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國立中山大學教育研究所 碩士論文

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

國小三年級數與計算擬題教學的設計與反思

研究生:吳佳慧 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國 九十五 年 七 月

(2)

謝 誌

在中山教研所兩年的時間轉眼間已結束,心中百感交集;這兩年 可說是我人生最大的轉折點,經歷懷孕生女又得兼顧課業與工作的挑 戰和困難,在這段時間得到許多老師和同學的幫忙,心中充滿著無限 的感恩。感謝論文口考教授:周珮儀老師和溫武男老師,有您們的指 導讓我的論文修正不少,也得以順利完成。

最要感謝我的指導教授梁淑坤老師,在課業上她教導我許多專業 知能,在家庭生活上她傳授我諸多為人妻為人母的經驗談,是我學業 與生活的良師;接受梁老師指導長達五年的時間,讓我在教學現場有 諸多的改變與專業成長,希望這份師生緣能長長久久永不斷。親愛的 梁老師,謝謝您!

感恩玟如和家慶,在這兩年給予我許多課業與生活上的幫助;感 謝同門的雅婷、承諄、天慈,有她們的鼓勵和打氣,才能完成這份論 文;感謝嘉皇學長和淵智學長的指正,讓我在專業領域中成長許多。

最後,感謝我親愛的父母與姊妹,在生活瑣事與照顧女兒方面幫 我分擔許多;最多的感恩是給親愛的老公,這兩年來您辛苦了!上班 之餘還得照顧甫剛出生的女兒,完成學位是獻給你最大的回報!給我 最最最最寶貝的孟潔,謝謝妳給媽咪無窮的希望與活力,媽咪完成了 這份艱鉅的挑戰,希望妳將來也可以面對困難不畏懼,勇往直前不退

(3)

國小三年級數與計算擬題教學課程的教學設計與反思

摘要

本研究的主旨是在探討一個國小三年級的班級,在數學領域中

「數與計算」部分實施擬題教學的情況,擬題教學的方式是以「教師 佈題」、「討論辯證」、「解題活動」、「擬題活動」交錯循環進行。研究 者本身即為教學者,依據康軒 82 年版課本內容的教學目標自行改編 成教師佈題的引導,選擇第五、六冊中「數與計算」的幾個單元,利 用教師教學手札、學生數學日記、教學時況錄影、跟班教師隨堂紀錄、

擬題教學回饋問卷、學生訪談紀錄等收集資料。研究目的有:1.將擬 題教學帶入一般課室的數學課程中;2.激發孩子「數學溝通」的能力;

3.利用行動研究的方式對數學課室中的擬題教學做教學省思。

本研究共有三個發現:1.實驗班學生在三年級「數與計算」課程 單元中有「乘法」、「有餘數的除法」、「乘和除」、「兩步驟的四則運算」

和「小數的加減」五個單元在教師進行擬題教學後與其他沒有進行擬 題教學的班級有顯著的差別;有「三位數的加減」、「加減直式」、「分 數」、「小數」四個單元在教師進行擬題教學後與其他沒有進行擬題教 學的班級並沒有顯著的差別。2.學生在教師進行擬題教學之後其「數 學溝通」的能力有顯現出來。3.進行擬題教學的教學者會遇到課程配 合與教學技巧上的兩個挑戰。

關鍵字:國小三年級、數與計算、擬題教學、教學設計、反思

(4)

The development and reflections of elementary school grade three number and operation problem-posing curriculum and instruction

Abstract

This study focuses on the result of problem-posing teaching, covering units on number and operation on thirdgrade elementary school students.

The problem-posing teaching method incorporates: teacher formulating problem, discussion and debate, problem-solving activities, and problem-posing activities. This researcher was also the one who carried out teaching. The teachers guide was adapted from the teaching goals of textbook published by KNSH in 1993 and the researcher selected the units on number and operation from the fifth and sixth volumes. We used the teacher’s math diaries, videotapes of actual teaching sessions, observation notes on teaching records, students’ feedback surveys, and interviews of students. The objectives of this study are: 1. developing and integrating problem-posing into mathematics curriculum; 2.

promoting students’ ability in communication; and, 3. reflecting upon practice on problem-posing instruction through action research.

There results are three results. First, when comparing performances of experimental class to control group, 5 out of 9 units were having statistical significance and 4 were not. Second, students’ ability in communication improved after problem-posing instruction. Third, two challenges were identified when teachers implemented the problem-posing activities.

Keywords:

Elementary school grade three, Number and operation, Problem-posing teaching, Development of teaching materials , Reflections

(5)

目 次

第一章 緒論---1

第一節 研究動機--- ---1

第二節 研究目的--- ---4

第三節 待答問題--- ---4

第四節 名詞界定--- ---4

第二章 文獻探討---6

第一節 何謂『擬題』--- ---6

壹、擬題的定義---6

貳、擬題的特徵---8

? 、擬題的類型---9

第二節 不同學習階段擬題教學的相關研究---15

壹、幼稚園學生及國小學生為研究對象的擬題相關研究---15

貳、國中學生為研究對象的擬題相關研究---23

? 、大學生、職前教師或在職教師為研究對象的擬題相關研究---25

第三節 擬題與解題的相關性--- --28

第四節 三年級「數與計算」教材內容--- --31

壹、整數的「數與計算」---31

貳、分數的「數與計算」---35

? 、小數的「數與計算」---37

第五節 三年級「數與計算」課程分析---38

壹、「數值」的課程流程分析---38

貳、「除法」的課程流程分析---40

? 、「乘和除」的課程流程分析---42

(6)

肆、「加減乘除」的課程流程分析---45

伍、「整數部分」的「數與計算」課程流程分析---48

陸、「非整數部分」的「數與計算」課程流程分析---49

第三章 研究設計--- ---52

第一節 研究者的專業背景與信念--- --52

第二節 研究樣本與工具 --- ---54

壹、研究樣本---54

貳、研究工具---57

第三節 教學流程--- ---63

第四節 研究架構--- ---68

第五節 前導研究資料的分析--- ---70

壹、資料編碼---70

貳、前導研究資料分析---71

第四章 結果與發現--- ---83

第一節 擬題教學實施的適切性--- ---83

壹、實驗班級與一般班級單元平時成績的比較---83

貳、有顯著差異的單元課程探討---85

? 、不顯著差異的單元課程探討---87

第二節 擬題教學融入三年級數學教室中的課程安排---89

壹、「整數部分」的教師佈題引導---90

貳、「非整數部分」的教師佈題引導---98

第三節 學生在擬題教學之後對「數學溝通」能力的改變---102

壹、課室的氛圍---103

(7)

貳、學生擬題與解題學習的改變---107

? 、學生擬題作品與討論過程舉隅---111

第四節 教師在進行擬題教學時所遇到的挑戰---122

壹、教師進行擬題教學在教材準備方面的挑戰---122

貳、教師進行擬題教學在教學流程方面的挑戰---123

? 、教師進行擬題教學在學校行政方面的挑戰---125

第五章 結論與建議---125

第一節 結論--- ----126

壹、課程方面--- -126

貳、教師方面---127

? 、學生方面---128

第二節 建議---129

壹、對數學課程教材的建議---129

貳、對實行擬題教學教師的建議---130

? 、對未來研究方向的建議---130

參考文獻 中文部分---131

英文部分---137

附錄---140

(8)

表 次

表2-1-1 Reitman的題目結構表 ---10

表2-1-2 各種擬題類型分析對照表---14

表3-2-1 82年康軒版國小三年級數學單元教學目標(第五冊)---58

表3-2-2 82年康軒版國小三年級數學單元教學目標(第六冊)---59

表3-2-3 擬題素材和教學單元對照表 --- --60

表3-3-1 研究班級數學課的排課表---66

表3-5-1 各種原案資料編碼意義---70

表4-1-1 三年級「數與計算」課程單元平時成績比較表---84

表4-3-1 18堂錄影的數學課單元---103

表4-3-2 數學課室中上課情況改變統計表---105

表4-3-3 學生擬題的題目性質統計表---108

表4-3-4 學生擬題的結構型題目性質統計表---109

(9)

圖 次

圖 2-3-1 Polya 解題歷程四階段---29

圖 2-3-2 擬題四步驟---29

圖 2-3-3 學生擬題行為過程---30

圖 2-4-1 「數值」的課程流程分析---30

圖 2-4-2 「除法」的課程流程分析---41

圖 2-4-3 「乘和除」的課程流程分析---43

圖 2-4-4 「加減乘除」的課程流程分析---46

圖 2-4-5 整數部分「數與計算」的單元相關---48

圖 2-4-6 「非整數部分」的課程流程分析---50

圖 3-2-1 教室配置圖---56

圖 3-3-1 數學課堂所進行的方式---64

圖 3-3-2 教學流程---65

圖 3-4-1 本研究架構圖---69

(10)

第一章 緒論

第一節研究動機

教書生涯今年邁入第十個年頭,回顧這十年我教導過的學生一 年比一年更活潑外向,對於每一件新奇的事物都會問為什麼,對於老 師所「下達的指令」常會有自己不同的意見;唯獨只有上數學課時,

學生的表情非常漠然,對於老師所教的內容常常不表示任何意見,而 且是測驗之後的成績又常常不盡理想,那時候讓我萌生一個念頭:為 什麼我不能用數學的言語和學生做溝通,改變一下以上漠然的情形 呢?為什麼不把「與數學講道理」成為我班上學生應具備的基本素養 使學生能發表己見?在這個多元的社會中,溝通、尊重、與接納是國 民必須具備的特質。透過開放討論的過程,利用數學語言溝通,讓數 字說話,使數學的學習明有根有據,數學課室中不再只是「老師說,

學生背」的學習慘況。數學是理性溝通的重要工具之一,欲達成上述 的數學學習目標,教學的教師必須對於數學知識本身、學生的認知發 展結構和數學教學的知識,有相當程度的了解與掌握。

九年一貫的課程改革,打破以往國中小學教材設計皆由中央集權 制度,教材設計權下放到各個學校以及從事教學活動的基層教師,學 校可以基於各校的本位特色做課程設計,教師可以基於班級特色做教

(11)

學設計,這樣的改革理念相當值得肯定,但相對應的是各校的行政能 力與基層教師的教學能力也要提升。

在要求自我提升之前,先回顧過去教書的日子,初任教師時,我 的數學教學模式就是:把課本或指引設定好的題目,拿來當作佈題的 素材,然後將解題過程和技巧示範給學生模仿(林文生,1996),然 後要求學生一而再再而三的反覆練習,學生就在「成功的模仿下學 習」,直到學會教師要傳授的功夫(梁淑坤, 1997)。然而,在每次教 學過程及診斷性評量中,學生給我的回饋常常是漠然且挫敗,數學課 對他們來說一種「抗拒的壓力」!很多的小朋友只是把運算符號和數 字加以拼湊,就以為解題完成,並沒有去真正瞭解題意,甚至老師沒 教過的題目就不會算。許多研究指出,學生在解題時多由題目的表面 數字著手而未能思考題目的深層意義。也有研究指出,只有解題活動 是不夠的,因為用解題去評量,似乎只知道學生不懂什麼,卻不知道 學生真正懂什麼(梁淑坤,1997)。這樣的學習並未符合九年一貫課 程暫行綱要(2000)的數學領域課程目標-「發展形成數學問題與解 決數學問題的能力」。美國數學教師協會編製的課程與評量標準 (NCTM ,1989),其中明確陳述:「學生應有一些經驗來察覺和形成 他們自己的問題,並以此作為數學的重心」,同時也建議教師

(NCTM,1991)-「學生應有機會從已知的情境中形成問題,並藉由修

(12)

正已知問題的條件中來創造新的問題」。研究者為了將溝通和發表己 見的理想落實於數學教學,讓自己的教學能使每一位學生更瞭解,以 提升學生擬題與解題的能力,所以研究者計畫在一般教室裡施行擬題 教學。在整個擬題過程中,學生必須以自己的數學知識和生活經驗把 情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來,擬出一個數 學題目,並以數學技巧和方法解決問題,教師就必須扮演「澄清迷 思」、「糾舉錯誤」、「歸納概念」的角色。

在擬題教學中,教學的任務對教師來說是一大挑戰。研究者於民 國九十一年加入遠哲數學教師成長團,教學老師在梁淑坤教授的指導 下,以 82 年版的康軒三年級數學為教本,將擬題教學帶入一般課室 中的數學教學。從九十二學年度起,本研究者的班級仍持續進行數學 科的擬題教學,但由於已不是「新手教師」,她所扮演的角色有別於 過去初次嘗試融入擬題教學的角色。由於考慮到給初次嘗試實施擬題 教學教師的參考價值,決定本論文的重點在教師初次實施擬題教學的 挑戰,而非在已實施過又有把握的教師再度實施擬題教學,所以另外 以研究者九十一學年度時初次進行擬題教學的資料為分析範圍。三年 級的數學課程「數與計算」的單元佔有全部課程的二分之ㄧ,故研究 者選擇「數與計算」的單元做擬題教學的探討,旨在對於擬題教學中 教師要如何進行、學生的反應、以及擬題課程該如何安排做深入的分

(13)

析,期待能給有志進行數學擬題教學的教師有力的教學參考資料。

第二節研究目的

依照以上的研究動機,本研究的研究目的如下:

1. 將擬題教學帶入一般課室的數學課程中。

2. 探討擬題教學是否能夠激發孩子「數學溝通」的能力。

3. 利用行動研究的方式對數學課室中的擬題教學做教學省思。

第三節待答問題

依照以上的研究目的,本研究的待答問題如下:

1. 數與計算擬題教學融入三年級數學課程的安排為何?

2. 學生在擬題教學之後,「數學溝通」的能力是否有改變?

3. 此研究中教師在進行擬題教學時所遇到的挑戰為何?

第四節名詞界定

一、擬題

經由教師佈題,引導學生以自己既有的數學知識和生活經驗將 教師佈題中給予的條件、情境、或問題組織起來,透過參考或創造的 過程擬出新的數學題目。

(14)

二、擬題教學

教師視各單元內容而定,再選擇課堂佈題,經由全班討論、辯證 後,教師提供擬題素材或情境,要求學生擬題,並配合數學日記的撰 寫。再以學生所擬的題目做佈題,進行討論辯證的教學過程,這種教 學過程的循環即為本研究的擬題教學。

三、數與計算

在此研究的範疇中,是指「整數」「分數」「小數」的數值概念,

以及加、減、乘、除的「情境意義」和「紀錄算則」。

四、教學設計

本研究是利用擬題教學的模式,依各教學單元不同的特性,以及 學生的先備知識做不同的? 師佈題,依照佈題引導學生討論辯證,教 師做澄清引導歸納,最後達成數學概念

五、反思

在本研究中,教師於擬題教學結束後,回顧自己的教學行為,考 慮教學問題並思考如何改進,定義為反思;再利用教師手扎記錄下當 天的教學省思,以做為下一次擬題教學的參考與基準。

(15)

第二章 文獻探討

本章節分做五節對本研究的文獻做探討,分別是:

第一節「何謂『擬題』」

第二節「各學習階段擬題教學的相關研究」

第三節「擬題與解題的相關性」

第四節「三年級『數與計算』」教材內容」

第五節「三年級『數與計算』課程分析」

第一節 何謂『擬題』

在這一節中會對擬題做詳細的說明,針對「擬題的定義」

、「擬題

的特徵」、「擬題的類型」三方面加以闡述。

壹、 擬題的定義

擬題自 1980 年代以後被許多數學學者與數學教育家所研究(梁 淑坤,1993;Borba,1994;Leung & Silver,1997;Silver & Cai,1993;

Schloemer,1994;Winograd,1990),研究者依據各文獻對擬題作以 下的定義。

擬題(problem posing)依據 Dillon(1982)指出「擬題是在解題 之後,為了尋找新題目的一種學習過程。」Dillon 的定義中強調學生

(16)

在解既定題目後再造一個新題目,但對造新題目的過程與新題目的形 式結構未有詳細的分析。直到澳大利亞的 Stovanova 和 Ellerton(1986)

對擬題的定義提出「擬題是學生依據過去的數學經驗為基礎,自行建 構出有意義的數學題目,這個過程可以呈現個人的數學基礎。」

Stovanova 和 Ellerton 對擬題研究的著眼點仍在學生方面,擬題學習 過程的研究直到美國學者 Silver(1994)與國內學者梁淑坤(1994)

有深入的探討。Silver(1994)指出「在生活經驗中或是學習情境中 創造出新的題目就是擬題,也會發生在教學者的佈題中進行擬題活 動。」梁淑坤(1994)所提出:「自己想出一個題目來就是『擬題』。

在擬題的過程中,擬題者會將自己的數學知識和生活經驗連結起來,

並且把既有的情境、人物、事件、數字、圖形等條件建立關係,組織 關係擬出一個新的數學題目。」

本研究者探討多位學者擬題研究的發展,將擬題定義為:學生根 據教師的佈題,依照佈題中所給予的條件,先進行分析條件或解題活 動之後,再連結自己已具備的數學知識和生活經驗,創造出一個新的 數學題目,對於創造出的題目進行題目的分析與修正,之後再進行另 一次的解題活動;利用學生自行建構擬題,對擬題再解題的循環式學 習,便是擬題過程最核心的精神。

(17)

貳、 擬題的特徵

依據以上的定義,我們瞭解擬題過程是與自身數學先備知識和生 活經驗息息相關,由學習者自行建構出新的題目。要將所有「擬題因 子」建立關係組織起來成為一個新的題目,擬題行為須包含以下幾點 特徵(梁淑坤,1994):

一、擬題可以發生在解題前(before)、解題中(during)、以及解題 後( after problem solving):例如:我們給予學生的擬題資料是 一組「1 到 10」的數字,要求其擬出一新的題目。擬題者可能擬 題出「將 1 到 10 數字相加後可以被 10 整除?」解題後發現不是,

於是又重新擬題「1 到 10 全部相乘可以被 10 整除」,解題中又 想「哪一個數字換掉結果會一樣?」,所以,在解題過程的任何 階段擬題者都可以擬出另一道新題目。

二、擬題過程中組織的方法是具有個別化(idiosyncratic):擬題的素 材是擬題者自己的先備數學知識和生活經驗,創造出一個新的數 學題目,或是擬題者將原本不完整非結構性的題目修改成條件完 整可以解題的結構題,所以擬題者所擬出的題目是獨一無二。

三、擬題過程當中包括猜想及可信推理(plausible reasoning):擬題 者在擬一個新題目時,會在自己心中有一連串問題像「假如 是… ?」(What if… ?),「假如不是… ?」(What if not… ?)

(18)

(Brown & Walter,1983),也許要用數學的猜想與可信推理

(Polya,1945)。

四、擬題者將想出的題目寫出來時是有可能較課本的題目「粗糙的」

(primitive)、是較不完整的( incomplete)、也有可能是非可行的

(implausible)、解題資料不足(insufficient):擬題者最初的擬 題往往是先把想出的數學題目馬上寫下來,這樣的題目未經修 飾,常常因條件不夠完整而無法解題,並不像教師佈題或課本問 題那樣的完整。

綜合以上梁淑坤(1994)四點特徵,研究者認為擬題過程是千變 萬化,對教學者與學習者都具有高度的挑戰性,若善用擬題的特徵在 數學教學中,應該會在一連串的改變衝擊之下,學習者建構出超越課 本制式化的學習結果,這也是擬題最吸引人的地方。

參、 擬題的類型

擬題的分類各個學者分類方式不一,本研究者根據 Reitman,坪 田耕三(Tsubota),Silver,Stovanova 和 Ellerton,梁淑坤的分類方式 加以探討。

一、Reitman(1965)的題目結構分類方式

Reitman(1965)是以題目結構完不完整做分類主要依據,對於

(19)

題目中已知條件定義敘述清楚與否,和題目最後的目標到底求什 麼敘述是否清楚做擬題的分類;梁淑坤(1994)根據 Reitman

(1965)所提出的論點,將這兩個條件做交叉配對,共分成四類,

整理如下:

表 2-1-1Reitman 的題目結構表(引自梁淑坤,1994:155)

已知條件(Given) 目標問題(goal)

1 ? ?

2 ? ×

3 × ×

4 × ?

「?」為擬題中敘述 完整定義清楚

「×」為擬題中敘述 不完整未定義清楚

從上表中可看出:Reitman 把擬題的題目分為四個種類,表中第 一種類型是已知條件清楚,有充分的運算元素,目標問題也十分明 確,此類型的擬題稱為結構題(Leung,1997)。然而已知條件或目標 問題其中有一項資料不全,或是兩項的操作元素皆不足,也就是表中 第二、三、四類型皆屬於非結構題問題(Leung,1997)。學生若可以 將非結構題修改成結構題,這樣的過程也是擬題。

二、坪田耕三(Tsubota)的擬題類型

坪田耕三(1987)「生動的算術」一日文書中提到擬題的方法可

(20)

分為七種(引自梁淑坤,1994:165):

1. 模仿法或類題法:先佈一個完整的結構題,學生學習之後擬出和 此問題相似的同類型的題目。

2. 算式法:教學者佈題時列出一個算式或公式,讓學生擬出適用的 問題是用佈題的算式或公式來解題。

3. 原理法:教學者在佈題時給予某一數學的原理,例如:等值分數,

讓學生依據此數學原理擬出相關的題目。

4. 訂正法:教學者在佈題中刻意漏掉某些必要的條件,或是多加一 些不必要的條件,在解題時特別顯示出前後不一的矛盾之處或是 錯誤的解法,讓學生訂正澄清之後再擬出完整的題目。

5. 實驗法:教學者利用具體物操作為佈題,讓學生以具體物操弄的 過程為依據擬出問題。

6. 自由法:教學者以開放題材不加以限制的情境為佈題,讓學生進 行自由形式的擬題,意同作文教學中的「自由命題」。

7. 題材法:教學者在佈題時限定數學題材,如:整數的加減,讓學 生在既定題材中擬題。

三、Silver 的擬題類型

Silver(1994)對擬題的分類是依據產生新題目時擬題者所構想

(21)

1. 從已給的題目中再產生新的題目:這類型的擬題通常會學習更深 入的數學概念,也常常會破除學習者心中所存在的迷思概念。

2. 從情境或經驗中再創造出新類型的題目:這類型的擬題容易呈現 學習者既有的數學概念,往往隱含著學習者的先備知識或是迷思 概念,是教學活動非常好的開端。

四、Stovanova 和 Ellerton 的擬題類型

Stovanova 和 Ellerton(1996)將擬題分為下列三種類型:

1. 在有結構(structure)的情境中擬題:擬題者經由教課書或是教學 者的佈題,利用現成的結構題目做模仿或改變,擬出新的題目。

2. 在半結構(semi-structure)的情境中擬題:擬題者利用已具備的數 學知識概念和運算解題技巧,自行建構做關係連結,擬出新的完 整結構題。

3. 自由( free)的情境:擬題者在給定的自然情境下,如:主題故事、

分東西等等… ,沒有特別限制的自由擬題。

五、梁淑坤的擬題類型

梁淑坤(1997)編製了一套擬題的評量工具,這套評量工具是根 據教育部在 1993 所公佈的「國小數學課程標準」的內容所訂定的。

而此套擬題評量工具中所呈現的擬題的教材分為六大類型,分別是:

(22)

算式、文字、圖表、解法、答案和題目等六大類,本研究者依據這六 大類加以說明:

1. 算式類:在佈題中是給一個算式,此算式不一定是正確的算式,

讓學生根據這個算式擬出題目,此題目可能是呈現錯誤算式的錯 誤點,可能是呈現算式的數學意義。

2. 文字類:在佈題中呈現一段文字的敘述,再讓學生依據文字敘述 中所給的條件擬出一道題目,或是依文字敘述情境而擬的題目。

3. 圖表類:在佈題中一個圖表,讓學生依據圖表擬出一個跟圖表內 容相關的題目。

4. 解法類:在佈題中規定一種數學運算方法,如「乘法」或「除法」, 讓學生擬出的題目是運用此運算方法來解題。

5. 答案類:在佈題中給予一個答案、一組計算過程或一個解題記錄,

要求學生擬出符合佈題條件中的題目。

6. 題目類:在佈題中先給一個題目,要求學生解題後,再根據此題 目擬出一個新的題目,此新的題目可能是模仿佈題,也可能是再 延伸概念的題目。

六、各種擬題類型之分析比較

上述各學者的各種擬題類型,用以下表做綜合的分析比較:

(23)

表 2-1-2 各種擬題類型分析對照表(引自林群雄,2004:12-13)

Reitman

(1965)

坪田耕三

(1987)

Silver

(1994)

Stovanova Ellerton

(1996)

梁淑坤

(1997)

結構題

1.已知、目標 均已定義清 楚。

1.模仿或類題 法。

1.從已給的題 目再產生新 題目。

1.結構的情 境。

6.題目題

2.已知已定清 楚,目標為定 義清楚。

2.算式法 3.原理法 4.訂正法 5.實驗法 7.題材法

2.從情境或經 驗中再創造 出新類型的 題目

2.半結構的 情境

1.算式類 2.文字類 3.圖表類 4.解法類

3.已知未定義 清楚,目標已 定義清楚

- - -

5.答案類 非結構題

4.已知、目標 均未定義清楚

6.自由法

- 3.自由的情

境 -

從研究者的分析中得知,Reitman 所提出的第一類型的擬題結構 與坪田耕三的「模仿或類題法」、Silver 的「從已給的題目再產生新題 目」、Stovanova 和 Ellerton 的「結構的情境」,以及梁淑坤的「題目 題」是相同的,都是已知條件和目標問題都非常完整清楚的問題結 構,是可以做解題練習的結構題。而 Reitman 第二類型的擬題結構是 已知條件定義清楚,但是目標問題卻模糊不清楚,與坪田耕三的「算 式法」、「原理法」、「訂正法」、「實驗法」、「題材法」,Silver 的「從情 境或經驗中再創造出新類型的題目」、Stovanova 和 Ellerton 的「半結 構的情境」、梁淑坤的「算式類」、「文字類」、「圖表類」、「解法類」

的擬題類型相同。然而,Reitman 的第三類型的擬題結構是已知條件

學 類 者

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模糊不清清楚,卻有很明確的目標問題,和梁淑坤「答案類」的擬題 類型相同。至於 Reitman 的擬題第四類型是已知條件、目標問題均未 定義清楚,則與坪田耕三的「自由法」和 Stovanova & Ellerton 的「自 由的情境」的擬題類型意思相近,若能夠從這類型的擬題題目加以修 正,是檢測擬題者數學先備知識具備多少的最佳學習行為。

第二節 不同學習階段擬題教學的相關研究

在此一章節中,研究者將近年來國內外擬題教學的相關研究,依 研究對象的不同,分為國小學童、國中學生、大學教育與教師培訓研 究三大範疇,將其研究內容與成效整理呈現如下:

壹、 幼稚園學生及國小學生為研究對象的擬題相關研究

在幼教與低年級任教多年的 Skinner(1990)出版”What’s your problem?”一書,作者將自己在這一階段的教學經驗,以及過去所教 學過的學生作品編寫而成此書。此書中強調上課的問題必須是學生自 己擬出來的,但問題必須符合該階段的學習內容,過於簡單就無法達 到擬題教學的效果,但如果是學生經擬題過程自行建構出較難的題 目,且能夠思考討論,教師可以適度引導,但千萬不可以由教師「強 行」佈題超出範圍的「難題」;而同儕的討論和質疑可以幫助發現題

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目的不當之處,將錯誤修改的過程中對澄清數學觀念具有正向效果。

Tsubota(1987)針對國小一至六年級學童實際擬題教學的上課內 容,出版”生動的算術”一書。在此書中詳實紀錄 Tsubota 如何用開放 性問題進行數學擬題教學的過程,並同時讓學生以曾經解過的問題為 基礎問題,利用此基礎問題為出發點再擬出新的問題,然後藉著討論 澄清的方式檢視此新問題是否合理可行,再進行新的解題活動,也讓 學生彼此觀摩學習,激發彼此的創造力,彼此之間有著潛移默化的學 習成長。

而國內將擬題活動落實在各年級的數學教學中有梁淑坤(1997)

依照國小數學教材設計了一套數學擬題能力測驗(Test of General Mathematical Problem Posing,TGPP),此測驗包含了「算式類」、「圖 表類」、「答案類」、「文字類」、「解法類」和「題目類」,做為擬題教 材及評量擬題能力的工具。研究者將這套數學擬題能力測驗設計完成 後在國小教學現場實施,讓現職教師在課堂上進行擬題活動時有範本 依據,再慢慢引發出教師們用自己的方式設計擬題教材,主要目的是 為了讓擬題活動可以落實在課堂中。繼後,梁淑坤和鄔瑞香(Leung &

Wu,1999)的報告是:由五年級教師無意的給予學生不完整的題目,

改變教學安排進行擬題活動,讓學生修正題目中有錯誤或是遺漏重要 的地方。主要讓學生學習察覺題目錯誤點並能夠修正題目,在修正題

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目的過程中釐清學生的數學概念,並做新題目的擬題教學活動。另一 份報告中,教師在一年級課堂上進行擬題教學活動後,教師利用數學 日記研究讓家長與學生在自己家中進行擬題與解題活動(Leung &

Wu,2000),藉此擴大擬題活動的實施範圍,讓擬題活動不只是學校 教學活動,也可以成為家中的親子活動,也藉由數學日記學習與他人 分享擬題心得。

在低年級的擬題活動研究有:

故事是國小低年級學童最喜愛的上課模式,Van den Brink(1987)

就以「故事型態」為研究主軸,針對國小一年級的學童做擬出故事題 的練習,這個擬題活動進行時間長達一學年,藉由故事的型態讓學生 像「說故事」的模式來造題目,並將有創意的擬題作品整理呈現。

加減法是國小低年級學童學習「數與計算」最重要的一環,孫秀 芳(1997)研究國小二年級學生的加減法擬題能力和擬題認知程度。

研究結果發現:生活週遭熟悉的情境幾乎都是大部分學生擬題能力的 主要來源,並且發現擬題活動與解題活動是高度相關聯,擬題活動越 熟悉順暢解題活動也越容易正確無誤。

對於低年級學童擬題和解題與數學概念的學習歷程探討,周幸儀

(2002)依照國小二年級教材設計 14 個進行合作擬題教學活動的單 元,探討國小二年級學生的擬題學習歷程,並了解擬題教學對學生數

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學概念、擬題能力、解題能力是否有助益?結果發現學生在擬題學習 歷程中概念發展和擬題能力有增進效果,並且擬題教學對解題能力的 有正向助益,研究者在進行擬題教學時,遇到學生不懂之處會改變教 學策略,使學生數學概念得以釐清,再加上擬題促進學生思考問題、

進行後設認知的活動來增加數學基模知識,讓學生的學習條件得以提 昇,教師也因此在整個研究的歷程中找到自信、肯定自我。

陳佩琦(2003)利用自行設計的學習單進行一個國小二年級班級 24 堂擬題教學,探討學生個別擬題的歷程,透過教室觀察、錄音、

訪談、擬題教學回饋問卷及數學解題能力評量前後測、統計分析等質 化與量化的方法,來了解實驗組學生擬題內容分析、錯誤類型、以及 學生對於算式、圖畫、文字三種擬題類型的擬題情形;另外不同擬題 能力的學生在解題能力上的表現以及擬題教學對於解題能力的增進 與否。研究結果發現:經由擬題教學後,學生在各研究相度有明顯進 步,擬題作品則呈現多樣化,更 指出擬題教學可以增進學生解題能力。

在中年級的擬題活動研究有:

為探討多元化創造的擬題能力,English(1998)以開放的形式研 究 54 位三年級學生的擬題能力。研究發現學生在數概念以及解題能 力方面,表現出不同的類型。在許多非例行性的情境中,可以擬出多 樣化的題目,但在加法和除法的類型中,學生所擬出來的題型幾乎如

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出一轍,這可能受到教材中例行性題目的影響,造成學生思考模式固 化。

若在擬題教學中得到學生有生動一點的擬題而不是固化思考,教 學者扮演著極重要的角色。楊惠如(2000)用行動研究的方式對一個 國小三年級班級的學生為對象實施七個單元的擬題教學活動。研究結 果顯示教學活動一開始都是困難重重,且一開始得到的結果不夠理 想,而教學者扮演著教學設計者、佈題者、引導者、時間掌控者以及 成效評估者等五種角色,而這些角色,在整個擬題教學中都是非常重 要。後來教師刻意安排教學情境更克服種種困難,學生終於擬出生動 的題目,更是成為解題與擬題的小作家。林群雄(2004)也是透過行 動研究的方式,瞭解擬題活動教學對於國小三年級學生在數學課堂中 接受的情況與擬題教學之後學童數學能力的成長。如楊惠如的結果 般,在擬題教學中老師與學生們都必須不斷的做修正才能慢慢的將整 個教學流程順暢,最後才能達到事半功倍的成效。

在高年級的擬題活動研究有:

擬題教學的歷程和成效是需要透過一段時間的教學與觀察才能 比較明確了解學習者的改變,Winograd(1990)以一年的時間研究學 童擬題和解題的過程,並在小組中分享其過程,藉以瞭解學生擬題活 動的困難點和小組共同解題的行為;研究結果發現,學童在在小組合

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作學習中擬題呈現出多樣化的型態,並可以完成學習的重點,另外 Winograd 更提出學生的擬題作品可以成為教師佈題以及教材的來源。

在探討高年級學童不同的擬題教學策略對分數概念學習影響的 研究,國內徐文鈺(1996)以 104 位國小五年級學生為對象,隨機將 學生分為「合作擬題組」、「個別擬題組」及「控制組」三組。整個分 數課程教學實驗為期六週,每週兩次,每次 40 分鐘,三組學生分別 接受「合作擬題」、「個別擬題」、「非擬題教學」不同教學方式。研究 結果發現:「合作擬題組」在「部分-整體」這個較複雜概念的表徵 轉換能力,分數解題能力,分數擬題能力流暢性、精緻性、獨特性效 果均優於「個別擬題組」和「控制組」,也顯示出「合作擬題」的學 習模式可以使學習者獲得的「分數」單元較精緻細膩且深入的概念,

但在分數概念的增進效果上,三組受測學生並無顯著差異,因為一般 既有的分數概念經過熟練後就會習得。除徐文鈺之外,鍾雅琴(2002)

更進一步探討合作擬題的教學方式,對國小五年級學生分數概念、分 數解題能力與分數擬題能力的增進效果。其研究發現:合作擬題教學 能增進學生在「整體與複雜的分數概念」和「分數的數線概念」兩種 表徵轉換的學習。分數擬題的「流暢性」、「變通性」、「精緻性」和「獨 特性」四個特性也有明顯的增長。另外,在合作擬題教學方式學生在 自評表中對於認知、情意、技能三方面都給予肯定的評價。

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有別於徐文鈺(1996)將研究者做隨機分組,澳大利亞學者 English(1997)是將研究者依不同能力分組,探討不同能力的學生對 於課程中擬題的表現。研究結果發現:擬題能力強的學童對解特殊題 目比較有挑戰突破的企圖心,但是擬題能力強的學生對於數字計算能 力並不是很強。

為探討擬題教學素材與生活經驗相連結並以故事型態做引導,

Cohen 與 Stover(1982)以六年級學生進行故事擬題活動,讓學生將 已知的故事情境用增加數學訊息、編排數學訊息或是以圖像表示等方 式,學生改寫原佈題的故事題,改寫後的題目學生再做解題練習,在 數學課堂上「文字寫作」變成數學學習過程不可或缺的能力,經過一 段時間的研究發現:學生經過這樣的訓練後,在解題上能力有明顯的 進步,表示文字的表達和數學能力是息息相關。林德宗(1999)研究 發現:學生透過擬題活動可增加數學概念的理解,學生也學習到將數 學知識和生活經驗相連結。學生透過討論過程修正自己所擬出來的題 目,並培養接納不同意見的態度。

擬題教學活動的特徵與溝通有著高度相關性,不同文化背景在擬 題活動中所呈現的差異, Cai(1998)以 181 位美國和 223 位中國的 六年級學生為研究對象,探究其擬題和解題的認知分析,結果發現,

雖然中國學生在計算方面比美國學生強很多,但在擬題方面卻有許多

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相似之處,也就是縱使中國學生在文字語言表達中不比美國學生來的 開放,但是經過擬題教學之後,不同文化背景的學生在文字與數學概 念結合的學習成效上是一樣的精進。而李承華(2002)探討擬題教學 活動是否影響學童對文字題的操弄與了解,以 五年級學生經過擬題教 學活動後對數學文字題語意結構的掌握和對文字題解題的影響,研究 結果顯示:擬題教學活動確實提昇了學生在文字題語意結構掌握,但 是「擬題教學活動與文字題語意」的交互作用讓學生在解題能力上並 無顯著差異。

很特別的是 Keil(1965)利用實驗法研究比較實施擬題教學對學 生解題能力的差別性;他將八百多位六年級學生分成實驗組與控制 組,並請科任教師擔任教學。實驗組每週一堂由教師提供數學課本以 外類似的情境進行擬題教學;而控制組只解課本題目,此實驗共進行 十六週。結果顯示實驗組學生的解題能力高於控制組的學生,擬題教 學活動對於解題能力有正面的影響。

而針對單一單元做深入的擬題教學研究有:吳進寶(2005)以一 個五年級的班級為樣本研究學生整數四則混合運算的擬題教學研 究。研究發現:學生習得正確擬題後,對四則混合運算題目的掌控度 就很高;但解題中對三步驟的四則混合運算錯誤較多,原因在於程序 性的數學知識不夠所造成。除吳進寶針對「整數四則混合運算」之外,

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趙坤川(2006)以小數為題材,探討一個六年級的班級學生小數加減 運算及小數大小比較概念。研究發現:擬題教學提升學生擬題及解你 堤的成功率,學生可將小數概念運用在日常生活中,但是教師在實施 擬題教學時有數學課時間不夠用的壓力。

貳、 國中學生為研究對象的擬題相關研究

針對國中學生做擬題活動教學研究有:

Brown 和 Walter(1983)在”The art of problem posing”一書提 到:利用”what-if-not”的擬題教學策略,引導學生在算出答案後先接 受,緊接著再挑戰各種假設,讓題目情境不是原先狀況,利用其他的 條件解題,探討答案又會是如何?以這樣的解題策略會使數學擬題學 習過程豐富有創意,充滿挑戰性。

澳大利亞學者 Ellerton(1986)用測驗將學生能力分組,分成高 能力與低能力兩組再研究其擬題的差異,結果發現高能力組的學生會 試著再出挑戰性的題目,且出題的過程是有系統的策劃。然而澳大利 亞學者 English(1997)也是研究不同能力組別的學生對於課程中擬 題的表現,其對象包括七年級學生,研究結果發現擬題能力強的學童 不代表數字計算能力強,但對解特殊題目擬題能力強的學童卻有不錯 的表現。

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而擬題活動中情意層面的深入探討,劉芳妃(1997)以國中一年 級數學課堂中的擬題作業表現與教學活動來研究學生學習合作時的 情意層面以及擬題能力的相關性。研究發現:學生生活經驗或班級中 的人、事、物相關的次文化之擬題題材最能引發學生的討論與參與,

這項結果與林德宗(1999)所做的研究相互呼應,都顯示生活經驗在 學生擬題教學中所佔的重要因素;然而在進行合作擬題時,學生傾向 擬困難或奇特的問題,且組員間合作的技巧會影響其學習品質。學生 的數學成就高低和擬題的流暢性及變通性無顯著差異。

在教學現場進行擬題教學活動,匯集活動進行過程的方法和內 容,以提供欲從事擬題教學之教師建議,莊美蘭(2003)在國一數學 教學現場針對課程中不同單元進行合作擬題和個別擬題,將學生所採 取的擬題方法和內容做整理發現:合作擬題是透過同儕的互動提供討 論的機會來進行小組的學習,讓學業成就高的學生引導學業成就低的 學生,而個別擬題則是讓學生激發個人擬題的創意與實力,增加自我 的成就與學習的企圖心,並發現自己在數學概念上的錯誤,再經同儕 討論與教師引導的學習過程作澄清與改正。

在小組合作擬題的成效方面, Borba(1994)研究二百位八年級 的學生做深入的探討,學生在九星期的課程中,每一小組選定一個主 題,並且依照這個題目擬出一個相關題目,擬題之後小組成員再一起

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解決他們所擬出的問題。在這樣的學習過程裡發現,很多學生覺得透 過擬題活動,讓他們感受到對於學習的自主權,同時與同學討論可以 獲得自己先前所沒想到的方法或市澄清之前錯誤的概念。研究者並發 現,在小組擬題的過程中,教師必須適時給予引導,歸納小組中紛歧 不一的意見,讓小組討論內容聚焦,才能讓學生分工合作完成任務。

在國中研究中,也有針對單一數學主題的教學,例如,荷蘭學者 Van den Brink(1995)以「百分比」的教材為主,讓學生進行擬題活 動,並在教學過程中引導學生擬出兩個有關百分比的題目,這兩個題 目必須一題是學生認為簡單題,另一題則是學生認為困難題,透過學 生擬題的程度便可以瞭解學生對百分比概念認識有深入,也提供給老 師教學時的依據。

參、 大學生、職前教師或在職教師為研究對象的擬題相關研究

對於職前教師與現職教師的師資專業培訓方面,梁淑坤教授投入 相當多的心力。梁淑坤(1993)以美國某教育學院修「國小數學教材 研究」的 18 位學生為對象,設計一份開放性作業-「十五枝火柴」,

以同時研究「擬題」與「一題多解」,並提出須在師資培育的課程中 增設擬題的課程之建議。並在 1994 年撰文分析擬題在課程的角色,

建議應自低年級開始就列入擬題的活動。另外,梁淑坤(1995)以

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65 位職前教師及 127 位在職教師為對象,探討其在三種實驗擬題作 業形式(純文字敘述、包含數值、包含符號)下的擬題行為。研究發 現職前教師與在職教師在擬題的數量上並無顯著差異,在三種擬題作 業形式中,有數值的形式較其它兩種形式被教師們接受;在文字敘述 方面,教師們則自行提供資料或擬出資料不足甚至不可行的題目;在 包含符號的形式中,教師們傾向於寫出非題目、非數學或不可行的題 目。梁淑坤並指出:未來教師若想把擬題介紹到教室讓小學生嘗試擬 題的話,教師們自己本身要有更豐富的擬題經驗,也要懂得設計作業 及評量學生的作品,這是師資培育須注意的一環。

多位學者對於職前教師與現職教師有更進一步的研究,Silver、

Mamona-downs、Leung 和 Kenney(1996)研究 53 位中學教師和 28 位職前教師。他們是以個別擬題或是合作擬題的方式,研究這幾位受 是教師在起始擬題(IP)、解題(PS)和附加擬題(AP)三個階段中 的數學擬題能力。研究發現受試者具有數學擬題的能力,且在解題前 比在解題後所擬的題多,因為在解題之後受試者便會將「同解題模式」

的題目歸類,擬出具代表性的題目。這樣的教師擬題能力將主要影響 將來教學時教師的佈題,所以 Leung 和 Silver (1997)嘗試建立擬 題作品系統化分類的工具,藉此將擬題的學習作品系統分類以評量,

他們以 TAPP(Test Arithmetic Problem Posing)來測驗 63 位職前教師,

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結果發現許多受試者都可以擬出「可行的」題目,這套系統可以提給 教師做擬題教學時評量的依準。

針對大學的專業數學課程,Schloemer (1994)將 Brown 和 Walter

(1983)提”what-if-not”的擬題教學策略,以實驗法研究大學生學習 高等代數的結果,研究結果顯示控制組與實驗組在數學成就中並無顯 著差異,雖然在擬題能力方面,實驗組的表現比控制組好,但是在數 學態度的表現上,兩組學生表現的不理想下降。根據研究者的結論表 示:實驗組已習慣原來高等代數的教材,用擬題的教學方式反而讓學 生在數學態度上會產生負面的影響。

針對現任教師,多位研究者皆以自身研究結果與教學經驗提出結 論:周幸儀(2002)針對國小二年級教師研究發現:為達進行合作擬 題教學活動,教師專業成長是必然的,因為教師於教學中需要接受不 斷改變教學引導策略的挑戰。針對國小三年級教師,楊惠如(2000)

行動研究中顯示教學活動中教師扮演重要角色:教學設計者、佈題 者、引導者、時間掌控者以及成效評估者等五種角色。林群雄(2004)

透過行動研究,瞭解擬題活動教學在國小三年級數學課堂實際運作的 困難與解決方法,其次研創可融入數學教學的擬題素材和方法,最後 探討在整個行動研究的歷程中教師的專業成長。

綜合以上不同學習階段的研究,數學科的擬題教學是非常吸引

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國內外各專家學者研究的教學方式,各學習階段的教師在教學現場以 行動研究的理念進行不同單元的擬題教學,試圖突破學生在數學學習 中的困難和盲點;數學教育的學者專家也致力將擬題教學的題目做系 統化的分類歸納,擬題教學的步驟做深入探討,無非是為日後擬題教 學的發展奠定扎實的根基。

第三節 擬題與解題的相關性

在本研究中學生擬題活動與解題活動是並重,故在本章節中將擬 題與解題的相關性做探討。波蘭數學家 Polya(1945)在其所著『如 何解題』(How to solve it)中,提出解題的歷程共分四個階段(如圖 2-3-1):

階段一:理解(Undertand):即是了解題意,清楚題目在問什麼?題 目中已知與未知的條件是什麼?

階段二:策劃(Plan):即是選定好解題策略,發現出題目中已知與 未知條件間的關係,藉著此關係來擬定解題的方法策略與執行的步 驟。

階段三:執行(Carry out):即是執行解題策略,以解決問題。

階段四:回想(Look Back):解題之後要檢驗答案的合理性,再一次 回顧題目,最好能用另一種策略來解題,看看答案是否相吻合。

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圖 2-3-1 Polya(1945)解題歷程四階段

國內學者梁淑坤(1995)則認為:在進行解題活動前先要了解題 目,若解題者本身也是擬題者,對題目內容會十分熟悉,解題策略也 能清楚呈現。然而解題過程中有新的想法,再擬另一新題目後再策 劃、再解題。重新解題後也可將結果彙整成佈題資料再行擬題活動,

如此一來擬題活動和解題活動便會相輔相成的循環下去。

因此再擬題與解題活動交互關係中,梁淑坤(1995)根據 Polya 的解 題歷程,把 擬題取代第一階段的理解,而成為擬題四步驟,如圖 2-3-2:

理解

(Undertand)

策劃(Plan)

執行

(Carry out)

回想

(Look Back)

回顧(Look Back) 策劃(Plan)

執行(Carry out)

擬題(Pose)

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林群雄(2003)參考 Polya(1945)的解題歷程和梁淑坤(1995)

的擬題步驟,並依據實際上課經驗,將學生的擬題過程呈現如圖 2-3-3:

圖 2-3-3 學生擬題行為過程(林群雄,2003,p.15)

當學生依據教師佈題進行擬題活動,要解擬出的題目是要規劃解 題策略,然後依照解題策略進行解題活動。在規劃解題策略時,學生 有時候會發現已擬完的題目中有些條件不完整,所以無法順利進行解 題策略,這時就必須再重新檢視已擬完的題目做修正或重新進行擬題 活動。學生有時候是在執行解題步驟時才遇到困難,就必須重新規劃 解題策略,為了重新規劃解題策略就會再檢視題目或重新擬題,之後 學生再嘗試進行另一個解題策略。林群雄(2003)認為:解題的成與 敗是促使學習者於執行後選擇的差異,若解題失敗,學習者則會再做

回顧(Look Back) 策劃(Plan)

執行(Carry out)

解題失敗

解題成功

擬題(Pose)

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下一次的策劃;若解題成功,學習者則會選擇回顧整個過程。這樣擬 題又解題的循環過程是環環相扣,也會刺激學生思考統整與創作歸納 的能力,學生也不會因為解題過程中與原題目分離,而降低學生認知 行為(Dillon,1982)。反而透過這個循環可以做到創造數學( making mathematics,Polya,1945),學習概念自行建構無限延伸。這種學習 精神,是數學教育期待培育的素養。

第四節 三年級「數與計算」教材內容

根據教育部 82 年所修正發布的「國民小學數學課程標準」中對 教材內容所做的分析,研究者將 82 年版三年級「數與計算」的教材 內容分成整數、分數、小數三部份,整理如下:

壹、整數的「數與計算」

一、數的部份

(一)第五冊部份

1.利用百格板、橘色積木、白色積木既屬或做出 1000 以內的數量。

2.以代表 100、10 和 1 的圖象合成來表徵 1000 以內的數量。

3.用「>」「<」或「=」的符號紀錄「兩數的積與定數間」的關係。

4.2000 以內數的說、讀、聽、寫、做。

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(二)第六冊部份

1.以代表 100、10 和 1 的具體物或圖象的合成來表徵 2000 以內的數 量,並分別對此數量含有的 100、10 和 1 的個數加以計數。

2.利用逐一、逐十、或逐百的方式,逆數二千以內的數至一千以內。

3.經由兩步驟記錄一個二位數,察覺「位值」。

4.比較「和」、「差」運算後的大小,並用「=」、「<」和「>」的符 號紀錄「和」、「差」的關係。

5. 10000 以內數的說、讀、聽、寫、做。

6. 以代表 1000、100、10 和 1 的圖象合成來表徵 10000 以內的數量。

二、計算的部份

(一)第五冊的部份

1.解決「和數」為 1000 以內,「加數」在 100 以內或整百的合成問題。

2.解決「被減數」為 1000 以內,「減數」在 100 以內或整百的分解問 題。

3. 解決「和數」為 1000 以內,「加數」在 1000 以內的合成問題,並 用算式記錄解題過程。

4. 解決「被減數」為 1000 以內,「減數」在 1000 以內的分解問題,

並用算式記錄解題過程。

5.將「單位量為 1 或 10,單位數為 15 以內,合成量為 100 以內」的

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「倍」問題紀錄成積數未知的算式填充題,並用有「乘號」的算式記 錄解題過程。

6. 將「單位量為 12 以內,單位數為 1 或 10,合成量為 100 以內」的

「倍」問題紀錄成積數未知的算式填充題,並用有「乘號」的算式記 錄解題過程。

7. 解決「單位量為 20(100 或 1000)以內,單位數為 20(5)以內,

而合成量在 200(400 或 1000)以內」的「倍」問題,並用有「乘號」

的算式記錄解題過程。

8.用有乘號的算式填充題紀錄「單位量在 1000 以內,單位數在 5 以 內,而合成量在 1000 以內」的「倍」問題,並記錄解題過程。

9.紀錄總量在 72 以內,最多分為 12 分包含除的解題過程。

10.解決「總量在 20(100)以內,最多分為 5 分」的等分除問題。

11.將「單位量轉換活動中,新單位數未知」的文字題紀錄成成數未 知的算式填充題,並解決問題。

12.用有乘號的算式記錄多步驟「加、乘」「減、乘」的混合運算問題。

13.紀錄兩數的積。

(二)第六冊的部份

1. 解決「以實為被計數單位,和數或被減數為 100 以內」的合成分 解問題,並用算式記錄解題過程。

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2.解決三位數加二位數和數超出 1000 的合成問題,並用算式記錄解 題過程。

3. 解決被減數為 2000 以內的分解問題,並用算式記錄解題過程。

4. 解決和數或被減數為 2000 以內的合成分解問題,並用算式記錄解 題過程。

5.用減法算式記錄包含除,等分除問題的解題活動,並用算式記錄解 題過程。

6.解決「單位量為 10,單位數為 100 以內或未知,合成量為幾百幾十」

的「倍」問題。

7. 將「單位量為 10,單位數為 100 以內或未知,合成量為幾百幾十」

的「倍」問題紀錄成算式填充題,並用有「乘號」的算式記錄解題過 程。

8. 解決「幾個十和幾個十的合成(分解)是幾個十?是多少?」的 問題,並用算式記錄解題活動。

9. 解決「單位量為 1000 以內,單位數為 10 以內,而合成量在 2000 以內」的「倍」問題,並記錄解題活動。

10. 解決「倍加(減)數,加(減)數及和(差)數均為幾個十幾個 一」的合成分解問題。

11.將「全部不超過 50,部份不少於 15」的加數未知合成問題予以記

(44)

錄成等號右邊只有括號的算式填充題,並求解。

12.用直式記錄「幾個十幾個一」的合成分解問題。

13.將「全部不超過 50,部份不少於 15」的被加數未知,(被減數未 知或減數未知)的合成分解問題予以記錄成等號右邊只有括號的算式 填充題,並求解。

14. 將「全部不超過 200,部份不少於 35」的加數未知,(被加數未 知、被減數未知或減數未知)的合成分解問題予以記錄成等號右邊只 有括號的算式填充題,並求解。

15.直式加減法的算則:以先記幾個一加(減)幾個一,再記幾個十 加(減)幾個十的方法紀錄和數(被減數)為二位數的加(減)法問 題的解題過程與結果。

16.先用直式填充題紀錄和數(被減數)為二位數的加(減)法問題,

再用「幾個十幾個一加(減)幾個十幾個一」的方法解決問題。

17.解決「先合成或分解後,再等分除或包含除」以及「先乘後除」

的問題,並記錄其解題過程。

貳、分數的「數與計算」

一、分數的部份

(一)第五冊的部份

(45)

1.等分一固定的長度量 6.8.9 或 10 個部份,並對所得的單位分量加以 命名。

2.給一條等分成 5.7 個部份的繩子,對真分量加以命名。

3.給一恰有 6.8.9.10.3.5.7 個元素集合,等分成 6.8.9.10.3.5.7 個部分;

以此集合為單位量的真分量加以命名。

4.8 1,

9 1,

10 1 ,

3 2,

3 3,

5 2,

5 3,

5 4,

7 2,

7 3,

7 4,

7 5,

7

6的說獨聽寫。

(二)第六冊的部份

1.建立十分之幾、五分之幾、十二分之幾的數詞序列。

2.看著具體物說出對應的分數(小於等於 1)之數詞,並寫出對應分 數的數字。

3. 聽到分數(小於等於 1)的數詞或看到分數的數字,拿出或畫出相 當數量的具體物或線段。

4.察覺2 2,

3 3,

12

12和 1 的等價關係。

二、計算的部份

(一)第五冊的部份

沒有分數的計算課程教材。

(二)第六冊的部份

1.在連續量的情境之下,解決同分母分數合成、分解問題,並用算式 記錄解題過程(和數或被減數小於等於 1)。

(46)

2. 在離散量的情境之下,解決同分母分數合成、分解問題,並用算 式記錄解題過程(和數或被減數小於等於 1)。

? 、小數的「數與計算」

一、小數的部份

(一)第五冊的部份 沒有小數的數課程教材。

(二)第六冊的部份 1. 透過

10

1 的連絡,了解「0.1」的意義並利用十分之幾的分數序列,

建立 0.1~0.9 的數字與數詞序列。

2. 透過十分之幾的連絡,進行一位小數的說讀聽寫做。

二、計算的部份

(一)第五冊的部份

沒有小數的計算課程教材。

(二)第六冊的部份

1. 在連續量的情境之下,解決一位小數合成、分解問題,並用算式 記錄解題過程,並解決問題。(和數或被減數<1)。

2. 在離散量的情境之下,解決一位小數合成、分解問題,並用算式

(47)

第五節 三年級「數與計算」課程分析

本研究為 82 年康軒版第五冊與第六冊課程,將有關於「數與計 算」的課程教材流程分成六大部分:「數值」、「除法」、「乘和除」、「加 減乘除」、「整數部分」、「非整數部份」。研究者再以每一部份整理出 相關流程,介紹完流程之後便逐步分析相關的課程要素,更能理解教 學先後順序,進而考慮是否進行擬題教學。

壹、「數值」的課程流程分析

將「2000 以內的數」「10000 以內的數」歸納其課程流程,如下 圖 2-4-1 所示:

(48)

圖 2-4-1「數值」的課程流程分析

2000 以內數的大小比較 說出 2000 以內數的大小關係。

了解數的大小和數詞序列的關 聯。

用>、<、=的符號表示兩數的 大小關係。

2000 以內的數 複習 1000 以內的數,並以1000 以內的量為起點累加ㄧ、十或 百,建立 2000 以內的數詞。

四位數的位值 了解 2000 以內數字與位值的對 應,並能表示 2000 以內的數。

2000 以內數的說讀聽寫 正確讀出 2000 以內的數詞和寫 出 2000 以內的數字。

認識數字在生活應用中的讀法。

2000 以內數的化聚 將 2000 以內的數化成幾個千、

幾個百、幾個十和幾個一。

將幾個千、幾個百、幾個十和幾 個一聚成正確的數。

正確化聚錢的數量。

10000 以內的數 複習 2000 以內的數,並以 2000 以 內的量為起點累加ㄧ、十或百,建 立 10000 以內的數量概念。

用積木表示 10000 以內的數量。

數到 10000 建立 10000 以內的數詞序列。

10000 以內數的說讀聽寫 知道 10000 以內數的讀法。

認識 10000 以內數的寫法。

用圖象表示 10000 以內的數量。

分解、合成 10000 以內的數。

第五冊第一單元 2000 以內的數

萬位 能將數字和位值對應。

認識 10000 以內數的十進 結構。

第六冊第一單元 10000 以內的數

比大小 說出 10000 以內數的大小 關係。

了解數的大小和數詞序 列的關聯。

用>、<、=的符號表示 兩數的大小關係。

驗算 從生活情境中了解 10000 以內數的應用。

利用加減法的互逆關係 驗算。

(49)

如上圖所示,三年級的「數值」課程是以 1000 以內的量為起始 量,利用累加ㄧ、十或百,建立 2000 以內的數詞及數字與位值的對 應,並能正確的聽、說、讀、寫出 2000 以內的數,更認識數字在生 活應用中的讀法。接著將 2000 以內的數與錢幣做正確的化聚,再進 行比大小的活動。到了第六冊第一單元是以 2000 以內的量為起始 量,利用累加ㄧ、十或百,建立 10000 以內的數詞及數字與位值的對 應,並能正確的聽、說、讀、寫出 10000 以內的數,接著將 10000 以 內的數與錢幣做正確的化聚,再進行比大小的活動。最後,從生活情 境中了解 10000 以內數的應用並利用加減法的互逆關係驗算。

貳、「除法」的課程流程分析

將「整除的除法」(就是單元名稱「除法(一)」)和「有餘數的 除法」(就是單元名稱「除法(二)」)歸納其課程流程,如下圖 2-4-2 所示:

(50)

乘式紀錄等分除 嘗試使用乘式摘要記 錄等分除問題。

包含除

用算式紀錄包含除問題的解題過程

等分除

透過平分食物認識等分除的意 義,並以「一次分一個」的方法 解決等分除問題。

減法和等分除 用減法算式紀錄等分除 問題的解題過程。

乘法紀錄包含除 嘗試使用乘法摘要記錄 包含除問題。

餘數 紀錄包含除與等分除的問 題時,學習如何紀錄餘 數;並說出除法算式中各 數字和符號的意義。

認識除法算式 透過討論,形成使用除法算 式摘要記錄包含除與等分 除問題的共識,並說出除法 算式中各數字和符號的意 義。

用除法算式紀錄問題 使用除法算式摘要記錄除法 問題的解題活動與結果;並 說出除法算式中各數字和符 號的意義。

被除數、除數、商、餘數 認識除式中的被除數、除 數、商和餘數;並經由解題 過程發現:餘數必須比除數 小。

除法算式填充題 用除法的算式填充題紀錄能 整除的包含除與等分除問 題,並用算式紀錄解題過程。

用除法的算式填充題紀錄不 能整除的包含除與等分除問 題,並用算式紀錄解題過程。

第五冊第十一單元 有餘數的除法---- 除法(二)

除法直式 透過討論形成使用除法 直式紀錄的共識。

說出除法直式中各數字 和符號的意義。

用直式紀錄除法問題。

第五冊第三單元 整除的除法---- 除法(一)

(51)

如上圖所示,三年級的「除法」課程是先以算式紀錄介紹包含除 問題的解題過程,再透過「平分」活動認識等分除的意義,並以「一 次分一個」的方法解決等分除問題,再用減法算式紀錄等分除問題的 解題過程。接著嘗試使用乘法摘要記錄包含除與等分除問題,最後才 使用除法算式摘要記錄除法問題的解題活動與結果,並能說出除法算 式中各數字和符號的意義,同時要形成使用除法算式摘要記錄包含除 與等分除問題的共識,並說出除法算式中各數字和符號的意義。

當學習完整除的包含除與等分除的問題後,接著學習如何紀錄餘 數,以及認識除式中的被除數、除數、商和餘數;並經由解題過程發 現:餘數必須比除數小。

最後用除法的算式填充題紀錄不能整除的包含除與等分除問題,

並紀錄解題過程,進而透過討論形成使用除法直式紀錄的共識,且能 說出除法直式中各數字和符號的意義。

? 、「乘和除」的課程流程分析

將「乘法」「乘和除」歸納其課程流程,如下圖 2-4-3 所示:

參考文獻

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