國小六年級擬題教學之研究

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國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文

國小六年級擬題教學之研究

~以小數加減運算及大小比較概念為例

研究生：趙坤川 撰 指導教授：梁淑坤 博士

中華民國九十五年一月

國小六年級擬題教學之研究

~以小數加減運算及大小比較概念為例 摘要

本研究主旨是在探討一個國小六年級的班級，實施小數加減運算及大 小比較擬題教學的情形。其研究目的有：1. 設計並實施擬題教學流程；2. 探 討學生在解題階段中的表現；3. 分析學生擬題作品中的類型；4. 學生擬題 過程迷思概念呈現的情形。擬題教學流程分成「解題」、「擬題」和「解擬 題」三個階段，包括：學生先解答教學者所提供的題目；再以此題目為基 礎，要求學生自行擬出題目。學生解答自己所擬的題目。擬題方式是採取 日本學者坪田耕三的「類題法」。研究者利用自編小數題型題目表、解題學 習單、擬題學習單、學習日記和教學札記等收集研究資料。

本研究共有四個發現，第一，擬題教學流程適用於數學教學。第二，

學生在解題過程中擬出的題目屬於資料適中的有96.9﹪，大部份學生能擬 出可行的題目。學生大多數會改變題目的數字及內容事物，但改變題目結 構者較少，題目也出現多樣性的發展。第三，學生表現在解擬題階段相較 高於解題階段，也使學生顯露出樂於學習的態度，並能融入日常生活當中 來運用。最後，研究者實施擬題教學時，所遭遇的困難有上課時間難以掌 握、發表文化難以建立、部份學生呈現出迷思概念。

關鍵字：數學解題、擬題教學、小數加減運算及大小比較

Research study on sixth grade problem-posing instruction: Case of addition, subtraction and number comparison on decimals

Abstract

The aim of this research project is to investigate the implementation of

problem-posing instruction on decimals to one sixth-grade mathematics class.

There are four research objectives: 1) design and implement problem-posing instruction on decimals; 2) discuss the status of children’s performance in

problem-solving; 3) analyze the type of problems posed by children; and, 4) display categories of misconceptions exhibited when children did problem posing. The stages for instructions were three: 1) children solved the problem given by the

instructor; 2) children referred to given problem and posed a problem; and, 3) children solved their own problem. In this study, the type of problem posing chosen for instruction is “similar problem”, which is adapted from Tsubota, a Japan scholar. The researcher collected data by using: own constructed decimal problems question sheet, worksheet on problem solving, worksheet on problem posing, children’s diaries and teachers’ notes on instruction.

There are four findings. First, the implementation of sixth grade problem-posing instruction on decimals is feasible. Second, 96.9% of students’ problems are plausible and contain sufficient information for problem solvers. Most students could change the number and content of the question but few revised the structure of the question. There was also multiple development for those problems. Third, children’s performance in posing/solving stage was better than that in problem-solving stage.

Finally, the researcher reported that the teacher faced problems such as difficulty in control of time, establishing children’s habit in reporting, and collecting

misconceptions of children.

Key word :

problem solving; problem posing; addition, subtraction and number comparison on decimals

目 次

第一章 緒論

第一節 研究動機……….1

第二節 研究目的……….6

第三節 待答問題……….6

第四節 名詞釋義……….7

第二章 文獻探討

第二節 擬題的相關研究……….…………26

第三節 小數學習概念之探討………..………….………..37

第三章 研究方法

第二節 研究流程……….………54

第三節 研究對象……….56

第四節 擬題教材…………..……….58

第五節 預試資料的分析……….63

第四章 結果與討論

念的情形………..………..…76 第三節 學生的擬題作品類型和內容分析……….….81 第四節 擬題教學中小數加減運算及大小比較迷思概念呈現

的情形………...97

第五章 結論與建議

第一節 結論……….…..103 第二節 建議……….……..106

參考文獻

一、中文部份……….….………108 二、英文部份……….………….……112

附錄

附錄一 第一次解題學習單學生作品舉隅….……….115 附錄二 第二次解題學習單學生作品舉隅………..……….116 附錄三 第三次解題學習單學生作品舉隅…..……….117 附錄四 第四次解題學習單學生作品..舉隅……….118 附錄五 第五次解題學習單學生作品舉隅…..……….119 附錄六 第六次解題學習單學生作品舉隅….……….…….120 附錄七 第七次解題學習單學生作品舉隅…..……….121 附錄八 第八次解題學習單學生作品舉隅………..……….122

附錄九 第九次解題學習單學生作品舉隅…..……….123 附錄十 第一次擬題學習單學生作品舉隅………..……….124 附錄十一 第二次擬題學習單學生作品舉隅……….…….….125 附錄十二 第三次擬題學習單學生作品舉隅………….….….126 附錄十三 第四次擬題學習單學生作品舉隅……....……..….127 附錄十四 第五次擬題學習單學生作品舉隅…..…..…….…..128 附錄十五 第六次擬題學習單學生作品舉隅…..…..…..…….129 附錄十六 第七次擬題學習單學生作品舉隅…..…..……..….130 附錄十七 第八次擬題學習單學生作品舉隅..……..………...131 附錄十八 第九次擬題學習單學生作品舉隅…..………..…...132 附錄十九 學生學習日記紀要一………..……….133 附錄二十 學生學習日記紀要二………..…………..…..…….134 附錄二十一 學生學習日記紀要三………..………..……….135

圖次

圖2-1 擬題四步驟（梁淑坤，1994）……….…..…..….……19 圖2-2 學生擬題與解題行為過程……….…….20 圖2-3 小數學習洋蔥模式（D^，Entremont，1991）..………..40 圖2-4 小數能力指標脈絡圖………..………51 圖3-1 研究的架構及流程圖……….….……52

表次

表 1-1 擬題作品分類表………8 表2-1 Reitman（1965）的題目結構表……..…….…………13 表2-2 各種擬題類型分析對照表……….…….……...17 表2-3 學童把橫式的加減運算寫成直式運算主要迷思概念..45 表2-4 小數加減運算過程產生的迷思概念………..46 表2-5 第十一冊小數教學目標（南一書局，2004）…..……49 表2-6 小數和各冊相關主題的教學目標...………50 表3-1 研究對象接受數學課程變動的情形………..57 表3-2 小數題型的題目表……….59-60 表3-3 預試的擬題作品類型分析表………..67 表4-1 擬題作品分類結果………..87 表4-2 吳進寶老師第六、七次擬題作品分類結果…………..89 表4-3 擬題作品內容分析表………..90 表4-4 學生解題與解擬題成功失敗的情形統計表………98-99

國小六年級擬題教學之研究

~以小數加減運算及大小比較概念為例

第一章 緒論

第一節 研究動機

現今國內數學領域實施的九年一貫課程，目標在於培養學生具有「可 以帶著走的能力」，而不是如「學徒式」般的跟著老師對數字方面作運算，

而不知其在生活上的意義及如何運用。解題教學即是教導學生具有解決數 學及生活情境問題的能力，傳統數學課程的教學方式注重老師來講解課本 或習作的題目，學生模仿老師的方式進行解題，而評量時僅就題目數字加 以變動；這樣的流程反覆練習，學生就在「成功的模仿下學習」，直到學會 了「師傅」所要傳授的「功夫」（梁淑坤，1997）。如此與現今主張創意且 具多元化的數學教學顯然是相背離的；也造成，學生的解題行為大多數由 題目的表面著手，而未能思考題目的深層意義（陳美芳，民 84； Riley, Greeno,

＆ Heller , 1983），如此要培養學生思考能力以解決數學問題確實相當困難

（施淑娟，1999）。數學課堂上常只是一群學生認真模仿著老師的算法（劉 祥通、周立勳，1999），如此的教學方式，實在無法提升學生的自發性思考 能力，也無法培養學生解決問題的能力。

近來建構主義（radical constructivism）的學者對於知識的獲得有兩項

基本主張（von Glasersfeld ,1980;1989）：

知識不是被動吸收，而是由認知主體主動建立的；認知的功能是適應

（adaptive），且其功用是組織外在經驗世界，而非發現已經存在的本體現 實的。

既然建構主義取向的教學，提出了以「知識是由認知主體主動建立」

的教學主張，教師們在教學過程的角色便須有所調整，即由傳統的「教學 者」改變為情境的「佈置者」、學習者討論溝通的「協調者」、遇到困難問 題解決的「引導者」。再者，許多學者專家認為，要改善學生的數學思考能 力，應該讓學生由主動的建構過程中去學習數學，而於數學課程中進行擬 題教學，便是一項被推薦的教學方式（梁淑坤，1994）。

美 國 數 學 教 師 協 會 （National Council of Teachers of Mathematics

〔NCTM〕,1989;138）在其課程與評量標準中明確的指出：「應讓學生於數 學課程中有一些經驗和覺察來形成他們自己的問題，並以此作為教學的重 心」，其中形成他們自己的問題的意涵與「擬題」的精神

相同。再者，NCTM（1991;95）也提出建議：「學生應有機會從已知情境中 形成問題，並藉由修正已知問題的條件中來創造新的問題」。由此可知，在 數學領域的教學中應讓學生擬出他們自己的問題（梁淑坤，1994）。數學學 習活動除了問題解決以外，問題的形成（擬題）也應被看成數學活動的一

個重要成分。

民國 85 年實施的 82 年版國小數學課程標準明確揭示國小數學教育目 標在於：「培養有效運用數學方法，以解決實際問題的態度及能力」，其教 學活動的重點在於讓孩子們透過討論與溝通，產生數學知識，進而解決問 題（周筱亭，1995）。而 89 年國民中小學九年一貫課程暫行綱要的數學課 程目標：「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」。且 92 年國民中小學 九年一貫課程綱要的數學領域教學的總體課程目標也提到：「學習應用問題 的解題能力」。

學生解題能力的培養是近期多次的教科書編訂的重點，可以看出是我 國數學課程的重要目標。數學領域重視學生發展「擬題」和「解題」的能 力，而擬題的精神正符合現今實施九年一貫課程目標的須求。因為，九年 一貫課程目標（教育部，2003）提到「數學學習活動應讓所有學生都能積 極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷 的思維與理性溝通的能力，期盼在社會互動的過程中建立數學知識」；且國 民中小學九年一貫課程綱要（教育部，2003）也提到，透過擬題的活動，

正可以提供學生一些討論、思考和想像的機會，藉以提昇學生的創造力，

進而培養合作及溝通表達的能力。

從以上國內外學者所提出的建議及我國數學領域課程的精神，可以得

知，應該讓學生由主動的建構過程中去學習數學，而提供學生在課堂中擬 題的機會，便是一項被推薦的教學方式（梁淑坤，1994；Kilpatrick ,1987;

Krulik ＆ Rudnick ,1993; Silver ,1993）。一般而言學生解答自己所擬 出的題目的動機會比去解答教科書中或是教師所出的題目更加強烈，即多 位學者所提「問題若是由解題者所擬出來解題的動機就會很高」（Brown ＆ Walter, 1993; 梁淑坤，1994）。亦有學者提出採用擬題策略，是促進建構學 習的有效數學解題教學策略之一（施淑娟，1999）。

再者，教師們一直想透過數學的學習來增進生活的適應及解決問題的 能力，而擬題過程當中，學生必須以自己的數學觀點去思考周遭或日常生 活中的事物，然後透過個人的思考模式想出數學問題來，再以數學知識和 方法解決問題，如此，擬題是訓練一個人的數學思考，培養分析問題、創 造問題與解決問題能力的方法之一（楊惠如，2000）。

綜合以上所述，不論是從課程發展的趨勢動向，或是國內外研究者提 出的建議來看，「擬題」教學在數學教學上的重要性是被肯定的。

進行擬題教學研究，要考慮數學教材在國小數學科的學習重點，在國 小數學科的教材中以「數」的教材佔最重要部分（教育部，1993）。數的學 習內容又可分為整數、分數、小數、概數等四類，小數的概念部分乃起源 於分數，小數概念是相當複雜且重要的。最近這幾年來的研究報告結果，

均發現小數方面的學習情形及表現均不理想（簡茂發、劉湘川，1993；林 原宏，1994；劉曼麗，2001；Hiebert ＆ Wearne , 1986; Resnick , Nesher , Leonard , Magone , Omanso ＆ Peled ; 1989）。

研究者目前任教的學童為國小六年級學生，小數加減運算於該學

年上學期數學的第六單元。根據研究者於五年級上學期「理解帶小數的加、

減法直式算則」（九年一貫南一版）單元的了解，學生學習意願普遍比其他 單元不佳，全班約有二分之一的學生，學習評量結果較其他單元低落許多，

且具有許多小數的迷思概念。在該學期末學年會議中，有幾位同學年的教 師也提出類似的看法；對於如何讓學生破除這些迷思概念及未來如何進行 有關小數單元的教學引起了廣泛的討論。而本學年南一版（第十一冊）第 六單元－小數，想達成的教學目標為「能延伸小數的認識到三位以上（小 數），並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問題。」

由於以上的理由，研究者因而產生研究動機--將小數加減運算及大小 比較和擬題教學相結合。讓學生有機會嘗試察覺生活情境並形成自己的數 學問題，自己解決數學問題，並且透過全班討論的進行，分享解題的方法 和擬題的成果。

第二節 研究目的

根據上述研究動機，本研究的研究目的如下：

1. 設計並實施小數加減混合運算及大小比較的擬題教學流程。

2. 探討學生在解題過程中小數加減運算及大小比較概念的情形。

3. 分析小數加減運算及大小比較擬題與解題教學過程中學生作品的類型 和內容。

4. 探討擬題教學過程中小數加減運算及大小比較迷思概念呈現的情形。

第三節 待答問題

根據以上四項研究目的，本研究的待答問題如下：

1. 小數加、減混合運算及大小比較的擬題教學流程為何？

2. 學生在解題過程中產生小數加減運算及大小比較概念的情形為何？

3. 學生的擬題與解題作品中小數加減運算及大小比較的類型為何？

4. 擬題教學過程中小數加減運算及大小比較迷思概念呈現的情形 為何？

第四節 名詞釋義

為使於本研究中重要名詞意義能更明確，茲將有關的重要名詞界訂如 下：

1. 擬題

擬題是指學生在教師所給訂的數學條件下，再以先前的題目為架構，

依自己的數學知識、想法、經驗組織成一個完整的數學題目。

2. 擬題教學

本研究中擬題教學是指教師在教學活動中給予學生一些數學條

件，讓學生依據自己的構想，擬出符合條件的數學題目。在擬題過程中，

沒有安排學生進行分組討論，學生完成擬題後，由學生自行解題。

再由學生個別發表自己的擬題，師生共同欣賞、討論並修正錯誤的部分。

3. 學生擬題的分類

本研究採用國內學者梁淑坤（1999）所發展出的評量工具（如表 1-1），

將學生擬題的作品加以分類，共有 5 類，以「1」至「5」為代號編碼，依 擬題的內容為評定標準。分類的數字「1」至「5」，是「次序量尺（ordinal）」，

即就某一特質之多少或大小次序將團體中各分子加以排列的變數。因此，

得到「4」並不是「2」的二倍，但是，編碼數字「1」至「5」，乃是擬題好 壞程度的評比。

表 1-1 擬題作品分類表（梁淑坤，1999：204）

題目 非題 題目類

可行的 分類 目類 非數學 不可行

資料不足 資料適中 資料超過 編碼 1 2 3 4 5 5

4. 六年級學生

本研究所指六年級學生是從國小三年級起接受接受九年一貫數學課程 的九十三學年度的國小六年級學生。

第二章 文獻探討

本章首先探討數學擬題的意義與內涵；再者，探討國內外有關數學擬 題的相關研究。其次，探討小數概念學習的相關理論，及小數加減法運算 及大小比較的學生迷思概念。最後，分析 2003 年公佈的九年一貫課程中有 關小數的教材內容。

第一節 擬題的意義與內涵

本節分成四部份來探討擬題的意義與內涵：首先探討擬題的定義與特 徵；其次分析擬題的類型；再者探討擬題與解題的關聯性；最後分析擬題 在數學教育上的重要性。

壹、擬題的定義與特徵

一、擬題的定義

近年來國內外數學教育學者對於數學擬題的教學活動和研究，已經引起 世界上許多數學家和數學教育學家的重視（梁淑坤，1993；Borba , 1994;

Leung & Silver , 1997; Silver & Cai, 1993; Schloemer , 1994 ; Winograd ,1990）。美國的課程和評鑑標準委員會（NCTM ,1989）也提出將 擬題教學加入於課程中。許多國家也對擬題的研究和課程的研發投注相當

多。國內有許多相關性研究（梁淑坤，1993，1994，1995；劉芳妃，1998；

楊惠如，2000；周幸儀，2002；陳佩琦，2003；莊美蘭，2003；林群雄，

2004；吳進寶，2005）。其中有些研究者，也重視孩子自行出題的活動。

擬題（problem posing）的定義究竟為何呢？

國內學者梁淑坤（1994）對擬題下了一個定義：「自己想出一個數學題 目來」，就是「擬題」。在擬題的過程中，擬題者會用自己所具備的數學知 識和所擁有的生活經驗把情境、數字、圖形、人物、事件內容等建立關係 並組織起來，自己想出一個數學題目。

國外有幾位學者對擬題的定義如下：

1. Silver（1994）指出擬題有二種型態，包括由經驗或情境中創 造出新的問題，或由給定的題目解題過程中，創造新的題目。

2. Dillon（1982）則認為，擬題是解題之後，尋找題目的過程。

3. 澳大利亞的 Stovanova 和 Ellerton 則將擬題定義為：「依據數 學經驗的基礎，學生建構以及創造有意義的數學題目，是一個 屬於個人化的過程」。

綜合上述國內外學者對擬題的定義，本研究將擬題界定為擬題是指學 生在教師所給訂的數學條件下，再以先前的解題架構，依自己的數學知識、

想法、經驗組織成一個完整的數學題目。

二、擬題的特徵

從以上學者對擬題的定義，我們得知，擬題過程中，擬題者會依據自 己的數學知識和生活經驗，將所獲得的條件建立關係並組織起來，擬出一 個新的數學題目。所以擬題行為應包含下列的特徵（梁淑坤，1994：153）：

1. 組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）：擬題是依據自己的 數學知識和生活經驗，創造出一個新的數學題目，是自己想出來的 題目，會與其他人想的不一樣。

2. 擬題的過程包括猜想及可信推理（plausible reasoning）：擬題 是在先前的解題架構中想出一個題目來，因此擬題者再擬出一個新 題目時，會有一連串問題像「假如是…？」（What if…？），「假如 不是…？」（What if not…？）（Brown & Walter,1983），因此包 含了數學的猜想與可信推理（Polya,1945）。

3. 擬題可以發生在解題前（before）、解題中（during）、以及解題 後（after problem solving）：例如，我們給予學生一個數學題為

「2.1－1.6789＋3.5789」的題目，要求其擬出一新的題目，擬題 者可能擬出一個任意小數相加減的題目？解題後發現不是，又想想 前後兩數相加再減第二個數的題目？解題中又想，若把題目轉換為 前後兩數相減再加第二個數的題目，結果會如何？所以，在解題過 程的任何階段我們都可以擬題。

4. 擬題者將想出的題目寫出來時是較課本的題目「粗糙的」

（primitive）。這些題目可能是非完整的（incomplete）；非可行 的（implausible）；也可能還缺乏足夠解題資料（insufficient）：

擬題是把想出的數學題目馬上寫下來而未經修飾，並不像教師命題 或課本的題目那樣的精細和完整，擬題者可能是瞬間在腦海中構想 出題目，所以題目可能是較粗糙的。

根據以上的擬題特徵（梁淑坤，1994）得知，擬題的行為過程，

都在學習者身上發生，而非教師設計某個數學問題讓學生去解答。而 擬題可能發生解題之前，或是處理較複雜題目時先分出幾個步驟，再 行解題，如此便是在解題中的擬題，甚至於可能發生在解題後再提出 相關的新問題，就是解題之後的擬題。由於題目組織是屬於擬題者個 人的，其中包含猜想及可信推理，因此所擬出的題目不像教師佈題那 樣的縝密；也不像教科書上的題目，是經由多位學者審核過的詳細、

清楚和可解的，所以有可能顯得較粗糙或不完整，或欠缺解題足夠的 資料。然而，當學生擬好題目後，嘗試去思考題意或為自己的題目 解題時，學生會思考題目的完整性，也能提昇學生的擬題能力。

貳、擬題的類型

擬題類型的分類方式有很多不同的方式，學者的分類原則也不 相同。以下就各個學者的分類方式加以探討：

一、Reitman（1965）的題目結構分類方式

國內學者梁淑坤（1994）根據 Reitman（1965）所提出題目的結 構再對擬題活動作做如下的四種分類：

表 2-1 Reitman 的題目結構表（引自梁淑坤，1994：155）

已知（Given） 目標（goal）

1 ˇ ˇ

2 ˇ ×

3 × ˇ

4 × ×

「ˇ」為定義清楚

「×」為未定義清楚

Reitman 把題目分為結構題與非結構題。如果題目具有明確的條 件及目標，就可以稱為結構題（Leung , 1997），如同表 2-1 的第一類 型的題目。這一類的題目中已知的條件和詢問的目標都很明確，學生 可根據已知的條件用解題方法將所要求的項目找出來，就如同課堂上 所使用的課本和習作或評量試卷上常出現的題目方式。非結構題為給 定的條件或欲要求解題的目標中有一或二項未知，如表 2-1 的第二、

三、四類型即為非結構題。若我們將它視為教師佈題的題材，或作為 學生上課或課後的活動，將這些非結構題類型的題目加上自己創見寫 成具結構題的題目，就事本研究所稱的擬題活動了。

二、坪田耕三（Tsubota）的擬題類型

結 構 類 型

坪田耕三（1987）在其所著《生動的算術》一日文書中提及，擬 題的方法可分為七種（引自梁淑坤，1994：165）：

1. 模仿法或類題法：學習某個問題之後，讓學生擬出和此問題同類 型 的題目。

2. 算式法：提出一個公式，讓學生擬出適用此公式的問題。

3. 原理法：給予四則運算法或約分、擴分等原理，讓學生擬出符合此運算 法或原理的題目。

4. 訂正法：在題目中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件，

或作出矛盾而要學生訂正後，擬出一個完整的題目。

5. 實驗法：作實驗或以具體的東西操作，再以此事象為根基讓學生擬出問 題。

6. 自由法：以開放自由的題材，讓學生擬出自由型式的問題。

7. 題材法：給予限定題材，讓學生擬出問題。

三、Silver 的擬題類型

Silver（1994）依擬題的構想來源將擬題類型分為兩種：

1. 從別人設計的題目中經過自己的整理再擬生新的題目。

2. 從舊有的情境或經驗中再自行組織出新類型的題目。

四、Stovanova 和 Ellerton 的擬題類型

Stovanova 和 Ellerton（1996）以各種擬題結構情境來區分將擬題分

為下列三種類型：

1. 結構（structure）的情境：擬題者可以利用已有的題目加入自己的創 意，而成新的題目。

2. 半結構（semi-structure）的情境：擬題者將以往的數學知識、技巧、

概念以及關係連結，把他組織起來成為一個完整結構的問題。

3. 自由（free）的情境：讓學生在一個給定的自然情境下自由發揮創造力，

擬出一個和已知條件與要求目標均定義明確的題目。

五、梁淑坤的擬題類型

梁淑坤（1997）根據教育部（1993）公佈之國小數學課程標準所訂定 的內容，自行編製了一套擬題的評量工具。在 52 題擬題的教材中，將擬題 類型總共分為算式、文字、圖表、解法、答案和題目等六大類，研究者將 其類型、類型的描述說明如下：

1. 算式類：擬題者依據教學者所給訂的算式來擬出與該算式題意相 符的新題目。

2. 文字類：擬題者依據教學者所給的一段文字內容的條件，再擬出 新的題目。

3. 圖表類：出題者先畫出一個圖表，讓擬題者擬出一個與該圖表內 容相關的題目。

4. 解法類：只給予運算方法，如「小數四則混合計算」，再讓擬題者

擬出使用此運算方法來解題的題目。

5. 答案類：教學者給予一個答案，再讓擬題者擬出符合這個答案的 題目。

6. 題目類：先給予一個題目，要求學生解題後，再根據此題目的原 則擬出一個新的題目。

六、各種擬題類型之分析比較

對於擬題類型的分類上述的幾位學者依各自的研究方法分類的相當詳 細，而其後研究者更加以製作成下表並做出更詳細的綜合分析比較表，以 下引用研究者林群雄（2004：12-13）所做的比較表如下表 2-2：

表 2-2 各種擬題類型分析對照表（引自林群雄，2004：12-13）

Reitman

（1965）

坪田耕三

（1987）

Silver

（1994）

Stovanova Ellerton

（1996）

梁淑坤

（1997）

結構題

1.已知、目標 均已定義清 楚。

1.模仿或類 題法。

1.從已給的 題目再產生 新題目。

1.結構的情 境。

6.題目題

2.已知已定 清楚，目標未 定義清楚。

2.算式法 3.原理法 4.訂正法 5.實驗法 7.題材法

2.從情境或 經驗中再創 造出新類型 的題目

2.半結構的 情境

1.算式類 2.文字類 3.圖表類 4.解法類

3.已知未定 義清楚，目標 已定義清楚

- - - 5.答案類 非結構題

4.已知、目標 均未定義清 楚

6.自由法

-

3.自由的情

境 - 學

類 者 型

從表 2-2 的分析比較中，在這幾位學者的分類當中可以綜合出以綜合 出以下幾點：

1. Reitman 所提出的第一類型「已知條件和要求目標均定義清楚

」、坪田耕三的「模仿或類題法」、Silver 的「從已給的題目再產生新題目」、 Stovanova 和 Ellerton 的「結構的情境」，以及梁淑坤的「題目題」，這些 的擬題結構可歸為同一類型，其共同性是問題結構完整都是屬於結構題。

2. Reitman 第二類型「已知已定義清楚，目標未定義清楚」、坪 田耕三的「算式法」、「原理法」、「訂正法」、「實驗法」、「題材法」，Silver 的「從情境或經驗中再創造出新類型的題目」、Stovanova 和 Ellerton 的

「半結構的情境」、梁淑坤的「算式類」、「文字類」、「圖表類」、「解法類」，

這些的題目結構相同，屬於較開放性的問題結構。

3. 梁淑坤的「答案類」，則和 Reitman 的第三類型「已知未定義 清楚，目標已定義清楚」的擬題題型相同，這種擬題的方法有逆向思考的 做法，也是屬於開放性的問題結構。

4. Reitman 的擬題第四類型「已知、目標均未定義清楚」，則與坪田 耕三的「自由法」和 Stovanova & Ellerton 的「自由的情境」可說 是具有異曲同工之妙，學生可盡情的發揮擬題的能力，可說是在一個完全 開放的擬題架構上進行擬題工作。

本研究從這些類型中選出適合六年級學生學習能力及經驗的擬題方

式來設計擬題教學流程，其中以坪田耕三的模仿法或類題法及梁淑坤的題 目類的這兩種型態的擬題方式，均以先前所解答的題目為基礎來擬出一個 新題目來，而此種方式較適合國小六年級學生的學習模式。因此採用這兩 類型的擬題方式做為本研究的教學活動設計。

參、擬題與解題的相關性

國外學者 Polya（1945）在其所著《如何解題》（How to solve it）

書中，曾提及解題的過程共有四個階段：理解（Undertand）→計畫（Plan）

→執行（Carry out）→回想（Look Back）。解題者在解題之前，必先了解 題意，知曉題目的已知條件和欲達成的目標，再著手策劃解題的步驟和策 略，接著按計畫進行實際的解題，解題之後，解題者再回顧是否按照題意 及計畫解題，並思考是否有更好的解題策略或方法或可將此解題方法運用 去解決其他問題。

國內學者梁淑坤（1995）認為解題者為何先要了解題目？因為解題者 在解答別人擬好之題目，如果解題者亦是擬題者，當然清楚題目的內容，

馬上可以做策劃的功夫。而且，解題者在解題時，也許會想出新的題目來，

然後再策劃、再解題。再解題後可將所得結果整理後再擬出新的題目來，

這樣下去，可以變成永無休止的擬題和解題活動。

故其根據 Polya 的解題模式，將擬題取代理解，而成為擬題四步驟，如圖 2-1：

擬題（Pose）

回顧（Look back） 計畫（Plan）

執行（Carry out）

2-1 擬題四步驟（梁淑坤，1994，p.159）

然而，研究者在教學的現場學生的解題情形並非如圖 2-1 般的循環流 暢，當學生的解題過程如遇到題目條件不足，便會重新檢視題目或重新擬 題。有些解題者，在執行解題步驟時，遇到窒礙難行之處，會重新規劃解 題策略，若還是無法解題，便會再檢視題目或重新擬題，再進行解題。透 過如此不斷擬題又解題的循環，學習者不會因為發現問題和解題過程的分 離，而降低其認知行為（Dillon，1982）。反而透過這個循環可以做到創造 數（making mathematics , Polya ,1945）。這種自行創造數學，使每一個 學生都有數學家的感受，使學生更加有興趣去擬題與解題。研究者林群雄

（2004）參考 Polya（1945）的解題步驟和梁淑坤的擬題步驟，並依據實 際上課經驗，將學生的擬題過程呈現出來。

為使教學現場學生擬題與解題過程更加明瞭，研究者參考圖 2-1 畫出學生實際擬題與解題過程的流程圖，如下圖 2-2

圖 2-2 學生擬題與解題行為過程

由圖 2-2 可知實線部份代表學生解題成功時整個擬題的流程，而虛線 部分代表學生解題失敗時，會重新尋找解題計畫，如果還是無法解題，便 會再檢視題目或重新擬題，由此可見擬題與解題的關係相當密切且重要。

肆、擬題在數學教育上的重要性

國際上許多學者及數學教育家在關注擬題的研究，其中包括美國學者 Silver（1994）、日本的 Shimada、英國的 Greer、澳大利亞的 Ellerton、

荷蘭的 van den Brink 及希臘的 Mamona。亦有學者研究指出擬題是數學教 育的重心（Schloemer , 1994）。然而，擬題在數學教育中的重要性為何？

研究者歸納出擬題教學的重要性有以下六點：

一、提升學生解題的動機與興趣

Silverman , Winograd 和 Strohauer（1992）的研究指出，學生對於 課本中的題目或是教師的佈題較無興趣，然而學生會期待且希望由自己來 擬題，坪田耕三（1987）的研究也指出與學生本身有關的問題做教學，更 可引起小孩子求知的欲望。同樣地，梁淑坤（1994）亦認為解題者本身對 於自己所擬出的問題，解題的動機會較高。而 Schloemer（1994）也認為

擬題 計畫 執行 解題成功

回顧 解題失敗

擬題可以讓低成就的學生提高學習的意向，也可以讓學生在數學學習中表 達他們的興趣和關心的焦點。而且，問題既然是由學習者自己想出來的，

答案自然很容易解答出來，因此擬題可以激發解題的動機和興趣。且 English（1997）也認為，應該要鼓勵學生擬題，如此可以提升學生的解題 興趣。一般教學中學生習慣去解答習作或教師已擬好的題目（National Research Council , 1989），容易形成僵硬的解題模式而少求自我發揮的 機會。而擬題教學正提供學習者自我創造力發揮的機會，因此擬題可以提 高學生解題的動機與興趣。此外，這個經驗打破了以往教師出題，學生解 題的學習模式，讓學生覺得數學的學習是很有趣的，且如此對所擬題的單 元內容能更加深入瞭解（林群雄，2004）。

二、培養獨立思考與分析問題的能力

既然擬題的組織方法是屬於個人的（idiosyncratic），是自己想出 來的題目，會與其他人想的不一樣。所以，除了可以提升學習動機之 外，擬題的重要性包括了獨立思考與分析問題能力的培養。過去的數 學教育中，我們的學生背記了各種文字題的解題公式，卻無法推理思 考（周筱亭，1995），學生習得的是僵化的格式化數學。但是在擬題 的過程中，學生以個人的數學知識和能力，在已知的條件情境中，經 由個人的思考、組織方式來產生新的問題，在這樣的過程當中，不但 可以培養學生數學思考的能力，也可以提高學生分析問題發展的能

力。所以 Schloemer（1994）認為擬題可以促進學生更成熟的思考。

而坪田耕三（1987）亦指出擬題可以自然形成數學化的思考方式，透 過這樣的思考方式，擬題者藉由擬題活動，將自己的數學知識重新組 織，建立出教材的系統性和關聯性。陳佩琦（2003）也認為，透過擬 題練習，學生嘗試著不同類型的擬題，並能夠仔細地觀察擬題資料，

從資料中去組合或調整成一個題目，並發展出一套解決問題的方法。

三、使學生對數學問題結構意義化

有意義的學習是指兒童能有自己的想法，而不是大人決定是否對兒童 有意義的做法（周筱亭，1995）。而 Writze 和 Kahn（1982）認為擬題可 以幫助學生將具體情境事物與抽象的數學觀念連結，使數學意義化。同樣 地 Silverman 等人（1992）也指出學生利用數學知識和技能去建構題目是 具有意義的。國內研究者劉祥通（1996）也指出，在課堂中要求學生擬題，

可以加深學生對問題結構的瞭解。林德宗（1999）也認為，學生在擬題活 動中可以增進對數學概念的理解。以往的學習是由教師佈題或命題，學生 在被動的的情境下解題，對於數學抽象觀念不容易瞭解，但透過擬題活動，

我們可以使數學抽象具體化，讓學習變得有意義。由此可知，擬題活動不 但能提高孩童學習動機，培養思考分析能力，還能使其將數學知識結構意 義化。

四、將學生的生活經驗與數學學習結合

以兒童為中心的教學，是「教人」不是「教書」（鍾靜，1996）。Silverman 等人（1992）指出，擬題活動的目標之一，在幫助學生將數學學習與日常 生活連結，並且透過文字的敘述，反應生活經驗。而劉芳妃（1998）在合 作擬題的研究中，發現學生對於以周遭相關的人、事、物作為擬題素材，

反應最為熱烈。同樣地，林德宗（1999）亦認為，透過擬題活動可以增進 學生對數學概念的理解，並將知識連結到日常生活經驗中。且林群雄（2004）

亦指出，學生為了讓自己所擬的題目比別人更多元、更特別，所以必須注 意觀察生活周遭的環境以及身邊的人、事、物。因此，在擬題的過程中，

學生會利用日常生活經驗與對周遭生活的資訊擬出的題目，所以教師可以 透過擬題活動將數學學習與學生生活經驗相結合，並可透過學生數學題目 的文字敘述中去了解學生的擬題素材及想法。

五、培養學生相互欣賞與批判問題的能力

Borba（1994）認為，學生在擬題活動中擬出一個新的數學題目後，透 過自己思考或與同學討論的過程，能夠自己完成解題，又可以修正題目中 不適當的敘述。而在觀摩別人的擬題後，可以欣賞到別人的優良作品，作 為自己擬題改進的參考。對於有錯誤的題目，也可以提出自己的看法，彼 此加以討論，如此可以增加學生數學討論溝通的機會，因此擬題活動可以 培養學生批判思考的能力。而劉芳妃（1998）在其研究中也指出，擬題活 動可提供學生數學概念溝通的機會，加強社會化的發展；在擬題的活動中，

透過觀摩別人的擬題後提出自己的看法，從中可培養學生的批判能力。同 樣地，陳佩琦（2003）在其研究中亦指出，學生完成擬題作品之後，在欣 賞別人優秀的作品時，能給予適當的稱讚與鼓勵；對於有錯誤的題目，亦 能相互討論思考改進，提供解決的方法。因此擬題活動可以培養學生欣賞 與批判的能力。

六、提升學生的創造力

以往的數學教學的模式，只讓學生習慣去解答已命題安排好的題目，

且記誦一些專為應付考試的片段知識而少求自我發揮的機會。若要改變學 生被動解題的現象，美國課程標準建議（NCTM,1989;1991）教師在上課時 可多讓學生自行擬題再解題。日本教師坪田耕三（1987）認為數學教學的 目標在培養小孩的創造力，養成適應現代激烈變化的社會，如果只是去解 一些既定模式的題目，創造力就會漸漸會失去。國內學者梁淑坤（1997）

也指出擬題是一種創造力的表現。擬題本身就是自己創造思考問題的過 程，所以發現問題的本身可以視為創造力的過程（Dillon,1988）。而劉芳 妃（1998）在其研究中亦指出，在擬題的歷程上，創造力須依賴個人豐富 的知識並受文化和情境的影響，再經個人的思考方式來產生新事物、理念 和價值。同樣地，莊美蘭（2003）亦認為擬題活動可以激發學生擬題的創 意與解題的興趣。數學的創造（making mathematics）包括解釋性推理和 可行性推理，我們的學生甚少可以看到數學開始被創造出來的過程。擬題

要求學生做大膽的假設，對結果做猜測，以及推翻不合理的架構，故擬題 是創造數學的一個習作。

以上六種擬題活動的重要性，更在 82 年版數學課程標準中指出，國民 小學數學教學的目標，在於輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學的 知識，進而有效運用數學方法，以解決實際問題的態度和能力。而九年一 貫課程強調的不僅是知識的傳授更應加強能力的開拓，是要為國民的終身 學習奠下基礎，故數學課程的發展應以生活為中心，配合各階段學生的身 心與思考型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，據以發 展數學學習活動。數學學習活動應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各 種想法，激發創造力，明確表達自己的想法，強化合理判斷的思維與理性 溝通的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識。然而，要實施擬題教 學活動，首先必須設計出擬題教學的流程，讓教學者能將擬題教學的活動 在一般數學課程中實施，使擬題教學的功能能夠發揮，提昇學生的學習興 趣與學習效果。

第二節 擬題的相關研究

擬題教學深受國內外學者的重視，並做出了許多重要性的研究報告。

以下就各研究的內容簡述如下：

壹、國內的實徵研究

學者梁淑坤（1993）以美國某教育學院修「國小數學教材研究」的 18 位學生為對象，設計一份開放性作業-「十五枝火柴」，以同時研究「擬題」

與「一題多解」，該研究結論提出須在師資培育的課程中增設擬題教學的課 程之建議。梁淑坤（1994）並分析擬題在課程的角色，建議應自低年級開 始就列入擬題教學的活動。

梁淑坤（1995）又以 65 位職前教師及 127 位在職教師為對象，探討其 在三種實驗擬題作業形式（包含數值、純文字敘述、包含符號）下的擬題 行為。研究發現職前教師與在職教師在擬題的數量上並無顯著差異。在三 種擬題作業形式中，有數值的形式較其它兩種形式被教師們接受；在文字 敘述方面，教師們則自行提供資料或擬出資料不足甚至不可行的題目；在 包含符號的形式中，教師們傾向於寫出非題目、非數學或不可行的題目。

並指出，未來教師若想把擬題教學運用到教學讓小學生嘗試擬題的話，教 師們自己要有豐富的擬題經驗，也要懂得設計作業及評量學生的作品，這 是師資培育須重視的一環。

而後，徐文鈺於 1996 年，以 104 位國小五年級學生為對象，將學生分 為合作擬題組、個別擬題組及控制組三組。三組學生各接受每週兩次，每 次 40 分鐘的課，為期六週不同擬題教學方式之分數課程教學。研究結果發 現，合作擬題組在複雜的「部分－整體」概念的表徵轉換能力、分數解題 能力、分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性效果均優於個別擬題組和

控制組，而在分數概念的增進效果上三者並無顯著差異。

在 1997 年發表的國科會補助大學生研究專案計畫，職前教師孫秀芳

（1997）研究國小二年級學生的加減法擬題能力，以及學生對擬題的認知 程度。結果發現大多數學生都具有擬題能力，學生所擬出的題目多是熟悉 的情境，並且確定擬題與解題的活動是相關聯的。

梁淑坤（1997）更指出若要將擬題活動推廣至一般教室，必須先設計 好一些擬題教材及評量擬題能力的工具，再來才介紹給教師使用，最後才 要求教師們用自己的方式設計擬題教材。秉此信念，梁淑坤設計了一套共 18 題的數學擬題能力測驗（Test of General Mathematical Problem Posing , TGPP）。

劉芳妃（1998）年發表，以國中一年級數學課堂中的擬題作業表現與 活動，來探討學生合作學習時的情意層面以及擬題能力的研究。其研究中 指出，與學生生活經驗或班級中的人、事、物相關的次文化之擬題題材最 能引發學生的討論及參與。合作擬題時，學生傾向擬困難或奇特的問題，

且組員間合作的技巧會影響其學習品質。

另有學者，給予學生不完整的題目，例如題目中遺漏某些重要的解題 訊息，讓學生無法解題成功，再讓學生試著去修正題目成為一新的完整題 目來，如此提供了學生擬題的機會也能釐清學生的數學概念（Leung & Wu , 1999）。

同年，職前教師林德宗（1999，國科會補助大學生研究專案計畫）在 國小五年級數學教室中，探討擬題活動的應用。其研究發現，學生透過擬 題活動可增進其對數學概念的理解並能協助學生將數學知識和生活經驗相 連結。學生透過討論的過程能修正自己所擬出來的題目，並學習接納其他 同學的意見。

繼之，楊惠如（2000）用行動研究的方式，以一班國小三年級學生為 對象，實施擬題教學活動。研究結果顯示，擬題教學活動經歷三個階段：

初試啼聲、漸入佳境、步入軌道。教學活動中教師扮演了教學設計者、佈 題者、引導者、時間掌控者以及成效評估者等五種角色，顯示了教師在擬 題教學活動中的重要性。

在 2002 年，鍾雅琴以合作擬題的教學方式，探討國小五年級學生分數 概念、分數解題能力與分數擬題能力的增進效果。其研究歸納出三點結論：

1.合作擬題教學能增進實驗組學生在整體與複雜的分數概念、分數的 數線概念兩種表徵轉換的學習。且於分數解題能力的增進效果，實 驗組優於對照組。

2.合作擬題教學方式，對分數擬題的流暢性、變通性、精緻性和獨特 性四個向度，其效果實驗組優於對照組。

3.在合作擬題教學方式自評表上，在認知部分，大部分學生均認為合 作擬題策略教學對其數學的學習有很大的幫助；在技能方面，大部

分學生均認為合作擬題策略教學對其數學解題的能力有很大的幫 助；在情意部分，大部分學生均認為合作擬題策略教學對其想像力 之激發有很大的幫助。

同樣地，周幸儀（2002）透過合作擬題教學活動來探討國小二年級學 生的擬題學習歷程以及擬題教學對學生數學概念、擬題能力、解題能力的 增進效果。結果發現合作擬題教學對學生的學習歷程、數學概念發展、擬 題和解題能力均有增進之效果。

莊美蘭（2003）以國中一年級的學生為研究對象，進行合作擬題和個 別擬題的教學活動，探討適合進行擬題活動的數學課程單元，以及合作擬 題和個別擬題的差異。結果發現，負數、體積與容積等較容易進行擬題教 學活動；合作擬題優點是可透過同儕互動，提供討論機會，促進學習，個 別擬題則是讓同學激發個人擬題的創意與實力，發現自己在數學概念的錯 誤。

至於陳佩琦（2003）則針對一個國小二年級班級實施擬題教學，從中 探討學生擬題的歷程，擬題作品的特色與錯誤類型，算式、圖畫、文字三 種擬題類型的擬題情形，擬題教學對於解題能力的增進與否。從研究中得 到，經由擬題教學後，學生不論在擬題與解題的速度或正確率都有明顯進 步，擬題作品則呈現多樣化，並指出擬題教學可以增進學生解題能力。

林群雄（2004）以國小三年級學生為對象，透過行動研究方式，探討

教師的專業成長，瞭解擬題教學的困難和適用的擬題素材。結果發現，教 師引導討論的能力獲致成長，教學心態也會轉為學生本位；學生也能提升 學習興趣、動機和自信。

從上述的各研究中，我們可以發現到，透過擬題教學活動，可激發學 童的學習興趣並增進學習效果，且於學生的解題能力及思考想像能力均有 很大的幫助，還可將數學知識與日常生活相結合。更有研究指出，擬題活 動可以讓教師體會到以學生為中心的教學，符合現代教學精神。國內學者 梁淑坤亦呼籲師資培育須重視此一環節，讓職場教師具有擬題教學能力。

以上國內的研究結果，顯示了擬題教學活動在數學課堂上的重要性和對學 童的助益性，更使研究者對此一研究增強了興趣。

貳、國外方面的研究

美國數學教師協會（NCTM ,1989）在學校數學課程與評量標準中，建 議應該讓學生在數學課堂上，透過經驗、察覺和形成他們的問題（即為擬 題），並以此作為數學教育的重心，從事擬題活動，以增加學生的解題興 趣。日本的數學教育學者也非常重視學生創造力的培養，所以在解題活動 中建議教師採用開放性的解題（Open-end problem solving）。近來在日 本提倡開放取向教學（Open approach teaching）的幾位學者，更主張擬 題能幫助學生更完整地分析問題，有助其問題解決能力（Nohda , 1984;

Hashimoto , 1987）。

Keil（1965）以 800 多位六年級學生為研究對象作擬題教學研究，由 另一位科任教師擔任教學，每週一節課，共十六週的時間。提供和數學課 本類似的情境，讓學生從事擬題活動。結果發現，經歷過自行擬題及解答 自己所擬題目的實驗組學生，在數學解題能力的表現上比只解答課本題目 的控制組學生好，顯示擬題教學對解題能力有正面效果。

Stover（1982）引導六年級學生將已知的故事題，以圖形或增加其他 訊息、編排訊息來改寫。在研究過程中，寫作變成數學課程的一部份。結 果發現，學生經過這樣的訓練後，在解題表現有明顯的進步。

Brown & Walter（1983）在高等教育中研究擬題，在《The art of problem posing》一書中，說明如何在教學中加入擬題活動，使學生能主動思考與 學習。他們提出的擬題策略是「What-if-not」，鼓勵學生在獲得答案後，第 一步先接受答案，第二步再挑戰各種假設，想想如果不是這樣，那麼答案 又是如何，如此便又形成一個新的問題。這個擬題策略即是屬於Silver

（1993）所說的：解題之後的擬題。

日本國小教師坪田耕三（1987）對國小一到六年級學生，進行開放性 問題教學。以學生剛解過的問題為基礎，鼓勵學生從原有問題中再擬出問 題來。如此學生不會認為找出一個答案後，問題就結束了，而能藉由教師 指導的方式，更改題目條件或數據，主動地發現問題和分析問題。並將實

際上課內容編成《生動的算術》一書出版，希望對努力改善教學品質的老 師有所幫助。

澳大利亞教育學會（Australian Education Council）認為學生應該學習 如何擬題，並且試著解答出自己所擬的題目（Stovanova & Ellerton ,1996）。

至於 Van den Brink（1987）曾要求國小一年級學生擬出故事題，而 學生在整個學年中進行許多擬題的活動，並且呈現出一些富有創意的擬題 作品，充分讓學童發揮他的想像力及創造力。

Skinner 是澳大利亞的一位教師，她將自己在幼稚園至國小二年級的教 學經驗，寫成《What’s your problem》一書，分享她擬題教學的樂趣

（Skinner ,1990）。她強調上課用的問題，必須是自己擬出來的，而且擬出 的題目要動腦筋才能解出來，否則太容易的題目就達不到擬題教學的效 果。在上課過程中，她會技巧地讓學生擬出問題，並讓學生有修改題目的 機會。學生在解別人擬的題目時，有時會反問擬題者，而擬題者從他人的 疑問中，發現題目的漏洞或缺失，再加以修改，這樣有助於澄清自己的觀 念。從這樣擬題與解題活動的互動情形，可證明幼稚園和低年級學生也可 學會自行擬題。

Winograd（1990）採分組方式，研究五年級學生在小組中分享擬題和 解題的活動，探討學生擬題的表現和困難、小組共同解題的行為、以及擬 題課程中學生的數學信念。Winograd 觀察 8 位學生的擬題行為、17 位學

生的合作擬題學習、訪談25 位學生的數學信念。結果發現，學生在擬題 過程中，表現出多樣化的型態，學生在小組合作學習中多以任務導向，完 成擬題的學習活動，並在擬題過程中表現出對數學的信念。

Borba（1994）以 200 位八年級學生為研究對象，在九個星期的課程中，

每一小組必須選定一個主題，並且擬出一個題目，並由小組成員合作去解 他們所擬的題目。研究者透過觀察、訪談，以及學生的數學日記來分析結 果。結果發現，許多學生覺得透過擬題活動，讓他們感受到對於學習的自 主權，可以自由選擇自己有興趣的題材。但研究者也發現，在小組擬題的 過程中，教師必須適時的引導，才能讓學生分工合作，完成小組的任務。

Brown 和 Walter 所提”what-if-not”的擬題教學策略，被 Schloemer

（1994）以認知師徒制的方式來教導大學生學習高等代數，並將學生分成 控制組和實驗組。他發現控制組和實驗組在數學成就上並無顯著差異；在 擬題能力方面，實驗組比控制組佳；在數學態度的表現上，前後測結果顯 示二組均下降。根據研究者的結論解釋，實驗組已習慣原來的教材，當教 師使用擬題的教學方式，反而使他們在數學態度上產生負面的影響。

Silver、Mamona-domns、Leung 和 Kenney（1996）研究 53 位中學教 師和28 位職前教師，以個別擬題或合作擬題的方式，研究其 IP（Initial Posing）、PS（Problem Posing）、AP（Additional Posing）等階段。結果發 現，受試者在解題前擬的題目比在解題後擬的題目多，而這種擬題能力可

以影響教師將來教學時的佈題。

Leung 和 Silver（1997）嘗試建立擬題作品系統化分類的工具，以 TAPP

（Test Arithmetic Problem Posing）來測驗 63 位職前教師，結果發現許多受 試者都可以擬出「可行的」題目。

English（1997）以五年級和七年級的學生為對象，研究不同能力的 組別在課程中對於擬題的表現。其研究結果發現，擬題能力強的學童，平 常的數字計算能力並不強，但針對特殊題目的解題表現佳。另發現學生所 擬的題目具有複雜性，可見學生具有豐富的創造思考能力。此外，English

（1998）亦研究 54 位三年級學生的擬題能力。研究發現學生在數概念以 及解題能力方面，表現出不同的類型。在許多非例行性的情境中，可以擬 出多樣化的題目，但在加法和除法的類型中，學生所擬出來的題型傾向一 致，這可能受到教材裡例行性題目的影響，造成學生思考模式定型化。因 此，English 認為要多鼓勵學生擬題，而學生應該學習擬題並嘗試解答自己 擬的題目，如此一來，可提昇學生的解題能力和興趣。

Cai（1998）以 181 位美國六年級學生和 223 位中國六年級學生為研究 對象，進行跨文化的比較，探討其擬題和解題的認知分析。結果發現，雖 然中國學生在計算方面優於美國學生，但是在擬題方面中國和美國的受測 學生卻有許多相似處。

從上述國外的研究中，可以發現其研究方向傾向探討分析學童擬題的

行為或能力，亦或研究擬題和解題之間的相關性。對於運用擬題活動來澄 清學生的迷思概念是否可達到預期效果，將是一個好的研究方向。

且由以上國內外的相關研究的介紹，可以讓我們了解到，世界各地，

不管在實徵研究方面，或是教學方面，有許多的擬題教學活動在進行，可 見擬題教學活動在數學教育上越來越受重視。而本次研究乃依據六年級學 生的學習程度，參考坪田耕三的教學活動設計，設計出本研究的擬題教學 流程，並根據教學過程中學生的作品表現及相關資料來分析本研究的結果。

第三節 小數學習概念之探討

本節首先說明小數學習的相關理論，再探討小數概念學習相關研究；

接著探討學生在小數加減法及比較大小的迷思概念，再者是小數現有教材 內容的分析。

壹、小數學習的相關理論及研究

目前數學教育所強調的是解題及概念的學習（NCTM,1991），所以學生 學習除了教材內容外也應著重於概念的獲得，以下便針對相關的理論概念 做探討：

一、小數學習的相關理論

Hiebert（1992）曾在「小數認知分析－他們是如何學習的？」一文中 談論到，小數概念可以具體分類為三種小數知識：（1）記數系統（notation system）：讓學習者知道什麼是小數的表示形式，什麼不是小數的表示形 式。（2）運算規則（rules）：學習者能操作規則得到正確答案的小數知識。

（3）數量的意義（quantity）：學習者能瞭解小數所表示數量的意義。Hiebert 非常強調「連結（connect）」的觀念，但他覺得學生在上述三種知識做的並 不好。

Hiebert 和 Wearne（1988）針對學生學習小數知識，提出了四個學習 認知過程的主張：

（一）連結（The connecting process）

指透過具體物的操作，連結數字符號與運算符號。具體物可以是日常 生活的物質（例如：錢幣）或是特別設計的教具（例如：積木）。

（二）發展（The developing process）

強調的是在具體物與運算符號產生連結後，透過具體物的操作，發展 出處理符號的程序性知識。

（三）精緻與熟練（The elaborating / routinizing process）

精緻與熟練是指在解題運算過程中，加以熟練、記憶，直到概念能達

自動化反應。精緻與熟練能展現數學的能力，能做複雜的運算並藉由在紙 上的符號移動達到認知需求。

（四）萃化（The abstracting process）

是指脫離了具體物的操作，運用符號和規則重複上述的三項階段，而 建立更高層次的抽象系統。

D^，Entremont（1991）提出「小數學習的洋蔥模式」（the onion model of decimal number learning），更能讓研究者瞭解學生對於小數學習的認知過

程，他認為小數學習的認知過程包括五種不同的層次，如圖2-3。

由這個「小數學習洋蔥模式」圖形，研究者可以瞭解學生為了要獲得 小數的完整知識，必須由外而內的一層一層學習，且更高一層的學習均奠 基於前一層的學習基礎。以下就各層次的學習內涵說明如下：

（一）具體物的層次（The concrete-objective layer）

學生透過生活情境中的具體物象來學習小數，例如將 1000 毫升的燒杯 視為「1」，將 100 毫升的燒杯視為「0.1」，將 10 毫升的燒杯視為「0.01」，

將1 毫升的燒杯視為「0.001」。

物 理

說 明 的

體 的 的 層

作 層 層

序 模 式 智 象 層 層

具 操 程 心 抽 次 次 次 次 次

圖 2-3 小數學習洋蔥模式（D^，Entremont，1991）

（二）操作說明的層次（The operative-interpretive layer）

學生透過具體物的操作，瞭解小數符號意義及其運算規則。例如將 1000 毫升的燒杯視為「1」的加法情況下，0.5 杯加 0.84 杯總共是 1 杯 1000 毫

核 心

升，3 杯 100 毫升及 4 杯 10 毫升。

（三）程序的層次（The procedural layer）

發展到這個層次的學生，可以在不依靠具體物的操作下，單獨地使用 小數符號的運算規則。例如小數符號的位值，兩個小數相乘後所得的積的 位數問題。

（四）心智模式的層次（The mental model layer）

這個層次中，學生不會只遵循算則公式，而是能清楚的知道解題理由。

這個層次跟「程序的層次」主要不同在於－「程序的層次」的

學生只遵循規則，而不知為何要這樣的解題程序，而到了「心智模式的層 次」學生能完全清楚解題的程序與規則。

（五）抽象的層次（The abstract layer）

學生對於小數的學習可以達到直覺的程度，不再須要具體物來幫助理 解，對於〝如何做〞、〝為什麼〞能夠統整。達到這個層次，才可獲得概念 性的理解，達到小數知識的核心。

由以上小數學習的理論可以得知：小數的學習有層次性，都是從具體 物的表示層次再經由具體物的操作層次再進而達到抽象思考的層次。而以 國小學生而言仍處在一個具體物操作運算的階段，因此應當建構其良好的

小數基本概念。如有迷思概念應藉由教學活動來加以釐清，使其小數的基 礎概念正確，有利於往後小數抽象概念的學習。

二、小數概念學習之相關研究

在小數概念學習之相關研究中我們擬提出幾項研究的方向，包括：學 生的運算表現、小數運算與整數運算的差異、小數與分數的聯絡、小數位 值大小的問題及如何透過指示物來建立學生小數概念，而這些研究也顯示 小數概念學習在學生學習小數是相當重要，且這幾方面也是學生容易造成 迷思概念的地方。以下我們將國內外幾位學者對小數概念學習的研究結果 簡述如下：

Lindquist 等人（1983）研究指出第三次 NAEP 的結果，認為必須謹慎 地去發展學生的計算與技巧，且應該給於學生一個強而穩固的小數概念。

而第四次 NAEP 的結果，也顯示學生在小數加法與乘法計算方面較能成 功，減法在須要借位的題目學生的表現較差。

Carpenter 等人（1981）研究指出：孩子在小數加法中，常將小數視為 整數來運算，或許是他們對小數並未認識。尤其，當小數問題用橫式書寫 或是小數加減有不一樣的小數位時，例如：7.2－1.89，學生的表現明顯的 下降，大多數的學生無法將7.2 想像成 7.20。

國內學者劉曼麗（1998）表示：小數的意義是透過與分數的聯絡來瞭

解，小數的結構則可經由整數計數系統的類比方式來瞭解。她也指出，小 數的計算須加強概念性的知識加以輔助。並且小數本身的意義與運算的意 義，必須透過概念性知識來加強程序性（如應用公式或規則）知識。

艾如昀（1994）研究發現：要帶領學生學習小數，最重要的工作是先 讓學生對小數位數和所代表位值的大小要清楚的瞭解。教學時應要能具體 說明小數位數的意義、位數與數值大小間的關係、小數點右邊的數字越往 右邊他的數值越小的這些原則。小數四則運算的教學，要配合學生所具有 的小數數值知識及小數運算規則的理由。

黃偉洲（2001）在其透過指示物活動來建立國小六年級學生小數概念 的個案研究發現，有助於學童對「1 與 0.1」、「1 與 0.01」等被計數之間關 係的概念、透過指示物十進位轉換活動有助於建立小數大小比較的概念。

綜合前面所言，學生小數概念的獲得必須從小數的意義著手，透過具 體物的操作以及整數計數系統中的位值概念，然後連結小數符號意義，經 由經驗、察覺以致瞭解的過程。如此，學生在小數的記數系統與意義上及 四則運算上才能有良好的概念性知識，而不是記了許多規則來使用甚至誤 用了規則。而這些研究結果也提供了本研究學生小數學習的參考依據。

貳、學生在小數加減運算及比較大小的迷思概念

國內研究者郭孟儒採用劉曼麗（1999）的小數試題對五年級的學生進

行測驗，以收集學童在小數部分的迷思概念。結果發現學童的迷思概念，

共有七個部分，包括：小數的加減、小數比較大小、單名數轉換成複名數、

複名數轉換成單名數、小數轉換為分數、小數的化聚、分數轉換為小數。

在這七種迷思概念中，與本研究相關的有兩種，即「小數的加減」及

「小數比較大小」，以下就這兩種迷思概念的類型分別說明如下。

一、小數加減法計算的迷思概念

Hiebert 和 Wearne （1985）研究發現國小學童在小數問題運算過程 中，在解題過程中有三個決策點。第一項：如何將應用問題或橫式問題改 為直式運算式。第二項：計算數值的答案。第三項：小數點的位置該如何 決定。例如：5＋0.42，若學童無法在決策第一項上為數字 5 適當地區分整 數與小數的位置，容易產生 0.47 的錯誤答案。根據學者艾如昀（民 83）、

劉曼麗（民 87、民 88）、簡茂發和劉湘川（民 82）、Wearne 和 Hiebert（1986）

的研究發現把橫式的加減運算寫成直式運算，在學童的概念上主要的迷思 有三項，簡列如下表2-3：

表2-3 學童把橫式的加減運算寫成直式運算主要迷思概念 項 目 迷 思 概 念 說 明 例 子

1.小數點未對齊 有些學生會像整數運算般，向右對 齊的現象。

3＋0.52＝

3 + 0.52 0.55 2.忘記標小數點 把橫式的加減運算改寫成直式運算

後忘記將小數點標上去

2.5－1.2＝

25 － 12 13 3.小數點前面的

0 省略

即橫式的加減運算改寫成直式運算 後，卻把小數點前面的0 省略

20.3＋7.5＝

2.3 ＋7.5 9.8

而就整體小數加減法的計算過程學童會有以下五項迷思概念，茲將其 類型、迷思概念的情形並舉例如表2-4：

表 2-4 小數加減運算過程產生的迷思概念

項 目 迷 思 概 念 說 明 例 子 1. 不 等 位 數 當

作 是 等 位 數 來 計算

即小數位數不相等當作位數相等來 計算。

3.2＋0.52＝

3.2 + 0.52

0.87 2. 進、退位錯誤 小數加減運算時，須要進位或退位

而產生錯誤。

2.15－1.2＝

2.15 － 1.2 1.15 3. 加、減法計算

錯誤

即作加減運時，再運算過程中計算 錯誤

23.6＋7.5＝

23.6 ＋ 7.5 30.1 4. ＋ 做 － 算 或

－ 做 ＋ 算

（＋、－符號 運算時錯誤）

在小數加減運算過程中看錯或作錯 運算符號

3.75－2.62＝

3.75 ＋ 2.62 6.37 5. 題 目 的 數 字

抄寫錯誤

將應用問題或直式計算改為橫式計 算時，將數字抄寫錯誤

5.45－3.82＝

5.54 － 3.82 1.72

二、小數比較大小的迷思概念

國內學者簡茂發和劉湘川（民 82）劉曼麗（民 87、民 88）、Wearne 和 Hiebert（1986）及 Resnick（1989）的研究發現，學生在做小數比較大小時 產生了三項迷思概念，簡述如下：

1.小數視為整數：學生根本未將小數點的區隔加入比較的基準，所以 學生會認為 5.816＞13.1，因為學童會認為 5816＞13.1

2.整數法則：學生會認為小數點後面數字越多，它的數值就越大，有 如此的迷思，乃是因為學生會把小數點後面的數字當

作是整數來做比較。例如學童會把 8.26＞8.3，因為它會認為 26

＞3

3.分數法則：學生會認為小數點後面數字越多，它的數值就越小，因 為學生會認為被分割成的部份就越小，所以它的數值就越小。例如 學童會把 8.15＞8.316，因為它會認為.15 只被分割到百分位而.316 被分割到千分位。

從文獻探討發現學童在小數的加減運算與大小比較上的一些迷思概 念，希望能藉由解題與擬題的過程來使學生發現到自己的錯誤，再透過擬 題教學的過程中改善這些迷思。

參、小數教材內容的分析

教材內容係參考自南一版國小數學第十一冊第六單元「小數」，其能力 指標為能延伸小數的認識到三位小數以上，並解決生活中與小數有關的 加、減、乘、除問題。該單元教學目標（如表 2-5），其內容分別是：