03 負數與乘法 1100817
單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 1
3 負數與乘法
小學的時候知道某數「乘以3」就是把它自己連加 3 次的意思，例如 1 3 1 1 1 3。現在 要沿用這個概念， ( 1) 3 就是把 1 連加 3 次的意思，也就是 ( 1) ( 1) ( 1) 3，所以
( 1) 3 3。同學們應該都能推論，同樣的道理，( 1) 4 4、( 1) 5 5、...。數學用 一句話來表示「所有」這種情況：
對任何正數a，( 1) a a [隨堂練習 1]
(1) (−1) × 7 = _________________ (2) (−1) × 12 = _________________
數學概念的「推廣」
本來只有正數乘以正數才是連加，但我們剛才卻讓 1 乘以正數也是連加，這種想法就叫做推 廣。「推廣」是數學很常用的辦法，同學們要善用它。
前面剛說「對任何正數a，( 1) a a」，不妨再推廣一步，不限定a 是正數，讓它是任 何數吧。也就是說 1 乘以任何數 a 都是它的相反數 a：
對任何數a，( 1) a a
這就厲害了。例如 ( 1) ( 3) ( 3)，可是我們知道 ( 3) 是 3 的相反再相反，還是 3，
也就是所謂的「負負得正」，所以 ( 1) ( 3) 3。 [隨堂練習 2]
(1) (−1) × (−7) = _________________ (2) (−1) × (−1) = _________________
可是，有些時候數學不能隨便推廣。那就是特別需要仔細學習的地方。以後我們遇到不能推 廣的時候，一定會特別提醒大家。
「等式」的雙向使用
小學時候習慣把「等號」當作從左到右的計算方向，不習慣反過來看。例如 我們習慣說「3 乘 以7 等於 21」（3 7 21 ）卻不習慣反過來說「21 等於 3 乘以 7」（21 3 7 ）。用等號寫 成的一條式子，稱為等式。在小學，有些「有等號」的式子並不是等式，例如「17 除以 3 等於 5 餘 2」（17 3 5 2）確實不會反過來說「5 餘 2 等於 17 除以 3」。但是，請大家了解：
從國中開始，「有等號的式子」都是等式，等式都可以雙向使用。
關鍵來了：剛才我們知道了 ( 1) a a，反過來用這條等式就是 ( 1)
a a，例如 7 ( 1) 7，或者 25 ( 1) 25 。
這就是做正負混合乘法計算的關鍵步驟：從負數分解出 1 來，其餘的就是我們早就會的正數 乘以正數。例如
( 3) 7 ( 1) 3 7 ( 1) 21 21 把 3 拆成( 1) 3 先算3 7 把( 1) 21合併成 21
03 負數與乘法 1100817
單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 2
這個辦法也可以「推廣」到正數乘以負數。例如
3 ( 5) ( 1) 3 5 ( 1) 15 15 把 5 拆成( 1) 5 先算3 5 把( 1) 15合併成 15 [隨堂練習 3]
(1) (−12) × 3 = _________________ (2) 15 × (−4) = _________________
那麼，負數乘以負數又該怎麼算呢？答案是：還是一樣啊，只不過會有兩個 1 要相乘。
例如
( 7) ( 2) ( 1) ( 1) 7 2 7 2 14 把 7和 2拆開 ( 1) ( 1) 1就不理它 只要算7 2
善用數學「推廣」的想法，只要學會把負數「拆開」成 1 乘以正數，正負混和的乘法，
實際要算的還是小學就會的「正乘以正」，最終還是用九九乘法表來算。
[隨堂練習 4]
(1) (−15) × (−3) = __________ (2) (−7) × (−12) = __________ (3) 8 × (−12) = ___________
當我們學得愈來愈多，數字難免就愈來愈複雜。在小學的時候，可能知道一種技巧來化簡計 算，例如 2 4 + = +2 6 2 (4 6)= 2 10=20，它的原理如下圖。就是黑球與白球同樣都可以排 成2 排，先將每排的黑球與白球接在一起，最後把一排的個數乘以 2 就好了。這式子的重點是 都有共同的倍數2，其次就是 4 + 6 正好 10 ，而形成了較為好算的數字。
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2 × 4 + 2 × 6 = 2 × (4 + 6)
當然我們也可以直接將它們各自相乘後再相加，比如說：2 × 4 + 2 × 6 = 8 + 12 = 20。那 是因為這個算式的數字很小，將它乘開仍是我們能力所及而且是輕而易舉的事，但是當數字較 為複雜的時候，就感受到它的威力了。比方說：
11 × 38 + 11 × 12 = 11 × (38 + 12) = 11 × 50 = 550
讓我們再「推廣」一次吧：讓 1 可以像前面的 2 那樣，用來合併後面的數。例如 (−17) + (−22) = (−1) × 17 + (−1) × 22 = (−1) × (17 + 22) = (−1) × 39 = −39
把 17和 22拆開 合併 1 後面的兩個數 [隨堂練習 5]
(1) (−12) + (−13) = _________________ (2) (−25) + (−27) = _________________
用財務觀念很容易理解 ( 200) ( 100) (200 100) 的道理： 200 好比我欠你 200 元，
100 好比我也欠她 100 元，那麼我總共負債多少錢？當然是總共欠200 100 元，也就是總共 欠300 元；我的資產是 300 元。
03 負數與乘法 1100817
單維彰、陳玉芬．國中數學別冊（一） 3
隨喜練習
1. 做以下「負數相加」的計算。
(1) (−72) + (−128) (2) (−99) + (−401)
2. 做以下「正負混和」的計算。
(1) 6 − 3 × (−5) (2) (−5) + (−3) × (−6)
(3) (−9) + (−7) × 3 (4) 15 − (−3) × (−20)
3. 請說明以下運算過程是否正確？可以用財務觀念解釋嗎？
−112 − 88 = (−112) + (−88) = −(112 + 88) = −200
科技工具
像 11 38 11 12 是恰好有共同的 11，而它後面的 38 和 12 可以湊成 50，但是稍微改一下數 字就沒這麼湊巧了，例如 11 39 12 12就沒有很簡單的算法。這種時候，能心算當然很好，
如果給妳／你紙筆和夠多的時間，相信同學一定算得出來。可是，在這個科技的時代，應該也要 能用機器來算！
請看計算機操作的教學影片，網址如下，或掃描右邊的二維條碼。學 會操作計算機之後，不妨用它驗算前面的作業題目。
http://shann.idv.tw/video/210820.html
