1023高毅乙 數學科1-4 1-5 2-1解答

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1023高毅乙 數學科1-4 1-5 2-1解答 一、 單一選擇題：每格 10 分，共 50 分

1. ( )若 f（x）＝4 2 x³－3 2 x＋2，則 f（x）除以（x

－sin15°）的餘式為何？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3 (Ｅ) 0。【嘉義女中】

答案：(Ａ)

解析：f（x）除以 x－a 的餘式為 f（a）

故所求為 f（sin15°）＝4 2 sin³15°－3 2 sin15°＋2

＝－ 2 （3 sin15°－4 sin³15°

）＋2

＝－ 2 sin（3×15°）＋2＝－

2 sin45°＋2＝－ 2 ． 2 1 ＋2

＝1 故選(Ａ)

2. ( )sin37.5° sin7.5°＋cos37.5° cos7.5°＝ (Ａ ) 4

2

6－ (Ｂ) 2

1 (Ｃ) 2

2 (Ｄ) 2

3 (Ｅ

) 4 2

6＋ 。【中山女高】

答案：(Ｄ)

解析：sin37.5° sin7.5°＋cos37.5° cos7.5°＝cos（37.5°－7.5°

）＝cos30°＝

2 3

故選(Ｄ)

3. ( )一人見目標 A 在其正北，目標 B 在其北 30°西，

此人向西北方向行 6公里，見 A 在其東北，B 在 正東，則 A 與 B 之距離為多少公里？ (Ａ) 1 ( Ｂ)2

3 (Ｃ) 6 (Ｄ) 2 (Ｅ) 4。

答案：(Ｄ) 解析：

如圖，

∠OCA＝45°＋45°＝90°

∠COA＝45°，∠CAO＝45°

 △CAO 為等腰直角三角形 

DA＝ DO

∵DA＝ DO ，BD＝BD，∠BDA＝∠BDO＝90°

∴△BDA△BDO（SAS）



BA＝ BO 又 DO ＝

2 6 ＝ 3

cos30°＝

BO DO

∴BA＝ BO ＝

 30 cos

DO ＝ 2

3

3 ＝2（公里）

故選(Ｄ)

4. ( )平面上有 A，B，C 三點。已知 B，C 之間的距離 是 200 公尺，B，A 之間的距離是 1500 公尺，∠

ACB 等於 60°。請問 A，C 之間距離的最佳近似值 是哪一個選項？ (Ａ) 1500 公尺 (Ｂ) 1600 公 尺 (Ｃ) 1700 公尺 (Ｄ) 1800 公尺。

答案：(Ｂ) 解析：

AB²＝ CB²＋ CA²－2． CB ． CA cos60°

1500²＝200²＋ CA²－2．200． CA ． 2 1

 1500

²＝200²＋ CA²－200 CA

 CA

²－200 CA ＋200²－1500²＝0

 CA

²－200 CA －2210000＝0

 CA ＝

2

2210000 4

200 200



²＋．

 1590  1600

故選(Ｂ)

【另解】

考慮△PQR～△ABC 且PQ＝

100

1 AB，QR＝ 100

1 BC ，RP＝ 100

1 CA

PQ²＝RQ²＋RP²－2．RQ．RP．cos60°

 15

²＝2²＋RP²－2．2．RP． 2 1



RP²－2RP－221＝0



RP＝

2

221 4 2 2



²＋．

 15.90

 CA ＝100

RP

 1590  1600（公尺）

5. ( )下列五條直線中，哪一條直線斜率最大？ (Ａ) L1：2x＋5y＝7 (Ｂ) L2：y－2＝0 (Ｃ) L3：3x

－6y＋5＝0 (Ｄ) L4：3x－y＝13 (Ｅ) L5：x＋

3y＝2。【金甌女中】

答案：(Ｄ) 解析：m1＝

5

－ ，m2 2＝0，m3＝ 6 3

－

－ ＝ 2

1，m4＝ 1 3

－

－ ＝3，m5

＝ 3

－ 1 因為 3＞

2 1＞0＞

3

－ ＞1 5

－ ，所以 m2 4＞m3＞m2＞m5

＞m1

故選(Ｄ)

二、 填充題：每格 10 分，共 50 分

1. 英台於她家樓頂觀看正東方公園入口 A 處測得仰角為 45°，觀看東 30°南超商 B 處測得仰角為 60°，已知 A 與 B 相距 100 公尺，則英台家樓頂有【 】公 尺高。【嘉義女中】

答案：100 3

解析：設樓高 CD ＝x 公尺

2

則 AC ＝ _ 45 tan

CD ＝x， BC ＝ _ 60 tan

CD ＝ 3 x

又∠ACB＝30°，由餘弦定理知，

100²＝x²＋

2

3



 



 x

－2．x．

3

x cos30°＝x²＋ 3 x2

－x²

＝ 3 x2

 x

²＝3．100²

 x＝100

3（公尺）

2. 若兩直線 kx＋3y－1＝0 與 2x＋y＋2＝0 互相垂直，則 k

＝【 】。

答案：－2 3

解析：兩直線垂直，斜率乘積為－1







 



 3

－k × _



 



 1

－2 ＝－1

 k＝－

2 3

3. 設 cos _



 



 2 α－β ＝－

9

1，sin _



 



α－β

2 ＝

3

2，且 90°＜α

＜180°，0°＜β＜90°，則 sin 2

α＋β＝【 】

。 答案：27

22

解析：90°＜α＜180°且 0°＜β＜90°



45°＜

2

α＜90°且 0

°＜2

β＜45°



45°＜α－

2

β＜180°，－45°＜

2

α－β＜90°

由 cos _



 



 2 α－β ＝－

9

1與 sin _



 



α－β

2 ＝

3

2，可得

sin _



 



 2 α－β ＝

9 5

4 ，cos _



 



α－β

2 ＝

3 5

所以 sin 2

α＋β＝sin





 



 



 



 



 





α－β

β － α－2 2

＝sin _



 



 2

α－β cos _



 



α－β

2 －cos _



 



 2

α－β sin _



 



α－β 2

＝ 9 5 4 ．

3

5－ _



 



 9

－1 ． 3 2＝

27 22

4. △ABC 中，過 B 的高之方程式為 5x－10y＋2＝0，過 A

的角平分線為 x＋y＝0，又 C（0，2），則 B 坐標為【

】。【臺中一中】

答案： _



 





5 2 5

6 －，

－

解析：由過 B 之高可得直線 AC：2x＋y－2＝0，再與 x＋y

＝0 交點可得 A（2，－2）

又 C 對於 x＋y＝0 之對稱點 C'（－2，0）在直線 AB 上，可得直線 AB：x＋2y＝－2

求 x＋2y＝－2 與 5x－10y＋2＝0 的交點可得

B _



 





5 2 5

6 －，

－

5. sin10°sin30°sin50°sin70°之值為【 】。

答案：16 1

解析：sin10°sin30°sin50°sin70°

＝sin30°．（sin10°sin50°sin70°）

＝2

1 ． 



 



 sin（ 103． ） 4

1 ＝

8

1sin30°＝

16 1