 150 0
x x
x x
− − =
− − = ( 30)( 5) 0
30 5
x x
x or
− + =
= −
(d)一瓶150 30 120− = 元 共賣出250 60+ =310個
＊一元二次方程式 (a)設每個漲價x元 則每個45+x元
賣500 10x− 個
(b)(45+x)(500 10 )− x =37200
(c)22500 500+ x−450x−10x2 =22500 10x2 50x 0
− + = x2−5x= 0
( 5) 0 x x− =
0 5 x= or
(d)一個月餅 45 元，賣掉 500 個 or 一個月餅 50 元，賣掉 450 個
表 3-3-08 前測第 6 題與後測第 6 題題目結構對照表 前測試題 6 後測試題 6 題目 甲、乙兩堆小球，原來各有若
干個。先從甲堆中，拿出和乙 堆同樣多的小球放入乙堆，再 從乙堆中，拿出和這時的甲堆 同樣多的小球放入甲堆。這時 甲、乙兩堆的球恰好都是 48 個，請問乙堆最初有小球幾 個？
大炳和小炳身上各有若干元。
大炳先拿出和小炳身上同樣多 的錢給小炳，接著小炳再拿出 和這時大炳同樣多的錢給大 炳。這時大炳、小炳身上的錢 恰好 都是 200 元，那麼小炳最 初有多少元？
問題呈現的表 徵方式
方程式文字應用問題 方程式文字應用問題 表面句子結構 (1)甲、乙兩堆小球，原來各有
若干個
(2)先從甲堆中，拿出和乙堆同 樣多的小球放入乙堆 (3)再從乙堆中，拿出和這時的
甲堆同樣多的小球放入甲 堆
(4)這時甲、乙兩堆的球恰好都 是 48 個
(5)請問乙堆最初有小球幾個
(1)大炳和小炳身上各有若干 元
(2)大炳先拿出和小炳身上同 樣多的錢給小炳
(3)接著小炳再拿出和這時大 炳同樣多的錢給大炳
(4)這時大炳、小炳身上的錢恰 好都是 200 元
(5)那麼小炳最初有多少元
知識向度 基模知識：拿出→減少→「－」，得到→增加→「＋」
策略知識：分別假設原本兩人的球數（或錢數）為 x 和 y，找 出兩個人在兩次的給予後手中的球數（或錢數），依
「恰好都是 48 個」（或「恰好都是 200 元」）分別列 出等式
程序性知識：解二元一次聯立方程組 解題過程之數
學結構
＊二元一次聯立方程組 (a)設甲堆x個，乙堆 y 個 (b) 甲 乙 原 x y 第一次 x− 2y y
第二次 2(x−y) 2y− −(x y) (c) 2( ) 48
2 ( ) 48 x y
y x y
− =
⎧⎨ − − =
⎩
(d) 24 3 48 x y
x y
− = ⊗
⎧⎨− + = ⊕
⎩
LL L ⊗ + ⊕ 2y=72 y=36
＊二元一次聯立方程組 (a)設大炳x元，小炳 y 元 (b) 大 小 原 x y 第一次 x− 2y y
第二次 2(x−y) 2y− −(x y) (c) 2( ) 200
2 ( ) 200 x y
y x y
− =
⎧⎨ − − =
⎩
(d) 100 3 200 x y
x y
− = ⊗
⎧⎨− + = ⊕
⎩
LL L ⊗ + ⊕ 2y=300 y=150
三、寫作工具的內容分析
本研究的數學寫作活動主要是根據國中課程中「有關方程式應用問題」而設 計的，寫作的形式以引導方式為主，包括了「數學寫作學習單」及「數學日誌」
兩者。
(一) 數學寫作學習單
研究者於閱讀數學寫作相關文獻後，將數學寫作分為三個時期，分別為「寫 作適應期」、「正式訓練期」、「寫作創作期」，且在前後共設計了五堂數學寫作的 課程，每一堂課都使用研究所自編的寫作學習單做為教材(詳見附錄三)：
1. 寫作適應期：為了熟悉並適應寫作形式，慢慢將數學語言和符號融入寫作中。
第一堂課(暖身活動)：自傳
由於學生剛開始嘗試數學寫作，暖身活動目的是為了讓學生認識何謂數 學寫作。Rose (1989)認為自傳(autobiography)類型的寫作適合於寫作初期，讓 學生有機會寫一些自己熟悉的或與數學相關的生活經驗。
活動內容：(1)進行數學寫作的初步介紹 (2)作文：「我學應用問題」(學習單
A1)
第二堂課：解釋、寫信
演算規則可提供一條有效路徑以確保正確的答案，但學生通常不知道為 什麼這些程序為何行得通。寫作幫助自己意識到運算法則(Whitin, 1998)。藉 由解方程式過程中解釋各步驟的 how？what？why？訓練學生開始運用數學 語言、符號進行寫作，並且學會說出理由。
活動內容：(1)解釋性寫作(學習單 A2) (2)寫一封信(學習單 A3)
2. 正式訓練期：開始將寫作融入解題歷程中，訓練學生解應用問題的思維。
第三堂課：摘要 v.s 解題前半部(閱讀題目、分析題目、探索題目)
閱讀各類應用問題，學生在讀題後能提綱挈領寫出一些摘要，經由摘出 重要的句子來幫助瞭解題意，並鼓勵學生利用各種表徵來呈現題意，題目所 提供的關鍵條件也經由摘要一目了然。摘要的過程也可以幫助教師了解學生 是否能掌握哪些資訊與解題有關，而哪些資訊與解題無關。
活動內容：長話短說(學習單 A4)
第四堂課：標題寫作 v.s 解題後半部(擬定計劃、執行計劃、驗證答案) 引導學生按照解題步驟：閱讀題目、分析題目、探索題目、擬定計劃、
執行計劃、驗證答案來解題，此堂課聚焦訓練學生能設未知數及列出方程 式，並能判斷最後答案的正確性和合理性(即能夠擬定計劃、執行計劃、驗證 答案)，這也是解題時通常會被呈現在紙上的部分。要求學生在解題時將六個 步驟寫下來，可藉此分析自己的思考歷程，利用回顧來澄清想法和檢視答 案，進而發現其他可能的解題方法。
活動內容：按步就班(學習單 A5)
3. 寫作創作期：為了培養學生後設認知的能力及創造力。
第五堂課：設計方案、擬題 v.s 後設認知
後設認知是一種瞭解自己知道什麼及不知道什麼的能力，也是計劃一種 策略以生產所需資訊的能力。劉祥通(民 86)提出要求學生練習擬題，可以加 深對問題結構的瞭解。讓學生在擬題和設計方案的過程中意識到自己對數學
概念的理解，並以自己的步驟、策略去解決非例行性問題，反省和評估思考 結果。
活動內容：(1)小小設計師(學習單 A6) (2)擬題活動(學習單 A7)
在數學寫作的第一堂課、第二堂課及第五堂課，期望學生能將他們的寫作成 品與其他人做分享，因此三個學生一起上課；正式訓練期的第二堂課及第三堂 課，則是針對學生的個別差異分別進行教學，學生不只參與寫作，表達自己的學 習狀態，並能從中立即修正錯誤，提高學習效率。各階段課程的學習單內容可詳 見附錄，以下將之做簡單的整理：
表 3-3-09 各階段課程學習單設計架構 寫作形式 對應的
解題歷 程
活動名稱 內容
寫 作 適 應 期
第一堂課 自傳 作文：我學 應用問題
請學生將國中小學習應 用問題的經驗的寫下並 且與其他人分享，若學生 不知如何下筆，教師也提 供幾個可思考的方向。
第二堂課 解釋 解釋性寫作 針對一元二次方程式各 種解法的相關概念設計 問答題，要求學生解釋計 算程序上的理由，並能提 出一些例子來輔助自己 的說明。
寫信 寫一封信 假設自己的好朋友因生 病而上課缺席，寫一封信 慰問他，並試著使用讓對 方容易理解方式介紹有 關今天「一元二次方程式 公式解」的上課內容。
正 式 訓 練 期
第三堂課 摘要 閱讀、分 析、探索
長話短說 研究者自編不同類型的 方程式應用問題共六 題，由學生閱讀完題目 後，對題目進行分析或探 索，並且條列式的摘出重 點或用表格等方式整理 關鍵條件。
第四堂課 標題寫作 計劃、執 行、驗證
按步就班 以課本上一題常見的應 用問題做為練習題，讓學 生熟悉解題的六個步 驟，並且學習如何將解答 (包括驗證)的過程鉅細 靡遺的寫下。
寫 作 創 作 期
第五堂課 設計方案 後設認 知
小小設計師 屬於任務性的問題，規畫 土地中的道路來滿足題 目的條件需求，說明設計 的理由，並能與其他人分 享各自的解法。
擬題 擬題活動 研究者舉出兩題課本常 見的方程式應用問題，學 生先進行解題，再依循解 法擬出一個與原問題結 構想似的題目，並與其他 人分享。
(二) 數學日誌
每次上完課後，均要求學生完成數學日誌，題目由研究者針對當天的課程加 以設計(詳見附錄四)。目的是讓學生對自己每次活動後的心得，將之形成例行性 的記錄，讓自己對正學習的數學內容進行更深一層的思考，並且有機會表達對活 動的感覺及遭遇的問題。
四、情意相關問卷
問卷包含兩個部分「對應用問題的觀念」和「對應用問題學習的感受」(詳 見附錄五)。
(一) 對應用問題的觀念
此由研究者根據以往教學經驗，針對學生在解應用問題時，可能出現的一些 迷思所編製，並與教授及多位資深數學教師討論修正而成，共 10 題有關學生「對 應用問題的觀念」的問題。目的是為了瞭解學生從開始學習應用問題至今，對於 解應用問題的一些觀念及想法。並藉此量表之分析，比較學生在經由數學寫作訓 練後，其對解應用問題的觀念上是否有改變。
(二) 對應用問題學習的感受
取自曹宗萍與周文忠(民 87)的研究工具，原量表將數學學習態度分為「學習 數學的信心」、「數學的有用性」、「數學的探究動機」、「對數學成功的態度」、「重 要他人的數學態度」、「數學焦慮」六個分量表，共 55 題，量表可解釋之變異量 為 40%，內部一致性係數為 0.92，重測信度為 0.80，效標關聯效度為 0.34。研究 者欲瞭解學生先前對學習應用問題的態度，並且在經由數學寫作訓練後，這些態 度是否有所改變。因此針對研究本身的需求，選取「學習數學的信心」、「數學探 究動機」、「數學焦慮」三個分量表中的題目，為了使題目更貼近本研究對象的際 情況，將原題目中關於「數學」的字眼，均以「應用問題」替代，並且對文字敍 述稍做修改。表 3-2-10 為此部分題目分配情形：
表 3-3-10 數學態度量表各分量題目分配情形
數學態度 正向題 反向題 題數
學習數學的信心 1、2、3、6 4、5 6 數學焦慮 7、8、9、10、11、12 6 數學探究動機 13、14、17 15、16 5
態度量表的給分標準採李克特式(Liker-type)五點量表呈現，學生必須從「非 常同意」、「同意」、「沒意見」，「不同意」、「非常不同意」勾選出一個最符合自己 意見的答案。本研究的試題中分為正向題及反向題兩部分，正向題計分則依上述 的順序給予 5、4、3、2、1 的分數；反向題則給予 1、2、3、4、5 的分數。最後 累計各分量表的分數，總得分即表示學生在學習應用問題態度上的表現，得分越 高表越正向的態度。
五、數學寫作意見調查問卷
主要是在調查學生在歷經數學寫作活動後的反應和意見，可供研究者作為往 後改良的參考。調查問卷(詳見附錄六)中的問題，皆由研究者針對一連下來的寫 作課程，做回饋上的設計，再與指導教授討論後修改編製完成。
六、放聲思考法
放聲思考法的研究方式，主要是讓解題者經過長時間的訓練後，培養解題者 一面解題，一面同步的將腦中的任何思想以語言口述出來。將解題者這些口述的 內容，轉譯成文字，即所謂的原案(protocol)(涂金堂，民 85)。放聲思考可以提供 研究者蒐集受試者解題時，其心智活動的及時資料(on-line data)；或者配合運用 回溯報告(retrospective reports)的方式來蒐集受試者解題時的回憶資料。
本研究為了瞭解學生解題時，其內在思考及外在表現的所有行為，且欲探討 其解題歷程的轉變，故以放聲思考的方式進行，用錄影來記錄學生放聲思考的解 題過程為原始資料，轉錄成原案後，再做原案分析。由於學生在解題中放聲思考 的內容是本研究的關鍵之一，為了確保三位學生在整個解題的歷程中，能習慣將 腦中思考的運作情形，同步以語言口述出來，均在測前對她們做了放聲思考的說 明和叮嚀，並且進行三次放聲思考的訓練。在正式的測試後，也對每一位學生做 半結構性的晤談，以彌補在解題時遺漏的一些思考歷程。
第四節 研究步驟與過程
本研究的實施步驟共有三個階段：研究準備期、研究執行期、研究完成期。
以下的流程圖呈研究的程序與方向：
圖 3-4-01 研究步驟流程圖
一、研究準備期
1. 擬定研究主題：廣泛閱讀相關文獻，尋找有關的研究主題，並與專家及指導 教授討論以確定研究方向及擬定研究問題。
2. 確定研究方法和對象：依據研究目的進行研究方法的設計，決定採用質性研 究，實施教學法後再對個案進行質的分析；基於研究方便，以研究者以前教
蒐集並閱讀國內外相關文獻探討與研究資料
擬定研究主題
確定研究方法和對象
編製研究工具
選擇研究對象 實施前置性測驗
進行寫作活動 實施前測、晤談
研究準備期 2006.3～2006.7
分析資料與解釋結果
撰寫研究結論與建議
研究執行期 2006.7～2006.10
研究完成期 2006.11～2007.5 實施後測、晤談
測的相關事宜。
3. 編製研究工具：本研究所使用的研究工具包括「前置性測驗卷」、「方程式應 用問題前、後測試題」、「數學寫作學習單」、「數學日誌」，以及「數學寫作情 意問卷」，皆經由指導教授審查修正，並於民國 95 年 7 月進行預試及信度分 析，才正式編寫而成。
二、研究執行期
1. 實施前置性測驗：於民國 95 年 8 月初對研究樣本進行前置性測驗。
2. 選擇研究對象：將前置性測驗結果做分層取樣，分別在高分組、中分組、低 分組各取兩位學生共六位做為初選樣本，經與導師、六名學生及其家長協調 討論後，決定出三位學生做為本研究的研究對象。確定研究對象後，開始為 期三堂課的放聲思考訓練，讓學生能熟悉放聲思考的模式。
3. 實施前測、訪談：於民國 95 年 8 月中旬實施方程式應用問題前測及情意問卷 前測，並在測驗後進行半結構性晤談。
4. 進行寫作活動：於民國 95 年 9 月開始進行數學寫作的課程共五堂課，教學者 即研究者。第一堂課、第二堂課及第五堂課均由三位學生一同上課，第二堂 課及第三堂課則分開進行，在每一堂課後都給予數學日誌，記錄當天的活動 和心得分享。每一堂課均架設攝影機拍攝，研究者也在教學過程中，同時對 學生進行觀察和記錄。
5. 實施後測、訪談：於民國 95 年 10 月初實施方程式應用問題後測後測及情意 問卷後測，並在測驗後進行半結構性晤談。
三、研究完成期
1. 分析資料與解釋結果：蒐集學生寫作的學習單及日誌，並將每堂寫作課程、
學生前後測、訪談時所錄下的聲音及影像，進行轉譯成文字的工作。評估三 位學生的寫作品質和內容，並且將前後測解題放聲思考的原案，以解題六個 階段進行歷程分析，以及將解題時的情意問卷做前後的比較。
2. 撰寫研究結論與建議：在分析各資料後，對呈現的結果進行解釋、討論與論 文的撰寫，提出研究報告。
第五節 分析架構
本研究的資料包括學生每堂課中與教師互動的逐字稿、數學寫作學習單及各 堂課日誌的原稿，放聲思考之口語報告資料及晤談之記錄資料，晤談的資料是由 研究者將三位學生的口述資料逐題摘錄成表，再歸納分析其間的含義。
國內外各學者所題之數學解題模式雖不盡相同，但彼此間並不互相衝突，只 是將解題歷程步驟的大小區分不同而已。故研究者參考 Schoenfeld 所提出的解題 歷程階段，以及涂金堂(民 88)所採用的「解題歷程的階段區分表」，再根據研究 本身的需求將解題歷程進行劃分的工作，與教授進行討論修正後，編成『解題歷 程階段區分表』。並且參考涂金堂(民 88)以 Schoenfeld (1985)解題歷程的六個階段 修改而成的「數學解題原案分析的時間架構表徵圖」，來進行三位學生的解題歷 程分析，分別繪製成每位學生在前、後測每一題的時間架構表徵圖。
表 3-5-01 解題歷程階段區分表 一、閱讀題目
1.1 初閱題目：解題者第一次看到題目時，所表現的閱讀行為。(ex:閱讀全部或 部分題目敘述、是否習慣用筆畫重要詞句)
1.2 重讀題目：解題者在經過第一次閱讀題目，再一次重新閱讀整個題目或部 分題目的行為。
二、分析題目
2.1 重述題意：解題者在讀題後以自己熟悉的或日常慣用的話語來改述題目的 敘述或詮釋題目的意義。
2.2 檢視條件：能找出重要的條件，並對它進行探討。
2.3 轉換條件：解題者將題目中的條件加以轉換成自己所熟悉的表徵，用來簡 化問題。(ex:畫表格、圖示、數線…)
2.4 回憶相關概念：解題者回憶與解題有關的概念或公式用以幫助解題。
三、探索問題
3.1 執行探究性的操作：解題者在未經實際計劃，就以題目中所給予的文字資 料執行某些運算。
3.2 尋找規則：解題者在未確定如何解題前，探求條件的規則性。(ex:舉一些數 值代入、依題意拼湊數字)
3.3 使用算式：解題者在未經實際計劃，就使用某些學過或記住的公式或程序 解題，這些算式可能適當或不適當被使用。
3.4 臆測：解題者不知如何解題，於是猜測可能的答案或結果。
四、擬定計劃
4.1 確定解題方向：解題者在經過探索思考，能說出自己解題方向。
4.2 完整或局部的計劃：解題者對整個求得的解答的歷程或部分求得解答的歷 程已有腹案，知道如何才能求得解答(ex:根據已知的 條件及所求的條件，決定未知數的假設並列出式子) 五、執行計劃
5.1 運用算則公理：解題者根據計劃好的方向，進行實際的數字運算(ex:進行程 序性的解方程式步驟)
六、驗證
6.1 例行的運算檢查：解題者在計算過中，回過頭來簡單的對其計算做檢查。
6.2 回溯檢查：解題者在求出答案後，再重新檢視自己的解題步驗或計算過程。
6.3 錯誤的偵測：解題者在求出解答後，發覺答案不合理後，重新檢查計算過 程。
圖 3-5-01 數學解題原案分析的時間架構表徵圖
1. 表中大塊黑色長方形( )的長度，代表解題者在該階段歷經的時間，其 上的數字表示所花費的秒數。
2. 表中小塊灰色長方形( )的長度，代表階段到階段的過渡期有明顯停頓，
此時解題者有時候會做出習慣性的小動作(如轉筆、以手輕敲桌子、…)。
3. 黑色長方形之間的箭頭連線，代表解題者在解題歷程中所進行的方向。
4. 代表解出正確答案。
每一階段所花的時間及順序 階段
讀題 分析 探索 計劃 執行 驗證
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 花 費 的 時 間(分)
25
28
191 95
98
第六節 研究限制
一、由於本研究採取個案研究的方法進行研究，而且研究對象只是以台南市某國 中的三位不同程度的學生，在地域及學生背景有其特殊性。因此，本研究的 結果不宜作過度的推論。
二、抽樣方式的限制：由於本研究對象是八年級升九年級的學生，該階段的學生 課業繁忙，為了方便配合研究時間，所以直接以研究者曾任教過的學生當作 研究樣本。將學生分層後，也以自願接受寫作教學且時間皆能配合的學生為 優先考量，因此使得樣本的多樣性受到侷限。
三、本研究中，研究者與教學者為同一人，雖然研究者試著從多元的資料蒐集證 據，並在資料分析時作三角校正。並與指導教授進行討論，以力求研究的客 觀性。不過在詮釋過程中難免會受研究者本身的信念、經驗與研究情境等因 素的影響，而造成不同分析結果之呈現。
