3. 瞬時速率(instantaneous speed)與瞬時速度(instantaneous velocity)何者較大？相等

(1)

第一章

010103

末減初 (或是後減前)

進階思考：

1. 平常講的超『速』，是指那一個『速』？瞬時速率

2. 平均速率與平均速度(average velocity)何者較大？平均速率

3. 瞬時速率(instantaneous speed)與瞬時速度(instantaneous velocity)何者較大？相等

010104

加速度加速度加速度加速度(acceleration)

的的的的的的的的的的的的的的的的

Part I

第 1 秒第 2 秒第 3 秒第 4 秒第 5 秒加速度

甲 5 m/s 5 5 5 5 …………

0

乙 1 2 3 4 5 …………

1

丙 4 7 10 13 16 …………

3

丁 11 9 7 5 3 …………

的2

結論

用的的加速度(acceleration)的意義：每秒增加的速度

進階思考：

1. 何謂 g=9.8m/s

²

？因重力的影響每秒速度增加 9.8m/s

2. (B)

3. 一汽車的加速度(acceleration)為 3km/hr·s，意義為何？每秒增加時速

3km

010105

加速度加速度加速度加速度(acceleration)

的的的的的的的的的的的的的的的的

Part II

第 1 秒第 2 秒第 3 秒第 4 秒第 5 秒加速度

A 1 3 5 7 9 …………

2

B 9 7 5 3 1 …………

的2

C 的1 的3 的5 的7 的9 …………

的2

D 的9 的7 的5 的3 的1 …………

2

結論速度與加速度的方向

無關_ [但加速度與力同向：F=ma]

F=ma 問 a 的方向(direction)就想 F 的方向，a 是由 F 造成的

(2)

1 2

vt−2at 也可以換成

010201

運動學運動學運動學運動學(kinematics)(3+1)基本公式基本公式基本公式基本公式

【

【【

【等加速度運動等加速度運動等加速度運動等加速度運動（（（（uniformly accelerated motion）】）】）】）】

2 2 2

(1) (2) 1 (

2 3) 2 (4)

2

o

o o o

v v

v v at S v t at v v aS S + t

= + = + = + =

推導與證明推導與證明推導與證明推導與證明

公式所利用的觀念推導過程

第一公式

加速度的定義

−0

= −

∆

= ∆

t v v t

a v ^o v v at

t v

a v ^o ⇒ = _o +

−

= − 0

第二公式

v的t 圖及其觀念位移(displacement)=曲線下面積

長方形面積=v t₀ 三角形面積 1 ²

2at

= 故總面積 ₀ 1 ²

v t+2at

第三公式

(1)將第一公式的 t 代入第二公式

(2)外力作功=動能變化

0 2

0

0 0 2

0

2 2

0

v - v 1

t = , S = v t + at

a 2

v - v 1 v - v

S = v + a( )

a 2 a

v = v + 2aS

⇒

→ (1)

(2)w= ⋅ = ∆F S E_k 1 ² ₀²

( ) ( )

ma s⋅ = 2m v −v

2 2

2as= −v v0 → =v² v₀²+2as

第四公式

v的t 圖及其觀念

梯形面積= v_o v t + × 2

)

( =S

( ⁰ ) ⁰ 2

v v v v

a S

+ −

× =

v²−v₀² =2as ∴ =v² v₀²+2as

＝＋

vo t

v-vo=at

t v v

v

t v_o

v

t

(3)

010301

直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動(1):自由落體自由落體自由落體自由落體

(自由的意義自由的意義自由的意義: 自由的意義 v₀ =0)

物理量解題思路公式

1 著地時間

【如何解著地時間】

只有第 1、2 公式有 t

^{已知 v}o=0 及 H

^故應選第²^{公式解 t}

向上即為“＋”

向下即為“的”

1 2

0 ( )

H 2 g t

− = + −

t 2H

∴ = g ，與 m 無關

2 著地速度

【如何解著地速度

1

^】

只有第 1、3 公式有 v

^{已知 v}o=0 及 H

^故應選第³^{公式解 v}

【如何解著地速度

2

^】減少的位能=增加的動能

2 2

0 2( )( ) v = + −g −H

2

v gH

∴ = 1 2

2 m v = m g H

010401

直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動(2):鉛直上拋鉛直上拋鉛直上拋鉛直上拋

物理量解題思路公式

1 到達最高點時間

【如何解達最高點時間？】

1

^只有第^、^{公式有 t}

2

已知最高點速度 v=0

3

^故應選第^{1 公式解 t}

0= + −v0 ( g t) v0

t g

∴ =

2 著地時間【如何解著地時間？】

運動的對稱性

2 v0

T = ⋅ g

3 最大高度

【如何解最大高度？】

1

^只有第^、^{公式有 S}

2

已知最高點速度 v=0

3

^故應選第^{3 公式解 H}

2 2

0 =v0 + −2( g H)

2 0

2 H v

∴ = g 4 著地速度【如何解著地速度？】

運動的對稱性 −v⁰

^v=^vo +^at

²

2 1at t v S = _o +

^v² =^vo² +2^aS

v0

0 v=

(4)

010404

距距距距離中點離中點離中點離中點 vs 時間中點時間中點時間中點時間中點

(1) 距離中點，時間比： 1： 2 1−

1 2

0 2

S = + at ⇒ ∝t S

1 2

2 :

1 1: 0.414 1:1 2.414 :1

s at t S

t t

= ∴ ∝

− =

= + =

前半後半

=1: 2 2

s t

2s

t 2

t ) 1 2 ( −

(2) 時間中點，距離比： 1：3

010501 解解解解題題題題關關關關解解解解的的的的解解解解解解解解解解解解力力力力加加加加速速速速度度度度

沿(平行)斜面加速度解量：gsinθ 垂直斜面加速度解量： gcosθ

010601

相對運動公式相對運動公式相對運動公式相對運動公式

(亦可推廣到平面上的運動

亦可推廣到平面上的運動亦可推廣到平面上的運動亦可推廣到平面上的運動)

公式(1)：V_AB =V_A−V_B

公式(2)：V_AC =V_AB+V_BC 公式(3)：V_AB = −V_BA

t v

VA

VAB

V_B B

A C t 2t

sin g θ

cos

g θ

N

A B S 2S

2t

t ( 2 1)t−

(5)

t a

∆

t a

t v

∆

t v

010701

理論推導理論推導理論推導理論推導 Part I

圖形推導結論

^{數學意義：}

t x

∆

∆ =斜率(slope)

^{物理意義：}

t x

∆

∆ =速度

(1)x的t 圖的斜率

=____速度____

^{數學意義：}

t v

∆

∆ =斜率(slope)

^{物理意義：}

t v

∆

∆ =加速度

(3)v的t 圖的斜率

=___加速度___

^{數學意義：}

t

v×∆ =面積(area)

^{物理意義：}

t

v×∆ =位移=

∆

x

(2)v的t 圖下的面積

=__位移≠位置__

^{數學意義：}

t

a×∆ =面積(area)

^{物理意義：}

t

a×∆ =速度變化=

∆

v

(4)a的t 圖下的面積

=_速度變化量≠速度_

P.52 x xx

x

的的的的

t tt t 圖、圖、圖、圖、v vv v

的的的的

t tt t 圖、圖、圖、圖、a aa a

的的的的

t tt t 圖總整理圖總整理圖總整理圖總整理

求斜率(slope)=____微解____

求面積(area)=____積解____

t x

∆

x

∆

t

t v

∆

t

∆

v

(6)

010702

x、、、、v、、、a 三者關係之、三者關係之三者關係之三者關係之

應應應應用用用用的的的的運運運運動動動動應應應應數數數圖數圖圖圖形形形形

靜止等速度運動

(uniform motion)

等加速度運動 (a>0)

等加速度運動 (a<0)

x的t 圖

【凹口向上】【凹口向下】

v的t 圖

a的t 圖

應數關係

x(t)：0 次式 v(t)：0 次式 a(t)：0 次式

010803

求斜率求斜率求斜率求斜率(slope)

的的的的數數數數學學學學的的的的的的的的的的的的

___微分

微分微分微分____

同理可以求得各點的切線(tangent)斜率：

切點 (1,1) (2,4) (3,9) (4,16) (5,25)

切線斜率 2 4 6 8 10

聰明的你，有沒有看出一點端倪呢?

Oh!Yes, __m=2x__

要怎樣才能很快的求出斜率呢?

為什麼上物理課還要學:求斜率的數學的的(微解)呢?

v

t v

t

a

t a

t x

t

(7)

010804

微分微分微分微分(differentiation)基本觀念基本觀念基本觀念基本觀念

(1)微解(differentiation)的意義: 求______斜率 / 極限______的數學的的 (2)微解(differentiation)的物理意義(為什麼物理課要學「微解」呢?):

a. x-t 圖的斜率(slope)是 __

v

__ ，故對 x(t)微解可以得出 _

v(t)

__

b. v-t 圖的斜率(slope)是 _

a

_ ，故對 v(t)微解可以得出 _

a(t)

_

(3)微解(differentiation)的符號約定:

lim '

0

x

dt dx t

x

t

= =

∆

→

∆

(4)多項式微解公式:

x

ⁿ

= nx

ⁿ⁻¹

dx

d

^公式一: ^xⁿ ⁼^nxⁿ⁻¹ dx

d

(1) ³ 3 ²

dtd t

= t (2) d 1 ⁰ 1 dy y= ⋅y =

^公式二 ^kxⁿ ⁼^nkxⁿ⁻¹ dx

d (k 為常數)

(1) d 3³ 9 ²

dt t = t (2) d 2 2 dx y=

^公式三: ^k ⁼⁰

dx

d (k 為常數)

(1)

3 =

dt

d 0 (2)

7 =

dx

d 0

^{公式四(解配律):} ^g

dx f d dx g d dx f

d ( + )= +

(1) (3t³ +2t²)= dt

d 2

9t +4t (2) (2y+3y²)= dy

d 2 6 y+

【牛刀小試】：

1. t⁵ =

dt

d 4

5t 2. 2x³ = dx

d 2

6x

3. )=

5 (1s⁵ ds

d 4

S 4. 8= dy

d 0

5. ( t3 − )2 = dt

d 3 6. (t² +3t+5)= dt

d 2t+3

7. (t³+2t² −4t−2)= dt

d 2

3t +4t−4 8. (s³ −5s−9)= ds

d 2

3s − 5

(8)

第一章詳解

範例

01

：

【解答】：1m/s²

【解析】：72km/hr＝72000/3600＝20m/s (10m/s＝36km/hr)

a＝20/20＝1m/s² 範例

02

：

【解答】：0 km/hr，8km/hr

【解析】：假設一趟路程為 L，則上山所花的時間=L/6，下山所花的時間= L /12 (1)總位移=_0，平均速度=

位位位位移移移移

時時時時間間間間

^{= 0} (2)總路徑長=2L，平均速率=

路徑長

總時間

=2 L /( L /6+ L /12)=8

範例

03

：

【解答】：(C)(D)

【解析】：

(A)無關， v

a t

=∆

∆

(B) x

v t

=∆

∆

範例

04

：

【解答】：(A)(B)(C)(D)

範例

05

：

【解答】：(1)4 (2)25 (3)1 或 9

【解析】：(1)國中程度的題目，熱身題，高中不太會考！

v＝v_o+at＝10+(的2)3=4

(2)因初速與加速度反向，所以經過一段時間後，物體會轉向，故有最大位移！

最大位移發生在轉向瞬間，即速度=0 時。

1 2

0 10 ( 2) , 5 10 5 ( 2)5 25

= + − t t= ⇒ =S i +2 − = (3)你可以判斷此題有幾個解嗎？

2 2

9 10 1( 2) 10 9 0, 1 or t=9

= it+2 − t ⇒t − t+ = t =

(9)

A 1 B 3 C

0 1 2

範例

06

：

【解答】：d² ₂d¹ t

−

【解析】：

解法一

2 1

2

1 2

(2 ) 1 (2 ) 2

o

d v t at

d d v t a t



= +

 



₊ ₌ ₊



解得 d² ₂d¹

a t

= −

解法二

範例

07

：

【解答】：(C)

【解析】：設火車中點通過的速率為 x；火車全長為 L，利用運動學第三公式：

2 2

2 2 ( ) 2

2

v u aL

u v

L x

x u a

 = +

+

 ⇒ =

 = +



範例

08

：

【解答】：(1)

2 2

2 3 u +v

(2) 2L u+v

【解析】：(1) 設所求速率為 x；火車全長為 L

2 2

2 ( ) 3 3

v u aL

u v

L x

x u a

 = +

+

 ⇒ =

 = +



(2)代 4^th公式：

0

2 2

v v

s t

u v L

L t t

= + ⋅

= + ∴ =

+

A d¹ B d² C 0 t 2t

d

¹

d

²

A B C A d

¹

B d

²

C

0 t 2t A d

¹

B d

²

C

0 1 2

2 1

2

d d

t t

a t t

− −

= =

(10)

範例

09

：

【解答】：1. 3 : 5 2. 1 : 1

【解析】：

2 2 2

1 2

1. 0 2 : 1: 4

: 4 1: 4 1 3 : 5 2. : 1:1

v aS S v

S S x x l

= + ∴ ∝

=

⇒ ∆ ∆ = − + =

∆ ∆ = ℓ

範例

10

：

【解答】：(C)(F)(H)

【解析】：在真空中，物體的著地時間、著地速度與質量無關。其加速度為解力加速度，

也與質量無關。但所受解力(W=mg)與質量成正比。

範例

11

：

【解答】：(A)(E)

【解析】：石塊在空中運動不論速度的大小和方向為何，加速度都是解力加速度，

恆為定值。

範例

12

：

【改錯題】： 10 2

2

20= 1⋅ ⋅t² ⇒t = 到底錯在哪裡呢？單位

【解答】：

(B)

【解析】：小華的反應時間，即尺下落 20 公解的時間，代入等加速度運動第二公

式： 1 ² 1 ²

0.2 10 0.2

2 2

S = at ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =t t 秒

範例

13

：

【解答】：(E)

【解析】：

【解法一】：

入水時間+聲音上傳時間=3 秒

^下落距離=聲速×聲音上傳時間

) 3 ( 2 330

1 2 330

1

3

1 2

2 1 2 1

t t gt

gt t t

−

=

⇒







=

= +

5 2

) 990 ( 5 4 330 0 330

990 330

5

2 1

1 2

1 ×

−

⋅

−

±

= −

= ⇒

−

+ t t

t

【解法二】：聲速比物體的速度快很多，故將 3 秒全部視為自由落體之時間

45 3 2 10 gt 1 2

S=1 ² ≅ × × ² =

t1 t2

(11)

範例

14

：

【解答】：(1) 1:4:9 (2) 1:3:5

【解析】：

(1)前 t 秒的位移： 1 ²

o 2 S=v t+ at

if vo=0 1 ² S =2at (2)第 t 秒的位移：

2 2

1

1 1 1

( ) [ ( 1) ( 1) ] (2 1)

2 2 2

th t t o o o

St =S −S₋ = v t+ at − v t− + a t− =v + a t− if vo=0 1

(2 1)

th 2

St = a t−

範例

15

：

【解答】：9

【解析】：

【解法二】： 6 8 10 12 4 9 /

v + + + m s

= =

【解法三】： 8 10 _0~4 ₂ 2 9 /m s v v

+ = = =

0.5 6 , 1.5 8 a=2 / , 0 5 /

v = v = ⇒ m s v = m s

範例

16

：

【解答】：1.(B) 2.(E)

【解析】：(1) 12.2/1＝12.2＝ v_5.5 13.8/1＝13.8＝v_9.5 a＝(13.8的12.2)/4＝0.4 (2) v＝v₀+at 10m/s 範例

17

：

【解答】：(D)

【解析】：

【解法二】： 8

81 72 h= × =9 cm

【解法三】：feeling

(12)

範例

18

：

【解答】：1.(D) 2. 30.625m

【解析】： 1.【解法一】：

2 2

2

1 1

( 1) 2 2 3

1 4

2

3 8 4 0, t=2 or t=2( ) 3

h=1 9.8 2 19.6 2

⋅ ⋅ − ⋅ −

=

− + =

∴ ⋅ ⋅ =

不合

g t g t

gt

t t

【解法二】：

2 1 2

S :S : =1:3: 2 h=1 9.8 2 19.6

⇒ = 2× × =

⋯ ⋯ t s m

2.

2 2

2

1 1

( 1) 2 2 16

1 25

2

5 5

16 50 25 0, t= or t= ( )

2 8

1 5

h= 9.8 ( ) 30.625

2 2

⋅ ⋅ − ⋅ −

=

− + =

∴ ⋅ ⋅ =

不合

g t g t

gt

t t

範例

19

：

【解答】：(a)19.6 公尺 (b)2.00 秒

【解析】：(a)從運動學第三公式

v

²

= v

_o²

+ 2 aS

(19.6)² =2×9.8×H⇒H=19.6公尺

(b)運動學第一公式 0=19.6−gt⇒t=2秒

範例

20

：

【解答】：(1) 10m/s (向下) (2) 8m/s(向上) (3)1800m/s²(向上)

【解析】：(1)v² = −2( 10)( 5)− ⇒ =v 10↓ (2)v² = −2( 10)( 3.2)− ⇒ = ↑ v 8 (3) 8 ( 10)

0.01 1800 a v

t

∆ − −

= = = ↑

∆

(13)

範例

21

：

【解答】：(B)

【解析】：目前共有 3 個未知數：H 、 t、 u(達一半高度時的速率)，我們有 3 個方程式，所以一定解得出來。問題在於，怎樣解 t 才會比較快！

因為只有(1)與(2)才有 t，所以應該從(1)與(2)著手！

將物理量代入(1)：

u = + − v ( g t )

但 u 未知，再引入運動的對稱性：

2 2

0 2 ,

2

v

= +

g H

⇒

v

∝

H u

=

v

1 1 ( ) 2

2 −

= + − ⇒ =

v v

v v g t t

g 若將物理量代入(2)： = + 1 ²

2 2(- )

H vt g t

，但 H 未知。

從拋出算到最高點

2

2 2

0 2( )

2 v g H H v

= + − ⇒ = g

代回上式

= − ⇒ − + =

2 2

1 1

4 2 2 4 0

v v

vt gt gt vt

g g

解 t 的一元二次方程式，直接代公式解：

2

2 4(1 )( ) 2

2 4 2

v v g v g v v

t g g

± − ±

= =

Wow! 怎麼會跑出兩個答案！

範例

22

：

【解答】：96m

【解析】： 1 ²

32 12 ( 10)

t 2 t

− = + −

5t2−12t−32= 0

5 8

1 -4

→ t = 4 或-1.6

1 2

12 4 2 4 64 2

32 64 96 S

H

= × + × × =

= + =

v

u

v

H

H/2

(14)

範例

23

：

【解答】：1.(B) 2. ₁ ₂ 1 ¹ ² ² 1 _{1 2} (1) (2) ( ) (3)

2 2 2

+ t +t

t t g gt t 3. ⁰

1 2

2 +

v t t

【解析】：1. 3+2=5

2. ₁ ₂ 1 ¹ ² ² 1 ² ¹ ² 1 _{1 2}

(1) (2) ( ) (3) ( ) ,

2 2 2 2 2

t t t t

T t t H g + h g − x H h gt t

= + = = = − =

3. ⁰ ⁰

1 2 1 2

0 2

2

v v

a v

t t

t t t

− −

= ∆ = =

∆ + +

範例

24

：

【解答】：1

【解析】：已知 H、v₀，要求 t，代第 2 公式！

2

9.8 4.9 1( 9.8) 2

2 0, ( 2)( 1) 0 1 2

t t

t t t t t

− = − + −

+ − = + − = → = 或−

【若改以 v₀^＝4.9m/s 上拋，則？】：

2

9.8 4.9 1( 9.8) 2

2 0, ( 2)( 1) 0, 2

t t

t t t t t

− = + + −

− − = − + = = 或-1

【進階思考】：(1) 11.025 m (2) 14.7m/s 1 ²

1.5 , 1.5 H = 2gi v=gi

範例

25

：

【解答】：1. 2 sin cos

θ θ

d

g 2. 2 ₂ sin

θ

h g

【解析】：由運動學第(2)公式：

1. 1 ² 2

( sin )

cos 2 sin cos

d d

g t t

θ

g

θ θ θ

− = − ⇒ =

2. 觀念：不能說鉛直做自由落體, 所以著地時間一樣

2

1 2

( sin )

sin 2 sin

h h

g t t

θ

g

θ θ

− = − ⇒ =

h

h s i n θ

h

θ

(15)

範例

26

：

【解答】： 4R g

【解析】： 1 ²

2 sin ( sin )

R

θ

2 g

θ

t

− = −

4R 2 2R

t g g

⇒ = = ×

範例

27

：

【解答】：9

【解析】：從「24 公尺的光滑斜面頂端由靜止下滑，經 4 秒到達斜面底部」可求

出加速度：運動學第二公式 1 ²

24 4 3

2 a a

= × × ⇒ = (此題因無角度，

故與 a=gsin

θ

無關)

「以初速v 沿斜面上滑，經_o 6 秒後又滑回斜面底部」表示 3 秒達最高點

運動學第一公式 0= v_o − × ⇒3 3 v_o = 9

※

很多人會用第二公式 1 ²

24 3 3 3

o 2

=v × − × × 這是錯誤的解法，因為

「以初速v 沿斜面上滑」並不會上滑_o 24 公尺

範例

28

：

【解答】：1. (1)1

2g (2) 4L

g 2. (1)2:1 (2)1:1

【解析】：1. (1) 1

sin 30 2

a=g o = g (2) 1 1 ² 4 ( )

2 2 ^A ^A

L g t t L

− = − ⇒ = g

2. 自由落體

2 1 2

B

L L

t g g

×

= = ， 2

1

A B

t t =

2

2 1 2 2 1

2

1 ( )

2 2

= × × =

= ⇒ =

A

B

v g L gL

mv mg L v gL

θ 2Rsinθ

2R

gsinθ g

(16)

範例

29

：

【解答】：1. 48s 2. 80s

【解析】：

2

1 1 2

1 2 1 2 1

1. 120 , 80= L 48 120 80

2. 60 , 120 2 80 60 120

L L L

L L s

v v v v

L L L L

L L s

v v v v v

= ⇒ = =

+ +

= = ⇒ = =

+ − +

範例

30

：

【解答】：2v_ot

【解析】：

【

解法一】：相對速度 2v_o

，

故 t 時間後相距 2v_ot

【解法二】：SA=

＋

vot

－

2

1gt² SB=

－

vot

－

2

1gt² 距離差 = SA

－

SB = 2vot

範例

31

：

【解答】：(a)

ooo o

h hh h vvv

v (b) ghghghgh 222

2 (c) v₀

>

gh (d) v₀

=

gh (e) ₀

2 < <

gh v gh

(a)【解法一】： 1 ² 1 ²

2 2(- )

A B o

o

S S h gt v t g t h t h

+ = ⇒ + + = ⇒ =v

【解法二】：A 有__g

↓

___，B 有___g

↓

___，就等於 A、B 都沒有加速度。即，A、B 的相對加速度=___0___，表示 A 看 B 做____等速率_____運動故，

相遇時間 t =

o

h v h=20 0 10 h=20 10 10 h=20 20 20 h=20 1 2 (b)~(e):(略，見講義)

(17)

範例

32

：

【解答】：(1) 1.5 小時 (2)45 公里

【解析】：

1 2

(1) 1. 60 20 20 60 1.5 2. t=60 1.5

40

(2) 30 1.5 45

s s t t t hr

hr

s km

+ = + = ∴ =

=

= × =

範例

33

：

【解答】：(1) 否 (2)7 公尺

【解析】：

【解題思路】：看人、車速率相等時，此為一轉捩點，若人還沒追到車，此後車速>人速，此時應該等下一班

Step1：先算何時人、車速率相等 6=1t, t=6 Step2：此時人跑了：6×6=36

車子走了：1 ² 1 6 18 2× × =

人與車之間的距離：(18+25)-36=7

範例

34

：

【解答】：(1)14 秒 (2)不行

【解析】：

2

1 1 5 28 2

10 56 0 4

-14

t t

× × − =

− − =

v＝at＝1×14＝14m/s＝50.4km/hr

範例

35

：

【解答】：

2

1 2

( )

2

− v v

d

【解析】：

【解法二】：

2

2 2 1 2

1 2

( )

0 ( ) 2

2 v v

v v ad a

d

= − − ⇒ = −

25 18

36

(18)

x

v

a

t

t a

4 2 6

+4

-16

範例

36

：

【解答】：(1)(略) (2) t₂

【解析】：

範例

37

：

【解答】：(B)(C)(E)（嚴格說來(A)不可能,但一般考試不選 A）

【解析】：

不可能切線斜率無限大(即 v 無限大)

不可能同時在不同 x

範例

38

：

【解答】：(1) 9m, 9/7 m/s (2)21m, 3m/s (3)2m/s² (4)12m

【解析】：(1)15的6=9 v=9/7 (2)15+6=21 v=21/7=3 (3)6/3=2 (4)x=x₀+S=3+9=12

範例

39

：

【解答】：-7m/s

【解析】：

∆

v=4的16=的12

v＝v₀＋

∆

v＝5的12＝的7 if v₀＝20

v＝v ＋

∆

v＝20的12＝8

t1 t2

t₃

t2時最高

t

(19)

範例

40

：

【解答】：(B)

【解析】：到底要畫哪一種圖呢？ v-t 圖，why?

【解法一】：

1

1 2 1 2

2

2 : 2 :1 2 1

1 2 1

t t

a t a t t t

t t t t t t

t t

 =

⋅ = ⋅ = 

 ⇒ ⇒ +

  

+ = + =

   = +

距離＝

△

面積＝1 1 2 1 ²

( )

2×底高× = × × ×2 t a 3t =3at

【解法二】：

【博文數學】：斜率的定義= y

x

=∆

∆ 鉛直變化水平變化

1 2 1 2

2 3 3

s t a t at

= × × × =

 

【解法三】：

2 2

6 1 1

9 2 3

s= × at = at

【解法四】：

2 2

1 2 1

2 2 3

a a

t at

a a

× =

+

範例

41

：

【解答】：(1)

αβ

α β

+ t (2) 1 ² 2

αβ α β

+ t

【解析】：【一般解與公式推導】

1

1 2 1 2

2

: : t t

t t t t

t t t t t t

t t

β

α β β α α β

α α β

 =

⋅ = ⋅ =  +

  

⇒ ⇒

  

+ = + =

   =

 +



故，途中最大速率由左側算v

α

t₁

αβ

t

= ⋅ =

α β

+ 由右側算 v

β

t₂

αβ

t

= ⋅ =

α β

+ 故，距離=

△

面積

=1 1 1 ²

2 2 t

αβ

t 2

αβ

t

α β α β

× × = × × =

+ +

底高

a

t ₁ t ₂

t

v -2a

(20)

範例

42

：

【解答】：13:9

【解析】：到底要畫哪一種圖呢？ v-t 圖，why?

V d V T d

=T ∴ × = 的的的的的的

3 13

9 9 9

Max

v × =T d + +d d = d的的的的

^/

⁼ ¹³ 9 vMax

V =

範例

43

：

【解答】：65

【解析】：先畫圖瞭解題意：「乙火車尾端超過甲火車頭」表示乙要比甲多走 400 公尺乙的速度變化解成兩段：第一段先增至 60m/s，因加速度=2m/s²，故需 30 秒

先看 30 秒：乙走 2 30 900 2

1 ₂

=

×

× (公尺)

甲走 30×40=1200(公尺) 尚未達到「乙要比甲多走 400 公尺」

假設再需 t 秒，乙追上：

(900＋60t) 的 (1200＋40t)＝400 解得 t＝35 故共需(30+35)=65 秒

範例

44

：

【解答】：4

【解析】：(略，見講義)

範例

45

：

【解答】：1

【解析】：

1

1 1 1 ... 2 1

2 4 8 1 1

1 2 a

+ + + = r = =

− −

1/9

t

₃

t

2

t

₁

3/9 1/9

t

₃

t

2

t

₁

5/9 3/9

(21)

範例

46

：

【解答】：4

【解析】：

切點 (1,1) (2,4) (3,9) (4,16) (5,25)

切線斜率 2 4 6 8 10

範例

47

：

【解答】：2t+2, 2, 等加速度

【解析】：

2

0

2 3

lim 2 2

lim 2

( )

∆ →

= + +

= ∆ = = +

∆

= ∆ = =

∆ 等加速度

t

x t t

x dx

v t

t dt v dv

a t dt

範例

48

：

【解答】：3t² +2t+2, 6t+2, 變加速度

【解析】：

3 2 2 2 6 2

( )

v t t

a t

= + +

= + 變加速度

範例

49

：

【解答】：2, 等加速度

【解析】：v=2t+ 3 a=2

3. 瞬時速率(instantaneous speed)與瞬時速度(instantaneous velocity)何者較大？相等

第一章

010103

1. 平常講的超『速』 ，是指那一個『速』？瞬時速率

2. 平均速率與平均速度(average velocity)何者較大？平均速率

3. 瞬時速率(instantaneous speed)與瞬時速度(instantaneous velocity)何者較大？相等

加速度 加速度 加速度 加速度(acceleration)

Part I

第 1 秒 第 2 秒 第 3 秒 第 4 秒 第 5 秒 加速度

甲 5 m/s 5 5 5 5 …………

乙 1 2 3 4 5 …………

丙 4 7 10 13 16 …………

丁 11 9 7 5 3 …………

結論

1. 何謂 g=9.8m/s

？ 因重力的影響每秒速度增加 9.8m/s

3. 一汽車的加速度(acceleration)為 3km/hr·s，意義為何？ 每秒增加時速

加速度 加速度 加速度 加速度(acceleration)

Part II

第 1 秒 第 2 秒 第 3 秒 第 4 秒 第 5 秒 加速度

A 1 3 5 7 9 …………

B 9 7 5 3 1 …………

C 的1 的3 的5 的7 的9 …………

D 的9 的7 的5 的3 的1 …………

結論 速度與加速度的方向

運動學 運動學 運動學 運動學(kinematics)(3+1)基本公式 基本公式 基本公式 基本公式

【

【 【

【等加速度運動 等加速度運動 等加速度運動 等加速度運動（ （ （ （uniformly accelerated motion）】 ）】 ）】 ）】

推導與證明 推導與證明 推導與證明 推導與證明

直線拋體運動 直線拋體運動 直線拋體運動 直線拋體運動(1):自由落體 自由落體 自由落體 自由落體

1

2

直線拋體運動 直線拋體運動 直線拋體運動 直線拋體運動(2):鉛直上拋 鉛直上拋 鉛直上拋 鉛直上拋

1

2

3

1

2

3

距 距 距 距離中點 離中點 離中點 離中點 vs 時間中點 時間中點 時間中點 時間中點

相對運動公式 相對運動公式 相對運動公式 相對運動公式

亦可推廣到平面上的運動 亦可推廣到平面上的運動 亦可推廣到平面上的運動)

∆

∆

理論推導 理論推導 理論推導 理論推導 Part I

∆

∆

P.52

x xx

x

t tt t 圖、 圖、 圖、 圖、v vv v

t tt t 圖、 圖、 圖、 圖、a aa a

t tt t 圖總整理 圖總整理 圖總整理 圖總整理

∆

∆

∆

∆

x、 、 、 、v、 、 、a 三者關係之 、 三者關係之 三者關係之 三者關係之

求斜率 求斜率 求斜率 求斜率(slope)

___微分

微分 微分 微分 微分(differentiation)基本觀念 基本觀念 基本觀念 基本觀念

v

v(t)

a

a(t)

lim '

x

dt dx t

x

= =

∆

∆

x

= nx

dx

d

3 =

7 =

第一章 詳解

1. 平常講的超『速』，是指那一個『速』？瞬時速率

加速度加速度加速度加速度(acceleration)

第 1 秒第 2 秒第 3 秒第 4 秒第 5 秒加速度

？因重力的影響每秒速度增加 9.8m/s

3. 一汽車的加速度(acceleration)為 3km/hr·s，意義為何？每秒增加時速

加速度加速度加速度加速度(acceleration)

第 1 秒第 2 秒第 3 秒第 4 秒第 5 秒加速度

結論速度與加速度的方向

運動學運動學運動學運動學(kinematics)(3+1)基本公式基本公式基本公式基本公式

【【

【等加速度運動等加速度運動等加速度運動等加速度運動（（（（uniformly accelerated motion）】）】）】）】

推導與證明推導與證明推導與證明推導與證明

直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動(1):自由落體自由落體自由落體自由落體

直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動直線拋體運動(2):鉛直上拋鉛直上拋鉛直上拋鉛直上拋

距距距距離中點離中點離中點離中點 vs 時間中點時間中點時間中點時間中點

相對運動公式相對運動公式相對運動公式相對運動公式

亦可推廣到平面上的運動亦可推廣到平面上的運動亦可推廣到平面上的運動)

理論推導理論推導理論推導理論推導 Part I

t tt t 圖、圖、圖、圖、v vv v

t tt t 圖、圖、圖、圖、a aa a

t tt t 圖總整理圖總整理圖總整理圖總整理

x、、、、v、、、a 三者關係之、三者關係之三者關係之三者關係之

求斜率求斜率求斜率求斜率(slope)

微分微分微分微分(differentiation)基本觀念基本觀念基本觀念基本觀念

第一章詳解

位位位位移移移移

時時時時間間間間

【解答】：