Ch 4.4 機率 (probability) 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：樣本空間(sample space)
1.隨機試驗：在未知現象上，求出一個結果或觀察對象的過程都稱為「試驗試驗試驗」試驗 ；其結果事先無法確定，且可能不只一種 結果，又在相同條件下，可以重複進行試驗，稱為隨機試驗隨機試驗隨機試驗隨機試驗(random experiment)
2.樣本空間：一個隨機試驗的所有所有所有可能的所有可能的可能的結果可能的結果結果所成的集合，稱為樣本空間結果 樣本空間樣本空間，通常以 S 表示 樣本空間
3.樣本點：樣本空間中的每一元素(即每一個可能發生的結果)稱為一個樣本點樣本點樣本點樣本點(sample point)，或簡稱為樣本樣本樣本樣本(sample) 如：設投擲一枚公正的骰子，可能出現點數有 1，2，3，4，5，6 點，則：
「投擲一枚公正的骰子並觀察可能出現的點數」稱為一個試驗試驗試驗 試驗
可能的結果以集合 S＝{1，2，3，4，5，6}表示，稱為這個試驗的樣本空間樣本空間樣本空間 樣本空間 集合 S 中的每一個元素，稱為樣本點樣本點樣本點或簡稱為樣本樣本點 樣本樣本 樣本
例 1.1：試寫出下列各隨機試驗的樣本空間：
(1)投擲一粒公正的骰子一次，觀察其出現的點數 (2)路上隨便找個路人甲，問他的生肖
(3)同時投擲兩枚相同的均勻硬幣一次，試求出現正反面情形 (4)投擲兩顆骰子，觀察其出現點數的和
例 1.2：連續投擲一枚均勻的硬幣兩次，依序觀察正面或反面出現的情形。
試寫出此試驗的樣本空間。共有多少個樣本點？
例 1.3：連續投擲一顆公正的骰子兩次，依序觀察出現的點數。試寫出此試驗的樣本空間，共有幾個樣本點？
重點 2：事件(event)
1.事件：樣本空間的部份樣本部份樣本部份樣本(子集，部分集合)均為樣本空間的一子集，簡稱事件部份樣本 事件事件(event)，通常以 E 表示 事件 註：(1)一個試驗下，可以有許多不同的事件，常以大寫 A、B、……等表示不同事件
(2)設 A 為一事件，試驗結果屬於 A 的其中一個樣本點時，則稱事件 A 發生，否則稱事件 A 不發生 例如：投擲一顆骰子，觀察出現的點數，則樣本空間 S＝{1，2，3，4，5，6}，則：
A＝{1，3，5}是「出現奇數點」的事件；B＝{6}是「出現 6 點」的事件 若骰子擲出 3 點，表示事件 A 發生，事件 B 不發生
2.基本事件：只含一個樣本點的事件，稱為基本事件基本事件基本事件(elementary event)，又稱為單一事件 基本事件 註：基本事件的個數＝樣本空間 S 的個數
3.複合事件：含兩個樣本點以上的事件，稱為複合事件
4.全事件：樣本空間 S 本身是自己的一個子集，稱 S 為全事件全事件全事件(sure event)，又稱為必然事件全事件 必然事件必然事件必然事件
空事件：在試驗中不可能發生的事件，稱為空事件空事件空事件空事件(impossible event)，或稱為不可能事件不可能事件不可能事件，即空集不可能事件 空集空集空集合合合合∅ 正面 反面
例 2.1：在擲一粒骰子的試驗中，觀察其出現之點數，則：
(1)寫出此試驗的樣本空間 (2)寫出擲出 1 點的事件
(3)寫出出現點數為偶數的事件 (4)寫出出現點數為奇數的事件 (5)寫出擲出 7 點的事件
重點 3：事件的運算
已知樣本空間 S，若 A，B 為樣本空間 S 的兩事件，則：
1.和事件：A∪B 表示事件 A 與 B 的和事件和事件和事件(sum event)。A∪B 發生表示 A 或 B(至少有一事件)發生的事件 和事件 2.積事件：A∩B 表示事件 A 與 B 的積事件積事件積事件(product event)。A∩B 發生表示 A 與 B 同時都發生的事件 積事件
3.互斥事件：若 A∩B＝∅，表示事件 A 與事件 B 為互斥事件互斥事件互斥事件(mutually exclusive event)，或稱 A 與 B 互斥(disjoint) 互斥事件 註：A 與 B 為互斥事件互斥事件互斥事件互斥事件，表示 A 與 B 不可能同時發生
4.餘事件：
一事件 A 在樣本空間 S 的餘集(或稱補集)A′，稱為 A 在 S 的餘事件餘事件餘事件(complement of an event)，簡稱為 A 的餘餘事件 餘餘餘事件事件事件事件 註：(1)A 的餘事件表示 A 沒有發生的事件，即 A′＝S－A，其中 S 為樣本空間
(2)A，A′互為餘事件，必然是互斥事件( A∩A′＝∅ )
5.差事件：差集合 A－B，表示在一試驗中，事件 A 發生，但事件 B 不發生的事件，稱為事件 A 對事件 B 的差事件差事件差事件差事件
例 3.1：連續投擲一枚硬幣兩次，依序觀察正面或反面出現的情形，若 A 表示兩次均出現正面的事件，B 表示恰一次正面 一次反面的事件，C 表示兩次出現同一面的事件，試求：
(1) A 與 B 的和事件 (2) B 與 C 的積事件 (3) A 的餘事件
重點 4：(拉普拉斯)古典機率
1.意義：某一事件的樣本點個數占樣本空間的比例，作為該事件發生的機率
2.定義：設一隨機試驗的樣本空間為 S，且樣本空間的每一個基本事件出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等，
則事件 A 發生的機率為 P(A)，記作 P(A)＝
) (
) (
S n
A n 或
|
|
|
| S
A ，讀作事件 A 發生的機率，
其中 n (S)表示樣本空間 S 之(樣本點)個數，n(A)表示事件 A 之個數。
註：古典機率的定義是由法國數學家拉普拉斯(Laplace，1749~1827)所提出的計算機率的方法
註：隨機試驗中，公正的骰子(各點出現的機會均等)、一副撲克牌(每張被抽出的機會均等)、勻稱的硬幣(硬幣出現正反 面的機會均等)、……等，古典機率都假設試驗所用的東西是公正或勻稱的。
3.複合事件的機率：
由基本事件所組成的子集，稱為複合事件複合事件複合事件複合事件，其形成新的樣本空間中，樣本點為兩兩互斥的複合事件，發生的機率也 就不一定均等
A S
例 4.1：一副撲克牌有 52 張，均勻洗牌後任取 1 張。若每張被取出的機會相等，試求取出的牌是黑桃的機率為多少？
例 4.2：若一袋內裝有 5 顆紅球、2 顆白球，今從袋中任取 1 球，若每球被選取的機會相等，
試問取到紅球的機率為多少？
例 4.3：同時投擲兩枚均勻硬幣 1 次，試求出現一個正面一個反面的機率
例 4.4：同時投擲兩顆公正骰子 1 次，觀察出現的點數，試求點數和為 7 的機率
例 4.5：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，假設每顆球被選取的機會均等。試分別依下列規則從袋中取兩球，
試求取出 1 顆紅球 1 顆白球的機率
(1)一次取一球，取後不放回，連取兩次 (2)同時取兩球
重點 5：(古典)機率的性質
設 S 為某一試驗的樣本空間，其樣本點為有限多個。事件 A，B⊂ S。則有：
1.機率的範圍 0≤P(A)≤1
2.全事件 P(S)＝1，空事件 P(∅)＝0
3.餘事件 P(A′)＝1－P(A)，其中 A' 是事件 A 的補集， A∩ = ∅A′ ，A 與 A′是互斥事件 4.機率的單調性：若 A⊂ B，則 P(A)≤P(B)
5.排容原理：
(1)若 A，B 為 S 的二事件，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
(2)若 A，B，C 為 S 的三事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(A∩B)－P(B∩C)－P(A∩C)＋P(A∩B∩C) 6.若 A，B 為 S 的兩互斥事件(即 P(A∩B)＝0)，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
若 A，B，C 為 S 的兩互斥事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
例5.1：若P(A)＝1
3，P(B)＝1
2，P(A∩B)＝ 1
12，試求下列各值：
(1)P(A∪B) (2) P(A′ ) (3) P(B－A)
例 5.2：班上 40 名學生的第一次月考成績，英文及格的有 20 人，數學及格的有 15 人，兩科都及格的僅有 10 人。校長從 班上抽 1 人晤談，假設每人被抽中的機率均等。試求被抽中的學生
(1)至少有一科及格的機率 (2)英文及格但數學不及格的機率
例 5.3：在 12 星座被挑中的機率均等的假設下，現在路上隨機挑 5 個人，會有人有相同星座的機率是多少？
重點 6：數學期望值(mathematical expectation)
1.分割：已知 Ai，i＝1，2，…，n 為樣本空間 S 的事件，且A ，1 A2，…，A 同時滿足下列兩個條件： n (1)所有事件的聯集是整個樣本空間，即 S＝A1∪A2∪…∪A n
(2)任兩個事件的交集是空集合，即Ai∩A ＝j φ，i ≠ j，i，j＝1，2，…，n 稱{A ，1 A2，…，A }為樣本空間 S 的一個分割 n
設事件A 發生的機率為i p ，且事件i A 發生可得值為i m ，i＝1，2，…，n i 2.定義：設隨機變數 X 的機率分布表如下：
數值 X m1 m2 L m n 合計 機率 P p1 p2 L p n 1
則稱隨機變數 X 的數學期望值數學期望值數學期望值數學期望值為 E(X)＝m1p1＋m2p2＋…＋mnpn＝
∑
= n
i i ip m
1
，也簡稱為「期望值期望值期望值期望值」
3.性質：隨機變數 X 的期望值是所有可能結果的「算術算術算術算術平均平均平均平均數數數」或「加權平均數」 數
例 6.1：將面值分別為 100 元，100 元，500 元，500 元及 500 元的圖書禮券分別裝入 5 個大小相同的信封中，假設每個信 封被選取的機會都相同，自這些信封中任取一個﹐試求禮券面額的期望值
例 6.2：一袋裝有大小相同的 10 元與 50 元代幣各三枚。假設每枚代幣被選取的機會均等，
試求下列各試驗取到代幣總額的期望值：
(1)任取一枚代幣 (2)任取兩枚代幣
例 6.3：學生參加校外教學參訪活動，投保某保險公司的旅遊意外平安險，發生意外致死的理賠額度為 100 萬元，保險費 為 40 元。依過去經驗，在參訪途中發生意外致死的機率為 0.00001，若不計其他營運成本，試求保險公司獲利的 期望值。
例 6.4：一個投擲三枚均勻硬幣的遊戲，規定擲出三個正面可賺 6 元、兩個正面可賺 2 元、一個正面可賺 1 元。為使遊戲 公平，擲出三個反面應賠多少錢？
