複數極式的乘法

(1)

 如圖，A 點代表的複數為 z，令 w=(2+3i)z。

(1)請在複數平面上畫出 B(iz)、P(2z)、Q(3(iz))、R(w) (2)設|z|=r，請用 r 表示|w|。

(3)請問|w|與|2+3i||z|是否相等，並說明理由。

(4)試問POR 是否會等於 2+3i 的主輻角呢？說明理由。

(5)試問 w 的主輻角是否會等於 z 主輻角與 2+3i 主輻角的和呢？

(2)

[解法]：

(1)各點位置如下圖所示：

(2)|w|= |2 |z²| 3( ) |iz ² = 2²3² |z|= 13 r。

(3)_|2+3i||z|= 2²3² |z|= 13 r=|w|， |w|=|2+3i||z|

(4)_ ^PR OP=³

2，且2+3i 的主輻角介於 0到 90之間，

POR 等於 2+3i 的主輻角。

(5)從圖形可以得知 w 的主輻角COR=COP+POR=(z 主輻角)+(2+3i 主輻角)。

(3)

 如圖，A 點代表的複數為 z，令 w=(2+3i)z。

(1)請在複數平面上畫出 B(iz)、P(2z)、Q(3(iz))、R(w) (2)設|z|=r，請用 r 表示|w|。

(3)請問|w|與|2+3i||z|是否相等，並說明理由。

(4)試問POR 是否會等於2+3i 的主輻角呢？說明理由。

(5)試問 w 的主輻角是否會等於 z 主輻角與 2+3i 主輻角的和呢？

(4)

[解法]：

(1) 各點位置如下圖所示：

(2)|w|= | 2 | z²| 3( ) |iz ² = ( 2) ²3² |z|= 13 r。

(3)_|2+3i||z|= ( 2) ²3² |z|= 13 r=|w|， |w|=|2+3i||z|

(4)2+3i 的主輻角介於 90與 180之間，因此PORArg(2+3i)。

事實上 Arg(2+3i)=180POR=AOR。

(5) Arg(w)=COR=COA+AOR=Arg(z)+Arg(2+3i)。