提要

(1)

提要 220：三度空間中之區域表示法

只要知道三度空間中之曲面表示法，再加上大於或小於的觀念，即可定義出空間中某一有興趣的區域。同理，其表示法至少有兩種，一是純量表示法，另一是向量表示法，

說明如下。

三度空間中之區域表示法

三度空間中之區域表示法至少有兩種，說明如下：

1. 利用高度變化表示一曲面(純量表示法)：已知曲面可表為 f



x,y,z



c，故



x y z



c

f , ,  即表示以曲面為邊界之內部點所構成的區域。例如

2 2 2

2 y z a

x    表示球面及其內部之點所組成的區域。

圖 1 x² y² z² a²表示球面及其內部之點所組成的區域

(2)

2. 利用參數式表示一曲面(向量表示法)：曲面上之任意點



x,y,z



所構成的位置向 量 r 可由參數 u、v 之調整得知，即r = r(u,v)，其中參數 u、v 表曲線之座標變 數。因此，區域之向量表示法與 r  r(u,v) 有關。若以圖 2 為例，因圓球曲面之位置向量的三個分量可分別表為 ^{x u v}

 

^, ^^a^{cos cos}^u ^v ^、

 

u v a u v

y ,  sin cos 、z

 

u,v asinv，故球面及其內部之點所組成的區域可表為：

 

^{u v}^, ^â^{cos cos}û ^v ^â^{sin cos}û ^v ^â^sin^v

r i j k、0 u2 、

2 2



 _ _

 v

圖 2 ^r

 

^{u v}^, ^â^{cos cos}û ^vⁱ^â^{sin cos}û ^v^j^â^sin^v^k^、⁰^{ u}^²^ ^、

2 2



 _ _

 v 表示球面及其內部之點所組成的區域

(3)

範例一

試說明如圖 2 所示圓筒內部之點x²  y² a²、1z1的向量表示法。

圖 2 x² y² a²、1 z1所示圓筒內部之點示意圖

解答：

令xacosu、yasinu、zv，由曲面方程式知，曲面上之任意點



x,y,z



所構 成的位置向量 r 為：

k j i

r x  y z acosu asinu v

其中0 u2 、1v1。故圓筒曲面內部之點所組成的區域之表示法為：

k j i

racosu asinu v 、0 u2、1v1