教學目標:
微積分為數學系之基礎課程,它也是從事科學研究 ( 包括物理,化學,生命科學,資訊 工程,管理學,經濟學等等 ) 必備的工具, 也因而可見此課程的重要性.
本課程希望修課的學生能習得數學的基本觀念, 也能學會微分, 積分以及相關課 題, 並建立其數學基本能力以接續未來課程的學習.
授課方式:
採用板書及談話方式, 並適時要求學生參與討論.
課程綱要:
1. 預備知識:
包括數學符號的使用,邏輯的基本概念,實數及其基本性質,座標系統與方程式的圖 形,函數與函數圖形,函數的運算.
2. 函數的極限與連續:
包括函數的極限概念與定義,函數極限的基本性質,數列及數列的極限,函數連續的 定義及連續的基本性質.
3. 函數的微分及其應用:
包括函數的切線與導數,函數可微分的定義及其基本性質,合成函數的微分,高階導 數,隱函數的微分,差量與逼近,函數的最大值最小值與極值定理,函數的單調性與 圖形的凹向性,導數檢測與函數圖形的描繪,導數的均值定理,反導函數.
4. 函數的積分及其應用:
包括函數圖形的面積,函數的黎蔓和與可積分,函數可積分的基本性質,微積分基 本定理,積分的均值定理,函數積分的計算與應用.
5. 自然對數函數, 自然指數函數, 反三角函數, 以及雙曲函數:
包括自然對數函數的定義及其基本性質,自然對數函數的微分與反函數定理,自然 指數函數的定義及其基本性質,自然指數函數的微分,一般化的指數函數與對數函 數及其相關性質,反三角函數及其微分與積分,雙曲函數與反雙曲函數及其微分與 積分.
6. 函數的積分技巧:
包括代換積分法,分部積分法,某些特殊型式三角函數的積分法,有理化代換積分 法,有理函數的積分法.
7. 函數極限的不定型式與函數的暇積分:
包括L’Hopital’s Rule, 有界函數與無界函數暇積分的定義及其計算.
8. 級數:
包括級數收斂的定義,收斂級數的基本性質,級數發散的檢測法,級數收斂的檢測 法(幾何級數檢驗法,有界和檢驗法,積分檢驗法,p-級數檢驗法,級數比較檢驗法,
極限比較檢驗法,比例檢驗法,交錯級數檢驗法,絕對收斂檢驗法等),級數重排定理, 冪級數及其收斂半徑與絕對收斂,冪級數的逐項微分與逐項積分,Taylor 級數與 Maclaurin 級數及其相關性質.
9. 圓錐曲線與極座標:
包括拋物線,橢圓與雙曲線的標準方程式,座標軸的平移與旋轉,平面上曲線的參數 表示法,極座標系統,極方程的圖形,極座標系統上函數的微分與積分.
10. 空間中的幾何性與向量:
包括3 維的 Cartesian 座標系統,向量及其相關性質,曲線的切線與曲率,柱狀座標與 球體座標.
11. 多變數函數的微分及其應用:
包括多變數函數的圖形,多變數函數的偏導數,多變數函數的極限,多變數函數的 連續,多變數函數的可微分性及相關性質,多變數函數的方向導數,多變數函數的 連鎖律,曲面的切平面,差量與逼近,最大值最小值與極值定理,導數檢測,
Lagrange’s method.
12. 多變數函數的積分及其應用:
包括重積分與疊積分,極座標系統上函數的重積分與疊積分,表面積的計算,柱狀座 標與球體座標的重積分與疊積分,重積分的變數變換.
13. 向量微積分:
包括向量場,線積分,Green’s 定理,Gauss’s 散度定理,Stokes’s 定理.
教科書:
Varberg, Purcell, and Rigdon: Calculus, ninth edition, 2007, Pearson Education, Inc.
評分方式:
期中考 30%, 期末考 40%, 平時成績(含平時測驗)30%.
註: 應遵守智慧財產權觀念並不得非法影印
