第2章 一元函数微分学

第2章 一元函数微分学

• §2.1 导数的概念

• §2.2 导数的运算法则与基本公式

• §2.3 高阶导数

• §2.4 微分及其计算

• §2.5 中值定理 罗比塔法则

• §2.6 函数的单调性与极值

• §2.7 微分在经济中的应用

α ^ϕ

T

x

x

o x

y

) ( x f y =

C

N

如图, 如果割线MN绕点M旋 M 转而趋向极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在点M处的 切线.

极限位置即

. 0 ,

0

→ NMT

MN 设 M

(

,

),

(

,

).

割线MN的斜率为

0

tan

x x

y y

−

= −

ϕ

( ) ( ) ,

0 0

x x

x f x

f

−

= −

,

,

N ^沿曲线 →^C →

) (

)

(

f −

= α

= 切线问题

§2.1 导数概念

2.1.1 导数概念的实例

2.1.2 导数的定义

, ),

( ,

) (

, )

(

, 0

);

( )

(

, )

( ,

) (

0 0

0 0

0 0

0

0

0

x

y

x f

x x

f y

x x

f y

x x

y x

f x

x f y

y x

x

x x

x

x x

f y

′ =

= ′

=

→

∆

∆

∆

−

∆ +

=

∆

∆ +

∆

=

记为 处的导数

在点 数

并称这个极限为函 处可导

在点

则称函数 时的极限存在

之比当

与 如果

得增量

取 相应地函数

时 仍在该邻域内

点 处取得增量

在 当自变量

有定义

的某个邻域内 在点

设函数 定义2.1

) . (

) lim (

)

(

0 0

h

x f h

x x f

f

−

= +

′ →

其它形式

) . (

) lim (

) (

0 0 0

0

x x

x f x

x f

f

= −

′ →

x

x f

x x

f x

x y

f

−

∆

= +

∆

= ∆

′ ∆ → ∆ →

) (

) lim (

lim )

(

0 0 0

) , (

0

0 x x

x

x

dx

x df

dx dy

=

= 或

即

) ,

0 ,

(

x

x

x

x

x

x

x

x f x

x y f

x ∆

−

∆

= +

′ ∆ →

) ( )

lim (

0

即

) . ( )

lim ( )

(

h

x f h

x x f

f

−

= +

′ →

或

注:

1 . ( ) ( ) .

0

f x

x

f

★

2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率

) .

), ( (

,

. )

( .

) ( ,

dx x df dx

x dy f

y

x f x

f I

x

或 记作

的导函数 这个函数叫做原来函数

导数值

的一个确定的 都对应着

对于任一

′

′

∈

例1 ( ) sin , (sin ) (sin ) .

4

=π

′

= ′

x

x x

x x

f

设函数 解

★

2.右导数:

定义2.3 单侧导数

1.左导数:

); (

) lim (

) (

) lim (

)

( ^{0 0}

0 0 0 0

0 x

x f x

x f x

x

x f x

x f f

x x

x ∆

−

∆

= +

−

= −

′ → − ∆ → −

−

); ( )

lim ( )

( )

lim ( )

( ^{0 0}

0 0 0 0

0 x

x f x

x f x

x

x f x

x f f

x x

x ∆

−

∆

= +

−

= −

′ → + ∆ → +

+

函数 f ( x)在点 x 处可导₀ ⇔左导数 f₋′(x₀ )和右导 数 f₊′(x₀ )都存在且相等.

★

★ ^{如果 f}

^{( x )}

( )

^{(a )}

′ 都存在，就说 在闭区间[ ]^上可导.

例2 讨论函数

f

x

x

x

定理 2.1

证 设函数

f

x

x

)

(

lim

0

f x

x y

x

= ′

∆

∆

→

∆

0

0 0

0

0 ⋅∆ = ′ ⋅ =

∆

= ∆

∆ ∆ →

→

∆lim lim

x f

x

x

y y

x x

. )

(

函数

f x x

∴

注: 连续是可导的必要非充分条件，即连续 函数并不一定可导，但不连续函数必不可导.

. )

( ,

)

(

若

f x x

f x x

2.1.3 可导与连续的关系

2.1.4 导数的几何意义

o x

y

) ( x f y =

α

T

x0

M

1.几何意义

) (

, tan )

(

,

)) (

, (

) ( )

(

0

0 0

0

为倾角 即

切线的斜率

处的 在点

表示曲线

α α

′ =

′ =

x f

x f

x M

x f

y x

f

切线方程为 法线方程为

).

)(

(

0

f x x x

y

y

).

) ( (

1

0

0

x x

x y f

y −

− ′

=

−

例7

. ,

) 2 2 , ( 1 1

方程和法线方程 并写出在该点处的切线

斜率

处的切线的 在点

求等边双曲线

y

x

解

2.2.1 导数的四则运算法则

性质 如果函数

f ( x ), g ( x )

x

,

).

) ( ) (

(

) ( )

( )

( ) ] (

) (

) [ (

) (

);

( )

( )

( ) ( ]

) ( )

( [ ) (

);

( )

( ]

) ( )

( [ ) (

) )(

( ]

) ( )[

(

0 4

3 2 1

2

− ′ ≠

= ′

′

+ ′

= ′

⋅ ′

± ′

= ′

± ′

= ′

′

x x g

g

x g

x f x

g x f

x g

x f

x g

x f x

g x f

x g x

f

x g

x f

x g x

f

C x

f C x

Cf 为常数

§2.2 导数的运算法则与基本公式

定理2.2 (反函数求导法则)

) . ) (

( ,

) ( )

( ),

(

, )

(

x y f

I

y x

x f

y x

I x

f y

y

x

= ′

′

=

′ ≠

=

=

1 0

ϕ

ϕ ϕ

且有 可导

在对应区间

时，

当 则它有反函数

内严格单调且可导 在

设函数

即 反函数的导数等于原函数导数的倒数.

例1 求函数

y

x

2.2.2 导数的基本公式

x x

x

x x

x x

C

tan sec

) (sec

sec )

(tan

cos )

(sin

0 )

(

2

′ =

′ =

′ =

′ =

x x

x

x x

x x

x x

cot csc

) (csc

csc )

(cot

sin )

(cos ) (

2 1

−

′ =

−

′ =

−

′ =

′ = ^µ−

µ

µ

a x x

a a

a

a

x x

ln ) 1

(log

ln )

(

′ =

′ =

x x

e e^{x x}

) 1 (ln

) (

′ =

′ =

2

) 1 (arctan

1 ) 1

(arcsin x

x x

′ =

= −

′

2 2

1 ) 1

cot (

1 ) 1

(arccos

x x x x

− +

′ =

− −

′ = arc

例2 求

y

x

x

x

例3 解

. sec 的导数 求

y

x

例4 求函数

y

a

ln x

.

).

1 ( ),

100 (

) 2 )(

1 (

)

(

x x x x x f

f

设 

例5 解

定理2.3

).

( )]

( [ )

( )

( ,

)]

( [ ,

) (

) ( ,

) (

0 0

0 0

0

0 0

0

0 f u g x f g x g x

dx dy x

x g f y

x g u

u f y

x x

g u

x

x = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ ′

=

=

=

=

=

且其导数为 可导

在点 则复合函数

可导 在点

而 可导

在点 如果函数

即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

{

^{f [ g ( x )]}

^{f [ g ( x )] g ( x ).}

dx

dy

2.2.3 复合函数求导法则

例6 解

. )

1

( ^{2 10} 的导数 求函数

y

推广 设

y

f ( u ), u

ϕ ( v ), v

ψ ( x ),

.

)]}

( [ { dx dv dv

du du

dy dx

dy

x f

y

⋅

⋅

=

= 的导数为

则复合函数

ϕ ψ

例7 解

.

sin1

的导数 求函数

y

e

. )

2 2 (

ln

1

2

的导数 求函数 >

−

= +

x x

y x

解

. )

( ( )

(

求函数 1 2 0

1

>

+

=

x x

y

例9 解

及复杂的乘除式 适用于幂指函数

y

u

x

) ) ( (ln )

) ( (ln

) ( ln ln

) (

= ′

⇒ ′

= ′

′

⇒

=

⇒

=

x f y

y x

y f y

x f y

x f : y

对数求导法则

2.2.4 隐函数的导数

定义:由方程所确定的函数

y

y ( x )

.

. )

(

x

f

y

0 )

,

(

x y

F y

f

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例10

. ,

0

=0

= +

−

x

y x

dx dy dx

y dy

e e

xy

所确定的隐函数 求由方程

解

2.2.5 由参数方程所确定的函数的导数

. ) ,

( ) (

定的函数 称此为由参数方程所确

间的函数关系 与

确定

若参数方程 y x

t y

t x

 



=

= ψ

ϕ

例如 

=

=

, , 2 t

y

t x

2 t

x

2

2

)

( 2 x t

y

∴

4

x

=

y x

2

=

1

∴ ′

消去参数

问题: 消参困难或无法消参如何求导?

t

), (

)

( t t

x

x

)]

( [

x y

∴ ψ ϕ

, 0 )

( ,

) ( ),

(

=

t y t t

x

再设函数

由复合函数及反函数的求导法则得

dx dt dt

dy dx

dy

dt dt dx

dy

1

=

( ) ) (

t t

′

= ′

_.

t t

x y dt

dx dt dy dx

dy

′

= ′ 即 =

) , (

)

( 中

在方程   

ψ

= ϕ

=

t y

t

x

例11

. cos

2 sin

dx dy t

e y

t e

x

t t

，求 设曲线的方程是





=

=

解

2.2.6 分段函数求导

例12 ^{, ( ).}

0 ),

1 ln(

0 ) ,

( f x

x x

x x x

f ′





≥ +

= < 求

设

导

.

）在分段点

（

求导；

用导数公式与运算法则

）在各个部分区间内，

（ 2 0

1

x

解

问题:变速直线运动的加速度.

), (t

f s

设 则瞬时速度为

v ( t )

f

( t )

是速度

加速度

a v t



. ] ) ( [

) ( )

( = ′ = ′ ′

∴

a t v t f t

. )

( )

) ( (

,

) ( )

lim ( )

) ( (

, )

( )

(

0

处的二阶导数 在点

为函数 则称

存在

即 处可导 在点

的导数 如果函数

x x

f x

f

x

x f

x x

x f f

x x

f x

f

x

′

′

∆

− ′

∆

′ +

′ =

′

′

→

∆

§2.3 高阶导数

记作

( ) . ,

),

(

2 2

2

dx x f d dx

y y d

x

f

记作 阶导数

的 函数

阶导数的导数称为 的

函数 一般地

, )

(

1 )

( ,

n x

f

n x

f

) . , (

),

(

) (

n n

n n n

n

dx x f d dx

y y d

x

f

三阶导数的导数称为四阶导数,

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

. )

(

; )

(

, 称为零阶导数 称为一阶导数 相应地

f x f

x

. ,

),

( ₃

3

dx y y d

x

f ′′′ ′′′

二阶导数的导数称为三阶导数,

. ,

),

( ₄

4 )

4 ( )

4 (

dx y y d

x f

例1 设

y

x

f

f

解

§2.4 函数的微分

定义2.5

. ),

(

, )

(

, )

(

), (

) (

) (

) (

,

, )

(

0

0 0

0 0

0 0

0 0

x A

dy x

df dy

x x

x f y

x A

x x

f y

x A

x o

x A

x f x

x f y

x x

x

x f y

x x x

x = ⋅ ∆

∆

=

∆

⋅

=

∆

∆ +

∆

⋅

=

−

∆ +

=

∆

∆ +

=

=

= 或 即

记作

的微分 相应于自变量增量

在点

为函数 并且称

可微 在点

则称函数 无关的常数

是与 其中

成立

如果 在这区间内

及

在某区间内有定义 设函数

的线性主部

.

微分

dy

y

2.4.1 微分的概念

例1 解

. 02

. 0 ,

3 当

2

求函数

y

x x

x

".

"

.

该函数的导数

之商等于 与自变量的微分

即函数的微分

dy dx

2.4.2 微分的几何意义及其在近似 计算的应用

) ( x f y =

x0 M

N

T

dy ∆y

) ( x o ∆

）

x y

o ^α

∆x

几何意义:(如图)

. , 对应的增量

就是切线纵坐标 坐标增量时

是曲线的纵 当

dy

∆

y

x x₀ + ∆

P

.

, y dy

x

∆ 很小时 当

; )

(

f x x

x

) (

)

( x

x f x

f

y

∆ ≈

f

( x

)

x . .

) (

) (

)

( x

x f x

f x

x

f + ∆ ≈ + ′ ⋅ ∆

例2 计算cos60^o30′的近似值. 解

计算函数的近似值

2.4.3 微分运算法则

dx x

f

dy = ′ ( )

求法:

1.基本初等函数的微分公式

xdx x

x d

xdx x

x d

xdx x

d xdx

x d

xdx x

d xdx

x d

dx x

x d C

d

cot csc

) (csc tan

sec )

(sec

csc )

(cot sec

) (tan

sin )

(cos cos

) (sin

) (

0 )

(

2 2

1

−

=

=

−

=

=

−

=

=

µ

=

= ^{µ µ−}

. )

( ),

( x dy f x dx

f

先求

x dx x

d x dx

x d

x dx x

d x dx

x d

x dx x

d a dx

x x d

dx e

e d adx

a a

d

a

x x

x x

2 2

2 2

1 ) 1

cot 1 (

) 1 (arctan

1 ) 1

(arccos 1

) 1 (arcsin

) 1 ln (ln

) 1 (log

) (

ln )

(

− + + =

=

− −

− =

=

=

=

=

=

2. 函数和、差、积、商的微分法则

) ( )

(

) (

) (

udv vdu

d u udv

vdu uv

d

Cdu Cu

d dv

du v

u d

= − +

=

=

±

=

±

arc

例3 解

. ),

ln( x e

dy

y

设 = +

例4 解

. ,

3 cos

1

x dy

e

y

设 = ⁻

2.4.5 微分形式的不变性

; )

( ,

) 1

( 若

x

dy

f

x dx

则 微函数

的可 即另一变量

是中间变量时 若

), (

, )

2 (

t x

t x

ϕ

=

), (

)

( x f x

f

y

设函数

dt t

x f

dy

)

(

t dt

dx

 ∴

dy

f

x

dx

的微分形式总是

函数 是自变量还是中间变量

无论

) (

, x

f y

x

=

^dy

^f

^{( x ) dx}

例6 解

. ,

sin

bx dy e

y

设 = ⁻ 例5

解

. ),

1 2

sin(

x dy

y

设 = +

如果函数 f ( x)在闭区间 _[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 f (a) = f (b),那末在(a,b)内至少有一点

) (a < ξ < b

ξ ,使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，

即

f

(

)

0

) 1

( (2)

) 3 (

例如,

3 2

)

(

x

x

x

f

x

x

, ]

3 , 1

[ 上连续

在 −

⁽

^{1 , 3 )}

^,

, 0 )

3 ( )

1

(

f

且

f  f ′ ( x ) = 2 ( x − 1 ),

定理2.4 罗尔（Rolle）定理

§2.5 中值定理 罗必塔法则

2.5.1 中值定理

几何解释:

a

b x y

o

) ( x f y =

. , 水平的

在该点处的切线是 点

上至少有一 在曲线弧

C

AB

C

注1: 常用于判别 的零点， 未必连续，

它与零点存在定理有区别.

) ( x

f ′ f ′

( x )

注2:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可 能不成立

例1

. 1

0 1

5 5 的正实根

有且仅有一个小于 证明方程

x

证

例2

. )

1 , 0 ( 0

, 1 0

2

1 0

1 0

内必有实根 在

证明：方程 设

= +

+ +

+ = +

+ +

n n

n

x a x

a a

n a a a





证

) ( )

理当 (

罗尔定理是拉格朗日定 f a = f b

结论亦可写成

如果函数 f(x)在闭区间

[ a , b ]

( a , b )

( a , b )

( a

b )

f ( b )

f ( a )

f

(

)( b

a )

) 1

( (2)

).

) ( ( )

( f ξ

a b

a f b

f

−

−

定理2.5 拉格朗日（Lagrange）中值定理

注：

a

x

b x o

y

) ( x f y =

A

C B

N D M

几何解释:

. ,

AB C

AB 线平行于弦

在该点处的切 一点

上至少有 在曲线弧

推论1

. ,

) ( ,

, 0 )

(

, 则 其中 为常数

若 ∀ x ∈ I f ′ x ≡ ∀ x ∈ I f x ≡ C C

. )

( )

( ),

( )

( x g x x I f x g x C

f

若

).

(

) ( ),

0 )

( (

0 )

( ,

严减 上严增

在

则 若

I

x f x

f x

f I

x

∀ 推论2

推论3