三角函數 01

(1)

第章

01

圖一

三角函數

1-1 有向角及其度量

重點一有向角與角的單位 1. 有向角

(1)若OA為平面上之一線段，將_OA繞定點_O依順時針方向或逆時針方向旋轉至_OB的位置，所成的角稱為有向角；

記作__AOB，如圖一所示。

其中_OA稱為__AOB的始邊，_OB稱為__AOB的終邊，

O稱為此有向角的頂點。

(2)依逆時針方向旋轉的有向角，稱為正角，如圖一(a)。

(3)依順時針方向旋轉的有向角，稱為負角，如圖一(b)。

2. 角的單位

(1)六十分制（度）

將一圓周分為360 等分，每一等分所對應的圓心角稱為一度，記作1 。一周角_₃₆₀_，一平角_₁₈₀_，一直角_₉₀_。

(2)弧度制（弳度制）

一圓的弧長等於半徑時，稱此弧所對的圓心角為一弧度，或稱為一弳。

一周角2弧度，一平角 弧度，一直角 2

 弧度。 

(3)度與弧度制之換算

1 周角360 2弧度。 1 平角180  弧度。

1 180

   弧度。 1 弧度 180

57.2958



 

   。

小叮嚀

習慣上用弧度制時，單位「弧度」這兩字可省略。

用六十分制時，度「」絕對不可省略。

(2)

將下列各角化成以弧度為單位：

(1)300 (2)144 。

(1) 5

300 300

180 3

 

   

(2) 4

144 144

180 5

 

      

將下列各角化成以弧度為單位：

(1)315 (2)600。

(1) 7

315 315

180 4

 

   

(2) 10

600 600

180 3

 

      

將下列各角化成以度為單位：

(1)5 6

 (2) 7 5

  (3) 5 。

(1)5 5 180 6 6 150

 



 

    

 

(2) 7 7 180

5 5 252

 



 

       

 

(3) 180 900

5 5 286.5

 

 

 

        

  

將下列各角化成以度為單位：

(1)9 4

 (2) 4 3

  (3) 10。

(1)9 9 180 4 4 405

 



 

    

 

(2) 4 4 180

3 3 240

 



 

       

 

(3) 180 1800

10 10 573

 

 

 

    

  

重點二同界角

同界角

若兩個有向角具有相同的始邊與終邊，則此二角互稱為同界角。

(1)若₁與₂互為同界角，則 ₁ ₂ 360 n或 ₁ ₂ 2 n，其中n為整數。

(2)設一角度為 ，若 為 之正同界角中最小者，稱 為 的最小正同界角；若 ^為 之負同界角中最大者，稱^為 的最大負同界角。

(3)最大負同界角最小正同界角_₃₆₀_。

演練

例題 1 1

配合課本例題1 角度的換算

演練

例題 2 2

配合課本例題2 角度的換算

(3)

試判斷下列何者為 65 的同界角？

(A)425 (B)1015 (C)1865 (D)785。 (A)425    ( 65 ) 490

(B)1015    ( 65 ) 1080 360  3 (C)1865    ( 65 ) 1930

(D)785     ( 65 ) 720 360   ( 2)

∵同界角相差360的整數倍

∴選(B)、(D)

試判斷下列何者為130的同界角？

(D)1310 130  1440 360   ( 4)

∵同界角相差360的整數倍

∴選(B)、(C)、(D)

試判斷下列何者不是13 3

 的同界角？

(A) 3

 (B) 2 3

  (C)4 3

 (D) 5 3

  。

(A)13

4 2 2

3 3

     

(B)13 2 3 3 5

  ^  ^ 

 

(C)13 4 3 3 3

    

(D)13 5

6 2 3

3 3

  ^  ^   

∵同界角相差2 的整數倍

∴選(B)、(C)

試判斷下列何者是 4

 的同界角？

(A) 4

 (B) 11 4

  (C)25 4

 (D)37 4

 _。

(A) 4 4 2

    

(B) 11

4 4 3

  ^  ^ 

(C) 25

6 2 ( 3)

4 4

        

(D) 37 4 4 9

     

∵同界角相差2 的整數倍

∴選(C)

演練

例題 4 同界角 4

演練

例題 3 3

配合課本例題3 同界角

(4)

試求下列各角的最小正同界角與最大負同界角：(1)2000 (2)900 (3)22

5

 。

(1)2000 360  5 200 ∴最小正同界角為200

最大負同界角為200 360  160 (2)900 360   ( 3) 180

∴最小正同界角為180

最大負同界角為180 360  180

(3)22 2

2 2

5 5

     

∴最小正同界角為2 5

最大負同界角為2 8

5 2  5

試求下列各角的最小正同界角與最大負同界角：(1)860 (2)1110 (3)19

3 π 。

(1)860 360  2 140 ∴最小正同界角為140

最大負同界角為140 360  220 (2)1110 360   ( 4) 330

∴最小正同界角為330

最大負同界角為330 360   30 (3)19

2 3

3 3

    

∴最小正同界角為 3



最大負同界角為 5

3 2 3

     

重點三標準位置角

標準位置角

若在一個直角坐標系中，將一個有向角 的頂點置於原點上，始邊置於x軸的正向，則稱角 為標準位置角。

(1)當標準位置角 的終邊落在第一、二、三、四象限內者，分別稱為第一、二、三、四象限角。

當有向角 的最小正同界角為 ，亦即 360  n ，其中_n為整數，且₀   ₃₆₀。

①若0   90，則 為第一象限角。

②若₉₀   ₁₈₀，則 為第二象限角。

③若₁₈₀   ₂₇₀，則 為第三象限角。

④若270   360，則 為第四象限角。

(2)若標準位置角 的終邊落在坐標軸上，則稱 為象限角。

0、_90、_180、_270、_360、……等。

例

演練

例題 5 5

配合課本例題4

最小正同界角與最大負同界角

(5)

試求下列各標準位置角分別為哪一象限角？

(1)1200 (2)415 (3)13 3

 。

(1)1200 360  3 120 ∵90 120 180 ∴1200為第二象限角 (2)415 360   ( 2) 305 ∵270 305 360 ∴415為第四象限角 (3)13

2 2

3 3

    

∵0

3 2

 

∴13 3

 為第一象限角

試求下列各標準位置角分別為哪一象限角？

(1)980 (2)1280 (3) 23 6

  。

(1)980 360  2 260 ∵180 260 270 ∴980為第三象限角 (2)1280 360   ( 4) 160 ∵90 160 180

∴1280為第二象限角 (3) 23

2 ( 2)

6 6

  

    

∵0

6 2

 

∴ 23 6

  為第一象限角

重點四扇形的弧長與面積

扇形的弧長與面積

若一扇形的半徑為r ，弧長為S，圓心角為 弧度，扇形的周長為T ， 面積為A ，則

(1)Sr。

(2)T  S 2r r  2r。 (3) 1 ² 1

2 2

A r  rS。

小叮嚀

使用這些公式時，圓心角的單位必須用弧度為單位。

演練

例題 6 6

配合課本例題5 標準位置角

(6)

已知一扇形的半徑為 12 公分，圓心角為 30，試求此扇形的弧長、周長及面積。

半徑r12，圓心角 30 6

    

弧長 12 2

Sr   6  公分周長_T  _S ₂_r₂  _{2 12} 2 24公分

面積 1 ² 1 ²

2 2 12 6

A r      12 平方公分

已知一扇形的半徑為 9 公分，圓心角為 120，試求此扇形的弧長、周長及面積。

半徑r9，圓心角 2

120 3

    

弧長 2

9 6

Sr   3   公分

周長_T  _S ₂_r₆   _{2 9 6}₁₈公分

面積 1 ² 1 ² 2

2 2 9 3

A r     27平方公分

已知一扇形的圓心角為_60，弧長為₂ 公分，試求此扇形的半徑及面積。

圓心角 60

3

    

弧長 2

Sr   r 3 半徑r6公分

面積 1 1

6 2 6

2 2

A rS      平方公分

已知一扇形的圓心角為_72，面積為₂₀ 平方公分，試求此扇形的半徑及弧長。

圓心角 2

72 5

    

面積 1 ² 2

2 5 20

A r    

半徑r10公分

弧長 2

10 4

Sr   5   公分

已知一扇形的周長為其圓心角所對應之弧長值的2 倍，試求此扇形的圓心角。

周長為弧長的 2 倍

T 2S

S2r2S

S2r

r 2r

 2

已知一扇形的面積值為其圓心角所對應之弧長值的一半，試求此扇形的半徑。

面積為弧長的一半

 1

A2S

1 1

2rS2S

r 1

演練

例題 9 扇形的弧長與面積（進階題） 9

演練

例題 7 7

配合課本例題7 扇形的弧長與面積

演練

例題 8 8

配合課本例題8 扇形的弧長與面積

(7)

自我評量 _評量

自我

1 1. 將下列各角化成以弧度為單位：

(1)240  4 3

  (2)675  15 4

 _。

2 2. 將下列各角化成以度為單位：

(1)11 6

 _ _330

(2) 3 5

   108 。

3 ( Ｄ ) 3. 下列何者是135的同界角？ (A)855 (B)495 (C)735 (D)855。

4 ( Ｃ ) 4. 下列何者不是23 4

 _{的同界角？}

(A) 9 4

  (B) 4

 (C) 3 4

 (D)7 4

 _。

5,6 5. 已知 2020，則 之最小正同界角為 220 ，最大負同界角為 140 ， 為第三象限角。

5,6 6. 已知  1200，則 之最小正同界角為 240 ，最大負同界角為 120 ， 為第三象限角。

■ 對應例題

(8)

自我評量 _評量

自我

5,6 7. 已知 28 5

   ，則 之最小正同界角為 8 5

 _{，最大負同界角為} 2

5

  ， 為第

四象限角。

5,6 8. 已知 16 3

    ，則 之最小正同界角為 2 3

 ，最大負同界角為 4

3

  ， 為第

二象限角。

7 9. 已知一扇形的半徑為 6 公分，圓心角為120，則此扇形的弧長為 4 ^{公分，面積為} 12 ^{平方公分。}

8 10. 已知一扇形的圓心角為45，弧長為₄ 公分，則此扇形的半徑為 16 公分，面積為 32 平方公分。

9 11. 若一扇形之面積值與其所對應之弧長值相等，則此扇形的半徑為 2 。

12. 班上同樂會，宣宣訂了 pizza，已知圓形 pizza 等分成 8 片（通過圓心切片），若 pizza 半徑為10 公分，則 pizza 的面積為 25

2

 平方公分。【素養題】

(9)

1-2 三角函數的定義與圖形

重點一銳角三角函數的定義

銳角三角函數的定義

 的正弦函數值sinA A =a

A c

  的對邊

斜邊。

 的餘弦函數值 cosA A =b

A c

 的鄰邊

斜邊。

 的正切函數值A tan A =a

A A b

 



的對邊

的鄰邊。

已知△ABC 中，C為直角，若 AB5， 4

AC  ，試求_sin_A、_cos_A、_tan_A之值。

2 2

5 4 3

BC   由三角函數定義知：

sin 3

A ，5 4 cosA 5 tan 3

A 4

已知△ABC 中，C為直角，若 AC 5， 12

BC  ，試求_{sin A}、_{cos A}、_{tan A}之值。

2 2

5 12 13 AB   由三角函數定義知：

sin 12

A13， 5 cosA13 tan 12

A 5

已知△ABC中，__C為直角，若 5 tanA12 ，試求_{sin B}、cos B 之值。

∵ 5

tanA12

取AC12、BC 5 則_AB_ ₁₂² _₅² _₁₃

∴由三角函數定義知 12

sinB13， 5 cosB13

已知△ABC中，__C為直角，且 1 sinA ，2 試求_{sin B}、cos B 、 tan B 之值。

∵ 1

sinA 2

取AB 、2 BC 1 則_AC_ ₂²_₁² _ ₃

∴由三角函數定義知

3

sinB 2 ， 1

cosB ， tan2 B 3 演練

例題 1 1

配合課本例題1 銳角三角函數的定義

演練

例題 2 2

(10)

在△ABC 中，C為直角，已知BC 8且 tan 4

A ，試求 ABC3 △ 的周長。

8 4

tanA 3

 AC 

AC6

∴AB 8²6² 10 故△ABC的周長為

8 6 10 24  

在△ABC中，C為直角，已知AB15且 sin 3

A ，試求5 AC的長。

sin 3

15 5 A BC 

BC 9

∴AC 15²9² 12

重點二特別角的三角函數值特別角的三角函數值

函數值函數

角度

30 6

 

   45

4

 

   60

3

 

  

sin 1

2

2 2

3 2

cos ³

2

2 2

1 2

tan ³

3 1 3

圖形

小叮嚀

習慣上，我們把_{(sin )}_A ⁿ記作_sinⁿ _A（n為整數），

例如：(sin 30 ) ² sin 30² ，(sin 30 ) ³ sin 30³ 。

演練

例題 3 3

(11)

試求4sin 30 2cos 45²   3 tan 60³  之值。

原式

2

1 1 3

4 2 3 ( 3)

2 2

 

         2 1 9 12

試求3tan² 4cos² sin²

6 4 3

  

  之值。

原式

2 2

1 1 3

3 4

3 2 2

 

   

        

3

1 2 4

   15

 4

試求

2

1 cos 3 1 sin

4







之值。

原式

2

1 3

1 2 4

1 3

1 2 2

    

 

 

  

1

 2

試求(2sin 60 tan 45 )(2cos30   3 tan 30 ) 之值。

原式 3 3 1

2 1 2 3

2 2 3

  

       

  

( 3 1)( 3 1)   2

重點三廣義角的三角函數 1. 定義

設 ^{為標準位置角，取} ^{終邊上異於} 原點之任一點P x y ， ( , )

令OP r  x² y² ，

則定義有向角 的三角函數值為 sin y

  ， r cos x

  ， r tan y

  （x x0）。

演練

例題 4 4

配合課本例題5 特別角的三角函數值

演練

例題 5 5

配合課本例題6 特別角的三角函數值

(12)

2. 同界角三角函數值相等 設n為整數，則

(1) sin(360  n ) sin  。 (2) cos(360  n ) cos 。 (3) tan(360  n ) tan 。 3. 三角函數值的正負

正負值函數

 ^所在

象限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

sin    

cos    

tan    

已知P( 4,3) 為標準位置角 ^{終邊上一點，}

試求_sin 、_cos 、_tan的值。

2 2

( 4) 3 5 r    sin 3

5 y

  r  cos 4

5 x

  r ^ tan 3

4 y

  x 



已知P( 12, 5)  為標準位置角 ^{終邊上一} 點，試求_sin、_cos 、_tan的值。

2 2

( 12) ( 5) 13 r     sin 5

13 y

  r  ^ cos 12

13 x

  r ^ tan 5

12 y

  x 

演練

例題６６

配合課本例題7 廣義三角函數定義

(13)

已知sin 0且tan 0，則 為第幾象限角？

∵sin 0 為第一或第二象限角 tan 0 為第二或第四象限角

∴ 為第二象限角

已知cos 0且tan 0，則 為第幾象限角？

∵cos 0 為第二或第三象限角 tan 0 為第一或第三象限角

∴ 為第三象限角

已知 為第四象限角，且 3

cos  ，試求5 sin 、tan 的值。

∵ 3

cos  ，且 為第四象限角 5 取r 、5 x3

2 2

5 3 4

y    

∴ 4

sin 5

y

  r  ^

4

tan 3

y

  x  ^

已知 為第三象限角，且 12

tan  5 ，試求 sin 、cos 的值。

∵ 12

tan  5 ，且 為第三象限角取x  、5 y  12

2 2

( 5) ( 12) 13 r    

∴ 12

sin 13

y

  r  ^

5

cos 13

x

  r ^

演練

例題 8 廣義三角函數定義 8

演練

例題 7 7

(14)

已知 5

sin 13 ，且_cos ₀，試求_cos 、 tan^的值。

∵ 5

sin 0

 13 ，且cos 0

 為第二象限角取_r_₁₃、y 5

2 2

13 5 12

x    

∴ 12

cos 13

x

  r ^

5

tan 12

y

  x 



已知tan  2，且sin 0，試求sin 、 cos 的值。

∵tan   2 0，且sin 0

 為第四象限角取_x_₁、y  2

2 2

1 ( 2) 5 r   

∴ 2 2 5

sin 5 5

y

  r  ^ ^

1 5

cos 5 5

x

  r 

已知₁₈₀   ₂₇₀，且_tan ₁，試求 ^之值。

∵180   270，且tan 1 在角 ^{終邊上取一點}P( 1, 1)  作PQ 垂直x軸於Q 點，如圖

∴POQ45 故  ₂₂₅

已知₉₀   ₁₈₀，且 1

sin  ，試求2  ^之值。

∵90   180，且 1 sin  2 在角 終邊上取一點 ( 3,1)P  作PQ 垂直x軸於Q 點，如圖

∴POQ30 故  150

演練

例題 10 廣義三角函數定義 10

演練

例題 9 9

(15)

重點四象限角的三角函數值 象限角的三角函數值

函數

角度函數（弧度）

值 0 (0) 90 2

 

   180 ( ) 3 270_^2^_

 

sin 0 1 0  1

cos 1 0 1 0

tan 0 無意義 0 無意義

試求sin 0 cos tan 2

 

  的值。

原式   0 0 0 0

試求 _{sin 90}_{ }_{2 cos0}_{ }_{3tan 0}_{ }_{4sin 270}_ 的值。

原式          1 2 1 3 0 4 ( 1) 1

重點五化任意角的三角函數值為銳角的三角函數值 1. ()的三角函數轉換

(1)sin(  ) sin (2) cos( ) cos (3) tan(  ) tan 。 2. (180 )的三角函數轉換

(1)sin(180 ) sin  (2)cos(180 ) cos (3)tan(180 ) tan 。 3. (180 )的三角函數轉換

(1)sin(180 ) sin (2) cos(180 ) cos (3) tan(180 ) tan  。 4. (360 )的三角函數轉換

(1)sin(360 ) sin (2) cos(360 ) cos  (3) tan(360 ) tan。 5. (90 )的三角函數轉換

(1)sin(90 ) cos  (2)cos(90 ) sin 。 6. (270 )的三角函數轉換

(1)sin(270 ) cos (2) cos(270 ) sin 。

演練

例題 11 11

配合課本例題10、11 象限角的三角函數值

(16)

7. (270 )的三角函數轉換

(1)sin(270 ) cos (2) cos(270 ) sin 。 8. 化90  n  的三角函數值為 的三角函數值

(1)若n為偶數時，則

①sin(90  n ) sin ②cos(90  n ) cos ③ tan(90  n ) tan 。若n為奇數時，則

①sin(90  n ) cos ② cos(90  n ) sin。

(2)正負符號的決定：將 視為銳角，正負符號由原函數角度所在象限之正負決定。

試求下列三角函數值：

(1)sin( 45 )  (2) cos( 30 )  (3) tan 3



 

 。

(1) 2

sin( 45 ) sin 45

       2

(2) 3

cos( 30 ) cos30

     2

(3) tan tan 3

3 3

 

    

 

 

(1)sin( 60 )  (2) cos 4



 

  (3)tan( 30 )  。

(1) 3

sin( 60 ) sin 60

       2

(2) 2

cos cos

4 4 2

 

  

 

 

(3) 3

tan( 30 ) tan 30

       3

(1)cos150 (2)sin120 (3) 3 tan4。

(1) 3

cos150 cos30

      2

(2) 3

sin120 sin 60

    2 (3) 3

tan tan 1

4 4

     

(1)tan120 (2)cos135 (3) 5 sin6 。 (1) tan120  tan 60   3

(2) 2

cos135 cos 45

      2

(3) 5 1

sin sin

6 6 2

   

演練

例題 12 12

配合課本例題12



 的三角函數轉換

演練

例題 13 13

配合課本例題13 180 的三角函數轉換

(17)

(1)cos 210 (2)tan 225 (3) 4 sin3 ^。

(1) 3

cos 210 cos30

      2 (2)tan 225 tan 45 1

(3) 4 3

sin sin

3 3 2

     

(1)sin 240 (2) 5

cos4 (3)tan 210。

(1) 3

sin 240 sin 60

      2

(2) 5 2

cos cos

4 4 2

     

(3) 3

tan 210 tan 30

    3

(1)sin 330 (2)cos300 (3) 7 tan4^。

(1) 1

sin 330 sin 30

      2

(2) 1

cos300 cos60

    2 (3) 7

tan tan 1

4 4

     

(1)tan 300 (2)sin 315 (3) 11 cos 6 ^。 (1) tan 300  tan 60   3

(2) 2

sin 315 sin 45

      2

(3) 11 3

cos cos

6 6 2

   

演練

例題 14 14

配合課本例題14 180 的三角函數轉換

演練

例題 15 15

配合課本例題15 360 的三角函數轉換

(18)

已知 為銳角，且 12

tan  5 ，試求下列各式之值：

(1)sin(90 ) (2) cos(90 ) (3) cos(270 ) (4)sin(270 )。

∵ ^為銳角，

且 12

tan  5 ，如圖：

取x ，5 y12 則r 5² 12² 13

(1) 5

sin(90 ) cos

  13

   

(2) 12

cos(90 ) sin

  13

     

(3) 12

cos(270 ) sin

  13

     

(4) 5

sin(270 ) cos

  13

     

已知 為銳角，且 3

tan  ，試求下列各式4 之值：

(1) cos(90 ) (2)sin(90 ) (3)sin(270 ) (4) cos(270 )。

∵ ^為銳角，

且 3

tan  ，如圖： 4 取_x_₄，y 3 則r 4² 3² 5

(1) 3

cos(90 ) sin

  5

   

(2) 4

sin(90 ) cos

  5

   

(3) 4

sin(270 ) cos

  5

     

(4) 3

cos(270 ) sin

  5

   

(1)sin 2040 (2) cos( 855 )  。 (1)sin 2040 sin(360  5 240 )

sin 240  sin 60 3

  2

(2) cos( 855 ) cos(360      ( 3) 225 ) cos 225  cos 45 2

  2

(1)tan 675 (2) cos( 780 )  。 (1) tan 675 tan(360  1 315 )

tan 315  tan 45   1

(2) cos( 780 ) cos(360      ( 3) 300 ) cos300 cos60 1

 2

演練

例題 16 16

配合課本例題16

90 、270 的三角函數轉換

演練

例題 17 17

配合課本例題17 同界角三角函數值

(19)

已知 tan 40 k ，試以 k 表示 sin 2020 的值。

tan 40

1 k k

   ，如圖：

sin 2020

sin(360 5 220 )

    

sin 220 sin 40

    

1 2

k

  k



已知sin 23 k，試以k表示cos877的值。

sin 23

1 k k

   ，如圖：

cos877

cos(360 2 157 )

    

cos157 cos 23

    

1 k2

  

重點六三角函數的圖形 1. 週期函數

一個函數 f x ，若存在正數 p ，使得( ) f x p(  ) f x( )，對所有_x均成立，我們稱 f x 為( ) 週期函數，而最小正整數p 稱為 f x 的週期。 ( )

2. 正弦函數ysinx的圖形與特性 (1)圖形：

(2)特性：

① 1 sinx1。

②圖形連續不斷，且週期為2 。

③若把實數x視為標準位置有向角時，在第一、四象限為遞增函數，在第二、三象限為遞減函數。

3. 餘弦函數ycosx的圖形與特性 (1)圖形：

演練

例題 18 同界角三角函數值（進階題） 18

小叮嚀

sin(x2 ) sin  x，即sinx的週期為2。

(20)

(2)特性：

① 1 cosx1。

②圖形連續不斷，且週期為2 。

③若把實數x視為標準位置有向角時，在第一、二象限為遞減函數，在第三、四象限為遞增函數。

4. 正切函數ytanx的圖形與特性 (1)圖形：

(2)特性：

①tan x 值為任意實數。

②圖形在

x n   （2 n為整數）處中斷，所以不連續，週期為 。 ③若把實數x視為標準位置有向角時，在四個象限皆為遞增函數。

5. 三角函數的定義域、值域及週期

函數定義域值域週期 0

x 2

  的函數值變化 sin

y x R（所有實數）   1 y 1 2 隨_x的增加而增加 cos

y x R   1 y 1 2 隨_x的增加而減少

tan y x

x n  2 ，_n為整數 _R _ 隨x的增加而增加

小叮嚀

tan(x) tan x，即tan x的週期為。小叮嚀

(1)cos(x2 ) cos  x，即cos x的週期為₂。 (2) sin cos

y x2 x

  ，即將ysinx之圖形左移 2

，即可得_y_cos_x的圖形。

(21)

試作下列各函數的圖形，並求其週期：

(1)ysinx (2)1 y2sinx (3)ysin 2x。 (1)

ysinx 之圖形是將1 ysinx之圖形向下平移1 單位，週期為2 。

(2)

y2sinx之圖形是將ysinx之圖形，以_x軸為中心，縱向放大2 倍，週期為2 ^。

(3)

ysin 2x之圖形是將ysinx，以y 軸為中心，橫向壓縮1

2倍，週期為 。 19 三角函數的圖形

(22)

試作下列各函數的圖形，並求其週期：

(1)ycosx (2)1 1 2cos

y x (3) cos 2 y x 。

(1)

ycosx 之圖形是將1 ycosx之圖形向上平移1 單位，週期為2 。

(2)

1 2cos

y x之圖形是將ycosx之圖形，以_x軸為中心，縱向壓縮1

2倍，週期為₂ ^。

(3)

cos 2

y x之圖形是將ycosx之圖形，以y 軸為中心，橫向放大2 倍，週期為4 ^。 19 三角函數的圖形

(23)

試比較asin12、bsin 34、csin 56的大小。

由ysinx的圖形可知，

當₀  _x ₉₀時，_{sin x}的值為遞增

∴_sin12 _{sin 34} _{sin 56} 故_{a b c} 

試比較 sin a_ 6 _、

sin4 b_  _、

sin 3 c_  _的大小。

由ysinx的圖形可知，

當₀_{  }_x ₉₀_時，_{sin x}的值為遞增

∴sin sin sin

6 4 3

 _  _  故_{a b c}_{ }

試比較_a__sin100_、_b__{sin 200}_、 sin 300

c 的大小。

sin100 sin 80 0 a    

sin 200 sin 20 0 b     

sin 300 sin 60 0 c     

∵sin 20  sin 60

∴a b c 

試比較_a__cos100_、_b__{cos 200}_、 cos300

c 的大小。

cos100 cos80 sin10 0 a        

cos 200 cos 20 sin 70 0

b        

cos300 cos60 0 c    

∵sin10  sin 70

∴c a b 

演練

例題 20 三角函數比大小 20

演練

例題 21 三角函數比大小 21

(24)

試求下列三角函數的週期：

(1)ysin 3x。 (2)y2cos 4x。 (3) tan

2

y ^x^。

(1)∵ysinx的週期為₂ ∴ysin 3x的週期為2 3



(2)∵ycosx的週期為2 ∴y2cos 4x的週期為2

4 2

 _ (3)∵ytanx的週期為

∴ tan 2

y ^x^的週期為 2 1 2

  

試求下列三角函數的週期：

(1) 2sin 5 2

y  x  。

(2) 1 2cos3 y  x。 (3) 5tan 2 1

y _ _ x_2__

 

  。 (1)∵ysinx的週期為₂

∴ 2sin 5 2

y x 的週期為2 1 4 2

  

(2)∵ycosx的週期為2 ∴ 1

2cos3

y x的週期為2 3



(3)∵ytanx的週期為 ∴ 5tan 2 1

y_ _ x_2__

 

  的週期為

2



試求y3sinx 的最大值與最小值。 1 ∵ 1 sinx1

 3 3sinx3

 2 3sinx 1 4

∴最大值為4，最小值為 2

試求y 2cosx 的最大值與最小值。 3 ∵ 1 cosx1

2 2 cosx 2

5 2 cosx 3 1

∴最大值為5，最小值為 1

演練

例題 22 三角函數的週期 22

演練

例題 23 三角函數值域的應用 23

(25)

已知 f x( ) sin ²xsinx ，試求 ( )1 f x 的最 大值及最小值。

( ) sin2 sin 1 f x  x x

2

2 1 1

sin sin 1

2 4

x x

   

      

1 2 3 sinx 2 4

 

   

當 1

sinx  時， ( )2 f x 有最小值3 4 sinx1時， f x 有最大值 3 ( )

已知 f x( ) cos ²xcosx ，試求 ( )3 f x 的最 大值及最小值。

( ) cos2 cos 3 f x  x x

2

2 1 1

cos cos 3

2 4

x x

   

      

1 2 11 cosx 2 4

 

   

當 1

cosx 時， ( )2 f x 有最小值11 4 cosx 1時， f x 有最大值 5 ( )

演練

例題 24 三角函數的極值 24

(26)

自我評量 _評量

自我

1 1. 已知△ABC中，__C為直角，若_AC __BC ，則_sin_A__cos_A__tan_A_ 1 2 。

2 2. 已知△ABC中，_{ }_C ₉₀_， 1

tanA ，則3 sinA3sinB 10 。

2 3. 已知△ABC中，_{ }_C ₉₀_，_AC _₃，_AB_₂_BC，則_{sin A}_ 1

2 ，_{sin B} _ 3

2 。

3 4. 在△ABC中， C 90，已知BC10且 5

tanA12 ，則AB 26 。

4 5. 求 3 tan 30  2 sin 45 2 cos60 之值為 3 。

5 6. 求

2 2

tan sin

6 4

tan cos

3 4

 





之值為 1

3 。

6 7. 已知 ( 2, 1)P   為標準位置角 終邊上一點，則sin 2 cos   5 。

7 8.點 (sin109 ,cos2020 )P   落在第四象限。

7 9. 已知sin 0，_cos ₀，則 為第四象限角。

8 10. 已知 ^{為第二象限角，且}sin ³

  ，則5 cos  4

5 ，_tan  3

4 。

9 11. 已知 5

sin  13，且tan 0，則 tan 1 cos



 ^



13

60 。

■ 對應例題

(27)

自我評量 _評量

自我

10 12.已知90   180，且 1

cos   ，則2  120 。

11 13. 求sin 0 tan 0 cos180 cos 270 sin 90之值為 0 。

12 14. 求 sin( 30 ) cos( 60 ) tan( 45 )        之值為 1 。

13,14,15 15. 求 2 sin135 2 cos300 tan 225之值為 3 。

16 16. 已知 為銳角，且tan 2，則 (1)sin(90 ) 5

5 (2) tan(180 ) 2 (3) cos(270 ) 2 5

 5 。

13 17. 求 sin( 855 ) cos855    tan 675 之值為  1 2 。

12,13,14,16 18. 設 ^{不為象限角，則} ^sin( ⁾ ^cos(90 ⁾

sin(180 ) sin(180 )

 

   

    之值為 0 。

18 19. 已知cos10 k，則以_k表示_{tan 550 }

1 k2

k

 。

20 20. 設acos12、_b__cos34_、_c__cos56_，則a、b、c 的大小順序為 a b c  。

21 21.設asin100、_b__sin120_、_c__sin140_，則a、b、c 的大小順序為 a b c  。

(28)

自我評量 _評量

自我

21 22. 設asin130、bcos( 50 )  、ctan 770，則a、b、c 的大小順序為 c a b  。

22 23. 函數 ( ) 3sin 2f x  x的週期為  ^。

22 24.函數 ( ) 2cos 3 f x _ _ x_2_

 

 的週期為 2 3

 _。

22 25.函數 ( ) 2 tan 4 2 2 f x _x  _

   

  的週期為 2 ^。

23 26. 已知函數 ( ) 2sinf x  x ，則 ( )3 f x 的最大值為 5 ，最小值為 1 。

24 27. 已知函數

2 2

( ) sin 4

f x  x3  ，則 f x 的最大值為( ) 61

9 ，最小值為 4 。

24 28.已知函數 f x( ) (sinx2)² ，則 ( )3 f x 的最大值為 2 ，最小值為 6 。

24 29. 已知函數 f x( ) sin² xsinx ，則 ( )1 f x 的最大值為 5

4 ，最小值為 1 。

(29)

1-3 三角函數的應用

重點一三角函數的基本關係 1. 餘角關係式

(1)sin(90 ) cos  。 (2)cos(90 ) sin  。 2. 平方關係式

2 2

sin  cos   。 1 3. 商數關係式

tan sin

cos

 

  。

試在空格內填入適當的角度：

(1)sin 20 sin ( 90  ) cos 。 (2)cos36 cos (90  ) sin 。

(1)sin 20 sin(90   70 ) cos70 (2) cos36 cos(90   54 ) sin 54

試在空格內填入適當的角度：

(1) cos18 cos (90  ) sin 。 (2)sin 63 sin ( 90  ) cos 。

(1) cos18 cos(90   72 ) sin 72 (2)sin 63 sin(90   27 ) cos 27

試求sin 15²  sin 75²  之值。

由餘角關係式知：sin 75²  cos 15²  由平方關係式知：

原式sin 15²  cos 15²   1

試求3 2sin 36 ²  2cos 36²  之值。

原式  3 2 (sin 36²  cos 36 )²    3 2 1

 1

演練

例題 1 1

配合課本例題1 餘角關係式

演練

例題 2 2

配合課本例題2 平方關係式

(30)

設 為銳角，已知tan 2，試求 2sin cos

sin 2cos

 



 之值。

原式

sin cos 2 cos cos

sin cos

cos 2 cos

 

 



 

2 tan 1 2 2 1

tan 2 2 2



  

 

 

5

 4

設 為銳角，已知 2

tan  ，試求 3 3sin 2cos

6sin cos

 



 之值。

原式

sin cos

3 2

cos cos

sin cos 6 cos cos

 

  



 

3 2 2

3tan 2 3

6 tan 1 6 2 1 3



  

 

  

4

 3 演練

例題 3 3

配合課本例題3 商數關係式

(31)

已知₀   ₉₀，若 1 sin cos

    ，試求5 下列各式之值：

(1)sin cos  。 (2)sin cos。

(3) 1

tan tan

  。 (4)sin³ cos³。

(1)∵ 1

sin cos

    5

 ² 1

(sin cos )

   25

 ² ² 1

sin 2sin cos cos

       25

 1

1 2sin cos

  25

 

 12

sin cos

   25 (2)(sin cos ) ²

sin² 2sin cos  cos²  1 2sin cos 

12 49

1 2 25 25

   

又sin 0，_cos ₀

∴ 7

sin cos

    5

(3) 1

tan tan

 

2 2

sin cos sin cos cos sin sin cos

   

   

1 1 25

sin cos 12 12 25

 

  

(4)sin³ cos³

(sin cos )(sin ² sin cos  cos²)

1 12 37

5 1 25 125

 

   

已知₀   ₉₀，若 5 sin cos

    ，試求4 下列各式之值：

(1)sin cos  。 (2)(sin cos ) ²。 (3)sin³ cos³。

(1)∵ 5

sin cos

    4

 ² 25

(sin cos )

   16

 ² ² 25

sin 2sin cos cos

      16

 25

1 2sin cos

  16

 

 9

sin cos

  32 (2)(sin cos ) ²

sin² 2sin cos  cos²  1 2sin cos 

9 7

1 2 32 16

    (3)sin³ cos³

(sin cos )(sin ² sin cos  cos²)

5 9 115

4 1 32 128

 

   

演練

例題 4 4

配合課本例題4

平方關係式的應用（進階題）

(32)

圖一已知3sin² 4sin   ，試求4 0 sin 的

值。

3sin2 4sin   4 0

 (3sin 2)(sin 2) 0

 2

sin   或 2 3

∵ _{1 sin} ₁

∴ 2

sin   3

若2cos² 5cos   ，且3 0 0   90，試求 ？

2cos2 5cos   3 0

 (2cos 1)(cos   3) 0

 1

cos  或2 3

∵ _{1 cos} ₁

∴ 1

cos  2

又₀   ₉₀，故 ₆₀

重點二三角測量 1. 鉛直線

即通過地心的直線。

2. 水平線

與鉛直線垂直的直線。

3. 觀物線

通過觀測點（即眼睛）與觀測物的連線。

4. 仰角與俯角

若觀物線在水平線之上方時，兩者的夾角稱為仰角；

若觀物線在水平線下方時，兩者的夾角即稱為俯角，

如圖一所示。

5. 方位

常見的方位除了東、西、南、北四個方位外，還有東北、東南、西南、西北四個常用方位，如圖二所示。

演練

例題 5 5

配合課本例題5 三角函數的值域

(33)

若方位不在上述的八個方位時，如圖三所示，其方位的敘述如下：

A 點的方位為北20東（或東70北）； B 點的方位為北40西（或西50北）； C 點的方位為南70東（或東20南）。

宣宣在某處測得遠處山頂的仰角為_30，朝山的方向前進 100 公尺再測之，得仰角為

45，則山高為何？【素養題】

設山高CD h ，則_{BC h}_ 在△ACD中：

1 3 CD

AC   1

100 3

h h 



 3h100  ( 3 1)h  h100

 100

50( 3 1) h 3 1 

 公尺

信圻由 A 點測某一建築物仰角為30，於同一平面向此一建築物前進80 公尺，再測得仰角為_60，則此建築物的高度為何？【素養題】

設建築物高度CD h ，則

3 BC  h 在△ACD中：

1 3 CD

AC   ¹

80 3 3 h

h 



 3 80 3

h  h  3h80 3 h

 2h80 3h40 3公尺

圖二圖三

演練

例題 6 6

配合課本例題8 三角測量的應用

(34)

芬妹在平面上一點 A 觀測一塔頂上的旗桿，

旗桿頂的仰角為60，而塔頂的仰角為45，若點 A 與塔相距 30 公尺，則旗桿長為何？

【素養題】

設旗桿長CD

∵_{AB BC}_ _₃₀ 且BD30 3

∴_{CD BD BC}_ _

30 3 30 30( 3 1)   公尺

設升旗臺上有一旗桿，旗桿長 6 公尺，德哥從地面一點測得旗桿頂端仰角為60，升旗臺頂端之仰角為45，試求升旗臺的高度？

【素養題】

已知旗桿長CD6 設_{AB BC}_ __x

在△ABD中 3

1 BD

AB 

∴ 6 3

1 x

x

  x 6 3x

 ( 3 1) 6x  

 6

3( 3 1) x 3 1 

 公尺

演練

例題 7 7

配合課本例題8 三角測量的應用

(35)

自我評量 _評量

自我

1 1. 若sin 23 cos x，cos54 sin y ，則x y  103 。

2 2. 求sin 35²  sin 45²  sin 55²  之值為 3 2 。

3 3. 設 為銳角，已知 1

tan  ，則2 2sin cos 4sin cos

 

 

 2 。

5 4. 已知5sin² 7sin   ，則6 0 sin  3

5 。

6 5. 佩蓉從地面上一點 A 先測得大樓頂端之仰角為45，再向大樓方向前進150 公尺到達 B，

此時測得之仰角為_60，求此大樓之高度？ 75( 3 3) 公尺。【素養題】

7 6. 山頂上有一高 20 公尺之塔，阿帆於地面上一點測得塔頂之仰角為60，又測得山頂之仰角為_30，求山高？ 10 公尺。【素養題】

7 7. 山頂有一高 30 公尺之塔，汶穎於地面上 A 處測得塔頂之仰角為45，又測得山頂之仰角為30，求山高？ 15( 3 1) 公尺。【素養題】

4 8. 已知 為銳角，若 2 sin cos

    ，則 3 (1)sin cos   5

18 (2)sin cos  14

3 (3)sin³ cos³  23 27 。

■ 對應例題

(36)

* 表示進階題

【1-1】

( Ｄ ) 1. 下列何者為480的最小正同界角？ (A)120 (B)300 (C) 3

 (D)4 3

 。

( Ｂ ) 2. 下列何者為60的同界角？ (A) 7 3



 (B) 5 3



 (C)4 3

 (D)5 3

 _。

( Ｄ ) 3. 已知一角之弧度為 3

 ，下列何者為其同界角？ (A)240 (B)300 (C)390

(D)420。

( Ｄ ) 4. 已知一有向角 12弧度。若其頂點與直角坐標的原點重合，始邊與_x軸正向重合。試問其終邊落在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。

( Ａ ) 5. 設某扇形半徑為 4，角度為θ，其面積等於 。若另一扇形半徑為 1，角度為θ，則其弧長為何？ (A)

8

 (B) 4

 (C) 2

 _{(D) 。}

( Ｄ ) 6. 下列何者不是2019的同界角？ (A)579 (B)73

60 (C) 47 60

 (D)321。

【1-2】

( Ａ ) 7. 已知△ABC中，__C為直角，且_BC_₇、_AC_₂₄。則_{sin A}_？ (A) 7

25 (B) 7 24 (C)24

25 (D)25 24。

( Ｂ ) 8. 已知 、為直角三角形△ABC之兩銳角，且 2

cos  ，則 tan3   ？ (A) 5 3 (B)2 5

5 (C) 5

2 (D)3 5 5 。

( Ｂ ) 9. 若直角三角形ABC之__C為直角，且 3

sinB ，則5 sin 1 cos

A

 A之值為何？ (A)1 3 (B)1

2 (C)27

20 (D)32 15。 ( Ｂ ) 10. 求 3

sin cos tan

6 2 4

  

   ？ (A) 1 (B) 1

 (C) 0 (D)2 1 2。 ( Ｂ ) 11. 設 3

2 2

    且 4

tan  ，則3 sin cos ？ (A) 8

 (B)5 7

 (C) 15  (D) 0。

(37)

* 表示進階題

( Ｂ ) 12. 求 11

sin cos sin cos

3 6 6 3

  _ __  _  _

 

  ？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( Ａ ) 13. 31 cos 6

  

 

 之值為何？ (A) 3

 2 (B) 1

 (C)2 1

2 (D) 3 2 。 ( Ａ ) 14. 假設    90  0 ，且 3

tan   ，則4 cos 1 sin



  ？ (A)3 (B) 8

 (C) 23  (D) 3

 。 8

( Ｂ ) 15. 下列何者與sin 2015的函數值相同？ (A)cos35 (B)sin 35 (C)sin 35

(D)cos35。

( Ｃ ) 16. 點(sin( 400 ),cos580 )   在第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。

【1-3】

( Ｂ ) 17. 已知sin²cos² 且sin(901  ) cos  ，則(sin 23 sin67 ) ² (sin 23 sin67 )  ？ ² (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ｂ ) 18. 若2cos² 5cos   ，則2 0 cos ？ (A) 0 (B)1

2 (C) 2

2 (D) 3 2 。 ( Ａ ) 19. 設asin 840，bcos( 840 )  ，ctan840，則a、b、c 之大小關係為何？

(A)a b c  (B)b a c  (C)b c a  (D)c b a  。 ( Ｃ ) 20. 已知 1 sin 1，則

1 2 3 sin 2 4

   

 

  之最大值為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ａ ) 21. 已知正弦函數 ( ) sinf x  x之週期為₂ ，則 ( ) 4sin 2g x  x 的週期為何？ (A) 3 (B)2 (C)3 (D)4 。

( Ａ ) 22. 已知ysinx之圖形如圖，下列何者之值與_sin17相等？ (A)sin163

(B) sin( 163 )  (C)sin107 (D)sin197。

(38)

* 表示進階題

【1-1】

( Ｃ ) 1. 設圓之半徑為 6，則以40為圓心角的扇形面積為何？ (A) (B)2 (C)4

(D)8 。【103 統測-A】

( Ｃ ) 2. 設標準位置角θ 10 ，則下列何者正確？ (A) 100°跟 θ 在同一象限內 (B) 100°是 θ 的一個同界角 (C) θ 為

18

 弧度 (D)圓心角為 θ 且半徑為 1 的扇形之弧長為 10。

【105 統測-A】

( Ｂ ) 3. 試問960的最大負同界角為何？ (A) 3



(B) 2 3

 

(C) 5 6

 

(D) 5 4

  。

【105 統測-S】

( Ｄ ) 4. 設某扇形之弧長為a公分且其面積為_b平方公分，若_{2a b}_ ，則此扇形之半徑為多少公分？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。【106 統測-A】

( Ｂ ) 5. 四個有向角分別為甲：640、乙：_123、丙：_275、丁：_640，則哪幾個有向角在標準位置上是第四象限角？ (A) 甲、乙 (B) 丙、丁 (C) 甲、丁 (D) 乙、丙。

【106 統測-A】

( Ｂ ) 6. 下列有向角中，何者於標準位置上與有向角21

4  的終邊落在同一象限內？

(A)44

9  (B)36

7  (C)29

5  (D)23

3  ^。 ^【106 統測-S】

( Ｄ ) 7. 若一扇形的面積為27 2

 ，弧長為9 2

 ，則此扇形的圓心角為何？ (A) 4

 (B) 3



(C)2 3

 (D)3 4

 _。 _【

108 統測-A】

( Ｂ ) 8. 假設分針原始指在時鐘 12 的位置，現將分針依順時針的方向轉了2019。試問下列敘述何者正確？ (A)分針指在 9 跟 10 之間 (B)分針指在 7 跟 8 之間 (C)分針指在 5 跟 6 之間 (D)分針指在 3 跟 4 之間。【108 統測-B】

(39)

【1-2】

( Ｄ ) 1. 若一直角三角形ABC中，__C為直角，且 5

tanA12、_BC _₁₀，則此三角形之周長為何？ (A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 60。【102 統測-A】

( Ｃ ) 2. 已知 為第三象限角，且 3

tan  ，則4 2sin 1 3 4cos



 

 ？ (A) 1

31 (B)13

7 (C) 11

(D) 31。【102 統測-C】

( Ｄ ) 3. 求 3 sin 480 cos300 tan 225  ？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。【103 統測-A】

( Ａ ) 4. 若 3

tan   且4 sin 0，則_5sin _10cos ？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。

【104 統測-A】

( Ｂ ) 5. 若0   90 ，且 1

sin  ，則3 2sin cos   ？ (A) 2

6 (B) 4 2

9 (C) 2 3 (D)2 2

3 。【104 統測-B】

( Ｃ ) 6. 5 5 7 7

sin cos sin cos sin cos

6 6 6 6 6 6

π π π π π π

    +  ？ (A) 1 3

2 2

  (B) 1 3 2 2

  (C)1 3

2 2 (D)1 3

2 2 。【105 統測-A】

( Ｄ ) 7. 試求三角函數 sin( 960 )  之值？ (A) 3 2

 (B) 1 2

 (C)1

2 (D) 3 2 。

【105 統測-B】

( Ｃ ) 8. 在△ABC中，已知 A 90， 3

sinB ，則5 sinAtanBcosC ？ (A)27 20 (B)29

15 (C)47

20 (D)44

15。【106 統測-A】

( Ａ ) 9. 已知A 點坐標為 cos ,sin 6 6

 

 

 

 ，B 點坐標為 11 11

cos , tan

6 6

 

 

 

 ，則線段AB 的長度

為何？ (A)1 3

2 3 (B) 2 3

2  3 (C)1 3

2 2 (D)1 2 3

2 3 。【106 統測-B】

( Ｄ ) 10. 已知某坡道的斜度為5，亦即每行走斜坡10 公尺，高度約上升 0.9 公尺，水平移動約9.95 公尺，則sin 5 ？ (A) 1 (B) 0.9 (C) 0.12 (D) 0.09。【106 統測-S】

( Ｂ ) 11. 若 33

sin 65，且 33

tan ^56 ，則 為哪一象限角？ (A)第一象限角 (B)第二象限

角 (C)第三象限角 (D)第四象限角。【107 統測-B】

三角函數 01

第 章

01

三角函數

1-1 有向角及其度量

自我 評量 評量

自我

自我 評量 評量

自我

1-2 三角函數的定義與圖形

自我 評量 評量

自我

自我 評量 評量

自我

自我 評量 評量

自我

1-3 三角函數的應用

自我 評量 評量

自我

第章

自我評量 _評量

自我評量 _評量

自我評量 _評量

自我評量 _評量

自我評量 _評量

自我評量 _評量