§1 §1 一元函数微分学 一元函数微分学

全文

(1)

§1 §1 一元函数微分学 一元函数微分学

(2)

1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限 3 x 时的极限 4 x+ 时的极限 5 数列的极限 6 无穷大 7 函数的连续性 8 导数的几何意义 9 微分的几何意义

xe y x 10

17 弧微分 ds 的几何意义 对函数进行全面讨论并画图:

x y x

x

y x

) ( x y x

x

y arccos x y = x – 2arctan x

x y x

cos

cos2

11 12

13 14 15

16

主 目 录

主 目 录 1 – 181 – 18

18 曲率

(3)

x

y

0

f (x)

x0

A

的几何解释

) (

lim f x A

x

x

x0 x0

,

0

0,

,

|

|

0 x x0 δ

. )

(x  A 恒有 f

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

1. 1. 函数的极限函数的极限

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

A+

A–

(4)

A

x

y

0 x0

A

A

x0 x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(5)

A

x

y

0 x0 x0 x0

A

A

A

A

A

A

A

A

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(6)

A

x

y

0 x0

A

A

x0 x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(7)

A

x

y

0 x0

A

A

x0 x0x0  x0 x0x0

0

x x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(8)

A

x

y

0 x0

A

A

0

x x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0,

 x0 的空心 邻域 ,

,

|

|

0 x x0 δ

(9)

A

x

y

0 x0

A

A

A

A

A

A

0

x x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0,

 x0 的空心 邻域 ,

,

|

|

0 x x0 δ

(10)

A

x

y

0 x0

A

A

0

x x0

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(11)

A

x

y

0 x0

A

A

0 

x x0 x0x0 

几何上:函数有极限几何上:

等价于这种邻域与 空心邻域之间

存在着无限的对应 .

1. 函数的极限函数的极限 xlimx f (x) A 的几何解释

因此,函数的极限定义也称函数极限的 定义定义 .

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 邻域 内,

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的邻域 ,

 x0 的空心 邻域 ,

. )

(x  A 恒有 f

,

0

0, ,

|

|

0 x x0 δ

(12)

x

y

0

f (x)

x0

A

x0

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

2.2. 函数的左极函数的左极

xlimx f (x) A 的几何解释

A 的邻域,

 x0 的左半 邻域,A+

A–

(13)

A

x

y

0

f (x)

x0

A

A

x0

的几何解释

) (

lim f x A

x

x

2.2. 函数的左极函数的左极

.

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的邻域,

 x0 的左半 邻域,

(14)

A

x

y

0

f (x)

x0

x0

A

A

A

A

A

A

A

A

的几何解释

) (

lim f x A

x

x

2.2. 函数的左极函数的左极

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的邻域,

 x0 的左半 邻域,

(15)

A

x

y

0

f (x)

x0

A

A

x0

2.2. 函数的左极函数的左极

的几何解释

) (

lim f x A

x

x

.

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的邻域,

 x0 的左半 邻域,

(16)

A

x

y

0

f (x)

x0

A

A

x0

x0 x0xx00

函数有左极限等价于 这种邻域与左半 域存在着无限的对应 .

2.2. 函数的左极函数的左极

的几何解释

) (

lim f x A

x

x

几何上:几何上:

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的邻域,

 x0 的左半 邻域,

(17)

x

y

0

f (x)

A

N – N

其相应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

的几何解释

) (

lim f x A

x

3. 3. x x 趋于无穷大趋于无穷大时的极时的极

A 的邻域 ,  N > 0,

A+

A–

对满足 |x| > N 的一切点 x,

(18)

A

A

x

y

0

f (x)

N – N

A

其相应的曲线上的点

A 的邻域 ,  N > 0,

的几何解释

) (

lim f x A

x

3.

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

(19)

x

y

0

f (x)

N – N

A

A

A

A

A

A

A

A

A

其相应的曲线上的点

A 的邻域 ,  N > 0,

.

的几何解释

) (

lim f x A

x

3.

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

(20)

x

y

0

f (x)

A

A

A

N – N

其相应的曲线上的点

A 的邻域 ,  N > 0,

的几何解释

) (

lim f x A

x

3.

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

(21)

x

y

0

f (x)

A

A

A

N

– N N

– N N

– N N

– N N

– N – N N

此类极限定义也称

函数极限的 NN 定义定义 其相应的曲线上的点

A 的邻域 ,  N > 0,

.

的几何解释

) (

lim f x A

x

3.

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

(22)

x

y

0

f (x)

A

)

(

lim f x A

x



A

A

N

0,

 N

其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

邻域,

A

4. x x 趋于正无穷大趋于正无穷大时的极时的极

对满足 x > N 的一切点 x,

( f (x) A 的情况 )

(23)

x

y

0

f (x)

A

A

A

N 邻域,

A

0,

 N

.

)

(

lim f x A

x



4. x x 趋于正无穷大时的极趋于正无穷大时的极

对满足 x > N 的一切点 x,

( f (x) A 的情况 )

其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

(24)

x

y

0

f (x)

A

A

A

N 邻域,

A

0,

 N

.

)

(

lim f x A

x



( 一般情况 ) 4. x x 趋于正无穷大时的极趋于正无穷大时的极

对满足 x > N 的一切点 x, 其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

(25)

当 x = n,

xn f (n)

A xn

n

lim

相应的点都落 在绿色区域内

n f(n)

0 A

A

A

N

1 2 3 N+1 N+2

x1

x2

x3

xn

5. 5. 数列数列的极限的极限

对一切 n > N

 自然数 N

A 的邻域

(26)

当 x = n,

A xn

n

lim

n f(n)

0 A

A

A

NN

1 2 3 N+1 N+2

x1

x2

x3

) (n f xn

5. 5. 数列数列的极限的极限

xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的邻域

(27)

当 x = n,

A xn

n

lim

n f(n)

0 A

NN

1 2 3 N+1 N+2

x1

x2

x3

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

) (n f xn

5. 5. 数列数列的极限的极限

xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的邻域

(28)

当 x = n,

A xn

n

lim

n f(n)

0 A

N

1 2 3

x1

x2

x3

A

A

xn

N+1 N+2

) (n f xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的邻域

5. 5. 数列数列的极限的极限

(29)

当 x = n,

A xn

n

lim

n f(n)

0 A

1 2 3

x1

x2

x3

A

A

xn

N N N N NN N+1 N+2

因此,数列的极限定义也称数列极限的 NN 定义定义

) (n f xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的邻域

5. 5. 数列数列的极限的极限

(30)

f (x)

x0

( ) lim

0

x

x f

x

x

y

0 M

–M

0 x

x0

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

6. 6. 无穷大无穷大

M > 0 ,当 0 <|x – x0| < >0 恒有 | f (x) | >M.

M 邻域,

 x0 的空心邻域,

(31)

0 x

f (x)

x0

M

–M

0 x

x0

6. 6. 无穷大无穷大

( ) lim

0

x

x f

x

.

y

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ,当 0 <|x – x0| < >0 恒有 | f (x) | >M.

M 邻域,

 x0 的空心邻域,

(32)

0 x

M

–M

f (x)

x0

0 x

x0

M

–M M

–M M

–M M

–M M

–M

6. 6. 无穷大无穷大

( ) lim

0

x

x f

x

.

y

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ,当 0 <|x – x0| < >0 恒有 | f (x) | >M.

M 邻域,

 x0 的空心邻域,

(33)

x

y

0

f (x)

x0

x0

0 x

M

–M

6. 6. 无穷大无穷大

( ) lim

0

x

x f

x

.

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ,当 0 <|x – x0| < >0 恒有 | f (x) | >M.

M 邻域,

 x0 的空心邻域,

(34)

x

y

0

f (x)

x0

M

–M

0

x

0 x

6. 6. 无穷大无穷大

( ) lim

0

x

x f

x

因此,无穷大的 定义也称无穷大 的 MM — 定义定义

.

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ,当 0 <|x – x0| < >0 恒有 | f (x) | >M.

M 邻域,

 x0 的空心邻域,

(35)

x

y

0

f (x)

x0

的几何解释

) ( )

(

lim

x f x

x f

x

邻域 )的ε

x f

 (

邻域

 x

x0 x0

该邻域内所有点 相应的曲线上的 点落在绿色区域

A x

x f

x

( )

lim

0

问题:函数在点 x0 连续与

存在极限的区别 1 x=x0 必须取到

.

7. 函数的连续

2 A= f (x0)

f (x0) f (x0)+

f (x0)–

并且 A= f (x

0)

f (x) 在 x0

(36)

x

y

0

y = f (x)

) M (x0

f x

N

y

x x0

) (

 x 考虑 f

) ( )

(x0 x f x0 f

y

KMN

xy 

x y

斜率是

. .

x0 令 x0

8. 导数的几何意义

(37)

x

y

0

y = f (x)

) M (x0

f x

N

y

x x0 )

( )

(x0 x f x0 f

y

KMN

xy 

x0 令 x0

) (

 x 考虑 f

8. 导数的几何意义

.

x y

斜率是

數據

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參考文獻

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相關主題 : 一元中的多元