的初步化簡 的初步化簡 平方根的意義 平方根的意義

根號 根號

自我評量

的初步化簡 的初步化簡 平方根的意義 平方根的意義

十分逼近法與查表法 十分逼近法與查表法

a

如圖 2-1 ，兩個邊長均為 1 的正方形，

可以分割成四個相同的等腰直角三角形，將這四個 等腰直角三角形重新組合，可形成一個面積為 2 的 正方形。

圖 2-1

1. 拿出附件一，剪下三個面積分別為 1 、 2 、 4 的正方形，並將他們疊合成圖 2-2 。試問面積 為 2 的正方形，它的邊長是介於哪兩個正整數 之間？

圖 2-2

2. 拿出附件面積為 2 的正方形，並利用附件 二的直尺量量看，此正方形的邊長大約是多 少？

3. 將你量出的結果平方，所得的值是否會等

於 2 ？

由問題探索 1. ，我們可以推測面積為 2 的正方形，它的邊長是介於 1 和 2 之間的正 數。

由問題探索 2. ，我們可以進一步量得

它的邊長大約比 1.4 大一些些，但每一位同學

測量出的值不一定相同。若將測量出的值平方

後，結果很接近 2 ，但都不會等於 2 。

事實上，面積為 2 的正方形，它的邊 長無法用我們學過的數（整數、分數、小數）

來表達

，因此，以一個新的符號 2 （讀作 根號 2 ） 來表

示此邊長的實際數值，配合圖 2-2 可知， 1 ＜ ＜ 2 。

而如圖 2-3 ，邊長 的正方形，它的面積 為

（ ）

＝ 2 。同理，

如圖 2-4 ，邊長 的正方形，它的 面積為

（ ）

＝ 3 。 2

3

2

2

3

（ ） 2

＝ 2 圖 2-3

（ ） 3

＝ 3

圖 2-4

配合習作 P17 基礎題 1

1. 正方形面積為 6 ，則其邊長 可

記為 ________ 。

2. 邊長為 的正方形，其 面積

為 _________ 。 17

6

17

1. 面積為 a 的正方形，其邊長記為

。

2. 若 a 為正數，則（

）

＝ a 。

1 a

的平方

解 解

配合習作 P18 基礎題 4

計算下列各題：

(1) （ ） 14

(2) （ ） 3 2

(1) （ ） 14

＝ 14

(2) （ ） 3 2

＝

3 2

1. 在下列空格中填入適當的數：

(1) （ ）

＝ ______ (2) （ ）

＝ ______

(3) （ ）

＝ ______ (4) （ ）

＝ ______

7 9

56 1 4

7 9

56 1 4

配合習作 P17 基礎題 2

2. 若乙數＞ 0 ，且（乙數）

＝ 13 ，則乙數 可記

為 ________ 。

13

我們知道，比較兩個面積不同的正方 形時，面積較大的正方形，它的邊長會比較長

。利用這個概念，可以比較邊長為 a 和 b 的 兩正方形。

若 a

＞ b

，則 a ＞ b

2

根號比大小

若 a ＝ 、 b ＝ 10 、 c ＝ ，試 比較 a 、 b 、 c 三數的大小關係。

99 101

解 解

＝（ ）

＝ 99

＝ 10

＝ 100

c²

＝（ ）

＝ 101

因為 a

＜ b

＜ c

，所以 a ＜

99

101

比較下列各小題中，兩數的大小：（在空格 中填入＞、＝、＜）

(1) ____ 8 10 (2) ____ 4 16

(3) ____ 5 3 2 (4) _____ 0.1 0 . 1

＜ ＝

＜ ＞

面積為 4 的正方形，其邊長為 ； 邊長為 2

的正方形，其面積為 2

＝ 4 。所以 ＝ ＝ 2 。

同樣地，面積為 的正方形，其邊 長為

；邊長為 的正方形，其面積為（ ）

＝

。所以 ＝ ＝ 。 4

4 2

4 9

9 4 2 3

2 3 9 4 )

2 3

(

2 3 4 9

因此，若 a 為正數，面積為 a

的 正方形，其邊長為

； 邊長為 a 的 正方形，其面積為 a

，所以

_{＝ a 。} 若 a ＝ 0 時， ＝ ＝ 0

a

a

0 0

若 a ≥ 0 ，則

_a

_{＝ a 。}

3

求

的值

計算下列各數：

(1) 81 (2) 1 . 21 (3) 36 25 (4) ) 3 2 (

解 解 (1) 81  9

 9 (2) 1 . 21  ( 1.1 )

 1.1 (3) ) 6 5

6 5

36 25  (



(4) ) 3 2

3 2 ( 3 )

(

2





計算下列各數：

(1) 289 (2) 0 . 16

(3) 64 49 (4) ) 2 5 (

＝ 17 ＝ 0.4

＝

8 7

2 5

由例題 3 第 (4) 題及隨堂練習第 (4) 題可知：

若 a ＜ 0 時，－ a ＞ 0 ，所以

＝ ＝－ a （正數）

若一個整數 a 是某個整數 m 的平方，即 a

＝ m

，則 a 就稱為

例如： 81 ＝ 9

， 289 ＝ 17

，所以 81 及 289 都是完全平方數。

a

(

)

我們將 100 至 400 的完全平方數，表列如下：

100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

當根號內的數字較大，我們無法直

接看出它是否為某正數的平方時，此時可以將

這個數先寫成標準分解式，藉此求出它的值。

a

(1) 784 (2) 1764 625 (3) 10 . 89

28 2 7

) 7 2

(

7 )

2 (

7 2

784

2

2 2

2 2

2

2 4

 















4

利用標準分解式求

的值

計算下列各數：

解 解 (1)

解 解 (2)

25 42 5

7 3

2

5 ) 7 3 ( 2

) 5 (

) 7 3 2 (

5

7 3

2 1764 625

2

2 2

2 2

2 4

2 2

2

  





 



 



 

解 解 (3)

.3 10 33 3

5 2 11 3

) 2 5 2 11 ( 3

5 2

11 3

1089 100

0.89 1

2 2

2 2



 

 

 



 





計算下列各數：

(1) ＝ ________ 324 18

18 3

2

) 3 ( 2

3 2

324

2

2 2 2

4 2















(2) ＝ ________ 1024 1225 32 35

32 35 2

7 5

) 2 (

7 5

2 7 1024 5

1225

2 5 5

2 2

10 2 2



 

 

 

(3) ＝ ________ 4 . 41 2.1

10 21 2.1 10 7

3 10

7 3

100 441

.41 4

2

2

2

    





一年級時我們學過相反數。例如： 3 的相反數為－ 3 ，延伸這個概念， 的 相反數為

。也就是說，

7  7

若 a ＞ 0 ，則

和 

互為相反數。

1. 在下列空格中填入適當的數 ： (1) 的相反數為 ______ 。 (2) 的相反數為 _______ 。

2. 若甲數＋乙數＝ 0 ，且甲數＝ ， 則乙數

＝ ______ 。 19

 15

3  19

 3

15

若某數的平方等於 a （ a ≥ 0 ），我們就稱某 數是 a 的

例如： 3

＝ 9 ，所以 3 是 9 的（正）平方 根。

（－ 3 ）

＝ 9 ，所以－ 3 是 9 的（負）平 方根。

因此 9 的平方根是 3 和 － 3 ，可合併記成

±3 。

1.15 是否為 225 的平方根？

2. － 1.3 是否為 1.69 的平方根？

是

是

同樣的道理，哪些數是 2 的平方根呢？（亦即 哪些數的平方等於 2 ？）

因為 ( )

＝ 2

( － )

＝（－ ） × （－

）

＝ × ＝（ ）

＝ 2

所以 2 的平方根是 和 － ，可合 併記成

。 2

2 2 2

2 2 2

2 2

是 2 的正平方根2

是 2 的負平方根  2

 2

對於任意的正數 a ， 因為 （

）

＝ a

（－

）

＝ a

所以

、－

都稱為 a 的平方根

（也稱為二次方根）。

a a

a a

若 a ＞ 0 ，則 a 的平方根為

和－

，這兩個平方根互為相反數。

a a

是 _a 的正平方根

－ 是 _a 的負平方根

a

a

5

求平方根

求下列各數的平方根：

(1)17 (2) 196 (3) (4) 2025 16

1 4 2

解 解 (1) 17 的平方根為 和

，所以 17

的平方根為 。

17  17

 17

解 解

(2) 196 的平方根為 和 ，

其中 ＝ 14 ， ＝－ 14 ，

所以 196 的平方根為 1 4 。

196  196



196  196

解 解

(3) 的平方根為 和 ，

其中 ，

所以 的平方根為 。

2025 16

2025 16

2025 16 

45 4 45 4 )

2025 16  (



45 4 45 4 )

2025 16   (

 



2025 16

45 4



解 解

(4) 的平方根為 和 ，

其中 ，

，

所以 的平方根為 。

4 1

2 2 1 4

4 1  2

2 3 2 )

( 3 9 4

1 4

2  



2 3 2 )

( 3 4 9

1 4

2    

 



1 4

2  2 3

1.29 的正平方根為 _____ ， 29 的負平方根為 _____ 。

29  29

2. 求下列各數的平方根 ：

(1)2304 　　　　 (2)101

8 4 8

4 304

2  

 



101 的平方根為

01

 1

(3)

(4)4.84 100 21 1

的平方根為

100 21

1 10 11

100 121 100 21

1    



4.84 的平方根為

2 . 2 )

2.2 (

.84

4  

 



根據平方根的定義，因為 0

＝ 0

，所以 0 的平方根為 0 ，又（正數）

＝ 正數，（負數）

＝正數，但是在國中階段，

我們找不到任何一個數的平方是負數，所以 負數沒有平方根。

0 的平方根為 0 。

6

平方根的應用

若 － 8 是 5x ＋ 4 的負平方根，求 x ＝？

解 解 5x ＋ 4 ＝（－

8 ）

5x ＋ 4 ＝ 64

－ 8 是 5x ＋ 4 的負平方根，

所以 5x ＋ 4 是（－ 8 ）的平 方。

驗算一下：

x ＝ 12 代入 5x ＋ 4 得 5×12 ＋ 4 ＝ 64 又 （－ 8 ） ² ＝ 64

所以 － 8 是 64 的負平方 根

1.5 是 _____ 的正平方根，－ 5 是 ______ 的 負平

方根。

2. 若 6 和 － 6 都是 2x － 8 的平方根，求 x 的值。

25 25

2x － 8 ＝（ ±6 ） ² ， 2x － 8 ＝ 36 ， 2x ＝ 44 ， x ＝ 22

在本節剛開始的時候，我們說過：面 積為 2 的正方形，它的邊長是一個介於 1 和 2 之間的正數，記為 。但 的值究竟 是多少呢？

將 1 到 2 之間分成十等分，並求 出這九個等分點 1.1 1 ∼ .9 的平方 ：

2 2

（ 1.1 ）

＝ 1.

21

（ 1.2 ）

＝ 1.

44

（ 1.3 ）

＝ 1.

69

（ 1.4 ）

＝ 1.

96

（ 1.5 ）

＝ 2.

25

（ 1.6 ）

＝ 2.

56

（ 1.7 ）

＝ 2.

89

（ 1.8 ）

＝ 3.

24

（ 1.9 ）

＝ 3.

61

（ ） 2

＝ 2 小於 2

大於 2

因為（ ）

＝ 2 ，對照上面 1.1

∼ 1.9 九個數的平方，我們可知 的值應 當介於 1.4 和 1.5 之間，即 1.4 ＜ ＜ 1.5

。

2

2 2

再將 1.4 到 1.5 之間分成十等分，並

求出這九個等分點 1.41 1.49 ∼ 的平方：

（ 1.41 ）

＝ 1.988 1

（ 1.42 ）

＝ 2.016 4

（ 1.43 ）

＝ 2.044 9

（ 1.44 ）

＝ 2.073 6

（ 1.45 ）

＝ 2.102 5

（ 1.46 ）

＝ 2.131 6

（ 1.47 ）

＝ 2.160 9

（ 1.48 ）

＝ 2.190 4

（ 1.49 ）

＝ 2.220 1

（ ） 2

＝ 2 小於 2

大於 2

對照前一頁 1.41 至 1.49 九個數的平 方，可知 的值應當介於 1.41 和 1.42 之間，即 1.41 ＜ ＜ 1.42 。

仿照上面的方式，將 1.41 到 1.42 之間再分成十等分，並求出這九個等分點 1.41 1 至 1.419 的平方，可得出 的值介於 1.

414 和 1.415 之間，即 1.414 ＜ ＜ 1.41 5 ，如此便可用四捨五入法求得 的近 似值到小數第二位，即

≒1.41 。 2

2

2 2

2 2

依此方式進行，可以求出 的近 似值到任意小數位數，這個方法稱為十分逼近

上面是以十分逼近法求 的近似 值到小數第二位（四捨五入），將它整理如下

：

2

2

(1) 1

＝ 1 ， 2

＝ 4 所以 1

＜ ＜ 2

(2) (1.4)

＝ 1.96 ， (1.5)

＝ 2.25 所以 1.4 ＜ ＜ 1.5

(3) (1.41)

＝ 1.9881 ， (1.42)

＝ 2.01 64

所以 1.41 ＜ ＜ 1.42

(4) (1.414)

＝ 1.999396 ， (1.415)

＝ 2.0022 25

所以 1.414 ＜ ＜ 1.415 故 ≒ 1.41

2

2 2 2

2

以十分逼近法求 的近似值。（以四捨五入 法求到小數第一位）

5

配合習作 P18 基礎題 6

2² ＝ 4 ， 3² ＝ 9 所以 2 ＜ ＜ 3

(2.2)² ＝ 4.84 ， (2.3) ² ＝ 5.29 所以 2.2 ＜ ＜ 2.3

(2.23)² ＝ 4.9729 ， (2.24)² ＝ 5.01 76

所以 2.23 ＜ ＜ 2.24 故 ≒ 2.2

5 5

5

5

利用十分逼近法求平方根的近似值，

過程非常繁瑣。我們也可以利用課本附錄（第 188 頁∼第 190 頁）的

出平方根的近似值。以 的求法為例，

說明如下：

5

表 2-1

首先由表 2-1 中標示 N 的這一行找 出 5 這個數，再由該列找出 那一行對應的 數是 2.236068 ，就得出 ≒ 2.236068 。 又如 的求法是由標示 N 的 這一行找出 7 這個數，再由該列找出 那一行對應的數是 8.366600 ，就得出 ≒ 8.366600 。

N

5

70

N

10

70

7

簡單的查表

利用右表查出下列各數 的值（或近似值）：

(1)34

(2) (3) 7 20

解 解 (1)

所以 34

＝ 1156 。 (2)

所以 ≒ 2.645751 。 7

解 解 (3)

所以 ≒ 4.472136 。 20

請由課本附錄的乘方開方表查出 ≒ _ _____

， ≒ ______ 。（以四捨五入法取到 小數第

三位）

29 170

5.385

13.038

如果一個數可以化成分子、分母都是 整數 ( 分母可為 1) ，且分母不為零的分數形式

（即 ，其中 p 、 q 為整數，且 p≠0 ），這 樣的數稱為有理數 。例如： 、 5 （＝ ）、

－ 0.5 （＝ ）、

　　（＝ 2 ＝ ）、 ⋯⋯ 都是有理數。

然而像 、 、 這樣的 數，無法化成

的形式（其中 p 、 q 為整數，且 p≠0 ），這 樣的數稱為無理數。

qp

2 3

1 5

2 1 

2 3 5

4

除了十分逼近法和查 表之外，我們也可以用電算器求 　　的近似值。

先開啟電算器的電源

，輸入數字 3 ，再按下 鍵，

便可得到答案。

某些廠牌的電算器可 能沒有

鍵，而是

_{鍵， s}

3

因為各類型電算器的設 計不盡相同，所以實際操作時，

同學們可參考電算器的操作手冊

。

例一：用電算器求 的近 似值。（以四捨五入法求到小數 第三位）

例二：用電算器求 的值

。

3

9

81

1. 正方形面積為 a 時，其邊長可用

表 示。

2. 若 a 0 ≧ ，則（

）

＝ a 。 3. 若 a 0 ≧ ，

_{＝ a 。}

4. 每一個正數 a 都有兩個平方根

與－

，

合併記為 ± ，且這兩個平方根互為相 反

數。

5. 0 的平方根為 0 。

a a

a

a a

a

2-1 自我評量

1. 在下列空格中填入適當的數：

(1) （－ ）

＝ ____ (2) （ ）

2

＝ _____

(3) （ ）

＝ ______ (4) （－

）

＝ _____

18 5 3

16 1 . 3

18

5 3

16 1.3

2. 計算下列各數：

(1) 1 (2) 484 (3) 529 1 1

 

22 22

 

23 23

 

3. 計算下列各數：

(1) (2) (3)

121 16 11 25 1

5 ) (  4

11 4 11 4 )

(





5 6 5 )

( 6

36 25 





5 4 5 4 )

(





4. 計算下列各數：

(1) 0. 36 (2) 3. 61 (3) 6. 25

.6 0 )

.6 0

(





1.9 )

1.9

(





2.5 )

2.5

(





5. 已知正方形面積為 19600 平方公分，求其邊長。

邊長為 ＝ 140

（公分）

19600

6. 求下列各數的平方根：

(1) 1

(2) 6 (3) 144

1 的平方根為 ±1

 6

144 的平方根為 ±12

6. 求下列各數的平方根：

(4) 　 (5) 6.76 16 49

(6) 5.29

7 4

16 49



5.29 的平方根為 ±2.3

7.(1) 若 x

＝ 169 ，則 x ＝？

(2) 若 m

＝ 23 ，且 m ＜ 0 ，則 m ＝

？

＝  2 3

8. 以十分逼近法求　　的近似值到小數第一位時，

請依下列各小題所提供的數據，按步驟回答下列 問題：

(1) 因為 1

＝ 1 ， 2

＝ 4 ， 3

＝ 9 ， 4

＝ 16 ， 所以

在哪兩個連續整數之間？

答： _____ ＜ ＜ _______ 。 (2) 因為（ 3.1 ）

＝ 9.61 ，（ 3.2 ）

＝ 10.24

， (3.3)

＝ 10.89 ，（ 3.4 ）

＝ 11.56 ，所以

在哪兩個

連續一位小數之間？

答： _______ ＜ ＜ _______ 。 11

11

11

11

3 4

3.3 3.4

11

(3) 因為（ 3.31 ）

＝ 10.9561 ，（ 3.32 ）

＝ 11.

0224 ，（ 3.33 ）

＝ 11.0889 ，所以 在 哪兩個連續二位小數之間？

答： ______ ＜ ＜ _______ 。

(4) 以四捨五入法取 的近似值到小數第一 位得

_____ 。

11 11

11

3.31 3.32

3.3

9. 利用右表查出下列各數的近似值：

(1) ______ ≒ 。 (2) ______ ≒ 。

230 18

15.166

4.243