函數凸凹性的刻畫

函數凸凹性的刻畫

馮 育強

摘要: 函數的凸凹性在數學規劃, 數理經濟學, 不動點理論等學科中是非常重要的。

從而如何來判定一個函數的凸凹性, 也就是一個有意義的事情, 本文給出了函數凸凹 性的一種等價刻畫。

關鍵詞: 凸凹性、 等價刻畫。

1. 引言

在北京清華大學 2007 級 “微積分” 期中試題中有這麼一個問題:

例1: 求常數 a 的範圍, 使得不等式 ln x ≤ a(x − 1) 對於任何 x > 0 均成立。

為了解決這個問題, 我們先來考慮一般的情況, 給出如下結論:

引理1.1. 設函數 f : U → R 在 p ∈ U 點可導, 記

F(p) = {c ∈ R|f (x) − f (p) ≤ c(x − p), ∀x ∈ U}

則 F (p) 6= ∅ 時必有 F (p) = {f^′(p)}。

證明: 由於 F (p) 6= ∅, 設 c ∈ F (p), 則對於 x ∈ U, x > p 有:

f(x) − f (p) x− p ≤ c

令 x → p 就有 f^′(p) ≤ c 。 而當 x ∈ U, x < p 時同理易得 f^′(p) ≥ c 。 於是知引理結論成 立。

下面就提出了一個問題: 在什麼情況下, F (p) 6= ∅。 這與函數 f (x) 的性質有關。 有些函 數, 如 f (x) = x² 在任何點都不滿足 F (p) 6= ∅。 那麼什麼樣的函數能保證 F (p) 6= ∅ ? 這 是我們要討論的主要問題。

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2. 函數凸凹性的刻畫: 可導的情形

引理2.1. 設函數 f (x) 在 [a, b] 可導, 則 F (p) 6= ∅, ∀p ∈ [a, b] 當且僅當 f (x) 在 [a, b]

上為凹函數。 (函數凸凹性的定義和基本性質見參考文獻 [1, 2])

證明: (1) 若函數 f (x) 在 [a, b] 上為凹函數, 則由凹函數的幾何性質: 函數的圖像始終在 其切線的下方, 可知對於給定點的 p ∈ [a, b] 有:

f(x) ≤ f (p) + f^′(p)(x − p), ∀x ∈ [a, b]

即得 f^′(p) ∈ F (p), 故知 F (p) 6= ∅。

(2) 若 ∀p ∈ [a, b], F (p) 6= ∅ 則由引理 1 可知此時 F (p) = {f^′(p)}, 從而對於給定的 點 p ∈ [a, b] 有:

f(x) ≤ f (p) + f^′(p)(x − p), ∀x ∈ [a, b]

這表明函數的圖像始終在其切線的下方, 於是知 f (x) 在 [a, b] 上為凹函數。

此時, 可以對本文開頭提出的問題予以解答:

x >0 時, 由於 ln x 為凹函數, 故知滿足對於任何 x > 0, ln x ≤ a(x − 1) 均成立的 a 存在且為 (ln x)^′x=1 = 1, 這只要注意到原不等式可寫為 ln x − ln 1 ≤ a(x − 1)。

對於凸函數, 我們有類似結論:

定理2.2. 設函數 f (x) 在 [a, b] 可導, 則 F⁰(p) 6= ∅, ∀p ∈ [a, b] 當且僅當 f (x) 在 [a, b] 上為凸函數。 其中 F⁰(p) = {c ∈ R|f (x) − f (p) ≥ c(x − p), ∀x ∈ [a, b]}。 此時 F⁰(p) = {f^′(p)}。

由此, 我們不難解決這樣的一類問題:

例2: 求常數 a 的範圍, 使得不等式 x²+ e^x ≥ ax + 1 對於任何 x ∈ R 均成立。

解: 令 f (x) = x²+ e^x, 易見 f 為 R 上的凸函數且 x²+ e^x ≥ ax + 1 等價於 f(x) − f (0) ≥ a(x − 0) 故由定理 2.2 可知, 此時只有 a = f^′(0) = 1。

我們不難把這一結論推廣到多元函數的情形:

定理2.3. 設函數 f 為凸集 D ⊂ Rⁿ→ R 的可微函數, 則對於任意 p ∈ D, 集合 {c ∈ Rⁿ|f (x) − f (p) ≥ hc, x − pi, ∀x ∈ D}

非空, 當且僅當 f 為 D 內的凸函數, 且此時有 c = gradf =∂f

∂x₁, ∂f

∂x₂, . . . , ∂f

∂xn

^T

x=p

。 證明: 充分性。 設 f 為凸集 D 內凸函數, 對任意 x, p ∈ D, α ∈ [0, 1] 粧有

f(αp + (1 − α)x) ≤ αf (p) + (1 − α)f (x) 即 f(x) − f (p) ≥ f(p + (1 − α)(x − p)) − f (p)

1 − α 兩邊取極限得

f(x) − f (p) ≥ lim

α→1

f(p + (1 − α)(x − p)) − f (p) 1 − α

= hgradf (p), x − pi

必要性. 設 x₁, x₂ ∈ D, α ∈ [0, 1], p = αx₁ + (1 − α)x₂, 則 p ∈ D。 由題設, 存在 c ∈ R, 使得

f(x1) − f (p) ≥ hc, x1 − pi f(x2) − f (p) ≥ hc, x2 − pi 第一式乘以 α 加上第二式乘以 1 − α 可得

f(p) ≤ αf (x₁) + (1 − α)f (x₂) 所以 f 為 D 內的凸函數。

例3: 設 x > 0, y ∈ R 時總有 1

x + y² ≥ ax + by + 2 − a − b, 試求 a, b 的取值範圍。

解: 令 f (x, y) = 1

x + y², 注意到 1

x 當 x > 0 時為凸函數, y² 當 y ∈ R 時為凸函數, 則對於任意的 (x₁, y₁), (x2, y₂) ∈ {(x, y)|x > 0, y ∈ R}, α ∈ [0, 1]

f(α(x1, y₁) + (1 − α)(x2, y₂)) = 1

αx₁+ (1 − α)x2

+ (αy1+ (1 − α)y2)²

≤ α 1

x₁ + (1 − α) 1

x₂ + αy₁²+ (1 − α)y₂²

= α 1

x₁ + y₁²

+ (1 − α)1

x₂ + y₂²

= αf (x1, y₁) + (1 − α)f (x2, y₂) 即 f 為 {(x, y)|x > 0, y ∈ R} 內的凸函數。

易見

1

x+ y² ≥ ax + by + 2 − a − b

等價於 f (x, y) − f (1, 1) ≥ h(a, b), (x − 1, y − 1)i, 據定理 2.3 可知, 此時 a, b 存在且 a= ∂f

∂x  

(1,1) = −1, b = ∂f

∂y  

(1,1)= 2。

以上的討論均是基於 f 可導得到的, 如果去掉可導性質, 這種等價性是否成立? 這就是我 們下一步要討論的問題。

3. 函數凸凹性的刻畫: 不可導的情形

定理3.1. 設函數 f (x) 在 [a, b] 有定義, 則 F⁰(p) 6= ∅, ∀p ∈ (a, b) 當且僅當 f (x)在 [a, b] 上為凸函數。 其中 F⁰(p) = {c ∈ R|f (x) − f (p) ≥ c(x − p), ∀x ∈ [a, b]}。

證明: (1) 設 F⁰(p) 6= ∅, 下證 f (x) 在 [a, b] 上為凸函數

事實上, 任取 c, d ∈ [a, b], 令 p = αc + (1 − α)d, α ∈ [0, 1], 任取 r ∈ F⁰(p), 則有 f(c) − f (p) ≥ r(c − p),

f(d) − f (p) ≥ r(d − p) 第一式乘以 α 加上第二式乘以 1 − α 可得

αf(c) + (1 − α)f (d) ≥ f (p) 所以 f (x) 在 [a, b] 上為凸函數。

(2) 當 f (x) 在 [a, b] 上為凸函數時, 我們來看一看 ∀p ∈ (a, b), F⁰(p) 中有些什麼元素。

事實上, 任取 x, y ∈ [a, b], x < y, 由凸函數的幾何性質可得 f(y) − f (p)

y− p ≥ f(x) − f (p) x− p 由此知道 g(x) = f(x) − f (p)

x− p (x 6= p) 是增函數, 且有上界, 現取 x < p, x → p, 則 g(x) 必有極限, 記為 f₋^′(p), 且有 ∀y ∈ (p, b], f(y) − f (p)

y− p ≥ f₋^′ (p)。

另一方面函數 h(y) = f(y) − f (p)

y− p , (這裏 y ∈ (p, b]) 當 y → p 時, 函數值遞減, 且 h(y) ≥ f₋^′ (p), 於是知 y → p 時, 該函數極限存在, 記為 f₊^′ (p)。

總結以上, 對於任意的 x < p < y, 均有 f(y) − f (p)

y− p ≥ f₊^′ (p) ≥ f₋^′ (p) ≥ f(x) − f (p) x− p

從而易見此時 F⁰(p) = [f₋^′ (p), f₊^′(p)]。

例4: f (x) = |x| 時, f 為凸函數, 但 f 在 0 點不可導, 此時不難算得 F⁰(0) = [−1, 1]。

同理我們有如下結論

定理3.2. 設函數 f (x) 在 [a, b] 有定義, 則 F (p) 6= ∅, ∀p ∈ (a, b) 當且僅當 f (x) 在 [a, b] 上為凹函數。 其中 F (p) = {c ∈ R|f (x) − f (p) ≤ c(x − p), ∀x ∈ [a, b]}。 且此時 F(p) = [f₊^′ (p), f₋^′ (p)]。

參考文獻

1. 韓雲端, 扈志明, 張廣遠, 微積分教程 (上)(第 2 版), 清華大學出版社, 北京,2006 2. 劉玉璉, 傅沛仁, 數學分析講義 (上), 高等教育出版社, 北京, 2001.

—本文作者為武漢科技大學理學院教師_;北京清華大學數學系訪問學者_—