勾股定理證明-G243

(1)

勾股定理證明-G243

【作輔助圖】

1. 直角三角形ABC，過 C 作 BC 垂直線 CD ，使 CDBC；並過 C 作 AC 垂直線 CE ， 使 CE AC；同樣地過 B 作 AB 垂直線 BF ，使 BF  AB。

2. 接著過 F 向 EC 作垂足G ，連 FG 。 3. 最後連FA 、 FC 、 GA 、 AE 、 BD 。

A B

C

D E

F

G

【求證過程】

從直角三角形 ABC 開始以三邊向適當方向作三個等腰直角三角形，再利用一組全 等三角形以及同底等高則三角形面積會相同的特性，將大等腰直角三角形的面積分割成兩個小等腰直角三角形的面積和，進而推出畢氏定理的關係式。

1. 首先不難看出ABC與 BFG 全等，以下給出證明，並從中推得其邊長關係：

因為

, ABBF 且

90 ,

CAB CBA GBF

     

以及

90 ,

ACB BGF

   

所以可推得

FEC ABC

   (AAS 全等), 也因此可以得到

CBGF CD且 BG AC EC. 2. 因為同底等高的三角形面積相同，所以有

, FCB DCB

   且

. ACF ACG

  

3. 又因為同高且 BCGE，所以

. ABC AGE

   4. 因此

(2)

,

ABF ABC FCB ACF AGE DCB ACG ACE BCD

      

     

    即

2 2 2

AB  AC BC 可得畢氏定理

2 2 2

. AB  AC BC

【註與心得】

1. 來源：此證明來自 Edwards’ Geom., 1895, p. 158, fig.(20)。收錄在 Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第243 號

2. 心得：此證明作適當的輔助線，再透過同底等高面積相等的特性來證明畢氏定理。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：

S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。

以及

N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。

證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。