因數與倍數 因數與倍數

自我評量

因數與倍數 因數與倍數

質數與合數 質數與合數

100 以內的質數 100 以內的質數

標準分解式

標準分解式

國小時我們曾經學過因數、倍數，現 在讓我們來複習什麼是因數，什麼是倍數。

如果甲數和乙數都是非零的正整數，

而且甲數可以整除乙數，那麼我們就說甲數是乙 數的因數，而乙數是甲數的倍數。

例如： 13 可以整除 156 ，因此 13 是 1

56 的因數， 156 是 13 的倍數； 16 不可以整除

100 ，因此 16 不是 100 的因數， 100 不是 16 的

倍數。

有甲、乙、丙三個正整數，如果甲＝

乙 × 丙，則乙、丙都可以整除甲，因此乙、丙 都是甲的因數，甲是乙、丙的倍數。

因數、倍數可不可以是負數呢？我們 知道 156 ＝（－ 13 ） × （－ 12 ），又－ 156

＝ 13× （－ 12 ），所以－ 13 是 156 的因數，

－ 156 是 13 的倍數。

下列敘述哪些是正確的？（答案不只一個）

(1)91 是 7 的倍數 (2)11 是 1212 的因 數

(3)164 是 17 的倍數 (4) － 31 是 899 的因

數

因數中大於 0 的稱為 正因數 ，小於 0 的稱為 負因數 ，反過來說，倍數中大於 0 的稱 為 正 倍 數 ， 小 於 0 的稱 為 負 倍 數 。 在 國 中 階 段，如果沒有特別說明，因數都是指正因數，

倍數都是指正倍數。

對於任意非零整數 a ，因為 0 ＝ a × 0 ， a 可以整除 0 ，所以 0 是任何非零整數的 倍數，而 1 可以整除任何整數，所以

1 是任何整數的因數，而所有整數都是 1 的倍

數

國小時，我們學過如何判別一個數是 不是 2 、 5 的倍數：

如果一個整數的個位數字是偶數，那麼這個整 數就是 2 的倍數。

如果一個整數的個位數字是 0 或 5 ，那麼這個 整數就是 5 的倍數。

例如： 8 、 26 、 314 、 7422 、 15610 都是 2 的 倍數。

755 、 6210 都是 5 的倍數。

1

判斷 2 、 5 的倍數

有一個四位數 149□ ，既是 2 的倍數，也是 5 的倍數，則□＝？

解解

如果 149□ 是 2 的倍數，則□可能為 0 、 2 、 4 、 6 、 8 ，

如果 149□ 是 5 的倍數，則□可能為 0 或 5 ， 所以 149□ 既是 2 的倍數，也是 5 的倍數，

則□＝ 0

搭配習作 P27 基礎題 1

想想看， 3 的倍數要怎麼判斷呢？

例如：要判斷 427 是不是 3 的倍數，可以將 4 27 寫成 427 ＝ 400 ＋ 20 ＋ 7 。

圖 2-1

由圖 2-1 ，我們也可以將 427 寫 成

427 ＝ 4×100 ＋ 2×10 ＋ 7

＝ 4×(99 ＋ 1) ＋ 2×(9 ＋ 1) ＋ 7

＝ 4×99 ＋

＋ 2×9 ＋

＋

＝ (4×99 ＋ 2×9) ＋ (4 ＋

＋

3 的倍數

故 427 除以 3 的餘數與 4 ＋ 2 ＋ 7 除以 3 的 餘數相同。因為 4 ＋ 2 ＋ 7 ＝ 13 不是 3 的倍 數，所以 427 不是 3 的倍數。也就是說，

如果一個整數的每位數字和是 3 的倍數，那麼 這個整數就是 3 的倍數，否則就不是 3 的倍數

。

1368 ＝ 1×1000 ＋ 3×100 ＋ 6×10

＋ 8

＝ 1×(999 ＋ 1) ＋ 3×(99 ＋ 1) ＋ 6×

（ 9 ＋ 1 ）＋ 8

＝ 1×999 ＋

＋ 3×99 ＋

＋ 6×9

＋ 6 ＋

＝（ 1×999 ＋ 3×99 ＋ 6×9 ）＋（

＋

＋ 6 ＋

）

9 的倍數

例如，要判斷 1368 是不是 9 的倍數，可以將 13 68 寫成

9 的倍數要怎麼判斷呢？

故 1368 除以 9 的餘數與 1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 8 除以 9 的餘數相同。因為 1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 18 是 9 的 倍數，所以 1368 是 9 的倍數。也就是說，

如果一個整數的每位數字和是 9 的倍數，那麼 這個整數就是 9 的倍數，否則就不是 9 的倍數

。

2

判別 3 、 9 的倍數

請判斷 536 、 4173 是不是 3 的倍數？是不是 9 的倍數？

解解

(1)536 的各位數字和為 5 ＋ 3 ＋ 6 ＝ 14

14 不能被 3 整除，所以 536 不是 3 的倍數

。

14 不能被 9 整除，所以 536 不是 9 的倍數

。

(2)4173 的各位數字和為 4 ＋ 1 ＋ 7 ＋ 3 ＝ 15 15 能被 3 整除，所以 4173 是 3 的倍數。

15 不能被 9 整除，所以 4173 不是 9 的倍數

。

搭配習作 P27 基礎題 1

如果一個整數是 9 的倍數，則它一定是 3 的 倍數嗎？

反之，如果一個整數是 3 的倍數，則它一定 是 9 的倍數嗎？

是

不一定

3

判別 3 的倍數

有一個三位數 7 □ 6 是 3 的倍數，則 □ 可能 為哪些數？

解解

因為 7 □ 6 是 3 的倍數，

所以 7□6 的數字和 7 ＋□＋ 6 須為 3 的倍 數，

而 7 ＋□＋ 6 ＝ 13 ＋□，

13 ＋□＝ 15 或 18 或 21 ， 所以 □＝ 2 或 5 或 8

3 的倍數

請分別找出下列各數中何者含有因數 2 、 3

、 5 、 9 ？

76 、 459 、 147 、 237 、 66 、 89 、 815 、 1 234 、 6592

含有因數 2 的數： ______________________

_

含有因數 3 的數： ______________________

_

含有因數 5 的數： ______________________

_

含有因數 9 的數： ______________________

_

76 、 66 、 1234 、 6592 459 、 147 、 237 、 66

815 459

搭配習作 P27 基礎題 1

判斷 4 的倍數、 8 的倍數

9876847956 是不是 4 的倍數呢？

　　當然可以直接利用除法判斷，但也有更簡便 的方法：只要看末兩位數字 56 是不是 4 的倍數 即可。

　 因為 100 ＝ 25×4 ，

所以 100 的倍數都是 4 的倍數，

而 9876847956 ＝ 9876847900 ＋ 56 ，　

　 所以我們知道，要判斷一個數是否為 4 的倍數，只要判別該數的末兩位數字是否為 4 的倍數即可。

　　 那麼， 79867897596 是不是 8 的倍數呢

？

　　想想看，除了直接利用除法之外，

還有沒有更簡便的方法呢？

　（提示： 1000 ＝ 125×8 ）

那麼要判斷一個整數是不是 11 的倍數

，除了試除之外，是否有比較簡便的判別方法呢

？

例如：要判斷 42537 是不是 11 的倍數，我們可以 將 42537 寫成

＝ 4×(9999 ＋ 1) ＋ 2×(1001 － 1) ＋ 5×(99 ＋ 1) ＋ 3×(11

－ 1) ＋ 7

＝ 4×9999 ＋ 4 ＋ 2×1001 － 2 ＋ 5×99 ＋ 5 ＋ 3×11 － 3 ＋ 7

＝ (4×9999 ＋ 2×1001 ＋ 5×99 ＋ 3×11) ＋ (4 － 2 ＋ 5 － 3 ＋ 7)

9999 ＝ 11×909 1001 ＝ 11×91 99 ＝ 11×9 → 11 的倍數

所以 42537 除以 11 的餘數與 4 － 2 ＋ 5 － 3 ＋ 7 除以 11 的餘數相同。因為 4 － 2 ＋ 5 － 3 ＋ 7

＝（ 4 ＋ 5 ＋ 7 ）－（ 2 ＋ 3 ）＝ 11 ，所以 4 2537 是 11 的倍數。

也就是說，

若「奇數位數字和」－「偶數位數字和」＝ 11 的倍數（包含 0 ），則這個整數就是 11 的倍數

，否則就不是 11 的倍數

我們可以這樣看：

奇數位數字和 4 2 5 3 7

偶數位數字和

計算兩者的差

－ 5 ＝ 11

4 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16

2 ＋ 3 ＝ 5

4

判別 11 的倍數

請判斷 9262 、 98760 是不是 11 的倍數？

解解

(1)9262 的奇數位數字和為 2 ＋ 2 ＝ 4

，

偶數位數字和為 9

＋ 6 ＝ 15 。

15 － 4 ＝ 11 ，所以 9262 是 11 的倍數

。

奇數位數字和 2 ＋ 2 ＝ 4 9 2 6 2

偶數位數字和 9 ＋ 6 ＝ 15 15 － 4 ＝ 11

搭配習作 P27 基礎題 1

解解

(2) 98760 的奇數位數字和為 9 ＋ 7 ＋ 0 ＝ 16 ，

偶數位數字和為 8

＋ 6 ＝ 14 。

16 － 14 ＝ 2 不是 11 的倍數，

所以 98760 不是 11 的倍數。

偶數位數字和 8 ＋ 6 ＝ 14 16 － 14 ＝ 2

(1) 請判斷 2345 、 123321 是不是 11 的倍 數？

(2) 有一個五位數 92 □ 45 是 11 的倍數，

則 □＝？

2345 不是 11 的倍數，

123321 是 11 的倍數。

□ ＝ 3

如果甲數是一個大於 1 的整數，則可 以寫成甲數＝ 1× 甲數，所以一個大於 1 的整 數至少有 1 和它本身兩個因數。如果一個大於 1 的整數只有 1 和本身兩個因數，我們就稱它 為質數。例如：

2 ＝ 1×2 2 只有 1 、 2 兩個因數，所以 2 是 質數。

3 ＝ 1×3 3 只有 1 、 3 兩個因數，所以 3 是

質數。

4 ＝ 1×4 ＝ 2×2 1 、 2 、 4 都是 4 的因數，所 以 4 不是

質數。

5 ＝ 1×5 　

6 ＝ 1×6 ＝ 2×3 1 、 2 、 3 、 6 都是 6 的因數，

所以 6

不是質數。

7 ＝ 1×7

像 4 、 6 、 ⋯⋯ 這些正整數， 除了 1 和

本身之外還有其他的因數，就稱為合數 。而 1 既

不是質數，也不是合數。

5

質數、合數的判別

寫出 8 、 9 、 10 、 11 的因數，並判斷這四 個數中，哪些是質數？哪些是合數？

解解

8 ＝ 1×8 ＝ 2×4 ， 8 的因數有 1 、 2 、 4

、 8 ，所以 8 是合數

9 ＝ 1×9 ＝ 3×3 ， 9 的因數有 1 、 3 、 9

，所以 9 是合數

10 ＝ 1×10 ＝ 2×5 ， 10 的因數有 1 、 2 、 5

、 10 ，所以 10 是合數。

11 ＝ 1×11 ， 11 的因數只有 1 、 1

1 ，所以 11 是質數。

寫出 12 、 13 、 14 、 15 的因數，並判斷這 四個數中，哪些是質數？哪些是合數？

12 的因數有 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 12 ，所以 12 是合數。

13 的因數只有 1 、 13 ，所以 13 是質數。

14 的因數有 1 、 2 、 7 、 14 ，所以 14 是合數。

15 的因數有 1 、 3 、 5 、 15 ，所以 15 是合數。

我們發現，在 2 的倍數中，除了 2 以

外，其餘的數至少都有 1 、 2 及它本身三個因

數，所以都不是質數。同樣地，在 3 的倍數

中，除了 3 以外，其餘的數至少都有 1 、 3 及

它本身三個因數，所以都不是質數。利用這個

觀念，我們可以依照下列步驟從圖 2-2 找出 1

到 100 中所有的質數： ( 請各位同學依老師的

指示，自行操作。 )

步驟如下：

步驟 1

：因為 1 不是質數，也不是合數，所以 刪去 1 。

步驟 2

：因為 2 是質數，因此圈出 2 並刪去其 餘 2 的倍數。

步驟 3

：圈出 3 並刪去其餘 3 的倍數。

步驟 4

：圈出 5 並刪去其餘 5 的倍數。

步驟 5

：圈出 7 並刪去其餘 7 的倍數。

想想看，為什麼

～

可以找出 100 以內所有的質數呢

？

在

時，刪去的 第一個數是 4 ，也就 是 2×2 。

在

時，因為 6(

＝ 3×2) 已在步驟 2 時 被刪去，所以刪去的 第一個數是 9 ，也就 是 3×3 。

圖 2-2

圖 2-2

在

時，因為 10

、 15 、 20 都已在之 前的步驟中被刪去，

所以刪去的第一個數 是 25 ，也就是 5×5 。

在

時，因為 14

、 21 、 28 、 35 都已 在之前的步驟中被刪 去，所以刪去的第一 個數是 49 ，也就是 7

×7 。

而我們知道，在 100 以內的整數中， 11 的倍 數如下：

11 是質數，

22 ＝ 11×2 　 是 2 的倍數

，

33 ＝ 11×3 　 是 3 的倍數

，

44 ＝ 11×4 ＝ 11×2×2 　是 2 的倍數，

55 ＝ 11×5 　 是 5 的倍數

，

同理 66 、 77 、 88 、 99 也都是 2 或 3 或 5 或

7 的倍數，所以都已在

∼

中被刪

去，因此沒有 11 的倍數可刪除。（如果我們把

圖 2-2 中的數增加到 200 ，會發現 11 的倍數中

第一個被刪去的是 11×11 ＝ 121 。）

同樣地， 13 、 17 、 19 、 ⋯⋯ 的倍數 中比 100 小的數（除了本身以外），也都是 2 或 3 或 5 或 7 的倍數，也會在步驟 2 ∼

中被刪去，所以 2 、 3 、 5 、 7 、 11 、 13 、 17 、 19 、 23 、 29 、 31 、 37 、 41 、 43 、 4 7 、 53 、 59 、 61 、 67 、 71 、 73 、 79 、 8 3 、 89 、 97 共 25 個數，就是 100 以內的 質數。

因此我們知道： 1 到 100 的整數中

（除了 1 、 2 、 3 、 5 、 7 之外），沒有因數

2 、 3 、 5 、 7 的就是質數，而含有因數 2 、

3 、 5 、 7 的則是合數。

6

質數、合數的判別

解解

判斷 73 、 89 、 91 三數中哪些是質數？哪些是 合數？

73 不含因數 2 、 3 、 5 、 7 ，所以 73 是質 數。

89 不含因數 2 、 3 、 5 、 7 ，所以 89 是質 數。

91÷7 ＝ 13 ，即 91 含有因數 7 ，所以 91

是合數。

判斷 79 、 87 、 97 三數中哪些是質數？哪些 是合數？

79 、 97 是質數， 87 是合數。

如果甲數是乙數的因數，且甲數是 質數，我們就稱甲數為乙數的質因數。

例如： 15 ＝ 1×15 ＝ 3×5

所以 15 的因數有 1 、 3 、 5 、 15

，其中 3 、 5 是質數，稱為 15 的質因數。

解解

18 ＝ 1×18 ＝ 2×9 ＝ 3×6

所以 18 的因數有 1 、 2 、 3 、 6 、 9

、 18 ，

其中 2 、 3 是質數，

所以 18 的質因數有 2 和 3 。

因數與質因數

寫出 18 所有的因數，並指出 18 的質因 數。

搭配習作 P27 、 28 基礎題 2 、 3

在例題 7 中，我們將 18 分解為 2×9 ，而 9 又可以分解為 3×3 ，所以我們知道

18 ＝ 2×9

＝ 2× （ 3×3 ） ＝ 2×3×3

其中 2 、 3 都是 18 的質因數。一般而言，如

果我們將一個整數完全分解為幾個質數的連

乘積，那麼我們就說是對這個整數作質因數

分解。

將 18 作質因數分解可得 18 ＝ 2×3×

3 ，很明顯地， 1 、 2 、 3 、 2×3 、 3×3 、 2×3

×3 都能整除 18 ，它們都是 18 的因數。也就是 說， 一個整數作質因數分解後，任取一個質因數或

幾個質因數的乘積，都是原數的因數。

8

質因數分解

請將 24 作質因數分解。

解一解一

先分解為 3 和 8 的乘積 24 ＝ 3×8

＝ 3×2×4

＝ 3×2×2×2

24

3 8

2 4

2 2

＝ 3×8

＝ 2×4

＝ 2×2

搭配習作 P28 基礎題 4

解二解二

先分解為 4 和 6 的乘積 24 ＝ 4×6

＝ 2×2×2×3

24

4 6

2 3 2 2

在例題 8 中，我們以不同的方式將 24 質因數分解為 2×2×2×3 ，也可以用指數記法寫 成 2

×3 。一般來說，我們通常由最小的質因數 開始分解，例如：

24

2 12

2 6

2 3

我們可以把左式記錄成：

這種記錄的方式

就叫做短除法。

在數學上，為了方便溝通起見，約定 做完質因數分解後，把較小的質因數寫在前面，

較大的寫在後面，遇有相同的質因數連乘時，就 以指數形式來表示。

例如： 420 ＝ 2×2×3×5×7 ＝ 2

×3×5×7

最後的式子就稱為該數的標準分解式

。

9

標準分解式

請將 720 寫成標準分解式。

解解

720 ＝ 2×2×2×2×3×3×5 ＝ 2

×3

×5

搭配習作 P28 基礎題 4

將下列各數寫成標準分解式：

(1)260 (2)756 (3)2970

2²×5×13 2²×3³×7 2×3³×5×11

10

標準分解式

請將 1020 寫成標準分解式，並寫出 1020 的相異 質因數。

解解

1020 ＝ 2×2×3×5×17

＝ 2

×3×5×17

所以 1020 的相異質因數有 2 、 3

、 5 、 17

搭配習作 P28 基礎題 4

請將 588 寫成標準分解式，並寫出 588 的相異 質因數。

588 ＝ 2

×3×7

588 的相異質因數有 2 、 3

、 7

1. 因數與倍數：如果甲數和乙數都是整數，且 甲數可以整除乙數，則甲數是乙數的因數，

乙數是甲數的倍數。

2.2 、 3 、 5 、 9 、 11 的倍數的判別法：

2 的倍數：個位數字是偶數。

3 的倍數：每位數字的和是 3 的倍數。

5 的倍數：個位數字是 0 、 5 。

9 的倍數：每位數字的和是 9 的倍數。

11 的倍數：「奇數位數字和」與「偶數位

數字和」的差是 11 的倍數（包含 0 ）。

3. 質數與合數：如果一個大於 1 的整數，只有 1 和本身兩個因數，就稱它為質數。如果一 個大於 1 的整數，除了 1 和本身之外還有其 他因數，就稱它為合數。

4.100 以內的質數與合數： 1 既不是質數，也 不是合數； 2 、 3 、 5 、 7 為質數；除此之 外，不含因數 2 、 3 、 5 、 7 的就是質數，

含有因數 2 、 3 、 5 、 7 的則是合數。

5. 質因數：如果甲數是乙數的因數，而且甲 數是質數，就稱甲數為乙數的質因數。

6. 質因數分解：將一個整數完全分解為幾個

質數的連乘積，就稱為對該數作質因數分

解。

7. 標準分解式：把一個數質因數分解後，再 將較小的質因數寫在前面，較大的寫在後 面，遇有相同的質因數連乘時，就以指數 形式來表示，例如 72 ＝ 2×2×2×3×3 ＝ 2

×3

2

。

2-1 自我評量

1. 請於下列各數字中，分別找出 2 、 3 、 5 、 9

、 11 的倍數：

102 、 573 、 4851 、 5335 、 954 、 28160

2 的倍數： _______________________________

3 的倍數： _______________________________

5 的倍數： _______________________________

9 的倍數： _______________________________

11 的倍數： ______________________________

102 、 954 、 28160

102 、 573 、 4851 、 954 5335 、 28160

4851 、 954

4851 、 5335 、 28160

2. 將右圖中的質數連起來

，恰好可形成一個英文 字母，請問這個英文字 母是哪個字呢？

59 61 19 29 51 47 63 14 36 49 23 2 97 57 26 17 25 15 12 10 3 1 91 93 56 Ｆ

3. 寫出 105 所有的因數，並指出 105 的質因數有 哪些？ 105 的因數有 1 、 3 、 5 、 7 、 15 、 21

、 35 、 105

質因數為 3 、 5 、 7

4. 將下列各數寫成標準分解式：

(1)168 (2)117 (3)528 (4)56700

2

×3×7 3

×13 2

×3×11 2

×3

×5

×7 5. 志玲拿了 18 個大小相同的正方體積木玩分堆

的遊戲，每堆積木的個數都一樣，不能剩下；

而且每堆至少 2 個，但不能多於 10 個。請問 她有哪幾種分堆的方法？請你幫她一一寫出來

。 4 種， 18 ＝ 2×9 ＝ 3×6 ＝ 6×3 ＝ 9×2 。