單元

單元 _17: 極值與一階導函數檢定法

( 課本 x 3.2)

定義 _.

令函數 _f 在 _{x = c} 有定義_.

(1) f(c) 為一相對極大值 (relative maximum) 若 且為若存在一個含 _c 的區間 _{(a; b)} 且對所有 _{(a; b)} 中的 x, f(x)  f(c).

(2) f(c) 為一相對極小值 (relative minimum) 若 且為若存在一個含 _c 的區間 _{(a; b)} 且對所有 _{(a; b)} 中的 x, f(c)  f(x).

(3) 相對極大值或相對極小值統稱為相對極值 _(relative extremum).

圖示如下_.

觀察 _.

產生相對極值的必然現象_: 若 _f 在 _{x = c} 有一 相對極大值或相對極小值_, 則 _c 必然為 _f 的臨界數_, 亦 即_{, f}⁰_{(c) = 0 (}第一類₎ 或 _f⁰_(c) 未定義 ₍第二類_).

結論 _.

找相對極值時_, 只需由臨界數中找即可_, 因為根據 上述的必然現象_, 相對極值不可能發生在臨界數以外的點_, 故臨界數亦稱作相對極值候選數 (candidate), 方法如 下_.

一階導函數檢定法

(1st-derivative test, 求相對極 值的方法_). 設函數 _f 在開區間 _{(a; b)} 上連續且 _c 為 _f 在 _{(a; b)} 中唯一的臨界數_. 若 _f 在 _{(a; b)} 中_, 除 _c 以 外_, 均可微_, 則

(1) f⁰(x) 在 _c 附近的符號圖為由 ₍₊₎ 到 _{( ),} 如圖 示_, 得 _f(c) 為一相對極大值_.

(2) f⁰(x) 在 _c 附近的符號圖為由 _{( )} 到 _(+), 如圖 示_, 得 _f(c) 為一相對極小值_.

(3) f⁰(x) 在 _c 附近的符號圖為由 ₍₊₎ 到 ₍₊₎ 或由 ( ) 到 _{( ),} 亦即未變號_, 如圖示_, 得 _f(c) 不是一 相對極值_.

為何如此_? 根據圖示_,

(1) f⁰: 由 ₍₊₎ 到 _{( )} 表示 _f 由 _c 的左邊開始遞增 至 _f(c) 後_, 轉為遞減_, 故 _f(c) 為一相對極大值_. (2) f⁰: 由 _{( )} 到 ₍₊₎ 表示 _f 由 _c 的左邊開始遞減

至 _f(c) 後_, 轉為遞增_, 故 _f(c) 為一相對極小值_. (3) f⁰: 由 ₍₊₎ 到 ₍₊₎ 表示 _f 由 _c 的左邊開始遞增

至 _f(c) 後_, 繼續遞增_, 故 _f(c) 不是一相對極值_; 同理_, 由 _{( )} 到 _{( )} 表示 _f 由 _c 的左邊開始遞減 至 _f(c) 後_, 繼續遞減_, 故 _f(c) 亦不是一相對極值_.

例 _1.

試求函數

f(x) = 2x³ 3x² 36x + 14 的相對極值_.

<解_{> (i)} 找重要點_{. (1)} 非連續點_: 無_, 因為 _f 為一 多項式_, 故連續_, 無任何非連續點_.

(2) 臨界數_: 根據定義_, 乃使得 _f⁰ 為 ₀ 或未定義的 _x, 故需經由微分並分解_, 得

f⁰(x) = 6x² 6x 36

= 6(x² x 6)

= 6(x 3)(x + 2)

又第一類臨界數乃相當於 _f⁰ _{= 0} 的 _x, 亦即_, 6(x 3)(x + 2) = 0

故

x = 2; 3

第二類臨界數乃 _f⁰ 未定義的 _x, 無_, 因為 _f⁰ 為多項式_, 在整個實數線上都有定義_.

(ii) 一階導函數檢定法_. 首先_, 決定 _f⁰ 的符號_. 根據 (i) 中的重要點_, 得三個子區間以及 _f⁰ 在每個子區間上的 符號_, 如下述及圖示_.

( 1; 2): f⁰ = ( )( ) = (+), 遞增_. ( 2; 3): f⁰ = ( )(+) = ( ), 遞減_. (3; 1): f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增_.

接著_, 根據一階導函數檢定法_{, f} 在 _{x = 2} 有相對極 大值

f( 2) = 2( 2)³ 3( 2)² 36( 2) + 14

= 16 12 + 72 + 14 = 58

在 _{x = 3} 有相對極小值

f(3) = 2(3)³ 3(3)² 36(3) + 14

= 54 27 108 + 14 = 67

例 _2.

試求函數

f(x) = x⁴ x³ 的相對極值_.

<解_{> (i)} 找重要點_{. (1)} 非連續點_: 無_, 因為 _f 為一 多項式_, 恆連續_.

(2) 臨界數_: 經由微分並分解_, 得

f⁰(x) = 4x³ 3x² = x²(4x 3) 第一類_{: f}⁰ _{= 0,} 故

x = 0; 3 4

第二類_{: f}⁰ 未定義_, 無_, 因為 _f⁰ 為一多項式_, 恆定義_. (ii) 一階導函數檢定法_: 根據 _(i) 中的重要點_, 得三個子 區間以及 _f⁰ 在每個子區間上的符號_, 如下述及圖示_.

( 1; 0): f⁰ = (+)( ) = ( ), 遞減_.

0; ³₄^: f⁰ = (+)( ) = ( ), 遞減_.

₃

4; 1^: f⁰ = (+)(+) = (+), 遞增_. 故_{, f} 僅在 ³

4 有相對極小值 f ^3

4



= ^3 4

₄ 3 4

₃

= 27 64

3

4 1^ = 1 256

註 _.

雖然 _{x = 0} 為一臨界數_, 但卻不產生相對極值_, 再 度說明_, 臨界數在未以一階導函數檢定法驗證前_, 僅為相 對極值候選數_, 它可能會產生相對極大值_, 或相對極小值_, 或不會產生極值_, 需要經由一階導函數檢定法的判定_, 才 能確定它能產生何種結果_.

例 _3.

試求函數

f(x) = 2x 3x²⁼³ 的相對極值_.

<解_{> (i)} 找重要點_{. (1)} 非連續點_: 無_, 因為 _f 的一 項含 _x, 另一項含 _x 的 ²

3 次分_, 故恆定義且連續_. (2) 臨界數_. 經由微分並化簡_, 得

f⁰(x) = 2 2x ¹⁼³ = 2(x¹⁼³ 1) x¹⁼³

第一類_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於分子中的 _x¹⁼³ _{1 = 0,} 故 x = 1

第二類_{: f}⁰ 未定義_, 乃相當於分母 _x¹⁼³ _{= 0,} 得 x = 0

在 _f 的定義域內_, 故為一臨界數_. 因為臨界數的先決條件 是需要在 _f 的定義域內_, 故須特別對此種 _f⁰ 的分母等於 0 的 _x 值_, 先判斷是否在 _f 的定義域內_, 再歸類是否為 一臨界數_.

(ii) 一階導函數檢定法_. 根據 _(i) 中的兩個臨界數_, 得三 個子區間以及 _f⁰ 在每個子區間上的符號_, 如下述及圖示_. ( 1; 0): f⁰ = ^{( )}_{( )} = (+), 遞增_.

(0; 1): f⁰ = ₍₊₎^{( )} = ( ), 遞減_.

(1; 1): f⁰ = ⁽⁺⁾₍₊₎ = (+), 遞增_.

故_{, f} 在 _{x = 0} 有相對極大值

f(0) = 2(0) 3(0)²⁼³ = 0 且在 _{x = 1} 有相對極小值

f(1) = 2(1) 3(1)²⁼³

= 2 3 = 1

絕對極值

(Absolute Extrema)

設函數 _f 定義在閉區間 _{[a; b]} 上_, 且圖示如下_. 經觀察 後_, 得

(1) f 在 _{c1, c2, c3} 有相對極值_, 亦即_, 在局部範圍內 的極值_; 這是 _f 的局部行為 (local behavior).

(2) 在整個定義域內_{, f} 在 _a 及 _c3 有絕對極值_, 分別 為絕對最小值 (absolute minimum) 及絕對最大 值 (absolute maximum); 這是 _f 的全面行為 (global behavior).

問 _.

何時會有絕對極值_? 會發生在哪些點上_?

答 _1.

根據如下的

極值定理

(Extrema Value Theorem). 若函數 _f 在閉區間 _{[a; b]} 上連續_, 則 _f 在 _{[a; b]} 上一定有絕對最 小值與絕對最大值_.

也就是說_, 連續函數在閉區間上一定有絕對最大值與絕對 最小值_.

答 _2.

因為絕對極值一定是相對極值_, 又相對極值只可能 發生在臨界數 (critical numbers)上_, 故絕對極值可能 發生在臨界數上_. 另外_, 由上述的觀察知_, 絕對極值也可 能發生在端點 (end points) 上_. 因此_, 得如下的

結論 _:

絕對極值可能發生的位置為臨界數或端點_.

問 _.

如何在閉區間 _{[a; b]} 上_, 找出 _f 的絕對極值_?

答 _.

根據上述的結論_, 得如下求絕對極值的步驟_.

(i) 找臨界數與端點_, 亦即_, 可能產生絕對極值的點_, 又稱 作絕對極值後選數 (candidates).

(ii) 求 _f 在 _(i) 中的點的值_.

(iii) 比較 _(ii) 中的值_, 最大者為絕對最大值_, 最小者為 絕對最小值_.

例 _4.

試求函數

f(x) = 3x²⁼³ 2x 在閉區間 _{[ 1; 2]} 上的絕對極值_.

<解_> 根據上述求絕對極值的步驟_{, (i)} 找絕對極值後選 數_{. (1)} 臨界數_: 經由微分及化簡_, 得

f⁰(x) = 3
2

3x ¹⁼³ 2

= 2 1 x¹⁼³ x¹⁼³

!

第一類_{: f}⁰ _{= 0,} 亦相當於分子中的 _{1 x}¹⁼³ _{= 0,} 得 x = 1 2 [ 1; 2]

第二類_{: f}⁰ 未定義_, 乃相當於分母 _x¹⁼³ _{= 0,} 故 x = 0 2 [ 1; 2]

因此_, 得二個臨界數

x = 0; 1 (2) 端點_: 由給定的定義域_, 得

x = 1; 2

(ii) 求絕對極值後選數的 _f 值_. 根據 _f 的定義及上述的 候選數_, 得

f(0) = 3(0)²⁼³ 2(0) = 0 (最小₎ f(1) = 3(1)²⁼³ 2(1) = 3 2 = 1

f( 1) = 3( 1)²⁼³ 2( 1) = 3 + 2 = 5 (最大₎ f(2) = 3(2)²⁼³ 2(2) = 3p³

4 4  0:762 (iii) 經由比較 _(ii) 中的各值後_, 得

絕對最大值 _{= 5}

發生在

x = 1 (端點₎ 且

絕對最小值 _{= 0} 發生在

x = 0 (臨界數₎

註 _.

根據例 ₄ 中的二個臨界點_, 得三個子區間以及 _f⁰ 的 符號圖_, 如下述及圖示_.

[ 1; 0]: f⁰ = ⁽⁺⁾_{( )} = ( ), 遞減_.

[0; 1]: f⁰ = ⁽⁺⁾₍₊₎ = (+), 遞增_.

[1; 2]: f⁰ = ₍₊₎^{( )} = ( ), 遞增_.

因此_, 根據一階導函數檢定法_, 得 _f 在 _{x = 0} 有一相對 極小值_, 經由與端點的函數值比較後_, 亦是一絕對最小值_; 然而在 _{x = 1} 僅得一相對極大值_, 因為有一端點的函數 值比較大_, 故無法成為絕對最大值_; 絕對最大值發生在端

點 _{x = 1} 的地方_. 再度說明_, 需要與端點的函數值比 較後_, 才能確認出相對極值是否為絕對極值_.

例 _5.

設一速食店的利潤

P = 2:44x x²

20000 5000 其中

0  x  50000 試求得最大利潤的銷售量_.

<解_> 根據題意_, 原問題乃相當於求連續函數 _P 在閉區 間 _{[0; 50000]} 上的絕對最大值_. 故根據上述的步驟_{, (i)} 找絕對極值後選數_{. (1)} 臨界數_: 經由微分_, 得

P⁰ = 2:44 1

10000x 第一類_{: P}⁰ _{= 0,} 得

x = 2:44
10000 = 24400

第二類_{: P}⁰ 未定義_, 無_, 因為 _P⁰ 為一多項式_, 恆定義_. (ii) 判斷_{. (1)} 一階導函數檢定法_. 因為 _P⁰ 為連續且只 有一個臨界數_, 故由下述的 _P⁰ 符號圖

[0; 24400]: P⁰ = (+), 遞增_,

[24400; 50000]: P⁰ = ( ), 遞減_,

得利潤 _P 在銷售量 _{x = 24000} 時_, 有相對極大值_, 亦 為一絕對最大值_, 因為在只有一個臨界數的情形下_, 由 _P 的遞增與遞減性質_, 在二個端點的 _P 值都較小_.

或 ₍₂₎ 求利潤 _P 在臨界數與端點的值_, 得 P (0) = 2:44(0) 0²

20000 5000

= 5000 P (24400)

= 2:44(24400) (24400)²

20000 5000

= 59536 535360000

20000 5000

= 59536 29768 5000

= 24768 (最大₎ P (50000)

= 2:44(50000) (50000)²

20000 5000

= 122000 125000 5000

= 8000 (最小₎

經比較後_, 得 _P 在 _{x = 24400} 時有絕對最大值_.

因此_, 根據 ₍₁₎ 一階導函數檢定法 ₍只適用於導函數為連 續且只有一個臨界數的情況下₎ 或 ₍₂₎ 求絕對極值的比 較法_, 當銷售量 _{x = 24400} 件時_, 有最大利潤

P (24400) = 24768