§1 §1 一元函数微分学 一元函数微分学

§1 §1 一元函数微分学 一元函数微分学

1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限 3 x 时的极限 4 x+ 时的极限 5 数列的极限 6 无穷大 7 函数的连续性 8 导数的几何意义 9 微分的几何意义

xe y  ^x 10

17 弧微分 ds 的几何意义 对函数进行全面讨论并画图：







  x y x

 

 

 x

y x _{ }



 

) ( x y x











 

x

y arccos x y = x – 2arctan x

x y x

cos

 cos2

11 12

13 14 15

16

主 目 录

主 目 录^{（（ 1 – 181 – 18 ））}

18 曲率

x

y

0

f (x)

x0

A

的几何解释

) (

lim f x A

x

x 

 



x0 x₀ 

,

 0

   0,

时,

|

|

0  x  x₀ δ 当

. )

(x  A   恒有 f

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

1. 1. 函数的极限函数的极限

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

A+

A–

A

x

y

0 x0

 A

 A



x0 x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x₀ ^ x0 x₀ 

 A



 A

 A

 A



 A



 A



 A

 A



1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0



 A

 A



x0 x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

.



f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0



 A

 A



x0 x₀x₀  x₀ x₀x₀ 





0 

x x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

.



f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0



 A

 A







0 

x x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当

 x₀ 的空心 邻域 ,

时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0





 A



 A



 A



 A



 A

 A





0 

x x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

.

f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当

 x₀ 的空心 邻域 ,

时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0



 A

 A





0 

x x₀ 

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 



f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

A

x

y

0 x0



 A

 A

0 

x x₀ x₀x₀ 



几何上：函数有极限几何上：

等价于这种 邻域与 空心 邻域之间

存在着无限的对应 .

1. 函数的极限函数的极限 _x^lim_x ^{f (x)  A 的几何解释}

 

因此，函数的极限定义也称函数极限的 _—— _定义定义 ^.



f (x)

该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x) 落在 A 的  _{邻域 内，}

即相应的点 (x,f(x)) 落在绿色区域内 .

A 的_{邻域 ,}

 x₀ 的空心 邻域 ,

. )

(x  A   恒有 f

,

 0

   0, 当 时,

|

|

0  x  x₀ δ

x

y

0

f (x)

x0

A

 x0

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

2.2. 函数的左极函数的左极

限限 ^{xlimx f (x)  A 的几何解释}

A 的_邻域，

 x₀ 的左半 邻域，A+

A–

A

x

y

0

f (x)

x0

 A

 A

 x0

的几何解释

) (

lim f x A

x

x _ 

 

2.2. 函数的左极函数的左极 限限

.

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的_邻域，

 x₀ 的左半 邻域，

A

x

y

0

f (x)

x0

 x0

 A



 A

 A

 A



 A



 A



 A

 A



的几何解释

) (

lim f x A

x

x _ 

 

2.2. 函数的左极函数的左极 限限

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的_邻域，

 x₀ 的左半 邻域，

A

x

y

0

f (x)

x0



 A

 A

 x0

2.2. 函数的左极函数的左极 限限

的几何解释

) (

lim f x A

x

x _ 

 



.

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的_邻域，

 x₀ 的左半 邻域，

A

x

y

0

f (x)

x0



 A

 A

 x0



 x0 x₀xx₀₀

函数有左极限等价于 这种_{邻域与左半}_邻 域存在着无限的对应 .

2.2. 函数的左极函数的左极 限限

的几何解释

) (

lim f x A

x

x _ 

 



几何上：几何上：

该邻域内所有点 x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

A 的_邻域，

 x₀ 的左半 邻域，

x

y

0

f (x)

A

N – N

其相应的曲线上的点 落在绿色区域内 .

的几何解释

) (

lim f x A

x 





3. 3. x x 趋于无穷大趋于无穷大时的极时的极 限限

A 的_{邻域 ,}  N > 0,

A+

A–

对满足 |x| > N 的一切点 x,

 A



 A

x

y

0

f (x)

N – N

A

其相应的曲线上的点

A 的_{邻域 ,}  N > 0,

的几何解释

) (

lim f x A

x 



3. 

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

限限 对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

x

y

0

f (x)

N – N



 A



 A



 A



 A



 A



 A

A



 A



 A

其相应的曲线上的点

A 的_{邻域 ,}  N > 0,

.

的几何解释

) (

lim f x A

x 



3. 

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

限限 对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

x

y

0

f (x)

A



 A



 A

N – N

其相应的曲线上的点

A 的_{邻域 ,}  N > 0,

的几何解释

) (

lim f x A

x 



3. 

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

限限 对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

x

y

0

f (x)

A



 A



 A

N

– N N

– N N

– N N

– N N

– N – N N

此类极限定义也称

函数极限的 — _— NN 定义定义 其相应的曲线上的点

A 的_{邻域 ,}  N > 0,

.

的几何解释

) (

lim f x A

x 



3. 

3. x x 趋于无穷大时的极趋于无穷大时的极

限限 对满足 |x| > N 的一切点 x,

落在绿色区域内 .

x

y

0

f (x)

A

)

(

lim f x A

x 





 A

 A

N

 0,

 N

其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

邻域, 的 

A

4. x x 趋于正无穷大趋于正无穷大时的极时的极 限限

对满足 x > N 的一切点 x,

( f (x) A 的情况 )

x

y

0

f (x)

A

 A

 A

N 邻域,

的 

A

 0,

 N

.

)

(

lim f x A

x 



4. x x 趋于正无穷大时的极趋于正无穷大时的极 

限限

对满足 x > N 的一切点 x,

( f (x) A 的情况 )

其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

x

y

0

f (x)

A

 A

 A

N 邻域,

的 

A

 0,

 N

.

)

(

lim f x A

x 



 ( 一般情况 ) 4. x x 趋于正无穷大时的极趋于正无穷大时的极

限限

对满足 x > N 的一切点 x, 其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内 .

当 x = n,

则 x_n  f (n)

A x_n

n 



lim

相应的点都落 在绿色区域内

n f(n)

0 A

 A

 A

N

1 2 3 ^{N+1 N+2}

x1

x2

x3

xn

5. 5. 数列数列的极限的极限

对一切 n > N

 自然数 N

A 的_邻域

当 x = n, 则

A x_n

n 



lim

n f(n)

0 A

 A

 A

NN

1 2 3 ^{N+1 N+2}

x1

x2

x3

) (n f x_n 

5. 5. 数列数列的极限的极限

xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的_邻域

当 x = n, 则

A x_n

n 



lim

n f(n)

0 A

NN

1 2 3 ^{N+1 N+2}

x1

x2

x3



 A

 A



 A



 A

 A

 A



 A



 A



 A

 A



) (n f x_n 

5. 5. 数列数列的极限的极限

xn

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的_邻域

当 x = n, 则

A x_n

n 



lim

n f(n)

0 A

N

1 2 3

x1

x2

x3



 A

 A



xn

N+1 N+2

) (n f x_n 

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的_邻域

5. 5. 数列数列的极限的极限

当 x = n, 则

A x_n

n 



lim

n f(n)

0 A

1 2 3

x1

x2

x3



 A

 A



xn

N N N N NN ^{N+1 N+2}

因此，数列的极限定义也称数列极限的 _{— —} NN 定义定义

) (n f x_n 

.

相应的点都落 在绿色区域内 对一切 n > N

 自然数 N

A 的_邻域

5. 5. 数列数列的极限的极限

f (x)

x0



 ( )  lim

0

x

x f

x

x

y

0 M

–M



0 x

 x0

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

6. 6. 无穷大无穷大

M > 0 ，当 0 <|x – x ₀| <  >0 ， 恒有 ， | f (x) | >M.

M 邻域，

 x₀ 的空心_邻域，

0 x

f (x)

x0

M

–M



0 x

 x0

6. 6. 无穷大无穷大



 ( )  lim

0

x

x f

x

.

y

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ，当 0 <|x – x ₀| <  >0 ， 恒有 ， | f (x) | >M.

M 邻域，

 x₀ 的空心_邻域，

0 x

M

–M

f (x)

x0



0 x

 x0

M

–M M

–M M

–M M

–M M

–M

6. 6. 无穷大无穷大



 ( )  lim

0

x

x f

x

.

y

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ，当 0 <|x – x ₀| <  >0 ， 恒有 ， | f (x) | >M.

M 邻域，

 x₀ 的空心_邻域，

x

y

0

f (x)

x0

 x0



0 x

M

–M

6. 6. 无穷大无穷大



 ( )  lim

0

x

x f

x

.

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ，当 0 <|x – x ₀| <  >0 ， 恒有 ， | f (x) | >M.

M 邻域，

 x₀ 的空心_邻域，

x

y

0

f (x)

x0

M

–M



0

 x

0 x

6. 6. 无穷大无穷大



 ( )  lim

0

x

x f

x

因此，无穷大的 定义也称无穷大 的 MM — —  _定义定义

.

该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内 .

M > 0 ，当 0 <|x – x ₀| <  >0 ， 恒有 ， | f (x) | >M.

M 邻域，

 x₀ 的空心_邻域，

x

y

0

f (x)

x0

的几何解释

) ( )

(

lim _

 



x f x

x f

x

邻域 )的ε

x f _

 (

邻域 的

 x



x0 x₀ 

该邻域内所有点 相应的曲线上的 点落在绿色区域 内

A x

x f

x 

 ( )

lim

0

问题：函数在点 x₀ 连续与

存在极限的区别？ 1 x=x₀ 必须取到

.

7. 函数的连续 性

2 A= f (x₀)

f (x₀) f (x₀)+

f (x₀)–

并且 A= f (x

0)

f (x) 在 x₀ 连

续



x

y

0

y = f (x)

) M (x₀

f x

N

y

x x₀  

) ( _

 x 考虑 f

) ( )

(x₀ x f x₀ f

y    



KMN

xy 





x y

 斜率是 

. .

x₀ 令 x0

8. 导数的几何意义

x

y

0

y = f (x)

) M (x₀

f x

N

y

x x₀   )

( )

(x₀ x f x₀ f

y    



KMN

xy 





x₀ 令 x0

) ( _

 x 考虑 f

8. 导数的几何意义

.

x y

 斜率是 