模擬考題解答
法蘭克
1 解答
第一題解答：兩邊同時對f (sin x) = x微分得到 d
dxf (sin x) = d
dxx 利用連鎖律可知 d
dxf (sin x) = f′(sin x)· cos x 所以f′(sin x)· cos x = 1.如果−π/2 ≤ x ≤ π/2且sin x =√
3/2 可推得x = π/3.可知 f′(
√3
2 )· cosπ 3 = 1.
因為cos(π/3) = 1/2所以f′(√
3/2) = 2.
第二題解答：利用隱函數微分可知 d
dx(2x3− 3y2) = d dx4 = 0.
又利用連鎖律
d
dx(2x3− 3y2) = 6x2− 6ydy dx. 所以
dy dx = 6x2
6y = x2 y . 所以(x, y) = (2, 2)帶入後發現dy
dx = 2.換 句 話 說， 圖 形 在(2, 2)切 線 斜 率 為2‧ 因 此 切 線 方 程 為y = 2(x− 2) + 2.
第三題解答： 要證明f (x) = x− ln x在x > 1時遞增，我們只需證明在x > 1時f′(x) > 0‧計 算後發現
f′(x) = 1− 1
x =x− 1
x > 0, x > 1.
因此f (x) = x− ln x在x > 1時遞增‧
第四題解答： 令g(x) = e−xf (x)‧則g(a) = e−af (a) = e−a0 = 0且g(b) = e−bf (b) = 0‧ 利 用Rolle定理存在c∈ (a, b)使得g′(c) = 0‧計算
g′(x) = e−xf′(x)− e−xf (x) = e−x(f′(x)− f(x)).
如果g′(c) = 0則e−c(f′(c)− f(c)) = 0‧因為e−c̸= 0所以f′(c)− f(c) = 0.
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第五題解答： 觀察：
3x + 1
x − 1
sin x = 3 + 1 x− 1
sin x. 換句話說，我們只需要計算
lim
x→0+
(1 x− 1
sin x )
即可‧而
1 x− 1
sin x = sin x− x x sin x .
令f (x) = sin x− x且g(x) = x sin x‧則f(0) = g(0) = 0.所以我們可以使用羅必達法則‧
而f′(x) = cos x− 1且g′(x) = sin x + x cos x‧觀察f′(0) = 0且g′(0) = 0. 我們在使用一次羅 必達法則‧f′′(x) =− sin x且g′′(x) = 2 cos x− x sin x. 因此f′′(0) = 0且g′′(0) = 2.換句話說
xlim→0+
sin x− x
x sin x = f′′(0) g′′(0) = 0.
因此
lim
x→0+
(3x + 1
x − 1
sin x )
= 3.
第六題解答：
(a)上課講過（請參閱課堂筆記）
(b)上課講過（請參閱課堂筆記）
(c)上課講過（請參閱課堂筆記）
第七題解答： 函數並沒有水平漸近線‧但有垂直漸近線x = 2與斜漸近線（設為y = ax + b‧）
a = lim
x→∞
x2− 2x + 4 (x− 2)x = 1.
且
b = lim
x→∞
(x2− 2x + 4 x− 2 − x
)
= 0.
所以y = x是斜漸近線‧把函數做以下化簡
f (x) = x + 4 x− 2. 因此f′(x) = 1− 4
(x− 2)2 = x(x− 4)
(x− 2)2且 f′′(x) = 8
(x− 2)3. 所以f 的critical point為f′(x) = 0的 解‧換句話說 x = 0或x = 4‧在這情況下可知 在x > 4或x < 0時，f′(x) > 0在0 < x <
4時，f′(x) < 0‧因此f 在x > 4或x < 0時遞增， f 在0 < x < 4時遞減‧而在x > 2時f′′(x) > 0，
因此x > 2時函數為concave up在x < 2時，函數為 concave down‧所以f′′(0) < 0也就是說0是局 部極大值，f′′(4) > 0，4是局部極小值‧函數與x軸 與y軸均無相交‧請視下圖
第八題：假設直角三角形的底邊長為x高為h則 x2+ h2= (√
3)2.而由它旋轉出來的錐體體積 為
V = 1
3πx2h = 1 3πx2√
3− x2= π 3
√x4(3− x2).
我們只需知道f (x) = x4(3− x2) 的最大值即可知道V 的最大值為何‧
f′(x) = 12x3− 6x5= 6x3(2− x2).
2
所以f 的critical point有x = 0,±√
2.當然，我們知道只有可能x =√
2才會是我們希望的極值‧ 進 一步計算
f′′(x) = 36x2− 30x4= 6x2(6− 5x2).
因此f′′(√
2) = 6· 2 · (6 − 5 · 2) = 6 · 2 · (−4) < 0. 當x =√
2時，y = f (x)有最大值‧f (√ 2) = 4.
於是此時體積為
V =π 3 ·√
4 = 2π 3 .
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Figure 1.1: 作圖結果
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