三、教學實驗

第參章 研究方法

本研究可定位為基礎性兼應用性之研究。研究目的為構造局部公設系統教學策 略以增進學生對證明的技能和發展證明的概念。基於以上的目的，本章從研究設 計、研究樣本、研究工具、教學活動、研究過程、環境佈置理念與課程架構、資料 蒐集程序、資料處理與研究限制來說明本研究所採行的研究方法。

第一節 研究設計

本實驗分為前導性實驗和主要實驗兩個部分，前導性實驗探討在動態幾何環境 與紙筆環境下，學習幾何證明是否有差異以及為主要實驗提供實驗時應注意的事 項。主要實驗探討當學習者更熟悉動態幾何環境時，是否有助於學習幾何證明，並 從中探討學生在論證過程中是否遇到什麼困難，以及動態幾何軟體所扮演的角色。

前導性研究中的實驗組是在動態幾何環境中學習幾何證明；對照組則是在紙筆環境 中學習幾何證明，然而教學策略皆是輔導學生建構局部公設系統來學習幾何證明，

換句話說，前導性的實驗教學是探討使用相同的教學策略下，但在不同環境中，哪 環境最能幫助學生學習幾何證明。主要實驗則只有實驗組來探討學生在動態幾何環 境中學生的學習成效與論證過程。

因為本實驗教學無法隨機選取或分派受試者，所以前導性實驗採用準實驗設計 中的不相等組的前測-後側設計（the pretest-posttest nonequivalent-groups design）；而主 要 實 驗 則 採 用 前 實 驗 設 計 中 的 單 組 前 測 ─ 後 測 設 計 （ one-group pretest-posttest design），此外還針對主要實驗的實驗組中之 14 名學生進行個案研究。此前導性實 驗設計的優點在於本設計有實驗組和控制組可供比較，並分別施以前、後測，可以

了解了兩組的條件是否整齊；若兩組前測分數一致，可說成熟、測驗與工具等主要 的影響力已受到控制，實驗處理發生影響即可已肯定（王文科，2004）。而主要實 驗設計的優點在於除了有前、後測來檢測學習成效外，亦可以透過多次訪談的質性 研究，來詳盡且豐富地描述，以此深度地探究個體之心理歷程（Patton，1995，

pp.29-30）。

由以上討論，本研究之實驗設計可分成四大部分，詳細說明如下，其設計模式 如圖 3-1-1 和圖 3-1-2。

一、 起點行為檢測

由於前導性實驗要進行兩組學習成效的比較，而且在分析某些問題時，可能會 將前導性實驗的組別與主要實驗的實驗組做比較，所以一開始要先檢測任何兩組的 起點行為是否一致，因此本研究採用學生在一年級下學期的期末考數學成績、van Hiele 幾何思維測驗，以及學生對於證明的看法（題目在前測證明問卷中），來測驗 起點行為是否一致。而由於前導性實驗的班級和主要實驗的班級是不同的學校，也 就是說他們之間的期末考的考卷並不一樣，因此，各班之間分數所代表的意義也會 有所不同，所以為了之後各組間的比較，所以將期末考的考試分數標準化，來當作 期末考的成績。

二、個案縱向分析

為了更深入地探討個體的證明演變歷程與演變因素，所以在主要實驗部分採用 個案縱向分析的方式進行探討，也就是從學生在每個單元的活動中去觀察其論證的

過程，並從實驗組中隨機抽取 14 名學生進行三次的質性訪談。

三、教學實驗

本實驗教學皆由研究者自行執行，前導性實驗的實驗組和對照組每星期進行兩 節課，實際總教學節數為 8 堂課；主要實驗每星期大約進行一節課，實際總教學節 數為 11 堂課，而其他數學課者由各班的數學老師來教授，但是因為各班所教授的 數學知識與本次實驗的主題無關，例如：前導性的實驗教學的過程中，其數學課程 是在複習一年級的課程；主要實驗教學的過程中，其數學課程是有關於代數方面的 課程。因此跟全等三角形的性質和幾何證明是比較不相關的，所以將不列入影響本 實驗的因素。

四、前後側

為了評定實驗教學的成效，研究者利用了 Lulu Healy 和 Celia Hoyles（1998）所 製做的問卷，並加以修改後來作為本次實驗的前、後側問卷（如附錄）。其主要評 定學生對於證明的看法與實際辯證問題時所採用的策略；另一方面，為了檢定學生 的起始行為所以增加了 van Hiele 幾何層次測驗（如附錄）。

學校成績(O2) 學校成績(O1)

93年8月中旬 93年7月中旬

後側 實驗教學設計 起點行為檢定

紙筆測驗(O₈) 紙筆測驗(O₇)

實驗教學(紙筆環境教學)(C₁) 實驗教學(動態幾何環境教學)(X₁)

van Hiele幾何思維層次測驗(O₄) 證明前測測驗(O₆)

實驗組 對照組

證明前測測驗(O5) van Hiele幾何思維層次測驗(O3)

圖 3-1-1：前導性研究實驗設計模式圖

學校成績(O₉)

93年1月中旬 93年9月中旬

第三次訪談 第二次訪談

實驗教學設計

後側 第一次訪談

實驗教學設計 實驗教學(動態幾何環境教學)(X₂)

實驗教學(動態幾何環境教學)(X₂) van Hiele幾何思維層次測驗(O₁₀)

證明前測測驗(O₁₁)

實驗組

實驗教學(動態幾何環境教學)(X₂)

紙筆測驗(O₁₂)

起點行為檢定

實驗教學設計

圖 3-1-2：主要研究實驗設計模式圖

第二節 研究樣本

本實驗教學分為兩個部分，一為前導性實驗，二為主要實驗。有關於前導性實 驗的研究樣本是取自台北市某國中的兩個班級，並在暑假期間執行，所以該班是由

參加暑期輔導的升二年級的學生所組成的且皆屬於常態分班；有關於主要實驗的研 究樣本是取自台北某國中的兩個班級，並在二年級上學期進行教學實驗且皆屬於常 態編班。但是，前導性實驗教學的研究樣本和主要實驗教學的研究樣本是來自不同 的學校。

一、研究班級的基本資料

由於本實驗進行的時間比較長，如前導性研究進行四個星期、主要研究進行了 將近一個學期，因此有些學生可能會因為某些因素，導致無法全程參與實驗教學。

前導性實驗的實驗組施測樣本為 30 人，有效樣本為 21 人；對照組施測樣本為 28 人，有效樣本為 22 人；主要實驗的兩個班級的施測樣本分別為 34 與 33 人，有效 樣本分別為 27 人、23 人，並將兩個班級結合為實驗組的有效樣本。

二、起點行為檢測

在檢定起點行為是否一致時，必須要先檢定學生在校成績、van Hiele 幾何思維 層次和對證明的看法的分佈是否為到常態分佈，因為這將決定使用哪一種檢定方法 來確認起點行為是否一致。首先檢定前導性實驗的對照組之起點行為是否為常態性 分佈，利用 SAS 軟體中的 The UNIVARIATE Procedure 來檢定其起點行為是否為常 態分佈，其中虛無假設 為『所檢定之變數為常態分佈』，對立假設 為『所檢 定之變數為非常態分佈』，並假定其顯著水準為 0.05，如表 3-2-1，可以發現每個 項目皆推翻了虛無假設。所以，前導性實驗的對照組之在校數學成績、van Hiele 幾 何層次和證明看法皆非常態分佈。

H0 H₁

表 3-2-1：前導性實驗的對照組之起點行為的常態性檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法 P-Value 0.0030 0.0006 0.0085

接下來檢定前導性實驗的實驗組之起點行為是否為常態分佈，利用 SAS 軟體 中的 The UNIVARIATE Procedure 來檢定其起點行為是否為常態分佈，如表 3-2-2，

可以發現每個項目皆推翻了虛無假設。所以，前導性實驗的實驗組之在校數學成 績、van Hiele 幾何層次和證明看法皆非常態分佈。

表 3-2-2：前導性實驗的實驗組之起點行為的常態性檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法 P-Value <0.0001 0.0004 0.0045

接下來檢定主要實驗的實驗組之起點行為是否為常態分佈，利用 SAS 軟體中 的 The UNIVARIATE Procedure 來檢定其起點行為是否為常態分佈，如表 3-2-3，可 以發現每個項目皆推翻了虛無假設。所以，主要實驗的實驗組之在校數學成績、van Hiele 幾何層次和證明看法皆非常態分佈。

表 3-2-3：主要實驗的實驗組之起點行為的常態性檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法 P-Value 0.0019 <0.0001 <0.0001

由於發現不論是哪一組，其起點行為皆非常態分佈，因此在檢定任意兩組的起 點行為是否一致時，便需要利用無母數分析，因此將使用 SAS 軟體中的 The

NPAR1WAY Procedure，其中 Wilcoxon Two-Sample Test 即是用來檢定任意兩組的起 點行為是否一致，其中虛無假設 為『兩組沒有差異』，對立假設 為『兩組有 差異』，並假定其顯著水準為 0.05。

H0 H₁

首先檢定前導性實驗的實驗組與對照組之起點行為檢定是否有顯著差異，如表 3-2-4，可知不管是哪一個項目，皆無法推翻虛無假設，也就是說起點行為沒有顯著 差異，因此可以說這兩組的起點行為是一致的。

表 3-2-4：前導性實驗的實驗組與對照組之起點行為檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法

Z 0.4259 0.7008 0.5377 Two-Sided Pr > |Z| 0.6702 0.4834 0.5908

然後檢定前導性實驗的對照組與主要實驗的實驗組之起點行為檢定是否有顯 著差異，如表 3-2-5，可知不管是哪一個項目，皆無法推翻虛無假設，也就是說起 點行為沒有顯著差異，因此可以說這兩組的起點行為是一致的。

表 3-2-5：前導性實驗的對照組與主要實驗的實驗組之起點行為檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法

Z -0.5062 -0.7694 0.4635 Two-Sided Pr > |Z| 0.6127 0.4416 0.6430

最後檢定前導性實驗的實驗組與主要實驗的實驗組之起點行為檢定是否有顯 著差異，如表 3-2-6，可知不管是哪一個項目，皆無法推翻虛無假設，也就是說起

點行為沒有顯著差異，因此可以說這兩組的起點行為是一致的。

表 3-2-6：前導性實驗的實驗組與主要實驗的實驗組之起點行為檢定 項目 在校數學成績 van Hiele 幾何層次 證明看法

Z -0.2575 0.0864 0.9544 Two-Sided Pr > |Z| 0.7968 0.9311 0.3399

總之，任何兩組的起點行為都是一致的，所以如經過實驗教學發現兩組行為有 差異時，則可歸因於實驗所造成的結果。

三、個案研究樣本

在主要實驗時，隨機抽取 14 名個案（分別編碼為個案 1、個案 2、個案 3、個 案 4、個案 5、個案 6、個案 7、個案 8、個案 9、個案 11、個案 11、個案 12、個案 13、個案 14）進行三次質的訪談，除了要從學生的訪談過程中了解學生論證的困難 外，亦希望從中了解動態幾何環境在本次實驗教學所扮演的角色。

第三節 研究工具

本節依據實驗設計之各部分的不同目的，說明本研究工具的設計理念與編制過 程。

一、自編前、後測

（一） 設計理念

前、後測部分想要探討學生對於證明的看法與在紙筆測驗時遇到證明題目所執 行的策略，因此採用 Lulu Healy 和 Celia Hoyles（1998）所製做的問卷並加上指導教 授與研究者所討論的證明題目，來觀察學生實際辯證的情況。然而在前導性研究與 主要實驗的前、後測略有不同，主要是因為在前導性研究中發現學生在前測實際作 證明時容易使用已學過的公式來做辯證（欲證明四邊形內角和為 360 度），以致於 無法看出學生辯證的過程。所以在主要實驗時會在前測部分加入一些證明題目來觀 察學生的辯證過程，並再加上詢問學生對數學證明的功能的意見。然後在後測時，

再加上詢問學生有關於等腰三角形和全等三角形的概念定義，並詢問在回答定義的 過程中，是否產生心像的問題，以及將原來後側問題二刪掉。最主要的原因是後測 將問題二當作訪談題目，而且從前導性實驗中發現如果沒有經由教師的引導，該題 對國二學生來說是困難的，導致學生沒有作答，因此無法看出學生的辯證過程。

（二） 編製過程

底下分成前導性實驗與主要實驗兩個部分來分別說明編製前後側的過程。

1. 前導性實驗的前、後測過程：

以表 3-3-1 來說明前測中每個題目的目的；以表 3-3-2 來說明後測中每個題目的 目的。

表 3-3-1：前導性實驗前測各題目的

題目 說明

G1 觀察學生對於證明一個數學敘述正確性的看法，與其聯想到的相關性

質，並作為檢測起點行為是否一致的工具。

G2 觀察學生是否認為證明具有一般性。

G3 觀察學生實際辯證四邊形的內角和為 360 度的過程。

G4 觀察學生對於證明一個數學敘述是錯誤的的看法。

表 3-3-2：前導性實驗後測各題目的

題目 說明

一 檢測學生辯證等腰三角形兩腰中線等長的過程。

二

檢測學生辯證鳶形其中一條對角線會將另一條對角線垂直平分的過 程。

三

檢測學生對於證明一個數學敘述正確性的看法，與其聯想到的相關性 質。

四 檢驗學生辯證一個與問題三有關的數學敘述。

2. 主要實驗的前、後測過程：

以表 3-3-3 來說明前測中每個題目的目的；以表 3-3-4 來說明後測中每個題目的 目的。

表 3-3-3：主要實驗前測各題目的

題目 說明

G1 詢問學習者證明的功能是什麼？

G2

觀察學生對於證明一個數學敘述正確性的看法，與其聯想到的相關性 質，並作為檢測起點行為是否一致的工具。

G3 觀察學生是否認為證明具有一般性。

G4 觀察學生實際辯證四邊形的內角和為 360 度的過程。

G5 觀察學生對於證明一個數學敘述是錯誤的的看法。

G6 觀察學生的證明過程。

G7 觀察學生的證明過程。

G8 觀察學生的證明過程。

表 3-3-4：主要實驗後測各題目的

題目 說明

一

檢驗學生是否瞭解全等三角形與等腰三角形的定義，以及是否產生心 像。

二 檢測學生辯證等腰三角形兩腰中線等長的過程。

三

檢測學生對於證明一個數學敘述正確性的看法，與其聯想到的相關性 質。

四 檢驗學生辯證一個與問題三有關的數學敘述。

二、van Hiele 幾何思維層次測驗

評定學生 van Hiele 幾何思維層次主要的目有二：一是評定每個班級的起點行為 是否一致；二是在分析學生的表現時可與 van Hiele 幾何思維層次做比較。本研究用 來評定學生 van Hiele 幾何思維層次的測驗工具是 Wu(1994)譯自 Usiskin（1982）之 van Hiele Geometry test 的中文測驗題本，然而該題本中有些語詞會造成學生作答之 困擾，因此先將此題本實際的施測在台北某國中的兩個班級的國一學生，並請其告 知哪些詞句是比較不懂的，然後再經過研究者與該校的教師討論並修飾之後，來作 為本次研究的檢驗 van Hiele 幾何思考層次。

三、動態幾何環境與紙筆環境下的課程設計

（一） 設計理念

希望學習者可以利用學過的東西來做推理，並形成局部推理系統。以及利用不 同環境的特色來引導學生做論證。例如在動態幾何環境中利用巨集工具盒來提醒學 生哪些東西已經學過了，並很迅速地再複習一次，並以此作為已知的性質來推理未 知的命題，而頁面的功能則將學習者做過的圖形收集起來方便學習者複習；在紙筆 環境中，是利用筆記本來作為記住之前所學的重要工具，並以之前所學的性質來當 作已知性質，然後以此來推理未知的命題。在動幾何環境中的畫圓和畫直線的工具 也可以與紙筆環境中的直尺和圓規做對應。之後有關於環境布置的理念和過程將在 第六節作更詳細的介紹。

（二） 設計過程

這裡先介紹主要實驗中的幾何課程安排，主要原因是前導性實驗的課程大致與 主要實驗的課程相同，只是有某些課程在前導性實驗中由於時間因素而取消，如活 動十和活動十一。

主要實驗的課程如表 3-3-5，共分為十一個單元，前七個活動（活動一到活動 七）是讓學生依實驗探索來獲得幾何性質，並依此來做之後活動（活動八到活動十 一）的推理論證的已知公設與性質。

表 3-3-5：主要實驗課程內容

活動 說明

一 這個活動為截等線段作圖，主要是要學生瞭解在紙筆環境或動態幾何

環境中如何截取一段與已知線段等長的線段，尤其是在動態幾何環境 中學生必須漸漸的捨棄測量工具與比較直觀的方法（如：利用拉動使 兩條線段相等），因為經過拉動之後兩線段就不同了。當學生寫完之後 讓他們把作法的理由寫出來，藉此來觀察學生的論證過程。

二

這個活動為正三角形作圖，主要是要學生瞭解在紙筆環境或動態幾何 環境中如何畫出一個正三角形，當學生寫完之後讓他們把作法的理由 寫出來，藉此來觀察學生的論證過程。

三

會先複習全等三角形的概念然後再給定三邊畫出一個三角形，讓學生 利用已知的三條線段來製作一個三角形，主要讓學生學習 SSS 全等性 質，也就是要讓學生經過操作學習之後，來瞭解當兩個三角形有三個 邊對應相等時，那這兩個三角形就會全等。當學生寫完之後讓他們把 作法的理由寫出來，藉此來觀察學生的論證過程。

四

複製角作圖，就是讓學生利用活動三的給定三邊畫三角形的作法來做 出一樣大的角。當學生寫完之後讓他們把作法的理由寫出來，藉此來 觀察學生的論證過程。

五

利用動態幾何環境中的事先設計過的巨集工具來學習 SAS 全等性質與 ASA 全等性質。來讓學生在這樣的環境下經由操作來學習幾何性質。

六

複習兩條相交直線中的鄰角互補、對頂角相等。來作為之後的論證使 用。

七

複習三角形的內角和、兩邊之和大於第三邊、大角對大邊、大邊對大 角的性質。來作為之後的論證使用。

八

證明等腰三角形的兩底角相等。在這個活動中式要讓學生用自己的方 法來證明。

九

這個活動亦是在證明等腰三角形的兩底角相等，但這裡分別提示學生 可以用角平分線的方法、Hilbert 的方法、和反證法。前面兩種方法是讓

學生可以使用全等三角形的性質來做證明。

十

證明角平分線上的任一點到角的兩邊等距離，這裡是希望學生可以使 用全等三角形的性質來做證明。

十一

證明等腰三角形底角的角平分線等長，這裡是希望學生可以使用全等 三角形的性質來做證明。

前導性實驗中，由於時間不足所以刪除了活動十與活動十一，也就是說減少了 練習應用全等三角形的性質來做推理的活動。所以前導性實驗的課程為主要實驗課 程中的活動一到活動九。

四、訪談問卷

由於經過前導性實驗之後，希望可以更了解學生的心理歷程，不過在時間上並 不容許對前導性實驗的研究樣本進行訪談，因此，在主要實驗中隨機抽出 14 位學 生來進行三次訪談，第一次訪談是在活動四結束時；第二次訪談是在活動九結束 時；第三次訪談是在活動十一結束時。

（一） 設計理念

第一次訪談問卷的目的主要檢驗學生對於動態幾何環境中的巨集和頁面的功 能的看法，以及其在解決問題時會不會利用到之前所學的工具。第二次訪談問卷的 目的在檢驗當學生學過如何證明等腰三角形的兩底角相等之後，再遇到相同的證明 題目時會如何解決，藉此觀察學生的反應。第三次訪談問卷的目的在檢驗學生是否 學會如何利用全等三角形的性質來做證明，並觀察學生在證明時遇到的困難。

（二） 設計過程

1. 第一次訪談問卷如表 3-3-6：

表 3-3-6：第一次訪談問卷

題目 說明

1

詢問學生在活動四時用到哪些工具藉此檢驗學生是否知道自己在解決 問題時所利用到的工具。

2

詢問學生是否喜歡用電腦來學習數學，藉此來瞭解學生情意方面的問 題。

3 詢問學生認為頁面的功能有什麼好處，來觀察是否瞭解此功能的意義。

4 詢問學生認為巨集的功能有什麼好處，來觀察是否瞭解此功能的意義。

2. 第二次訪談問卷如表 3-3-7：

表 3-3-7：第二次訪談問卷

題目 說明

1 檢驗學生認為全等三角形的定義是什麼？

2 檢驗其回答定義時是否產生心像。來作為有關心像方面的研究資料。

3 檢驗學生認為等腰三角形的定義是什麼？

4 檢驗其回答定義時是否產生心像。來作為有關心像方面的研究資料。

5

觀察學生辯證等腰三角形兩底角相等的過程，藉此檢驗其是否接受之 前所學的證明形式。

3. 第三次訪談問卷如表 3-3-8：

表 3-3-8：第三次訪談問卷

題目 說明

1

檢驗學生是否能觀察到當鳶形 ABCD 沿 AC 對折時，AB是否與AD重 疊及 BO 是否與 OD 重疊。

2 詢問學生經過操作觀察後，是否還需證明 BO = OD，藉此檢驗學生心中 數學證明的重要要性。

3 檢驗學生辯證 BO = OD 的過程，觀察學生是否利用到全等三角形的性質 與所遭遇到的困難。

第四節 教學活動

教學活動分為前導性實驗的教學活動和主要實驗的教學活動。前導性實驗的教 學活動中分為實驗組與對照組：實驗組是在動態幾何環境中學習全等三角形的幾何 推理證明、而對照組則是在紙筆環境中學習全等三角形的幾何推理證明。主要實驗 中則是為了擴大樣本所以兩個班級皆為實驗組，其教學環境亦為動態幾何環境，但 是與前導性研究比較不同的是增加其熟悉動態幾何環境的時間（比前導性實驗的實 驗組多了兩堂課來熟悉動態幾何環境）以及增加了應用三角形的全等性質的兩個活 動（活動十和活動十一）。

在前導性實驗教學過程中實驗組的每個學生皆有一台電腦供其操作，而對照 組則每個人皆有一組尺規工具和筆記本來供其活動所需。而在主要實驗教學過程中 的每個學生亦皆有一台電腦供其操作。

第五節 研究過程

本研究分為兩個實驗階段，因此，以下分別就這兩個實驗階段的進度，分別列 表闡述。

一、前導性實驗進度表，如表 3-5-1：

表 3-5-1：前導性實驗進度表

時間 實驗組 對照組 附註

第一節

學 習 Ｇ Ｓ Ｐ 操 作 手 冊 第 一 、 二 章

（以 GSP 的基本 操 作 複 習 圖 形 變 換）

1.學習直尺與圓規 作圖。（瞭解圓規 與直尺）

2.給定半徑畫圓。

4.做 van hiele 前測

此 階 段 希 望 實 驗 組 學 習 Ｇ Ｓ Ｐ 的 選 單 並 以 此 為 公 設；對照組則以尺 規工具作為公設。

第二節

1.學習ＧＳＰ操作 手冊第三、四章。

2.做 van hiele 前測

1.學習教學講義第 1 單元

2.學習教學講義第 2 單元

1.此階段希望實驗 組 學 習 Ｇ Ｓ Ｐ 的 選 單 並 以 此 為 公 設。

2.證明前測在於回 答研究問題一。

第三節

學 習 教 學 講 義 第 1~2 單元

學習教學講義第 3 單元

以 之 前 的 所 學 的 為 基 礎 來 操 作 活 動。

第四節

學習教學講義第 3 單元

學習教學講義第 4 單元。

第五節

1.學習教學講義第 4 單元。

2. 教 學 生 如 何 繪 製概念圖

學 習 教 學 講 義 第 5~8 單元。

第六節

學 習 教 學 講 義 第 5~8 單元

學習教學講義第 9 單元(一)、（二）。

第七節

學習教學講義第 9 單元(一)、（二）。

學習教學講義第 9 單元(三) 、（四）。

第八節

學習教學講義第 9

單元(三) 、（四）。 後側

第九節 後測

實驗組於第二節後的第三天的早自習做證明前測、而對照組則利用下課時間

（十分鐘）和第二節的上課時間大五~十分鐘來做證明前測。前導性實驗是在暑假 中進行的，每個星期連續兩堂課，所以進行了四個星期，並收集每節課的活動單來 作研究資料，而且每一單元皆是等到學生的工作單收回之後再做講解。然後實驗組 利用分頁和巨集來將所學的檔案儲存下來；對照組則利用筆記本將所學的紀錄下 來。

原則上由於實驗組需要較長時間來熟悉工具（兩節課）、而對照組組只需要一 節課來熟悉尺規工具，所以會比實驗組少一節課，也就是說實驗過程中實驗組需要 八節課而對照組只需七節課，但是實際課程（活動一到活動九的課程）教學節數皆 為六節課。

二、主要實驗進度表，如表 3-5-2：

主要實驗除了會加強收集學生的訪談資料外，還希望觀察學生概念的發展，因 此在活動四結束後與活動九結束後，皆讓學生畫全等三角形的概念圖。主要實驗原 則上一個星期一堂課，但是如果遇到段考或校外教學時，當週將會停課一次，主要 實驗進度表，如表 3-5-2。表中的時間除了顯現了上課節數之外，後面的括弧亦註 明上課日期。

表 3-5-2：主要實驗進度表

時間 實驗組 附註

第一～四節（09/22、

09/29、10/6、10/13）

學習如何操作 GSP 環境

此階段希望學習ＧＳＰ 的選單並以此為公設

第五、六節(10/20、11/3)

證明前測與 Van Hiele 測 驗

第七節(11/17) 第一單元截等線段作圖

第八節(11/24)

第 二 單 元 正 三 角 形 作 圖、第三單元給定三邊作 圖

第九節 （12/08） 第四單元等角作圖

訪談

第十節 (12/15) 作概念圖、第五～七單元

第十一節 (12/22)

第 八 單 元 、 第 九 單 元 (一)、（二）

第十二節（12/29）

1.第九單元（三）、（四）

2.作概念圖 3.訪談

第十三節(1/5) 第十單元、第十一單元 第十四節（1/12） 訪談、後側

（10/27：因第一次段靠暫停一次、11/10：二年級隔宿露營停課一次、12/01：因第 二次段考所以停一次）

原則上前導性實驗與主要實驗的教學策略是相同的，而且主要實驗的第七節到 第十二節的教學內容與總時間與前導性實驗的實驗組的第三到第八節是相同的（都 是六節課且上課內容都為第一到第九單元），亦與前導性實驗的對照組的第二堂到 第七堂課是相同的。因此可以與前導性的實驗組與對照組比較活動一到活動九來觀 察學生經由比較長時間的熟悉軟體後對於之後的學習是否有幫助。然後比較後測時 則要考慮多了活動十和活動十一兩個練習單元的因素，所以可以藉此觀察在經過熟 悉軟體與增加了練習單元後學生的表現是不是更好。

第六節 環境佈置理念與課程架構

本實驗課程的主題單元為全等三角形，所以先分析此主題的教材地位，並以表 3-6-1 列出：

表 3-6-1：教材地位分析

先備能力 重點能力 後續發展

1.能運用「角」與「邊」等構 成要素，辨認簡單平面圖形。

2. 能 認 識 平 面 圖 形 全 等 的 意 義。

3.能透過操作，理解三角形三 內角和為 180 度。

4. 能透過操作，理解三角形任 意兩邊和大於第三邊。

5. 能理解三角形邊角關係。

6.兩相交直線其對底角相等鄰 角互補。

1.能認識尺規作圖。

2.能以尺規作圖理解兩個三 角形全等的意義。

3.能理解三角形全等的性質。

4.能以三角形全等的性質為 題材來學習推理。

相似三角形

因為主要實驗教學的課程包含前導性實驗教學的課程，其架構都是相同的，只 是主要的實驗教學多了兩個教學活動，所以先陳述主要的實驗教學設計。主要實驗 的基本的架構就是要輔導學生先建造局部公設系統，再利用此公設系統來做數學證 明。而在建構局部公設系統的過程中試圖讓學生解釋自己的作圖方法，藉此除了表 達自己作法的理由之外，也逐漸的希望藉此活動來引導學生進入比較形式的推理思 考進而寫出數學證明。

所以利用全等三角形的教材地位分析圖來觀察哪些是需要成為公設來幫助學 生以後的證明，首先，先備能力方面只要是之後證明時可能會使用到的性質就將其 列入本教學系統的公設中，因此有以下幾個公設：

1. 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。

2. 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。

3. 能理解三角形邊角關係。

4. 兩相交直線其對底角相等鄰角互補。

然後由於動態幾何教學環境（GSP 教學環境）本身便會提供一些現成的作圖工 具，因此將 GSP 中的作圖選單上的工具以作為公設來供學生使用，這裡將其作圖 工具列出：『在物件上取一點』、『線段上取中點』、『取兩物件交點』、『畫線段』、『畫 射線』、『畫直線』、『作平行線』、『作垂直線』、『作角平分線』、『給定圓心與圓外一 點畫圓』、『給定圓心與半徑畫圓』、『在圓上畫弧』、『過三點畫弧』、『將圖形內部著 色』、『畫出物件的軌跡』。這也是一般的紙筆環境中所沒有的工具，因此在紙筆環 境中必須考慮哪些是必要一開始便教給學生的作圖過程，並以此為已知工具，而哪 些又是不必要的。

本教材需要使用尺規作圖的方法來學習全等三角形的性質因此利用四個單元 來學習尺規作圖並學習 SSS 全等性質，如下：

活動一：截等線段作圖 活動二：正三角形作圖

活動三：給定三邊作三角形（SSS 全等性質）

活動四：複製角作圖

並將以上作圖做成巨集工具，來供之後學習全等性質與數學證明時使用。

因為本教材主要的目的是要利用全等三角形的性質來做數學證明，所以將三角 形的全等性質作為公設，例如：『SSS 全等性質』、『SAS 全等性質』、『ASA 全等性 質』。而 SSS 作圖在活動三已經做成巨集了，因此再由教師提供 SAS 作圖與 ASA

作圖巨集來幫助學生學習全等性質並將其視為公設。

至此學生在此環境中的局部公設系統已經完成了，如圖 3-6-1，然後在一此公 設系統來推論活動九、活動十、活動十一和後測的問題。而此系統一直是由先前已 知的性質與作圖來架構出來的，因此學生在此環境中可以逐漸了解到要論證與製作 一個新的幾何圖形必須要由已知的性質與作圖來進行推論與製作，進而提升了其證 明類型的型式。

圖 3-6-1：電腦環境中的公設系統

至於前導性實驗的實驗組只是少了活動十和活動十一，因此建造公設系統的步 驟是完全跟主要實驗相同的；前導性實驗的對照組因為學習環境為紙筆環境，所用 的工具為直尺和圓規，加上考慮課程的需要，因此只讓學生學會如何使用圓規畫

圓、使用直尺畫線和已知半徑和圓心做一圓，而沒有學習作線段中點、作平行線、

作垂直線、作角平分線，因為這四種作圖對於之後學生的學習並沒有直接的影響，

以及因為有些作圖的先備知識還沒學到所以這些作圖對實驗對象來說是比較困難 的。並且利用筆記本來記住作圖的步驟以便下次需要時使用，也就是說筆記本在這 裡的角色是跟動態幾何環境中的巨集角色是相同的，都是扮演著記錄公設與幾何性 質的角色。同樣地，對照組也是少了活動十和活動十一。

第七節 資料蒐集程序

除了收集前後側的問卷和概念圖之外，在每一堂課皆會收集學生的工作單且錄 影記錄，並將實驗組的繪圖檔案收集起來。然後在每一次的訪談中利用錄影與錄音 來做紀錄。

第八節 資料處理

在量的分析方面，由於必須將所收集的資料作量的分析，因此需要進行編碼的 工作，其中本研究的編碼方式如下：

證明功能的編碼是參考 Lulu Healy 和 Celia Hoyles（1998）對於學生認為的證明 功能所進行的編碼，如表 3-8-1，表中數字的大小並沒有意義，只是純粹代表證明 功能的不同。

表 3-8-1：證明功能的編碼

證明的功能 學生可能的回答 編碼

其他或沒有回 答

1. 沒有回答

2. 有關於能力和成就 3. 其他

0

確定

1. 辯證命題的真實性 2. 提供證據

1

發現 發現新的理論或概念 2

解釋

1. 有關於解釋和提出理由。

2. 與他人溝通。

3

證明類型的編碼為之前理論架構中所提到的五種的證明類型，並依此順序編 碼，如表 3-8-2，而這樣的編碼順序是有高、低層次上的區別，換句話說就是編碼 數字越大的證明類型，代表越接近形式證明，而且其證明類型的編碼順序亦代表學 生證明類型是否完善，然而之所以會這樣編碼的理由將會在第四章做說明。

表 3-8-2：證明類型的編碼

證明類型 編碼

特例的操作驗證 1

實驗歸納驗證 2

不完備的推理證明 3

描述型證明 4

正確的形式證明 5

為了更了解編碼的方式，因此，舉例每種證明類型學生可能的回答：

一、特例的操作驗證：

活動九：

（一） 三角形 ABC 是等腰三角形，且AB= AC，請證明∠B=∠C。 學生回答：∠B和∠C 可以重疊

二、實驗歸納驗證

前測問題：

證明四邊形的內角和為 360 度：

學生回答：因為長方形和平行四邊形的內角和皆為 360 度。

三、不完備的推理證明

後測問題：

證明等腰三角形的腰上兩中線等長：

四、描述型證明

活動九：

五、正確的形式證明

後測問題：

而且在編碼方面，研究者為了考慮內在效度，所以重複了三次的編碼工作，來 確定其編碼的一致性。

在質的分析方面，從主要實驗教學的研究樣本中，抽取 14 個個案來作質的分 析主要觀察學生對於動態幾何環境中的巨集和頁面的功能看法，以及其證明過程。

第九節 研究限制

由於只採取小的樣本來做實驗，所以在推論到其他班級的學習狀況能有所限 制，以及由於實驗過程較長，且恰逢此間學校舉辦許多活動，而造成有些學生可能 會有某些堂課因故不到或者因為其他因素而沒有到校，所以受試者亡失本研究中佔 了很高的比例。但是本實驗在經由兩組比較之前皆作了前測且藉此發現雖然受試者 亡失之後，其前測分數亦沒有顯著差異。

本實驗過程中盡力避免強亨利效應（the John Henry effect）、實驗處理擴散

（experimential treatment diffusion）、實驗者偏見（experomenter bias）、霍桑效應

（Hawthorne effect）來增加本實驗的內、外效度。但是亦無法避免成熟（maturation）

因素可能照成的影響，然而學生要在實驗期間因為成熟因素而影響數學證明類型的 進展並不容易，因此本研究將把此因素摒除。