2020年中考数学压轴题专题06《一次函数的应用问题》

专题

06 一次函数的应用问题

【典例分析】 【考点_{1】行程问题} 【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米. 甲从小区步 行去学校，出发_{10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立} 即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米. 设甲步行的时间为

x

(分)，图 1 中线段

OA

和折线

B C D

 

分别表示甲、乙离开小区的路程

y

_{(米)与甲步行时间}

x

_{(分)的函数关系的图象；图 2} 表示甲、乙两人之间的距离 s_{(米)与甲步行时间}

x

_{(分)的函数关系的图象(不完整).根据图 1 和图 2 中所给信} 息，解答下列问题： (1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； (2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； (3)在图 2 中，画出当

25

 

x

30

时 s 关于

x

的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) 【变式_{1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李} 的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离

y km

 

与小王的行驶时 间

x h

 

之间的函数关系． 请你根据图象进行探究：

（_{1）小王和小李的速度分别是多少？} （2）求线段

BC

所表示的

y

与

x

之间的函数解析式，并写出自变量

x

的取值范围． 【变式_{1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发} 沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出发 时间_{x(h)之间的函数关系式如图 2 中折线段 CD-DE-EF 所示.} （_{1）小丽和小明骑车的速度各是多少？} （_{2）求 E 点坐标，并解释点的实际意义.} 【考点_{2】方案选择问题} 【例_{2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，} 价格均为6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有_{50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹} 果的数量为

x

kg

(

x 

0)

． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量_{/kg 30 50 150 …} 甲批发店花费_{/元 300 …} 乙批发店花费/元 350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费

y

1_{元，在乙批发店花费}

y

2_{元，分别求}

y

1_，

y

2_关于

x

_{的函数解析式；} （Ⅲ）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买 苹果的数量为____________kg； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为_{120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买} 花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了_{360 元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买}

数量多． 【变式_{2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.} 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费_{40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的} 总费用为_{y1(元)，选择方式二的总费用为 y2(元).} (1)请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题 （_{1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式；} （_{2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．} 【考点_{3】最大利润问题} 【例_{3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低} 于每件_{30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，} 而当销售单价每降低10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为_{x 元，平均月销售量为 y 件．} （_{1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．} （_{2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？} （_{3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？} 【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价 比乙种水果的进价每千克少_{4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的数量相同．} （_{1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？} （_{2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过} 乙种水果数量的_{3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20} 元，乙种水果的销售价定为每千克25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式_{3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50 元的新型玩具，投放市场进行试销售．其} 销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于_{90%，市场调研发现，在一段时间内，每天} 销售数量_{y（个）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图所示：} （_{1）根据图象，直接写出 y 与 x 的函数关系式；}

（_{2）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元} （_{3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？} 【考点4】几何问题 【例_{4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点 (1,0)}B 的直线

l

1_与直线

l

2_：

y



2

x



4

_相交于点

P

( 1, )



a

_. （_{1）求直线}

l

1_{的解析式；} （_{2）求四边形}

PAOC

的面积_. 【 变 式 4-1】（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系

xOy

中 ， 直 线

l

1_{分 别 交}

x

_{轴 和}

y

_{轴 于 点}



3,0 , 0,3

  

A



B

_. (1)如图 1，已知



P

经过点

O

，且与直线

l

1_{相切于点 B ，求}



P

_{的直径长；} (2)如图 2，已知直线

l y

2

:



3

x



3

_分别交

x

_轴和

y

_轴于点

C

_和点

D

_，点

Q

_是直线

l

2_{上的一个动点，以}

Q

_为 圆心，

2 2

为半径画圆_. ①当点

Q

与点

C

重合时，求证: 直线

l

1_与



Q

_相切； ②设



Q

与直线

l

1_相交于

M N

,

_{两点， 连结}

QM QN

,

_{. 问:是否存在这样的点}

Q

_，使得



QMN

_{是等腰直角} 三角形，若存在，求出点

Q

的坐标；若不存在，请说明理由_. 【变式4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系

xOy

中，已知

A

(0 , 2)

，动点 P 在

3

3

y



x

的图像 上运动（不与

O

重合），连接

AP

，过点 P 作

PQ AP



，交

x

轴于点

Q

，连接

AQ

．

（_{1）求线段}

AP

长度的取值范围； （2）试问：点 P 运动过程中，



QAP

是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当



OPQ

为等腰三角形时，求点

Q

的坐标． 【达标训练】 1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有

A B C

, ,

三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从

A

村、 B 村同时 出发前往

C

村，甲乙之间的距离

s km

( )

与骑行时间

t(h)

之间的函数关系如图所示，下列结论：①

A B

,

两村 相距₁₀

km

；②出发_1.25

h

后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行₈

km

；④相遇后，乙又骑行了₁₅

min

或 65

min

时两人相距2

km

．其中正确的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点

A

 

4,4

出发，经

y

轴上的点

C

反射后经过点

B ,

 

10

，则点

C

的坐标是_{( )}

A．

1

0,

2













_B．

4

0,

5













_C．

 

0,1

_D．

 

0,2

3．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点

A

1_、A2_、

A

3_…

A

n_在

x

_轴上，

B

1_、

B

2_、

B

3_…

B

n 在直线

3

3

y



x

上，若

A

1

 

1,0

，且



A B A

1 1 2_、



A B A

2 2 3_…



A B A

n n n1_{都是等边三角形，从左到右的小三} 角形_{(阴影部分)的面积分别记为}

S

1_、S2_、

S

3_…

S

n_．则

S

n_{可表示为( )} A．

2

2n

3

B．

2

2 1n

3

C．

2

2 2n

3

D．

2

2 3n

3

4．（2019·广西中考真题）如图，四边形

ABCD

的顶点坐标分别为

A





4,0 ,

 

B

 

2, 1 ,

    

C

3,0 ,

D

0,3

， 当过点 B 的直线

l

将四边形

ABCD

分成面积相等的两部分时，直线

l

所表示的函数表达式为（ ） A．

11

6

10

5

y



x



B． 2 1 3 3 y  x C．y x 1 D．

5

3

4

2

y



x



5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午 9：00～10：00 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快 件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量

y

（件）与时间

x

（分）之间的函数图象如 图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）

A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30 6．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的 手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发_{2 分钟时，甲也发现自己手机落在公司，} 立刻按原路原速骑车回公司，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速 赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程_{y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲} 手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是_{______米．} 7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从 A，B 两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达 B 地，他们 之间的距离_{s(km)与甲出发的时间 t(h)的关系如图所示，则乙由 B 地到 A 地用了______h．} 8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格．图中

l

1_、

l

2_分 别表示去年、今年水费

y

（元）与用水量

x

（

m

3）之间的关系．小雨家去年用水量为₁₅₀

m

3，若今年用水 量与去年相同，水费将比去年多_____元．

长为_{4 的正方形，点 D 为 AB 的中点，点 P 为 OB 上的一个动点，连接 DP，AP，当点 P 满足 DP+AP 的值} 最小时，直线_{AP 的解析式为_____．} 10．（2019·湖南中考真题）已知点

P x y



0

,

0



_{到直线 y}kx b _{的距离可表示为} 0 0 2

1

kx b y

d

k

 





_{，例如：点} (0,1) 到直线

y



2

x



6

的距离 2

| 2 0 6 1|

₅

1 2

d



  





_{．据此进一步可得两条平行线}

y x



_和y x 4_之 间的距离为_{_______．} 11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的

A B

,

两处同时出 发，都以不变的速度相向而行，图_{1 是甲离开}

A

处后行走的路程

y

（单位：

m

）与行走时

x

（单位：

min

） 的函数图象，图_{2 是甲、乙两人之间的距离（单位：}

m

）与甲行走时间_x（单位:

min

）的函数图象，则

a b

 

_{_____．} 12．（2019·四川中考真题）如图，点 P 是双曲线

C

：

4

y

x



（

x 

0

）上的一点，过点 P 作

x

轴的垂线交直 线

AB

：

1

₂

2

y



x



于点

Q

，连结

OP

， OQ.当点 P 在曲线

C

上运动,且点 P 在

Q

的上方时，△

POQ

面 积的最大值是______.

13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨，每生产 1 吨甲产品可获得利润 0.3 万元，每生产_{1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x（吨），生产甲、乙两种产品获得} 的总利润为_{y（万元）．} （_{1）求 y 与 x 之间的函数表达式；} （_{2）若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要 A 原料 0.5 吨．受市场影响，该厂} 能获得的A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最 大利润． 14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从

A B

,

两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车 继续以原速行驶到 B 地，乙车立即以原速原路返回到 B 地，甲、乙两车距 B 地的路程

y km

 

与各自行驶的 时间

x h

 

之间的关系如图所示． ⑴

m 

________，

n 

________； ⑵求乙车距 B 地的路程

y

关于

x

的函数解析式，并写出自变量

x

的取值范围； ⑶当甲车到达 B 地时，求乙车距 B 地的路程 15. （2019·新疆中考真题）某水果店以每千克 8 元的价格收购苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的 苹果以每千克降价_{4 元销售，全部售完。销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的关系如图所示。请根} 据图象提供的信息完成下列问题： （_{1）降价前苹果的销售单价是} 元_/千克； （_{2）求降价后销售金额 y（元）与销售量 x 千克之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；} （3）该水果店这次销售苹果盈利多少元？

16．（2019·江苏中考真题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上 匀速行驶，途中快车休息1.5 小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为 x 小时，快车行驶的路程为

y

1_千 米，慢车行驶的路程为

y

2_{千米．如图中折线OAEC 表示}

y

1_{与x 之间的函数关系，线段 OD 表示}

y

2_{与x 之} 间的函数关系． 请解答下列问题： （1）求快车和慢车的速度； （_{2）求图中线段 EC 所表示的}

y

1_{与x 之间的函数表达式；} （_{3）线段 OD 与线段 EC 相交于点 F，直接写出点 F 的坐标，并解释点 F 的实际意义．} 17．（2019·吉林中考真题）已知

A

、 B 两地之间有一条_{270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60} 千米_{/时的速度沿此公路从}

A

地匀速开往 B 地，乙车从 B 地沿此公路匀速开往

A

地，两车分别到达目的地后 停止．甲、乙两车相距的路程

y

（千米）与甲车的行驶时间

x

（时）之间的函数关系如图所示． （1）乙车的速度为 千米/时，

a 

，

b 

． （_{2）求甲、乙两车相遇后}

y

与

x

之间的函数关系式． （_{3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程．} 18．（2019·广西中考真题）某校喜迎中华人民共和国成立 70 周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛， 需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有_{50 张，毎袋小红旗有 20} 面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5 元，用 150 元购买贴纸所得袋数与用 200 元购买小红旗所得袋数相同．

（_{1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？} （_{2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2 张，小红旗 1 面．设购买国旗图案贴纸}

a

袋（

a

为正整数）， 则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含

a

的代数式表示． （_{3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8 折优惠．学校按（2）中的配套方案购} 买，共支付

w

元，求

w

关于

a

的函数关系式．现全校有_{1200 名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小} 红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 19．（_{2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6 元，当销售单价定为 8 元时，} 每天可以销售200 件．市场调查反映：销售单价每提高 1 元，日销量将会减少 10 件，物价部门规定：销售 单价不能超过_{12 元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日销量为 y（件），日销售利润为 w（元）．} （_{1）求 y 与 x 的函数关系式．} （_{2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？} （_{3）求日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x 为何值时，日销售利润最大，并求出} 最大利润． 20．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了

6

小时．在加工过程中乙机器因 故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效 率 保 持 不 变 ． 甲 、 乙 两 台 机 器 加 工 零 件 的 总 数

y

（ 个 ） 与 甲 加 工 时 间

（ ）

x h

之 间 的 函 数 图 象 为 折 线

OA AB BC

﹣ ﹣

_{，如图所示．} （_{1）这批零件一共有} 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件； （2）当

3

 

x

6

时，求

y

与

x

之间的函数解析式； （_{3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？} 21．（2019·四川中考真题）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 商品 甲 乙 进价（元/件）

x 

60

x

售价（元_{/件） 200 100} 若用_{360 元购进甲种商品的件数与用 180 元购进乙种商品的件数相同．} （1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共 50 件，其中销售甲种商品为

a

件（a 30），设销售完50 件甲、乙两种 商品的总利润为

w

元，求

w

与

a

之间的函数关系式，并求出

w

的最小值． 22．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两地间的直线公路长为

400

千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从 甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车 仍继续行驶．1 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉 头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离

y

（千米）与轿车所用的时间

x

（小 时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （_{1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；}

t

值为_{_______．} （_{2）求轿车距其出发地的距离}

y

（千米）与所用时间

x

（小时）之间的函数关系式并写出自变量

x

的取值 范围； （_{3）请直接写出货车出发多长时间两车相距}

90

千米． 23．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具 每件利润不能超过_{60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减} 少1 件．设销售单价增加

x

元，每天售出

y

件． （_{1）请写出}

y

与

x

之间的函数表达式； （_2）当

x

为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润_{2250 元？} （3）设超市每天销售这种玩具可获利

w

元，当

x

为多少时

w

最大，最大值是多少？ 24．（2019·浙江中考真题）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量

y

（千瓦时）关于已 行驶路程

x

（千米）的函数图象.

（_{1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶的路程，当}

0

 

x

150

时，求_{1 千瓦} 时的电量汽车能行驶的路程； （_2）当

150

 

x

200

时求

y

关于

x

的函数表达式，并计算当汽车已行驶_{180 千米时，蓄电池的剩余电量.} 25．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路 开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）_{.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入} 口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出 发，沿该公路步行_{25 分钟后到达塔林．离入口处的路程}

y

（米）与时间

x

（分_{)的函数关系如图 2 所示.} （_{1）求第一班车离入口处的路程}

y

（米）与时间

x

（分）的函数表达式_. （_{2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.} （_{3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到} 草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度 不变） 26．（2019·四川中考真题）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只_{B 型节能灯共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元．} （_{1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？} （_{2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3} 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 27．（2019·河南中考真题）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需_{120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．} （_{1）求 A，B 两种奖品的单价；} （_{2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的}

1

3

_{．请设计出最省钱的} 购买方案，并说明理由． 28．（2019·辽宁中考真题）一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16 元、工厂将该产品进行网络批发， 批发单价

y

（元）与一次性批发量

x

（件）（

x

为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

 

1

_直接写出

_y

_与

_x

_{之间所满足的函数关系式，并写出自变量}

_x

_{的取值范围；}

 

2

若一次性批发量不超过

60

件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 29．（2019·湖北中考真题）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/ 千克，若一次购买超过_{5 千克，则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折．设一次购买量为 x 千克，付款金额} 为y 元． （_{1）求 y 关于 x 函数解析式；} （_{2）某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多少元？} 30．（2019·江苏中考真题）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发 这种水果不得少于

100kg

，超过

300kg

时，所有这种水果的批发单价均为_{3 元}

/kg

．图中折线表示批发单 价

y

（元

/kg

）与质量

x kg

 

的函数关系． （1）求图中线段

AB

所在直线的函数表达式； （_{2）小李用 800 元一次可以批发这种水果的质量是多少？} 31．（2019·江苏中考真题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点

A

．甲从中山路上点 B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点

A

出发，沿北京路步行向东匀速直行．设 出发

x

min

时，甲、乙两人与点

A

的距离分别为

y m

1 _、

y m

2 _．已知

y

1_、

y

2_与

x

_{之间的函数关系如图②所} 示．

（_{1）求甲、乙两人的速度；} （_2）当

x

取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 32．（2019·宁夏中考真题）将直角三角板

ABC

按如图1 放置，直角顶点

C

与坐标原点重合，直角边

AC

、

BC

_分别与

x

_轴和

y

_{轴重合，其中}



ABC



30

 ．将此三角板沿

y

轴向下平移，当点 B 平移到原点

O

时运 动停止．设平移的距离为

m

，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 s ， s 关于

m

的函数图象（如 图_{2 所示）与}

m

轴相交于点

P

( 3,0)

，与 s 轴相交于点

Q

． （_{1）试确定三角板}

ABC

的面积； （_{2）求平移前}

AB

边所在直线的解析式； （_{3）求 s 关于}

m

的函数关系式，并写出

Q

点的坐标． 33．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系

xOy

中，点

A

(3,2)

在反比例函数 ( 0) k y x x   的图象 上，点 B 在

OA

的延长线上，

BC x



轴，垂足为

C

，

BC

与反比例函数的图象相交于点

D

，连接

AC

，

AD

． （_{1）求该反比例函数的解析式；} （2）若

3

2

ACD

S





，设点

C

的坐标为 ( ,0)a ，求线段

BD

的长．

34．（2019·湖北中考真题）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看 好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 _{进价（元/}

kg

_{） 售价（元/}

kg

_） 甲

m

₁₆ 乙

n

₁₈ （_{1）该超市购进甲种蔬菜 10}

kg

和乙种蔬菜₅

kg

需要_{170 元；购进甲种蔬菜 6}

kg

和乙种蔬菜₁₀

kg

需要 200 元．求

m

，

n

的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100

kg

进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20

kg

，且不大 于₇₀

kg

．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过₆₀

kg

的部分，当天需要打_{5 折才能售完，乙} 种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额

y

（元）与购进甲种蔬菜的数量

x

（

kg

） 之间的函数关系式，并写出

x

的取值范围； （_{3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额}

y

（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出

2a

元，乙种蔬菜每千克捐出

a

元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于_20%，求

a

的最大值． 35．（2019·湖南中考真题）在一段长为 1000 的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运动员均从 A 点出发进行往返 跑训练．已知乙比甲先出发30 秒钟，甲距 A 点的距离 y（米）与其出发的时间 x（分钟）的函数图象如图 所示，乙的速度是_{150 米分钟，且当乙到达 B 点后立即按原速返回．} （1）当 x 为何值时，两人第一次相遇？ （_{2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．} 36．（2019·湖北中考真题）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批

A

、 B 两种型号的一

体机，经过市场调查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套

A

型一体机的价格多0.6 万元，且用 960 万 元恰好能购买500 套

A

型一体机和200 套 B 型一体机. （_{1）求今年每套}

A

型、 B 型一体机的价格各是多少万元 （_{2）该市明年计划采购}

A

型、 B 型一体机_{1100 套，考虑物价因素，预计明年每套}

A

型一体机的价格比今 年上涨_{25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总费用不低于购买}

A

型一体机的总费用， 那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 37．（2019·黑龙江中考真题）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两 种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买

2

个甲种文具、

1

个乙种文具共需花费 35 元；购买

1

个甲 种文具、

3

个乙种文具共需花费

30

元． （_{1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？} （2）若学校计划购买这两种文具共120 个，投入资金不少于

955

元又不多于

1000

元，设购买甲种文具

x

个， 求有多少种购买方案？ （_{3）设学校投入资金}

W

元，在（_{2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？} 38．（2019·黑龙江中考真题）小明放学后从学校回家，出发

5

分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记 拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发

10

分钟时，小明才想起没拿数学作业卷， 马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程

y

（米）与小强所用时间

t

（分钟）之间的函 数图象如图所示． （_{1）求函数图象中}

a

的值； （_{2）求小强的速度；} （_{3）求线段}

AB

的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 39．（2019·湖北中考真题）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责 扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价

y

（万

元）与产量_{x（吨）之间的关系如图所示}



0

 

x

100



．已知草莓的产销投入总成本 p （万元）与产量_x

x

（吨）之间满足

p x

 

1

． （_{1）直接写出草莓销售单价}

y

（万元）与产量

x

（吨）之间的函数关系式； （_{2）求该合作社所获利润}

w

（万元）与产量

x

（吨）之间的函数关系式； （3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按

0.3

万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社 所获利润

w

'（万元）不低于

55

万元，产量至少要达到多少吨？ 40．（2019·湖北中考真题）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通 过_{“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车} 场的收费标准是：停车不超过

30

分钟，不收费；超过

30

分钟，不超过

60

分钟，计

1

小时，收费

3

元；超 过

1

小时后，超过

1

小时的部分按每小时

2

元收费（不足

1

小时，按

1

小时计）． （_{1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车}

2

小时

10

分钟，应交停车费_{________元．若李先生也在该停、} 车场停车，支付停车费

11

元，则停车场按_{________小时（填整数）计时收费．} （_2）当

x

取整数且

x 

1

时，求该停车场停车费

y

（单位：元）关于停车计时

x

（单位：小时）的函数解 析式．

【考点_{1】行程问题} 【例_{1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距 2400 米. 甲从小区步} 行去学校，出发10 分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立 即步行走回学校_{. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快 5 米. 设甲步行的时间为}

x

_{(分)，图 1 中线段}

OA

和折线

B C D

 

分别表示甲、乙离开小区的路程

y

_{(米)与甲步行时间}

x

_{(分)的函数关系的图象；图 2} 表示甲、乙两人之间的距离 s_{(米)与甲步行时间}

x

_{(分)的函数关系的图象(不完整).根据图 1 和图 2 中所给信} 息，解答下列问题： (1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程； (2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； (3)在图 2 中，画出当

25

 

x

30

时 s 关于

x

的函数的大致图象_{. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)} 【答案】_{(1)甲步行的速度是 80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是 800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙} 两人之间的距离是_{700 米；(3)图象如图所示见解析.} 【解析】（_{1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；} （_{2）根据函数图象中的数据可以求得 OA 的函数解析式，然后将 x=18 代入 OA 的函数解析式，即可求得} 点E 的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离； （_{3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．} 【详解】 (1)由题意，得：甲步行的速度是

2400 30 80





(米/分)， ∴乙出发时甲离开小区的路程是

80 10 800

 

_(米). (2)设直线

OA

的解析式为_:

y kx k



(



0)

， ∵直线

OA

过点

A



30,2400



， ∴

30

k 

2400

， 解得

k 

80

， ∴直线

OA

的解析式为_:

y



80

x

_. ∴当

x 

18

时，

y 

80 18 1440





， ∴乙骑自行车的速度是

1440 18 10 180











_(米/分). ∵乙骑自行车的时间为

25 10 15





(分)，

∴乙骑自行车的路程为

180 15 2700

 

_(米). 当

x 

25

时，甲走过的路程是

y



80

x



80 25 2000





_(米)， ∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是

2700 2000 700





_(米). (3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分）， 乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分）， 当_{25≤x≤30 时 s 关于 x 的函数的大致图象如图所示．} 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想 解答． 【变式_{1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李} 的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离

y km

 

与小王的行驶时 间

x h

 

之间的函数关系． 请你根据图象进行探究： （_{1）小王和小李的速度分别是多少？} （2）求线段

BC

所表示的

y

与

x

之间的函数解析式，并写出自变量

x

的取值范围． 【答案】（_{1）小王和小李的速度分别是}

10

km h

/

、

20

km h

/

；（_2）

y



30

x



30 1

(

 

x

1.5)

． 【解析】

 

1

根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

 

2

_根据

 

1

_{中的结果和图象中的数据可以求得点C 的坐标，从而可以解答本题．} 【详解】 解：（_{1）由图可得，}

小王的速度为：

30 3 10

 

km h

/

， 小李的速度为：

(

30 10 1 1 20

   

)

km h

/

， 答：小王和小李的速度分别是

10

km h

/

、

20

km h

/

； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：

30 20 1.5h





， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：

10 1.5 15km





， ∴点

C

的坐标为



1.5,15



， 设线段

BC

所表示的

y

与

x

之间的函数解析式为 ykx b ，

0

1.5

15

k b

k b

 





_{ }



_，解得

30

30

k

b





  



_， 即线段

BC

所表示的

y

与

x

之间的函数解析式是

y



30

x



30 1

(

 

x

1.5)

． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中_{xy 所表示的对象量，利用一次函数的} 性质和数形结合的思想解答． 【变式_{1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发} 沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图 1 中线段 AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离 S(km)与出发 时间_{x(h)之间的函数关系式如图 2 中折线段 CD-DE-EF 所示.} （_{1）小丽和小明骑车的速度各是多少？} （_{2）求 E 点坐标，并解释点的实际意义.} 【答案】（1）

V

小丽

=16



km h

/



_，

V

小明

=20



km h

/



_；（2）E(

9

5

_,

144

5

₎

实际意义为小明到达甲地

_. 【解析】_{(1)观察图 1 可知小丽骑行 36 千米用了 2.25 小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观察} 图_{2 可知小丽与小明 1 小时机遇，由此即可求得小明的速度；} (2)观察图 2，结合两人的速度可知点 E 为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可. 【详解】 (1)V 小丽=36÷2.25=16(km/h)， V 小明=36÷1-16=20(km/h)；

(2)36÷20=

9

5

_(h)， 16×

9

5

₌

144

5

_(km)， 所以点_{E 的坐标为(}

9

5

，

144

5

_)， 实际意义是小明到达了甲地_. 【点睛】本题考查了一次函数的应用_{——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的} 关键_. 【考点2】方案选择问题 【例_{2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，} 价格均为_{6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg} 时，其中有_{50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为 5 元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹} 果的数量为

x

kg

(

x 

0)

． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量_{/kg 30 50 150 …} 甲批发店花费_{/元 300 …} 乙批发店花费_{/元 350 …} （Ⅱ）设在甲批发店花费

y

1_{元，在乙批发店花费}

y

2_{元，分别求}

y

1_，

y

2_关于

x

_{的函数解析式；} （Ⅲ）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买 苹果的数量为____________kg； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为_{120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买} 花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360 元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买 数量多． 【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）

y

1



6

x

(

x 

0)

_；当

0

 „

x

50

_时，

y

2



7

x

_；当

x 

50

_时， 2

5

100

y



x



_{．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．} 【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为_{6 元/kg．在乙批发店，一次购买数量} 不超过元50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 7 元/kg，超出 50kg 部分的价格为_{5 元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；} （Ⅱ）根据所花费用_{=每千克的价格}



一次购买数量，可得出

y y

1

、

2_{关于x 的函数关系式，注意进行分段；} （Ⅲ）①根据

y

1



y

2_{得出x 的值即可；②把 x=120 分别代入}

y

1_和

y

2_{的解析式，并比较}

y

1_和

y

2_的大小即

可；③分别求出当

y 

1

360

_和

y 

2

360

_{时x 的值，并比较大小即可．} 【详解】 解：（Ⅰ）当_{x=30 时，}

y   

1

30 6 180

_，

y   

2

30 7 210

当_{x=150 时，}

y 

1

150 6 900

 

_，

y   

2

50 7 5 150 50

（



）



850

故答案为：180，900，210，850． （Ⅱ）

y

1



6

x

(

x 

0)

_． 当

0

 „

x

50

时，

y

2



7

x

_； 当

x 

50

时，

y

2

 

7 50 5(



x



50)

_，即

y

2



5

x



100

_． （Ⅲ）①∵

x 

0

∴_6x



7x

∴当

y

1



y

2_{时，即6x=5x+100} ∴_x=100 故答案为：₁₀₀ ②∵_x=120



50

， ∴

y  

1

6 120 720



_；

y

2

 

5 120 100=700



∴乙批发店购买花费少； 故答案为：乙 ③∵当_{x=50 时乙批发店的花费是：350}



360

∵一次购买苹果花费了_{360 元，∴x}



₅₀ ∴当

y 

1

360

_{时，6x=360，∴x=60} ∴当

y 

2

360

_{时，5x+100=360, ∴x=52} ∴甲批发店购买数量多． 故答案为：甲 【点睛】本题考查一次函数的应用_{—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和} 数形结合的思想解答． 【变式2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡_{200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元.} 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费_{40 元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的} 总费用为_{y1(元)，选择方式二的总费用为 y2(元).} (1)请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 【答案】₍₁₎

y

1



30

x



200;

y

2



40

x

_；(2)当

x 

20

_{时选择方式一比方式二省钱.}

【解析】_{(1)根据题意列出函数关系式即可；} (2)根据题意，列出关于 x 的不等式进行解答即可. 【详解】 (1)

y

1



30

x



200

_， 2

40

y



x

_； (2)由

y

1



y

2_得：

30

x



200 40



x

_， 解得：

x 

20

， ∴当

x 

20

时选择方式一比方式2 省钱， 即一年内来此游泳馆的次数超过_{20 次时先择方式一比方式二省钱.} 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知 识解答_. 【变式_{2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为} y 元，选择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题 （_{1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式；} （_{2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．} 【答案】（_1）

y

甲



20

x

_，

y

乙



10

x



100

_（2）见解析 【解析】（_{1）运用待定系数法，即可求出 y 与 x 之间的函数表达式；} （_{2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．} 【详解】 （_1）设

y

甲



k x

1 _{，根据题意得}

5

k 

1

100

_， 解得

k 

1

20

_， ∴

y

甲



20

x

_； 设

y

乙



k x

2



100

_{，根据题意得：} 2

20

k 

100 300



_， 解得

k 

2

10

_，

∴

y

乙



10

x



100

_； （_2）①

y

甲



y

乙_，即

20

x



10 100

x



_，解得

x 

10

_{，当入园次数小于10 次时，选择甲消费卡比较合算；} ②

y

甲



y

乙_，即

20

x



10 100

x



_，解得

x 

10

_{，当入园次数等于10 次时，选择两种消费卡费用一样；} ③

y

甲



y

乙_，即

20

x



10 100

x



_，解得

x 

10

_{，当入园次数大于}10 次时，选择乙消费卡比较合算． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出 正确信息是解题关键，属于中考常考题型． 【考点_{3】最大利润问题} 【例_{3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低} 于每件_{30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，} 而当销售单价每降低_{10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用 450} 元．设销售单价为x 元，平均月销售量为 y 件． （_{1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．} （_{2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1800 元？} （_{3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？} 【答案】（_{1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元；} （3）当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【解析】（_{1）当销售单价为 60 元时，平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能} 多售出_{20 件．从而用 60 减去 x，再除以 10，就是降价几个 10 元，再乘以 20，再把 80 加上就是平均月销} 售量； （_{2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于 1800，解方程即} 可； （_{3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求} 得取最大利润时的_{x 值及最大利润．} 【详解】 解：（_{1）由题意得：y＝80+20×}

60

10

x



∴函数的关系式为：_{y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）} （_{2）由题意得：} （_{x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800} 解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去） 答：当销售单价为_{55 元时，销售这种童装每月可获利 1800 元．}

（_{3）设每月获得的利润为 w 元，由题意得：} w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450 ＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵﹣_2＜0 ∴当_{x≤65 时，w 随 x 的增大而增大} ∵_30≤x≤60 ∴当_{x＝60 时，w 最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950} 答：当销售单价为60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1950 元． 【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性． 【变式_{3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价} 比乙种水果的进价每千克少_{4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的数量相同．} （_{1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？} （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种水果的数量不超过 乙种水果数量的_{3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克 20} 元，乙种水果的销售价定为每千克_{25 元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？} 【答案】（_{1）甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元；（2）水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果} 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元． 【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元； （_{2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量} 的_{3 倍，且购买资金不超过 3420 元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解} 答本题． 【详解】 （_{1）设甲种水果的单价是 x 元，则乙种水果的单价是}

(

x 

4)

元，

800 1000

4

x



x



， 解得，

x 

16

， 经检验，

x 

16

是原分式方程的解， ∴

x  

4 20

， 答：甲、乙两种水果的单价分别是_{16 元、20 元；} （_{2）设购进甲种水果 a 千克，则购进乙种水果}

(200



a

)

千克，利润为_{w 元，}

(20 16)

(25 20)(200

)

1000

w





a







a

  

a

_， ∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的_{3 倍，且购买资金不超过 3420 元，} ∴

3(200

)

16

20(200

) 3420

a

a

a

a







_

_



„

„

_， 解得，

145

 

a

150

，

∴当

a 

145

时，_{w 取得最大值，此时}

w 

855

，

200

 

a

55

， 答：水果商进货甲种水果145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【变式_{3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为 50 元的新型玩具，投放市场进行试销售．其} 销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于_{90%，市场调研发现，在一段时间内，每天} 销售数量y（个）与销售单价 x（元）符合一次函数关系，如图所示： （_{1）根据图象，直接写出 y 与 x 的函数关系式；} （_{2）该公司要想每天获得 3000 元的销售利润，销售单价应定为多少元} （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（_{1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为 80 元；（3）销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大} 利润是_{3200 元．} 【解析】（_{1）由待定系数法可得函数的解析式；} （_{2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；} （3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【详解】 （_{1）设 y＝kx+b（k≠0，b 为常数）} 将点（_{50，160），（80，100）代入得}

160 50

100 80

k b

k b









_

_



解得

2

260

k

b

 



 



∴y 与 x 的函数关系式为：y＝﹣2x+260 （_{2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000} 化简得：_{x2﹣180x+8000＝0} 解得：_{x1＝80，x2＝100} ∵_{x≤50×（1+90%）＝95} ∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去） 答：销售单价为_{80 元．} （_{3）设每天获得的利润为 w 元，由题意得} w＝（x﹣50）（﹣2x+260） ＝﹣_{2x2+360x﹣13000} ＝﹣2（x﹣90）2+3200 ∵_{a＝﹣2＜0，抛物线开口向下}

∴_{w 有最大值，当 x＝90 时， w 最大值＝3200} 答：销售单价为_{90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．} 【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识 点，难度中等略大． 【考点_{4】几何问题} 【例_{4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点 (1,0)}B 的直线

l

1_与直线

l

2_：

y



2

x



4

_相交于点

P

( 1, )



a

_. （_{1）求直线}

l

1_{的解析式；} （_{2）求四边形}

PAOC

的面积_. 【答案】（_1）

y

  

x

1

；（_2）

5

2

【解析】（_{1）根据 P 点是两直线交点，可求得点 P 的纵坐标，再利用待定系数法将点 B、点 P 的坐标代入} 直线l1 解析式，得到二元一次方程组，求解即可.

（_{2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点 C（0，1），由}

S

四边形PAOC



S

PAB



S

BOC_{可求得四边形}

PAOC

_的

面积 【详解】 解：（_{1）∵点 P 是两直线的交点，} 将点P（1，a）代入

y



2

x



4

得

2 ( 1) 4

   

a

，即

a 

2

则 P 的坐标为

( 1,2)



， 设直线

l

1_{的解析式为： y}kx b

(

k 

0)

_，

那么

0

2

k b

k b

 



  



_， 解得：

1

1

k

b

 



 



_. 1 l  _{的解析式为：}

_y

  

_x

₁

_. （_2）直线

l

1_与

y

_{轴相交于点}

C

_，直线

l

2_{与x 轴相交于点 A}



C

的坐标为

(0,1)

，

A

点的坐标为

( 2,0)



则AB  ，3

而

S

四边形PAOC



S

PAB



S

BOC_，



S

四边形PAOC

1

_{3 2}

1

_{1 1}

5

2

2

2

      

【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交 点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积_. 【变式_4-1】 （_{2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系}

xOy

中，直线

l

1_分别交

x

_轴和

y

_轴于点

A





3,0 , 0,3

  

B

_. (1)如图 1，已知



P

经过点

O

，且与直线

l

1_{相切于点 B ，求}



P

_{的直径长；} (2)如图 2，已知直线

l y

2

:



3

x



3

_分别交

x

_轴和

y

_轴于点

C

_和点

D

_，点

Q

_是直线

l

2_{上的一个动点，以}

Q

_为 圆心，

2 2

为半径画圆_. ①当点

Q

与点

C

重合时，求证: 直线

l

1_与



Q

_相切； ②设



Q

与直线

l

1_相交于

M N

,

_{两点， 连结}

QM QN

,

_{. 问:是否存在这样的点}

Q

_，使得



QMN

_{是等腰直角} 三角形，若存在，求出点

Q

的坐标；若不存在，请说明理由_. 【 答 案 】(1)



P

的 直 径 长 为

3 2

；(2) ① 见 解 析 ； ② 存 在 这 样 的 点

Q 

1

(3

2,6 3 2)



_和

2

(3

2,6 3 2)

Q 



_，使得



_QMN

_{是等腰直角三角形.} 【解析】（1）连接 BC，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC=AB，即可求解； （_2）过点

C

作

CE AB



于点

E

，证明_{CE=ACsin45°=4×}

2

2

₌₂

2

_{=圆的半径，即可求解；} （_{3）假设存在这样的点}

Q

，使得



QMN

是等腰直角三角形，分点

Q

在线段

CF

上时和点

Q

在线段

CF

的 延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】 （_{1）如图 3，连接 BC，} ∵∠_BOC=90°， ∴点P 在 BC 上， ∵⊙_{P 与直线 l1 相切于点 B，} ∴∠_{ABC=90°，而 OA=OB，} ∴△_{ABC 为等腰直角三角形，} 则⊙P 的直径长=BC=AB=3

2

(2)如图 4 过点

C

作

CE AB



于点

E

， 图₄ 将

y 

0

代入

y



3

x



3

，得

x 

1

， ∴点

C

的坐标为

 

1,0

_.

∴

AC 

4

， ∵



CAE

 

45

， ∴

2

_{2 2}

2

CE



AC



. ∵点

Q

与点

C

重合， 又



Q

的半径为

2 2

， ∴直线

l

1_与



Q

_相切. ②假设存在这样的点

Q

，使得



QMN

是等腰直角三角形， ∵直线

l

1_经过点

A





3,0 , 0,3

  

B

_， ∴

l

的函数解析式为

y x

=

+

3

_. 记直线

l

2_与

l

1_的交点为

F

_， 情况一： 如图5，当点

Q

在线段

CF

上时， 由题意，得



MNQ



45



_. 如图，延长

NQ

交

x

轴于点

G

， 图₅ ∵



BAO

 

45

， ∴



NGA



180 45 45

      

90

， 即

NG x



轴，