二元函数微积分

推广

一元函数微分学

二元函数微分学

注意: 善于类比, 区别异同

二元函数微积分

一、区域

二、二元函数的概念

二元函数的基本概念

区域

平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。

平面点集：

平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，

通常记作D。

0 x

y

1·

边界

闭区域 开区域

0 x y

)

1(x y = ϕ

)

2(x y = ϕ

a b 0 x

y

c d

)

1(y x = ϕ

)

2(y x = ϕ

X

^型区域

^型区域

常见区域

a

x = x = b

)

1(x y = ϕ

)

2(x y = ϕ

由

四条曲线围成

c

y = y = d

由

四条曲线围成

)

1(y

x = ϕ x = ϕ₂(y)

邻域:

平面上以点 P₀(x₀, y₀) ^为圆心，δ > 0 为半径的圆内部构成

的有界开区域 ^{D =}

{

}

为点 P₀ (x₀, y₀ ) ^的δ _邻域。

0 x

y

1·

• δ

) ,

( _{0 0}

0 x y

P

定义：设有三个变量 x, y ^和 z ^{，如果当变量} x, y 在某平面区域 D ^{内任取一组值时，变量} z ^{按照一定的规} 律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z ^为 x, y ^的

二元函数，记作 z = f (x, y) ^，其中 x, y ^{称为自变量，}

函数 z ^{也称为因变量，}x, y ^{的变化范围} D ^{称为函数的定} 义域。

类似的，可以定义三元函数 u = f (x, y, z) ^{及三元以上的函数。}

二元函数的概念

一元函数

二元函数

定义域 自变量个数

一个：

两个：

在数轴上讨论

（区间）

在平面上讨论

（区域）

一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数

偏导数

定义： z = f (x, y)^在点

存在, z = f (x, y) 在点 (x₀, y₀) 对 x 的偏导数，记为

) ,

(x₀ y₀ 的某邻域内

) ; ,

(x₀ y₀ x

f

∂

∂ x

x₀ + ∆ x₀

则称此极限为函数 极限

设函数

∆x

) ;

, (x₀ y₀

zx

x

y x

f y

x x

f

x ∆

−

∆

= +

→

∆

) ,

( )

,

lim ( ^{0 0 0 0}

) 0

,

(x₀ y₀ f_x′

注意:

同样可定义对 y ^的偏导数

lim

→0

= ∆

y

) ,

(x₀ y₀ f _y′

若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 ,

) , ( ,

) ,

(x y f₂ x y

f_y′ ′

) ,

(x₀

f − f (x₀, )

∆y

记为

y

y₀ + ∆ y₀

或 y 偏导数存在 ,

, ,

, z_y

y f y

z

∂

∂

∂

∂

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .

∆x x

x + ∆

? )

, ,

(x y z = f _y

? )

, ,

(x y z = f_z

x 偏导数定义为

(请自己写出)

例1 . 求 z = x² + 3xy + y²在点(1 , 2) 处的偏导数.

由偏导数的定义可以看出，要求二元函 数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。

例2. 设 z = x ^y ( x > 0, 且 x ≠ 1）， y z

z x

x z y

x 2

ln

1 =

∂ + ∂

∂

∂ 证:

例3. 求 的偏导数 . 解:

求证

例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1

∂

⋅ ∂

∂

⋅ ∂

∂

∂

p T T

V V

p

证:

(R 为常数) ,

1、 求二元函数 z = e^xy 的一阶偏导数。

4、 求二元函数 z = y ln(x² + y ² ) 的一阶偏导数。

5、 已知二元函数 z = ln( x + y ) ^{，证明：关系式}

2

= 1

∂ + ∂

∂

∂

y y z

x x z

2、 求二元函数

x

z = arctan y ^{的一阶偏导数。}

3、 求二元函数 z = e^{sin x} cos y 的一阶偏导数。

练 习

二、高阶偏导数

设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 )

, ( ,

) ,

( f x y

y y z

x x f

z

y

x =

∂

= ∂

∂

∂

若这两个偏导数仍存在偏导数，

) ( x

z

∂

∂

) ( y

z x ∂

∂

∂

∂

) ( x

z y ∂

∂

∂

∂

) , ( )

( 2

2

y x y f

z y

z

y = ^{y y}

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导

2 2

x z

∂

= ∂ = f_xx (x, y);

y x

z

∂

∂

= ∂² = f_xy (x, y)

);

, (

2

y x x f

y z

x

= y

∂

∂

= ∂

∂x

∂ 数:

类似可以定义更高阶的偏导数.

例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为

z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶

) y (

∂

∂

y x

z

n n

∂

∂

= ∂₋₁ 偏导数为

例 5． 求二元函数 z = e ^x−y 的二阶偏导数。

解：

例6. 证明函数 满足拉普拉斯

2 0

2 2

2 2

2 =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z u y

u x

u

证：

=

∆u 方程

内容小结

1. 偏导数的概念及有关结论

• 定义; 记号

2. 偏导数的计算方法

• 求一点处偏导数的方法

先求后代（把其他 变量视为常数）

利用定义

• 求高阶偏导数的方法 逐次求导法

1、求二元函数 z = x ² ye ^y 的各二阶偏导数。

2、 求二元函数 z = x³ + y ³ − 3xy ^{2 的各二阶偏导数。}

3、求二元函数

y

z = x 的各二阶偏导数。

4、 求二元函数 z = x ln(x + y) 的各二阶偏导数。

练 习