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第五章.一元函数积分法及其应用

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Academic year: 2021

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(1)

第五章.一元函数积分法及其应用

原函数和不定积分。不定积分的性质。

前面我们主要是讨论导函数的概念,即 对于一个连续函数,求出它的导函数,就意味 着描述了这个连 续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。反过来,这个规律是不是只是描述了一 个特定函数的 变化率呢?根据变化率的定义,显然所有与原来的函 数在Y轴方向上平行的函数都具有相同的 变化率变化 规律,这实际 上就意味 着,一 个导函 数同时描述了一束沿着Y轴方向相互平行的函 数的 变化率的变 化规 律。这一束函数的解析式相差一 个常数。我们也可以这么说,即相差任意一 个常数的函数具有相同的导函 数。

这样 我们就得到了一个对应关系,即 对于在区间I上连续 的一束函数F(x)+c(c为任意常数),对应 着一个唯一的函数f(x),满足

,或

换一种观念,上面的过程也可以看成是一种对于函 数F(x)的运算,即微分的 运算,得到函数F(x)

+c的微分,那么反过来,也存在一个作用于函数f(x)的逆运算过程,得到函 数F(x)+c本身,这种逆运 算就是积分,或者说不定积分,写成

这里,相 对地,我 们就把被积函数f(x)称为原函 数F(x)+c的导函数,而把原函数F(x)+c称为被 积函数f(x)的不定积分。

因此我们可以把不定积分理解为微分的逆 运算,只不过是一种一对多的关系,即一个被积函数对应 于 无穷多个相差为任意常 数的原函 数。

在这种意义之下,我们就可以很容易地理解下面的表达式:

希望同学们多加体 会这些表面看来很绕的表达式,深切体会不定积分的逆 运算含义。

这里特别 需要注意的是在这两 种互为逆运算的 运算作用之下,函数性 态的变化,下面是几点 注意事 项:

(1) 由于我们主要是讨论 初等函数,而初等函数在其定义域上总是连续的,这里特别需要记住的 是,连续不是可导或可微的充分条件,而只是必要条件,可导的条件更强,即还要求函数在 定义域上每一点处的左右导数都存在,并且相等。因此对于分段函数,在分段点处就必须检 验这个条件,对于某些特殊的函数,在某些特定的点,也会出现左右导数或者缺失,或者不 相等的情况,这些都需要仔细加以验证。

(2) 进一步,可导与可微仍然 还存在一个差别,即函数在某点可导,导数可以是无穷,这种情况 下,就不是可微的,即函 数在一点及其邻域可微的充要条件是函数在这点存在有限的 导数。

(3) 另外一个连续函数的导函数未必是连续的,而对非连续函数作积分运算则是比较复杂的,本 课程不作系统讨论。

) ) (

) (

( f x

dx c x F

d + =

dx x f c x F

d ( ( ) + ) = ( )

d ( F ( x ) + c ) = ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c

F ' ( x ) dx = F ( x ) + c

f x dx = f x dx d ( ( ) ) ( )

∫ ( ) )' = ( ) ( f x dx f x

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第五章

(2)

基本积分公式和基本积分法则。

由于不定 积分实际上就是微分运算的逆运算,因此把基本微分公式反 过来写,就得到了相应的基本积 分公式,我们列出如下:

而类似地,从微分的运算性 质,可以得到相应的积分的运算性质,其中最为简单的就是积分运算的 线 性性质:

实际上对于任意有限个可积函数的线性组合,这个积分运算性质都是成立的。

其他对应的而又比较复杂的积分法则在下面分节再讨论。

换元法。

相应于求导法则当中的链导法,积分法就是所 谓换元法。

我们知道,求 导法当中的链导法的核心思想就是 变量替 换,同 样,换元法的核心思想也是变量替换。

实际上,我 们应该已经能够体会到,变量替换在函数的分析当中,本 来就具有相当基本的重要性,而在 积 分运算当中,我们会看到同 样具有基本的重要性。

我们在进行函数的复合时,已经可以体会到变量替换具有两种方式,或者说两个方向,一是减少复合

(1)

y = kk dx = kx + C

,k为常数。

(2)

y = x

a

1 1 ,

1

+ ≠ −

= +

∫ ⋅

+

C a

a dx x x

a a

(3)

y = e

x

e

x

dx = e

x

+ C

(4)

y = 1 x dx x C

x = +

∫ 1 ln

(5)

y = sin x ∫ sin x dx = − cos x + C x

y = cos

C x dx

x = +

∫ cos sin x

y = sec

2

∫ sec

2

xdx = tgx + C x

y = csc

2

∫ csc

2

xdx = − ctgx + C tgx

x y = sec ⋅

C x dx

tgx

x ⋅ ⋅ = +

∫ sec sec

ctgx x y = csc ⋅

C x dx

ctgx

x ⋅ ⋅ = − +

∫ csc csc

(6)

x

y

2

1 1

= − =

∫ − dx

x

2

1

1

C x + arcsin

y x

2

1 1

= +

dx

+C

x

2

1

1

∫ + = arctgx

∫ [ af ( x ) + bg ( x )] dx = af ( x ) dx + bg ( x ) dx

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第五章

(3)

的层次,二是增加复合的层次。

所谓换元法,也就具有相应的两种途径,一是把被积函数的自变量看成新引入的一个函数的自 变量,

而这个新引入函数 的因变量则可以凑成原来被积函 数的自变量,这样被积函数实际上就减 少了复合的层 次,而变得比原来的形式要简单;

二是把被 积函数的自变量看成一个新引入变量的函数,在被积函数当 中代入这个函数,这样 就改变了 被积函数的自变量,并且使得被 积函数增加了复合层次,表面看来是增加了被积函数的复杂性,但我们的 目的是使得被积函数比较容易进行积分。

形式地说,就是假 设被积函数为f(x),它的不定积分 无法直接 应用已知的积分公式 来求 出,那 么我们可以尝试进行积分变量的替换,使得通 过变量替换而得到一个更容易进行积分运算的 积分式

,其中变量u和变量x的关系可以是两种形式,即 ,前面的形式是在被 积函 数中凑出新的函数来,后面的形式则是引入额外的新函数。

这两个途径就分别称为换元法一和换元法二,下面我们更仔细地分别进行讨论。

(1)换元法一。

设我们是取 ,那么就有

=[

代入 就有

=

上面等式右边出现了u的微分,我 们有

代入,我们的最终目的就出现了,即要求

=

也就是要求通过适当地取 ,使得

反过来,我们可以这么说,即把被积函数f(x)凑成上面的形式,从而通过计算比 较容易的

而得到比较困难的

可以看出,这里的关键,就是把原来的被积函数凑出两个因式 来,其中一 个是某 个新函 数的导函数,

而另一个因式则可以看成是以这个新函数为自变量的形式,最终经过这 个换元过程是否达到了目的,就要 看是否确实计 算 比计算 要容易,如果 没有达到这个目的,则说 明应用换元法 无效,必

须考虑使用 别的方法。至于如何 选取适当的 ,并没有一定的规律,主要是依靠我 们通过练习来 获得经验,增强观察力。

而应用换元法一的条件是其中所涉及到的 都必须是连续的。

f ( x ) dx

g ( u ) du u = ϕ (x ) x = φ (u )

) (x u = ϕ

f ( x ) dxg ( u ) du ]

u=ϕ( x)

)

(x u = ϕ

g ( u ) dug ( ϕ ( x )) d ϕ ( x )

dx x x

d ϕ ( ) = ϕ ' ( )

f ( x ) dxg ( ϕ ( x )) ϕ ' ( x ) dx ) (x u = ϕ )

( ' )) ( ( )

( x g x x

f = ϕ ϕ

g ( u ) du

f ( x ) dx

g ( u ) duf ( x ) dx

) (x u = ϕ

) (x

u = ϕ ϕ ' ( x ), g ( u )

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第五章

(4)

最后需要注意的一 点是,必 须把变量x通过 代入积分结果,从而得到我们真正要求得到的积

(2)换元法二。

如果我们是取 ,我们就可以 进行下面的推 导:

这整个 推导的最终目的,就是希望新形式的被 积 函数 ,尽管形式可能 变得要复 杂一

些,但 还是要比f(x)更容易 计算积分。如何恰当地选取 而达到这个目标,则仍然是属于熟能生 巧的范畴。因此学习积分计算,最为重要的就是加强练习。

从换元法二的过程,可以看到它的一个条 件就是要求f(x)连续,而 必须具有 连续的导数,

并且这个导数不能等于0。

同样需要注意的一点是,必 须把变量x通过 代入积分结果,从而得到我 们真正要求得到的

积分

下面列出 应用换元法所求出的一些常用函数的不定积分,在后面可以作为公式使用,不过希望同学们 能够自己动手加以推导,这样才能真正掌握这些公式,同时也锻炼了自己 运用换元法的能力。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

) (x u = ϕ

) (u x = φ

=

= ⋅

∫ = ∫

=

=

] ) ( ' )) ( ( [

] ))

( ( [

)) ( ( )

(

) ( ) (

1 1

du u u f

du du u dx f

dx u f dx x f

x u

x u

φ φ φ

φ

φ φ

) ( ' )) (

( u u

f φφ ) (u x = φ

) (u x = φ

)

1

( x u = φ

f ( x ) dx

∫ = +

C

a dx x

x a

arcsin 1

2 2

∫ = +

+ C

a arctg x dx a

x a

1 1

2 2

∫ +

= +

C

x a

x a dx a

x

a ln

2 1 1

2 2

∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C

∫ csc xdx = − ln csc x + ctgx + C

shxdx = chx + C

chxdx = shx + C

∫ − = − + + C

a a x

x x a

x dx

a arcsin

2 2

1

2 2 2

2 2

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第五章

(5)

(9)

(10)

分部积分法。

相当于乘积的求 导法则的就是所谓分部 积分法,我们可以直接从乘 积的求导公式来推导出分部 积分 法。如下:

根据乘积的求导公式

得到

如果采用微分形式,就是

两边取积分,就分别得到

这两 个表达式分 别代表了两种方式的分部积分法,即或者把原来的积分凑成 的形式,然后通

过计 算 而得到结果;或者把原 来的积分凑成 的形式,然后通过计算 而得到结果;当然

这里的前提,或者说要使得使用分部积分法有意 义,就必须首先考虑到计算 要比原来的积 分计算简单。而所谓分部的意思,就是把本来的积分凑成上面的 u和v的组合形式。如何恰当地凑成u和v,

使得简化积分过程的目的能 够达到。则必须通过大量的 练习,来增加观察力。

有理函数以及可以化成有理函数的函数积分。

对于任意有理函数,存在一 个固定的代数算法,可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和,而 这 四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下:

(1)

(2)

∫ = + + +

+ dx x a x C

x a

2 2 2

2

1 ln

∫ = + − +

dx x x a C

a x

2 2 2

2

1 ln

' ' )'

( uv = u v + uv

' )' (

' v uv uv

u = −

udv uv

d vdu = ( ) −

− ∫

vu ' dx = uv uv ' dx

− ∫

vdu = uv udv

vu' dx

v' udxvduudv

v' udxudv

∫ = − +

dx A x a C

a x

A ln

a C x k

A

a x d a x A dx a x

A

k

k k

− +

= −

∫ ∫ −

= −

)

( ) 1 (

) ( ) (

1 )

(

1

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第五章

(6)

(3)

(4)

其中 ;dt=dx;

可以很容易地求出(4)中的第一 个积分为

而对于第二个积分式,我们可以得到递推公式

其中

如果有理函数的自变量是以三角函数的形式出现的,那 么我们可以通过如下的一套半角 变换,把三角 函数有理式化成一般有理式,从而进一步求出积分来。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

不过,在这种涉及繁 复的代 数计算时,一定要注意掌握一个原则,就是动手之前仔细观 察,根据经验 判断是否存在更为简单的方法,只有在确实找不到简单方法之后,再 开始根据这种确定的计算程式来进行

C p q

p arctg x

p q

Pp q Q

x px P

q dx x px

Q Px

− + +

− + − + +

=

∫ + +

+

2 2

2 2

4 2 4

) 2 2 ln(

∫ ∫

− + + +

=

∫ +

= +

∫ + +

+

dt a t Q Pp

dt a t

t P

dt a

t Q Pp Pt

dx q x px

Q Px

k k

k k

) (

) 1 ( 2

) (

2 2

) (

2 ) (

) (

2 2 2

2 2 2 2

2 x p t = +

4 p

2

q a = −

) ) (

1 (

1 )

( 2

2 2 2

2 1

a k t

dt a t

t

k

k

= − − +

∫ +

a I n n a

t t n a

I

n n

+ − ⋅ ⋅

n

⋅ +

+1

=

2 2

1 2

1 2 ) 2 (

1

2 2

∫ = +

= + C

a arctg t a a

t

I dt 1

2 1 2

x t tg =

2

t x t

2

1 sin 2

= +

t x t

2 2

1 cos 1

+

= −

arctgt x = 2

t dt

dx

2

1 2

= +

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第五章

(7)

计算。

初学者可能 觉得这里所涉及到的公式 过于繁复,实际 上只要我们能够 自己尝试作一些推 导,勤于 练 习,还是能够熟练掌握的。

定积分及其几何意义与性质。

顾名思义,定积分应该与不定积分具有密切的联系,不过从历史的 发展的角度 来看,定积分与不定 积 分完全是相互独立产生的,只是后 来这两 个概念的进一步深化发展,人 们才了解了 这两个概念之间的相互 关系,而这种关系从某个角度来看,正是反映了微积分的核心思想所在,我们在后面讨论变上限定积分和 牛顿-莱布尼兹定理时,再仔 细分析这点。

目前我们仍然遵循历史发展的顺序来展开概念。

定积分概念具有深厚的物理世界的直观来源,简而言之,任何涉及对连续变量的求和,实际 上就是使 用了定积分的思想。

首先需要 设函数y=f(x)在 闭区间[a,b]上连续,因 为在本课程我 们只考 虑连续的情形。然后把 闭区 间[a,b]分成 n个任意的部分,同时又在每一个部分内部取任意一点,对每一个部分,作 这点的函数值与这 个部分 区间的长度的乘积,就得到了n个这样 的乘积,把它们都加起来,这就是所谓的求和,作 为一种近 似计算,这个计算程序是我 们在大量的实际问题 当中都需要遇到的,这里积分的思想,就是看到在这n个 区间长 度当中,肯定存在一个最大的长度值,然后运用极限的思想,取 这个最大长度值趋向于 0时,求上 面的n个乘积的和的 极限。

形式地表示出来,就是

其中 就是这n个区间长 度当中最大的长度值, 为第i个部分区间中的任意一点,这个极限就称为 函数f(x)在闭区间[a,b]上的定 积分。

注意在上面的记法当中,目前 dx还没有任何的意 义,还不能理解为变 量x的微分,而只能把右边的表 达式作为一个整体来理解,即作为一个和式的极限而已。

显然,这个极限就不再是一个近似值了,而是一个精确值。

不过,这里的 问题首先是这个极限是否存在,也就是函数是否可积的问题 ;然后是如果存在,则如何 求出这个极限值,也就是 积分法的问题。这两 个问题 可以说是积分学的两个主要 问题。我们的课程主要涉 及的是后面的问题,前面的问题需要很多的理论准备,因此不作要求。

完全只是基于这种作为和式的极限的理解,就可以得到定积分的很多性质,以及它的几何意义。

所谓定积分的几何意义,实际上在 它的定 义构造当中已 经很清楚地表现出来。如图所示,我 们可以看 到,所 谓求和的几何意义,就是求函数所表示的曲线与X轴,以及x=a,x=b这两条直线之间所夹的部分的 面积,而极限值就给出了面 积的精确值。

= ∫

∑ ∆

=

b a n

i i i n

dx x x f

f

xi

) ( )

lim (

1 ) (

0

ξ

x

i

ξ

i

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第五章

(8)

从几何的角度来理解定 积分的意 义,就可以非常容易下面的定积分的性质。

(一)被积函数的齐性。

如果函数f(x)在 闭区间[a,b]可积,那 么函数kf(x)也在闭区间[a,b]可积,其中 k为任意常数,并 且常数可以从积分号下提出 来,即

(二)被积函数的加性。

如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]可积,则函数f(x) g(x)在闭区间[a,b]也可积,并且有

上面两个性质合起来,实际上就是定积分运算对被积函数的线性不变性。

(三)积分区间的可加性以及有关积分区间的性质。

如果函数f(x)在某个区 间可积,那么函数在这个区间的任意子区间都可 积,如果在这个区间任意 顺 序取三点 ,则有

实际上对于任意有限多的点,这个性质都是成立的。

另外还有有关积分区间变换 的性质:

(四)连续奇函数在对称区间上的定积分为0。

只要按照定积分的几何意义来理解,就可以很容易地看到这点。

(五)偶函数在对称区间上的定积分等于在半区间上的定积分的2倍。

这个性质同样是具有非常直观的几何意义。

(六)估值等式与不等式。

= ∫

b

a b

a

dx x f k dx x

kf ( ) ( )

±

± ∫

= ∫

∫ ±

b

a b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x

f ( ) ( )] ( ) ( )

[

c b a < <

+ ∫

= ∫

c

b b

a c

a

x f dx x f dx x

f ( ) ( ) ( )

− ∫

∫ =

a

b b

a

dx x f dx x

f ( ) ( )

0 )

( =

a a

dx x f

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第五章

(9)

最简单的就是

如果 ,那么有

设定义在实数集合上的连续函数f(x)为以T为周期的周期函数,那么对于任意 实数a,有

如果函数f(x)在闭区间[a,b]可积,并且存在最大 值M和最小值m,那么有

连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的平均值为

同样通过定积分的几何意义,可以非常直观地得到 这些性质。

(七)中值定理。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]可积,则在这个闭区间上存在一点c,使得

在后面讨论牛顿-莱布尼兹定理 时,我们会理解到这个积分学的中值定理,实际上是对应于微分学当中 的中值定理的。不过需要注意的是,微分学当中的中值定理要求函 数的导数在开区间(a,b)上存在,而 积分学当中的中值定理要求f(x)在闭区间[a,b]上连续。也就是说,条件不同。

根据定积分的几何意义,这个性质同样是非常容易理解的。

变上限定积分。

我们继续讨论前面的定积分的定 义表达式 的含义。

首先 给出的是一 个唯一确定的 数值,它是由 a,b以及函数f(x)所决定的。与闭区间[a,b]

上分点的取法无关,也 与每一个部分 区间上的 的取法无关,与 的取法无关, 只要 它是最大的就可

以了。因此我们对 于一个给定的函数f(x),不妨可以把 看成是a或者b的函数,因此可以考虑先 固定一个量,比方说a,而把 b换成变量t,这样我们就得到了一个单变量的函数

a b dx

b

a

∫ =

) ( ) ( x g x

f

≤ ∫

b

a b

a

dx x g dx x

f ( ) ( )

= ∫

+

T T

a

a

dx x f dx x f

0

) ( )

(

) ( )

( )

( b a f x dx M b a

m

b

a

∫ ≤

− ∫

=

b

a

dx x a f y b 1 ( )

) )(

( )

( x dx f c b a f

b

a

∫ =

= ∫

∑ ∆

=

b a n

i i i n

dx x x f

f

xi

) ( )

lim (

1 ) (

0

ξ

b a

dx x f ( )

ξ

i

x

i

b a

dx x f ( )

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第五章

(10)

s(t)=

这个函数s(t)就是所谓变上限定 积分。

从几何的角度 来 看,这个新的函 数反映的是 随着 t在X轴上的位置的 变化,而 导致的相应 的曲线与 X 轴,以及x=a,x=t这两条直线之间所夹的部分的面积的变化。我 们可以得到这个作为函数的变上限定积分s

(t)与函数f(x)的关系。

我们求变上限定积分s(t)的导函数如下:

=

=

=

= =

最终,我们看到 实际上是 s(t)的导函 数!而 s(t)就是 的原函数。因 为实际上x和t是同 一个变量,只是在变上限定积分里是作 为参数出现的而已。因此按照前面我们已经学习过的不定积分的定

义,s(t)= 实际上就是一个不定积分的表达式!

我们至此可以看到引入变上限定积分的目的,就是给出定积分和不定 积分的本质关系所在。而上面得 到的 就是所 谓微积分第一基本定理。

牛顿-莱布尼兹定理。

上面揭示了定积分和不定积分之间的关系以后,我们就可以到达微积分的第二基本定理,也就是所谓 牛顿-莱布尼兹定理:

设f(x)在闭区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)的任意原函数,那么有

这个定理 实际上也 给出了一个计算定 积分的方法,不过必须注意到一种情形,即 f(x)在 闭区间[a,

b]上可积时,并不一定要求函数在闭区间[a,b]上连续,而且可以允许在闭区间[a,b]上存在有限个第一类 间断点,这时,应用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分,就必须分段进行考虑。

t a

dx x f ( )

t t s t t t s

s

t

= +

) ( ) lim (

) ( '

0

t

dx x f dx x f

t

a t

t

a

t

− ∫

+

) ( )

( lim

0

t

dx x f dx x f dx x f

t

a t

t

t t

a

t

− ∫ + ∫

+

) ( )

( )

( lim

0

t dx x f

t t

t

t

+

) ( lim

0

t t t t f

t

t

∆ ⋅

+

2 ) lim (

lim

0

0

) (t f

) ( x

f f ( x )

t a

dx x f ( )

) ( ) (

' x f x

s =

) ( ) ( )

( x dx F b F a f

b

a

∫ =

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第五章

(11)

定积分计算以及近似计算。

一般定积分的计算分成以下几种方式。

1.直接应用定积分的定义进行计算。

这种计算方式的步骤也就是定义定积分的步骤:

(1) 分割积分区间;

(2) 写出一般的乘积式;

(3) 写出和式;

(4) 对和式求极限。

由于这种计算方式需要 进行极限运算,一般比 较麻烦,所以不常使用 这种方法。

2.直接计算面积。

如果被积函数与X轴以及上下限所 围成的面积部分非常规范,容易直接计算面积,就可以直接用面积 作为积分值。

3.应用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分。

这样就把定积分的计算转化为不定积分的计算,不 过对于分段函数必须非常小心。

4.换元法。

相应于求不定积分时的换元法,求定 积分也可以通 过换元来计算。

如果f(x)在[a,b]上连续,而x=g(u)满足

(1) g(u)在闭区间[ 上存在 连续导数;

(2) 当u属于[ 时,则有

(3)

那么就有

应用换元法之前一定要注意 验证条件是否 满足。

5.分部积分法。

相应于求不定积分的分部积分法,有如下的计算定积分的分部积分法:

设u(x),v(x)在[a,b]上存在 连续导数,则有

运用分部积分法求定积分的技巧和求不定积分时是类似的。

利用分部积分法可以推 导出Wallis 积分公式,具有很大的 应用价值,希望同学们能够记住:

,则存在一个递推公式:

可以得到

当n为偶数时,有

] ' , ' b a

] ' , ' b

a ag ( u ) ≤ b b

b g a a

g ( ' ) = , ( ' ) =

= ∫

'

'

) ( ' )]

( [ )

(

b

a b

a

du u g u g f dx x f

− ∫

∫ =

b

a b a b

a

dx vu x

v x u dx

uv ' [ ( ) ( )] '

= ∫

= ∫

2

0 2

0

cos sin

π π

xdx

I

n n

xdx

n

n I I

n

n

n 2

1

=

2 2 4 )...

4 )(

2 (

1 3 )...

3 )(

1

( ⋅ π

= −

n n n

n I

n

n

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第五章

(12)

当n为奇数时,有

6.利用被积函数与积分区间的对称性质。

在前面讨论定积分的性质时,我们已经列举,特别要请同学们注意 这个方法,这个技巧是我 们在观察 积分式时,首先应该留心的 问题,以免本来可以很 简单完成的题目,反而只是知道死套公式。

我们在前面已 经提到进行积分计算的 复杂性与求导数是具有本 质不同的,因此在实际问题当中,我 们 不可能指望总是能够完成解析性 质的积分计算,因此我 们很多时候还需要进行积分近似计算。

实际上,任何定积分的近似计算,都是直接基于定积分的定义以及几何意义的,因此也就是 归结为面 积的近似算法。

最为直截了当的面积计 算,就是给一个平面上的曲线面积打方格,直接 数方格就得到面 积,这种方法 适合于需要进行积分的函数不能通过解析函数形式表达,或者是表达出来非常的复杂,因此只能使用这种 非常不精确,而且是依 赖于作图精确度的方法。

在拥有被 积函数解析表达式的情况下,可以直接按照定 积分的定义方式来计算定 积分值,只是分割区 间时采用一种规范的方式,一般是等距的,这样就得到了所 谓的矩形法,作为一种改进,每一个分割区间 的乘积式所代表的面积,可以采用比矩形更为逼近的形状,例如梯形,着就得到了梯形法。

对于梯形法作更进一步的改进,就是把梯形的斜直边,改为抛物线段,一般用曲线段逼近曲线段,比 用直线段具有更好的精 确度,这就得到了所谓抛物线法。

广义积分。

在本课程,我 们考虑的广义积 分主要是两种,(1)函 数在积分区间上无界的广义积分;(2)积分区 间无限的广义积分。

(1)函数在积分区间上无界的广义积分。

无界函数就是在积分区间存在 无穷间 断点,我们主要讨论只有一个无穷间断点的情况,对于任意有限 多个无穷间断点的情况,处理方式是完全类似的。

无穷间断点在积分区间可以是处于端 点处,也可以是处于内部,对于处于内部的情形,可以通过把函 数看成是分段函数的方式, 从而也就使得无穷间 断点仍然是处在端点处。至于左右端点,则不存在任何差 别。

定义这种情况下的广义积分的要点,就是运用极限的方法,使得处于无穷间断点一边的积分限趋向于 无穷间断点,然后求相应的定积分的 极限,如果 这个极限存在,则称相应的广义积分存在或收 敛,否则,

就是不存在或者是发散。

广义积分的几何意义实际上仍然还是非常直观的,因 为一个无穷间 断点实际上也就意味着函数取消在 该点处存在一条垂直 渐近线,则函数的广义定积分仍然还是可以定义为函数曲线与X轴之间的面积,只是 这里的一条端线由一条垂直渐近线替代,而剩下的问题 就是这个面积是否收敛为一个有限 值,如果是,则 又是多少,也就是求极限的过程。

(2)积分区间无限的广义积分。

同样,无穷区间上的积分也可以归结到求极限的过程。

无穷区间,就是指 ,以及这两 者之 并 ,实际 上我 们只需要讨论 一种就可 以了。

设f(x)在 上连续,要想定义在这个区间上的定积分,可以首先取一个正常的定积分,也就是 任意取一个方便的 b>a,再定 义

3 5 )...

4 )(

2 (

2 4 )...

3 )(

1 (

= −

n n n

n I

n

n

) ,

[ a +∞ ( −∞ , a ] ( −∞ , +∞ )

) , [ a +∞

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第五章

(13)

然后再同样还需要考虑这个极限的存在性 问题,以及计算问题。

这种广义积 分的几何意义同样还 是可以用面积表达,只是这里函数的曲线在X轴的一端或者两端都 无 限延伸而不封闭,这样,如果要求极限存在,则函数曲线必须以X轴为 水平 渐近线,不过,反过来,则不 一定成立。

定积分的应用。

定积分的起源本来就具有深厚的几何与物理的背景,因此定 积分在几何与物理,以及广泛的知识领 域 内都拥有大量的应用。本课程我们主要集中在几何 与物理以及工程技 术方面的 应用上。

在实际问题当中应用定 积分的 关键,在于基于具体问题 的分析,找出相关量的微元表达式,然后再根 据这个量所遵循的函数对这个微元求积分,这里的分析过程主要就是定积分的定义构造过程,而最 终计算 则利用了 灵活的积分法所带来的方便,而 并不是死板地 对和式求 极限。

当然在具体的问题当中,会要求一些针对 性的技巧,这只有在具体问题的加以掌握,特别是要多加 练 习,熟悉各 种类型的 问题,才能保证在考试当中不会出现茫然不知所措的情形。我们在后面会结合例题进 行有关介绍和讲解。

二,答疑解难。

1.既然求导与求不定 积分互 为逆运算,而对于初等函 数,我们总 能求出 导函数,那么是否 对于初等 函数总能求出 它的不定 积分?

[答]:不能。

其实只要比较分析一下基本求 导公式和基本积分公式,就可以发现这两 种运算具有一 个明显的差别,

就是所谓基本求导公式,是 对每一种基本初等函数分别进行求 导的公式,得到的导函数具有两种类型,一 是得到和原来基本初等函数相同类型的初等函数形式,例如指 数函数,幂函数,三角函数中的正弦函数与 余弦函数,二是得到了与原来函数不同类型的函数形式,例如对数函数,三角函 数中的正切函数,余切函 数,以及反三角函 数,这样当我们进行这些运算过程的逆运算时,就只能对上面的通 过求导而保持同样初 等函数形式的那些函数,进行积分而回到同样类 型的初等函数形式,除此之外,就只能针对 一下特殊形式 的初等函 数进行积分,这样实际 上就意味 着并不是任意形式的初等函数,都可以通过积分而得到仍然是 属 于初等函数的形式,相反,求导则由于所有类型的基本初等函数都可以进行,那 么根据求导法则,对于通 过对基本初等函 数进行有限次的四则运 算和复合而得到的任意初等函 数,都 总是可以求出 导函数来,显 然,对于积分,就 没有这么好的结果了。从这里可以看出,所谓初等函数,从数学实质的角度来看,并不 是一个很有意义的概念,而只是一 个方便的概念,对于积分运算并不具有封闭性,这是初等函数这个概念 本身所具有的局限,而不是说求导与不定积分并非严格意义上的逆运算。

2.运用分部积分法的基本技巧。

[答]:首先可以想象,要对一个被积函数成功运用分部积分法,重要的前提,就是 这个被积函数必须 能够写成两个因式的乘 积,而使得分部 积分法有效的关键,则是凑成上面的形式以后,希望 变得更为简 单,而u不至于 变得更为复杂。

下面我们仔细观察一下各种基本函数积分的特征。

由于指数 函数,正弦和余弦函 数在求导后保持原 来的函 数类型,而 幂函数 求一阶导数后,就降一 阶 次,因此对于如下形式的积分:

= ∫

+∞

+∞ b

b a a

x f dx

x

f ( ) lim ( )

' v

x

n

e

x

dx ;

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第五章

(14)

就可以通过把 的部分作为v,而反复运用分部积分法,降低它的阶次,最 终使得被积函数部分只剩下指 数函数和正弦,余弦函 数。

而对于如下形式的积分:

则可以利用对数函数于反三角函数的导数为有理分式的特点,把 的部分作为 ,从而替 换为对对数函 数与反三角函数求导,得到有理分式,就有可能简化了积分过程。

有一个常用的 运用分部 积分法得到的 积分式如下:

这个公式非常有用,希望同学们自己动手推导一下,记住了可以直接应用。

;

x

n

sin xdx

;

x

n

cos xdx x

n

;

x

n

ln xdx

; arcsin

x

n

xdx

; arccos

x

n

xdx

x

n

arctgxdx ;

x

n

u '

C tgx x xtgx

xdx = + + +

∫ ; ln sec

2 sec 1

2 sec

3

1

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參考文獻

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