高雄市明誠中學 高三平時測驗 日期：98.04.09 班級 普三 班
範 圍
選修( ) Ⅱ CHAP1 多項式的
與導數
座號
姓 名
1-1. 求下列各函數的定義域：(1) f（x）＝ 2x
( 1－x ) ( 3＋x ) 。 (2) f（x）＝ 9－x2 。
【解答】：
(1) ( 1－x ) ( 3＋x ) ≠0 x≠1，x≠－3，
∴ 定義域 { x | x
R，但 x≠1，x≠－3 }(2) 9－x2 ≥ 0 x2－9 ≤ 0 ( x－3 ) ( x＋3 ) ≤ 0 －3 ≤ x ≤ 3，
∴定義域 { x | －3 ≤ x ≤ 3，x
R }1-2. (1) 請畫出餘弦函數 y＝cos x，0 ≤ x ≤ 2π 之圖形。
(2) 試寫出 y＝cos x 在［0 , 2π］內遞增及遞減的區間。
【解答】：(1)
(2) ［0 ,π］為遞減
［π, 2π］為遞增
1-3. (1) 下列的圖形，何者為「y 是 x」的函數圖形？
(A) (B) (C)
(D) (E)
(2) 何者為「y 是 x」的一對一函數圖形？
【解答】：
(1) 畫鉛直線與圖形恰好交於一點，∴ (B) (C) (D) 是函數圖形 (2) 畫水平線與圖形恰好交於一點，∴ (D) 是一對一函數圖形 1-4. (1) 試描出函數 y＝| x－1 |＋| x－3 | 的圖形，並寫出折點的坐標。
(2) 求函數 y 的最小值為何？
【解答】：
(1) 當 x ≥ 3 時，y＝( x－1 )＋( x－3 )＝2x－4 當 1 ≤ x ≤ 3 時，y＝( x－1 )－( x－3 )＝2 當 x ≤ 1 時，y＝－( x－1 )－( x－3 )＝－2x＋4 (2) 函數 y 的最小值為 2
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1-5. 設G (x)＝[ x ] 為一高斯函數，
(1) 求 [－2.1 ]＋[ 0.28 ]＋[π]＋[－1
2 ]＝ －1 。 (2) 若 [ x ]＝－5，則實數x取值的範圍為何？
【解答】：
(1) [－2.1 ]＋[ 0.28 ]＋[π]＋[－1
2 ]＝－3＋0＋3＋(－1 )＝－1 (2) [ x ]＝－5，則－5 ≤ x ≤－5＋1
－5 ≤ x＜－41-6. 台北市的計程車跑了x公里，該付的車資為f (x) 元 ( 不計時 )，
其中f (x)＝
70， 0＜x＜1.5 75＋5 [ 103 x－5 ]，x ≥ 1.5 ( [ ] 是高斯符號 ) 。若小麗付了計程車資200 元，請估計 她搭乘計程車的里程數x約在哪個範圍？
【解答】：
f (x)＝75＋5 [ 10 3 x－5 ]
[ 10 3 x－5 ]＝ 200－75 5 ＝25
25 ≤ 10 3 x－5＜26 75 ≤ 10x－15＜78 90 ≤ 10x＜93
9 ≤ x＜9.3
1-7. 用 19.6 ( 公尺⁄秒 ) 的速度由地面垂直上拋一粒小石子，設 x 秒後小石子的高度為 y 公尺，如果不 計空氣阻力，x 與 y 有下列關係式：y＝19.6x－4.9x2，則：
(1) 小石子拋出多少秒後，達到最高點？最大高度為何？
(2) 小石子拋出後，經過多少時間才落地？
【解答】：
(1) y＝19.6x－4.9x2＝－4.9 ( x2－4x )＝－4.9 ( x－2 )2＋19.6 ∴ 經 2 秒可達最高點，高度為 19.6 公尺
(2) y＝0 得 19.6x－4.9x2＝0 4.9x ( 4－x )＝0 x＝0 或 4，
∴ 小石子拋出後第 4 秒落回地面
1-8. 設 f (x)＝x2－1，
(1) 描繪 y＝f (x) 之圖形。
(2) 求 f (x) 在閉區間［－1 , 4］上的最大值與最小值。
【解答】：
(1)
(2) f (0)＝－1 為最小值 f (4)＝15 為最大值
2-1.一質點在直線上運動，其位移與時間 t 的函數關係為 S (t)＝2t2＋3t，試求：
(1) 此質點在時間 t＝2 至 t＝4 之間的平均速度。
(2) 此質點在 t＝2 時的瞬時速度。
【解答】：
(1) v¯＝ S (4)－S (2)
4－2 ＝ 44－14 2 ＝15 (2) t＝2 時的瞬時速度為
v＝lim
△t →0v¯＝ lim
△t →0
△s △t ＝lim
△t →0
S ( 2＋△t )－S (2) △t ＝lim
△t →0
2 ( 2＋△t )2＋3 ( 2＋△t )－14
△t ＝lim
△t →0
11△t＋2 ( △t )2 △t ＝11
2-2.函數 f (x)＝2x2的圖形上，以 P ( 1 , 2 ) 為切點的切線方程式斜率為何？切線的方程式為何？
【解答】：
(1) 切線的斜率m＝ lim
△x →0
△y △x ＝ lim△x →0
f ( 1＋△x )－f (1) △x ＝lim
△x →0
2 ( 1＋△x )2－2 △x ＝lim
△x →0
4．△x＋2 ( △x )2 △x ＝4 (2) 切線方程式y－2＝4 ( x－1 )
y＝4x－22-3.設f (x)＝5，則 lim
x →3 f (x)＝ 5 。
【解答】：
常數函數 f (x)＝5 的圖形為一條水平直線 ∴ lim
x →3 f (x)＝lim
x →3 5＝5 2-4.設f (x)＝x－4，g (x)＝ x2－6x＋8
x－2 ，則：(1) lim
x →2 f (x)＝ －2 。(2) lim
x →2 g (x)＝ －2 。
【解答】：
(1) lim
x →2 f (x)＝2－4＝－2 (2) lim
x →2 g (x)＝lim
x →2
x2－6x＋8 x－2 ＝lim
x →2
( x－2 ) ( x－4 ) x－2 ＝lim
x →2 ( x－4 )＝－2 2-5.設g (x)＝[ x ] ( 高斯函數 )，則：
(1) lim
△x →0＋ g ( 5＋△x )＝ 5 。 (2) lim
△x →0－ g ( 5＋△x )＝ 4 。 (3) lim
△x →0 g ( 5＋△x ) 是否存在？lim
x →5 g (x) 是否存在？
【解答】：
(1) lim
△x →0＋ g ( 5＋△x )＝ lim
△x →0＋ 5＝5 (2) lim
△x →0－ g ( 5＋△x )＝ lim
△x →0－ 4＝4 (3) ∵ lim
△x →0＋ g ( 5＋△x )≠ lim
△x →0－ g ( 5＋△x )
∴ lim
△x →0 g ( 5＋△x ) 不存在且 lim
x →5 g (x) 不存在 2-6.求下列各式的極限值：
(1) lim
x →3－
x3－27
| x－3 | ＝ －27 。 (2) lim
x →1
x2－3x＋1
x2＋2 ＝ －1
3 。
【解答】：
(1) lim
x →3－
( x－3 ) ( x2＋3x＋9 )
－( x－3 ) ＝－( 9＋9＋9 )＝－27 (2) lim
x →1
x2－3x＋1 x2＋2 ＝
1－3＋1 1＋2 ＝
－1 3
2-7. 設f (x)＝
x2－1 x－1 ，x≠1 a， x＝1，若f (x) 為一連續函數，則a＝ 2 。
【解答】：
∵ f (x)＝ x2－1
x－1 ＝x＋1，x≠1 欲使f (x) 為連續函數，則 lim
x →1 f (x)＝f (1)
2＝a 2-8. 若極限 limx →2
x2－x＋a
x－2 存在，則a＝ －2 ，此極限值為 3 。
【解答】：
x2－x＋a有x－2 之因式 ∴ 4－2＋a＝0 ∴ a＝－2 limx →2
x2－x－2
x－2 ＝limx →2 ( x＋1 )＝3
3-1. 函數f (x)＝1
2 x2＋3x，請按以下程序求出導數f ′(2)，
(1) 求出“y的差量”△y＝f ( 2＋△x )－f (2)＝
1
2 ( △x )2＋5△x 。 (2) 化簡“差商”△y
△x ＝
f ( 2＋△x )－f (2)
△x ＝
1
2 △x＋5 。 (3) 求出“極限”f ′(2)＝ lim
△x →0
△y
△x ＝ 5 。
【解答】：
(1) △y＝1
2 ( 2＋△x )2＋3 ( 2＋△x )－( 1
2 ×22＋3×2 )＝1
2 ( △x )2＋5△x (2) △y
△x ＝ 1
2 △x＋5 (3) lim
△x →0
△y △x ＝5
3-2. 請利用f ′(a)＝lim
x →a
f ( x )－f ( a )
x－a ( 函數y＝f (x) 在x＝a的導數 ) 公式，求f (x)＝3x＋5 在x＝2 的導 數為 3 。
【解答】：
f ′(2)＝lim
x →2
( 3x＋5 )－( 3×2＋5 ) x－2 ＝lim
x →2
3 ( x－2 ) x－2 ＝3 3-3. 設f (x)＝x5－3x3＋4x－7，利用微分公式求：
(1) f ′(x)＝ 5x4－9x2＋4 ，f ′(1)＝ 0 。 (2) f ″(x)＝ 20x3－18x ，f ″(1)＝ 2 。
【解答】：
(1) f ′(x)＝5x4－9x2＋4，f ′(1)＝5－9＋4＝0 (2) f ″(x)＝20x3－18x，f ″(1)＝20－18＝2
3-4. 設P(x)＝1 4 x4＋1
3 x3＋2x2－3x＋7，則P′(0)＝ －3 ，P″(2)＝ 20 。
【解答】：
P ′(x)＝x3＋x2＋4x－3 ∴ P ′(0)＝－3
P ″(x)＝3x2＋2x＋4 ∴ P ″(2)＝12＋4＋4＝20
3-5. 設Γ：y＝4x2，點P ( 1 , 4 ) 在拋物線Γ上，求通過P ( 1 , 4 ) 之切線L的方程式為 y＝8x－4 。
【解答】：
過 P ( 1 , 4 ) 之切線斜率為 f ′(1) 而 f (x)＝4x2 f ′(x)＝8x ∴ f ′(1)＝8
∴ 切線 L 之方程式為 y－4＝8 ( x－1 ) y＝8x－4
3-6. 有一運動質點的位移函數為S (t)＝t3＋8t，則此質點在時刻t＝3 的瞬時速度為 35 。
【解答】：
S ′(t)＝3t2＋8 ∴ S ′(3)＝3×9＋8＝35
3-7. 設二次函數f (x)＝2x2－8x＋3 之圖形為Γ，則Γ的水平切線為 y＝－5 ，對應的切點為 ( 2 , －5 ) 。
【解答】：
f ′(x)＝4x－8，令 f ′(x)＝0 ( 水平切線斜率為 0 ) 4x－8＝0 x＝2
∴ x＝2 代入得切點為 ( 2 ,－5 )，∴ 水平切線為 y＝－5
3-8.設f (x)＝( x2－1 ) ( x3＋2x＋1 )，則f ′(x)＝ 5x4＋3x2＋2x－2 ，f ′(2)＝ 94 。
【解答】：
f (x)＝g (x)．h (x)，則 f ′(x)＝g ′(x)．h (x)＋g (x)．h ′(x)
∴ f ′(x)＝2x ( x3＋2x＋1 )＋( x2－1 ) ( 3x2＋2 ) ＝2x4＋4x2＋2x＋3x4＋2x2－3x2－2 ＝5x4＋3x2＋2x－2
f ′(2)＝5×16＋3×4＋2×2－2＝80＋12＋4－2＝94
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