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1028 高毅甲乙 1-4 1-5 2-1 姓名 座號
一、單選題 (7 題 每題 7 分 共 49 分)
（ ）1.已知直線 2x 3y 4 0﹐則下列何者正確﹖ (1)斜率
為2
3 (2)y 截距為 2 (3)x 截距為 2 (4)斜率為 3
2﹒
【泰北高中期中考】
解答 3
解析 原式可改寫為 2 4 3 3
y x ﹐則斜率為 2
3﹐ 原式令 x 0 得 y 截距4
3﹐令 y 0 得 x 截距 2﹐故選(3)﹒
（ ）2.平面上有 A﹐B﹐C 三點﹒已知 B﹐C 之間的距離是 200 公尺﹐B﹐A 之間的距離是 1500 公尺﹐ACB 60﹒
請問 A﹐C 之間距離最接近哪一個選項﹖ (1)1500 公 尺﹒ (2)1600 公尺﹒ (3)1700 公尺﹒ (4)1800 公尺﹒
【課堂講義】
解答 2
解析 設ACx﹒
60°
C
A B
200
1500
利用餘弦定理得知﹐
2 2 2
200 1500 2
cos 60 200 2210000
2 200
x x x
x
﹐
即 x2 200x 2210000 0﹐
解得
200 2002 4 2210000 x 2
100 100002210000100 100 222 （負不 合）
因為 22215﹐所以 x 100 100 15 1600﹒故選(2)﹒
（ ）3.tan(x + y) tan(x y) + 1 =﹖ (1)cos22 sin22 cos sin
y y
y x
(2)
2 2
2 2
cos sin cos sin
y x
y y
(3)
2 2
2 2
cos sin cos sin
x y
y x
(4)
2 2
2 2
cos sin cos sin
y y
x x
(5)
2 2
2 2
cos sin cos sin
x x
x y
﹒
【龍騰自命題】
解答 1
解析 原式=sin( )sin( ) cos( ) cos( )
x y x y
x y x y
+ 1 =
2 2
2 2
sin sin cos sin
x y
y x
+ 1
=
2 2 2 2
2 2
sin sin cos sin cos sin
x y y x
y x
=
2 2
2 2
cos sin cos sin
y y
y x
﹒
（ ）4.直線 L1﹕y kx b﹐直線 L2﹕x y 1
k b 在同一坐標系 中的圖形應是下列何者﹖
(1)
x y
O
L1
L2
b
(2)
x y
O
L1
L2
(3)
x y
O
L1
L2
(4)
x y
O
L1 L2
b
【龍騰自命題】
解答 4
解析 令 x 0﹐代入 y kx b 得 y b﹐代入x y 1
k b 得 y b﹐
故兩直線均過(0 , b)﹐因而排除(2)(3)﹐
若 b 0﹐則在圖(1)中﹐
由直線 L1的位置可知其斜率 k 0﹐但由 L2的位置知其 在 x 軸上截距 k 0﹐互相矛盾﹐
故選(4)﹒
（ ）5.設 1
tan
9﹐tan(
) 1﹐則 tan
的值為 (1)2 3(2)3
4 (3)4
5 (4)5
6 (5)6 7﹒
【龍騰自命題】
解答 3
解析 tan tan
tan( ) 1
1 tan tan
1 tan
9 1
1 1tan 9
4
tan
5 故選(3)﹒（ ）6.已知坐標平面上四點 A(20 , 31)﹐B(12 , 50)﹐C(11 , 24)與 D(19 , 57)﹐下列各敘述何者正確？
(1)AB CD (2) AB// ^ CD (3)AD BC //
(4) AD^ BC﹒
【課本類題】
解答 1
解析 31 ( 50) 81 ( 20) ( 12) 8 mAB - -
= =
- - - - ﹐ 24 ( 57) 81
11 19 8
mCD - -
= =
- - ﹐
31 ( 57) 88 ( 20) 19 39 mAD - -
= =
- - - ﹐ ( 50) 24 74
( 12) 11 23 mBC - -
= =
- - ﹐
∵mAB= mCD﹐∴AB CD// ﹐故選(1)﹒
（ ）7.如圖﹐L1﹕y ax b﹐L2﹕y cx d﹐L3﹕y ex f﹐
－ 2 － 下列各數哪一個最小﹖ (1)a (2)b (3)c (4)d
(5)e﹒
x y
O L1
L2
L3
(1,0) (0,2)
( 2,0) (0, 1) (0, 4)
【90 中山女中期中考】
解答 2
解析 0 ( 4) 1 0 4 a
﹐ 2 0
0 1 2
c
﹐ 0 ( 1) 1
2 0 2
e
﹐
由(0 , 4)﹐(0 , 2)﹐(0 , 1)各點得 b 4﹐d 2﹐f 1﹐
故選(2)﹒
二、填充題 (6 題 每題 9 分 共 54 分)
1.已知 1
sin cos
4﹐求 sin2
____________﹒【課本類題】
解答 15 16
解析 1 sin cos
4平方 2 2 1
sin cos 2sin cos
16 1 sin 2 1
16 15
sin 2
16﹒2.從地面上 A﹑B﹑C 三點觀測空中一氣球 O﹐其仰角均為 30﹐若 40
AB 公尺﹐BC60公尺﹐ABC 60﹐求氣球的高度為 ____________﹒
【97 台中一中期中考】
解答 20 7 3
解析 A﹑B﹑C 三點共圓﹐氣球在地面上的投影點為△ABC 的外心
2 2 2
40 60 2 40 60 cos 60
AC 1600 3600 2400 2800
1 2 2800
2 2800
sin 60 2 3 3
AC R R
2800 20 7
3 3
3 h R
﹒
A
B
C h
30°
30° 30°
40 60
3.河邊峭壁上有一塔﹐塔高 h 公尺﹐從塔頂俯視對岸的俯角為
﹐ 而從塔底俯視對岸同一點的俯角為
﹐則(1)峭壁高 ____________公尺﹒(2)河寬 ____________公尺﹒（以 h﹑
﹑
表之）【龍騰自命題】
解答 (1) cos sin sin( )
h
;(2) cos cos sin( )
h
解析 以AB表塔﹐DB表峭壁如下圖
A
B
C D
h
於△ABC 中﹐由正弦定理得
sin(90 ) sin( )
BC h
sin(90 ) cos sin( ) sin( )
h h
BC
△BCD 中
(1) cos sin
sin sin( )
BD BC
h
（由）…峭壁高﹒
(2) cos cos
cos sin( )
CD BC
h
（由）…河寬﹒
4.某人欲測某山之高度﹐先在地面上選定 P﹑Q 兩點﹐在 P 點測得 山頂 A 的仰角是 45°﹐∠APQ 135°﹐在 Q 點測得山頂 A 的仰角 是 30°﹐已知PQ2公里﹐求山高____________公里﹒
【100 臺中一中期中考】
解答 1 3 解析 令山高AOh
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PA 2h﹐AQ2h﹐
△APQ 中﹐∠APQ 135°﹐PQ2 由餘弦定理知
2 2 2
2 cos135
AQ AP PQ AP PQ
(2h)2 ( 2h)2 22 2 2h 2 cos135° h2
2h 2 0
h 1 3（∵ 1 3不合）﹒
O A
Q P
h
2 45 ° 135 °
30 °
5.設 A (1 , 2)﹐B (1 , 2)﹐C (3 , 2)﹐D (3 , 4)﹐令四邊形 ABCD 各 邊及其對角線的斜率最大值為 M﹐最小值為 m﹐則數對(M , m) ____________﹒
【龍騰自命題】
解答 (3 , 2)
解析 AB斜率不存在﹐AC斜率為 4 2 2
﹐AD斜率為2 21﹐
BC斜率為 0﹐BD斜率為6 23﹐
CD斜率不存在﹐故 M 3﹐m 2﹐數對(M , m) (3 ,
2)﹒
6.設 a 為實數﹐(2 a)x (1 4a)y (3 2a) 0 恆過一定點﹐求此 點之坐標為____________﹒
【龍騰自命題】
解答 ( 2 , 1)
解析 原式 (2x y 3) a(x 4y 2) 0 表一直線 L﹐
且 L 恆過 2x y 3 0 與 x 4y 2 0 兩線的交點﹐
解 2 3 0
4 2 0 x y x y
得 x 2﹐y 1﹐故此點坐標為( 2 , 1)﹒
