示 例 十 ： 變 換 對 函 數 圖 像 的 影 響 ( 三 ) 目

示 例 十 ： 變 換 對 函 數 圖 像 的 影 響 ( 三 )

目 標 ： 1 . 認 識 反 射 對 函 數 圖 像 的 影 響 與 代 數 式 對 應 的 變 化 ；

2 . 認 識 函 數

y = f (kx )

及

y = kf (x )

與

y = f (x )

圖 像 的 關 係 。

學 習 階 段 ： 4

學 習 單 位 ： 函 數 及 其 圖 像

所 需 教 材 ： ( 1 ) 試 算 表 軟 件 如 微 軟 Excel (graph.xls)， 繪 圖 軟 件 如 Graphmatica 和 工 作 紙

( 2 ) 印 有 二 次 及 三 次 函 數 圖 像 的 圖 表 紙 和 膠 片 預 備 知 識 ： ( 1 ) 認 識 f(x)=x²及 f(x)=x³的 圖 像

( 2 ) 認 識 二 次 及 三 次 函 數 的 一 般 式

教 學 內 容 ：

1 . 教 師 先 與 學 生 重 溫 函 數 圖 像 平 移 與 其 相 應 代 數 式 的 關 係 。 函 數

f (x )

的 改 變 對 應 的 圖 像 變 換

k x f

y = ( ) +

， 其 中 k >0 向 上 移 動 k 個 單 位

k

x f

y = ( ) −

， 其 中 k >0 向 下 移 動 k 個 單 位 函 數

f (x )

的 改 變 對 應 的 圖 像 變 換

) ( x h f

y = +

， 其 中h>0 向 左 移 動 h 個 單 位

)

( x h f

y = −

， 其 中h>0 向 右 移 動 h 個 單 位

教 師 可 用 例 子 ， 如

y = f (x )

而 與 及 考

查 學 生 對 平 移 變 換 的 掌 握 。 ) 3

(x x

f = y = x( −1)³ y = x³ −1

2 . 教 師 讓 學 生 猜 想 函 數 y=−x³即

y = − f (x )

的 圖 像 與 原 有 圖 像 有 何 關 係 。 教 師 可 提 供 印 有 圖 像 的 膠 片 ， 讓 學 生 分 組 探 究 的 圖 像 ， 並 要 求 他 們 解 釋 這 兩 個 圖 像 各 對 應 點 的 坐 標 關 係 。

x3

y= x3

y= x3

y=−

3 . 教 師 利 用 Excel 檔 案 graph.xls 與 學 生 探 究 不 同 二 次 及 三 次 函 數

（ 如 圖 像 ） 以 x - 軸 作 反 射 與 其 代 數 式 的 關 係 。 其 中 ， 讓 學 生 留 意

1 3 ²

3 + −

= x x y

( a ) 新 圖 像 與 原 有 圖 像 穿 過 x - 軸 的 點 的 數 目 及 這 些 點 的 坐 標 ；

( b ) 新 圖 像 與 原 有 圖 像 穿 過 y - 軸 的 點 的 數 目 及 這 些 點 的 坐 標 ；

( c ) 新 圖 像 與 原 有 圖 像 各 對 應 點 的 坐 標 ； ( d ) 新 代 數 式 與 原 有 代 數 式 各 項 係 數 的 關 係 。

4 . 教 師 與 學 生 探 討 若 將 函 數

y = f (x )

而 改 為

（ 即

1 3 )

(x =x³ + x² − f

1 ) ( 3 )

(− ³ + − ² −

= x x

y

y = f ( x − )

） ， 新 圖 像 與 原 有 圖 像 的 關 係 。 教 師 可 派 發 印 有 的 圖 像 膠 片 ， 讓 學 生 探 索 圖 像 的 相 應 變 化 及 與 同 學 討 論 兩 個 圖 像 各 對 應 點 的 關 係 。

1 3 ²

3+ −

=x x y

5 . 教 師 由 此 帶 出

y = f ( x − )

是 將

y = f (x )

圖 像 以 y - 軸 作 反 射 變 換 ， 而

y = − f (x )

則 是 將

y = f (x )

圖 像 以 x - 軸 作 反 射 變 換 。

教 師 利 用 Excel 檔 案 graph.xls 探 討 不 同 二 次 函 數 及 三 次 函 數 作 x - 軸 反 射 及 y - 軸 反 射 的 代 數 式 、 表 列 式 及 圖 像 表 示 的 關 係 ， 其 中 須 比 較 ：

( a ) 以 y - 軸 作 反 射 的 圖 像 與 原 有 圖 像 與 x - 軸 ／ y - 軸 相 交 點 的 坐 標 ；

( b ) 以 x - 軸 作 反 射 及 以 y - 軸 作 反 射 兩 者 圖 像 的 分 別 ； ( c ) 以 x - 軸 作 反 射 及 以 y - 軸 作 反 射 兩 者 代 數 式 的 分 別 。 6 . 教 師 可 與 學 生 進 行 以 下 遊 戲 ， 以 鞏 固 他 們 對 反 射 變 換 圖 像 的 認

識 ：

( a ) 將 印 有 圖 像 的 膠 片 擺 放 在 圖 表 紙 的 不 同 位 置 而 要 求 學 生 找 出 以 x - 軸 作 反 射 ／ 或 以 y - 軸 作 反 射 的 對 應 圖 像 ；

1 3 ²

3 + −

=x x y

( b ) 教 師 給 出 經 變 換 的 新 函 數 的 圖 像 膠 片 要 求 辨 析 其 所 經 的 變 換 （ 即 判 斷 是 以 x - 軸 ／ y - 軸 作 反 射 ） 。

7 . 教 師 指 出

y = − f (x )

只 是

y = kf (x )

的 特 殊 例 子 ， 從 而 與 學 生 討 論 若 函 數

y = f (x )

改 為

y = 2 f ( x )

， 新 函 數 的 圖 像 與 原 有 圖 像 的 關 係 。 教 師 用 多 項 式 函 數 如 作 討 論 。 學 生 若 已 學 了 三 角 函 數 ， 可 考 慮 用

) 2

(x x

f =

x x

f ( ) = sin

等 作 討 論 。 但 是 ， 教 師 亦 可 在 學 生 未 有 三 角 函 數 的 觀 念 之 先 ， 純 以 表 列 值 或 圖 像 的 變 化 而 無 須 引 入 該 函 數 為 正 弦 函 數 來 討 論

y = 2 f ( x )

。

8 . 教 師 亦 可 利 用 繪 圖 軟 件 Graphmatica 顯 示 不 同 的 值 時 ， 是 將 圖 像 作 緃 方 向 放 大 （ 即 沿 y - 軸 伸 展 ） ， 反 之 ， 亦

>1 k

)

(x

kf

y =

變換對函數圖像的影響(三)

須 討 論 當 不 同 k 值 而0< k <1時 ，

y = kf (x )

是 將 圖 像 作 緃 方 向 縮 小 （ 即 沿 y - 軸 收 縮 ） 。

9 . 同 樣 地 ， 教 師 可 利 用 軟 件 Graphmatica 與 學 生 探 討 與

（ ） 的 圖 像 變 化 。 教 師 可 與 學 生 討 論

) (x f y = )

(kx f

y =

k >1

( a ) 兩 個 圖 像 的 相 似 地 方 ；

( b ) 兩 個 圖 像 與 x - 軸 相 交 點 坐 標 的 特 點 ；

( c ) 若

y = f (x )

有 極 大 值 ， 比 較

y = f (kx )

與

y = f (x )

極 大 值 ； ( d ) 若 函 數 有 週 期 性 ， 比 較

y = f (kx )

與

y = f (x )

的 週 期 ； ( e ) 比 較

y = f (kx )

， k >1與0< k <1時 ， 兩 者 的 圖 像 與 以 上 ( a )

至 ( d ) 相 似 及 不 同 的 地 方 。 1 0 . 最 後 ， 教 師 作 出 總 結 如 下 ：

函 數 的 代 數 式 函 數 的 圖 像

>1

k 沿 縱 軸 （ y - 軸 ） 伸 展 k 倍

)

(x kf y =

1

0< k< 沿 縱 軸 （ y - 軸 ） 縮 少 k 倍

>1

k 沿 x - 軸 伸 展 k 倍

) (kx f y =

1

0< k< 沿 x - 軸 縮 少 k 倍 1 1 . 教 師 派 發 工 作 紙 作 鞏 固 活 動 ， 要 求 學 生

( a ) 由 給 出 圖 像 的 變 化 ， 判 斷 所 經 過 變 換 及 對 應 的 代 數 式 ； ( b ) 由 給 出 代 數 式 的 變 化 ， 畫 出 對 應 變 換 圖 像 的 略 圖 。

工 作 紙

1 . 在 問 題 ( a ) 至 ( e ) 中 ， 已 給 出

y = f (x )

的 圖 像 ， 依 給 定 的 函 數 變 換 畫 出 變 換 後 的 圖 像 。

( b ) 畫 出

( ) 2 1 f x

y =

的 圖 像 。 ( a ) 畫 出

y = 2 f ( x )

的 圖 像 。

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

x y

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

x y

( d ) 畫 出

) ( 2 x f

y =

的 圖 像 。 ( c ) 畫 出

y = f ( x 2 )

的 圖 像 。

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

x y

y = f (x)

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 x

y

Effect of transformation (3)

( e ) 畫 出

y = − f (x )

的 圖 像 。

y = f (x )

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

x y

2 . 右 邊 是 二 次 函 數 的 圖 像 ， 依 給 定 的 函 數 變 換 ， 畫 出 變 換 後 的 圖 像 。

) 2

(x x

f = _{y =f (x )}

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9

x y

( a ) 畫 出

y = f ( x 2 )

的 圖 像 。

y =f (x )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 x y

( b ) 畫 出

y = 2 f ( x )

的 圖 像 。

y =f (x )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 x y

變換對函數圖像的影響(三)

( c ) 畫 出

y = 2 f ( x ) + 10

的 圖 像 。

y =f (x )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 x y

( d ) 畫 出

y = 2 f ( x + 5 )

的 圖 像 。

y =f (x )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 x y

( e ) 比 較 圖 像 ( c )

y = 2 f ( x ) + 10

及 圖 像 ( d )

y = 2 f ( x + 5 )

， 是 否 相 同 ？ 換 言 之 ，

y = kf ( x ) + k ⋅ h

是 否 相 當 於

y = kf ( x + h )

？

3 . 由 給 出 的 圖 像 決 定 對 應 的 函 數 變 換 的 代 數 式 。 原 來 圖 像

y = f (x ) ( − 10 ≤ x ≤ 35 )

y = f (x )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

x y

變 換 後 的 圖 像

( 0 ≤ x ≤ 25 )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25x

y

(a) (b)

) (x f y=

( i ) 考 慮 圖 像 ( a ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( a ) 的 方 程 ____________________。

( i i ) 考 慮 圖 像 ( b ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( b ) 的 方 程 ____________________。

變換對函數圖像的影響(三)

4 . 由 給 出 的 圖 像 決 定 對 應 的 函 數 變 換 的 代 數 式 。 原 來 圖 像

y = f (x ) ( − 10 ≤ x ≤ 35 )

y = f (x )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

x y

變 換 後 的 圖 像

( 0 ≤ x ≤ 25 )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25x

y

(a)

) (x f y=

(b)

( i ) 考 慮 圖 像 ( a ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( a ) 的 方 程 ____________________。

=

5 . 由 給 出 的 圖 像 決 定 對 應 的 函 數 變 換 的 代 數 式 。 原 來 圖 像

y = f (x ) ( − 10 ≤ x ≤ 35 )

y = f (x )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

x y

變 換 後 的 圖 像

( 0 ≤ x ≤ 25 )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25x

y

(a) (b)

) (x f y=

( i ) 考 慮 圖 像 ( a ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( a ) 的 方 程 ____________________。

( i i ) 考 慮 圖 像 ( b ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( b ) 的 方 程 ____________________。

變換對函數圖像的影響(三)

6 . 由 給 出 的 圖 像 決 定 對 應 的 函 數 變 換 的 代 數 式 。 原 來 圖 像

y = f (x ) ( − 10 ≤ x ≤ 35 )

y = f (x )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35

x y

變 換 後 的 圖 像

( 0 ≤ x ≤ 25 )

-10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25x

y

(a)

(b)

) (x f y=

( i ) 考 慮 圖 像 ( a ) 與

y = f (x )

的 關 係 ， 寫 出 圖 像 ( a ) 的 方 程 ____________________。

=

教 師 注 意 事 項 :

1 . 本 示 例 活 動 需 時 約 7 0 - 8 0 分 鐘 。

2 . 教 師 在 使 用 作 反 射 變 換 的 例 子 時 ， 須 留 意 與 是 同 一 代 數 式 ， 在 圖 像 上 亦 看 不 見 有 變 化 ， 故 此 本 示 例 採 用 作 以 y - 軸 作 反 射 的 例 子 ， 然 而 ， 因 與

是 同 一 代 數 式 及 圖 像 ， 學 生 不 能 透 過 此 函 數 得 出 與 的 分 別 。 故 此 示 例 採 用 三 次 函 數 例 子 作 討 論 。

x2

y=

y = f ( x − )

) (x f y =

x3

y= y=−x³ y =( x− )³

) ( x f

y = −

) (x f

y = −

y=x³ +3x² −1

3 . 選 用 三 次 函 數 較 易 令 學 生 比 較 原 有 圖 像 及 經 變 換 圖 像 與 x - 軸 ， y - 軸 的 點 坐 標 。 教 師 可 一 開 始 便 選 用 其 他 二 次 ／ 三 次 函 數 作 討 論 例 子 。

1 3 ²

3 + −

= x x y

4 . 學 生 利 用 膠 片 顯 示 圖 像 反 射 的 效 果 能 鞏 固 學 生 在 初 中 已 學 的 圖 像 反 射 的 概 念 ， 同 時 透 過 坐 標 的 比 較 ， 學 生 能 理 解 代 數 式 及 圖 像 變 換 的 關 係 。 用 膠 片 亦 可 減 省 學 生 重 複 畫 圖 所 需 的 時 間 。 教 師 可 考 慮 射 印 不 同 函 數 的 圖 像 讓 學 生 作 遊 戲 比 賽 得 出 反 射 變 換

後 的 圖 像 ， 同 時 教 師 可 選 用 不 同 函 數 ， 如 與

圖 像 以 便 有 不 同 難 度 的 活 動 。

1 3 ²

3 + −

= x x y

2 1

3 + +

=x x y

5 . 教 師 在 選 用 三 角 函 數

y = sin x

或

y = cos x

作 圖 像 放 大 、 縮 小 的 比 較 時 ， 須 留 意 學 生 有 可 能 對 等 值 未 有 概 念 ， 教 師 可 考 慮 只 用 圖 像 各 點 坐 標 的 比 較

120° sin

) (x f

y =

、

y = f (kx )

與

y = kf (x )

圖 像 上 的 分 別 而 無 須 指 明 有 關 圖 像 是 正 弦 ， 餘 弦 函 數 圖 像 。 當 然 ， 教 師 亦 可 選 用 多 項 式 函 數 作 介 紹 ， 但 圖 像 效 果 則 不 及 三 角 函 數 明 顯 。

變換對函數圖像的影響(三)

6. 工 作 紙 的 答 案 建 議 如 下 ： 1.

( a ) 畫 出

y = 2 f ( x )

的 圖 像 。 ( b ) 畫 出

( ) 2 1 f x

y =

的 圖 像 。

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 x

y

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 x

y

( c ) 畫 出

y = f ( x 2 )

的 圖 像 。 ( d ) 畫 出

) ( 2 x f

y =

的 圖 像 。

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 x

y

y = f (x )

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 x

y

( e ) 畫 出

y = − f (x )

的 圖 像 。

(a) y = f( x2 ) (b) y =2f(x) 2.

y = f(x)

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

x y

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9

x y

(c) y=2f(x)+10 (d) y=2f(x)+10

(e)

不相等，即一般而言

h k x kf h x

kf ( + ) ≠ ( ) + ⋅

。

變換對函數圖像的影響(三)

3. (i)

y = 2 f ( x )

(ii)

_⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 2 f x y

4 (i)

y = f ( x ) + 7

(ii)

y = f ( x ) − 7

5. (i)

y = f ( x + 12 )

(ii)

y = f ( x − 12 )

6. (i)

y = f ( x ) + 12

(ii)

y = 2 f ( x )