分數的運算 - 最大公因數與最小公倍數

一、選擇題：(每題 4 分，共 40 分) 

(  A  )1.若 A＝2 ⁵ ，B＝5 ¹⁰ ，則(A , B)＝？ 

(A) 1  (B) 2  (C) 10  (D) 2000 

(  C  )2.設二整數之公因數中有一為 12，公倍數中有一為 360，現已知其中一數為 60，則另一數不可 能為何？ 

(A) 24  (B) 36  (C) 84  (D) 72  (  B  )3.180 和 126 之最小公倍數為 2 ^a ×3 ^b ×5 ^c ×7 ^d ，則 a＋b＋c＋d＝？ 

(A) 5  (B) 6  (C) 7  (D) 8 

(  D  )4.下列哪一組數的最小公倍數等於這兩數的乘積？ 

(A) 24、42  (B) 75、57  (C) 87、78  (D) 25、52 

(  B  )5.鹿港到彰化的公車每隔一定間隔開車，已知 6：30、8：00、9：00 各開出一班，判別下列何者 不可能是兩班車的間隔？ 

(A) 30 分  (B) 20 分  (C) 15 分  (D) 10 分 

(  C  )6.莉莉水果量販店買入日本青蘋果一批，數量在 200 到 250 個之間，若以 10 個裝一盒剩 7 個， 

12 個裝一盒則剩 9 個，那麼若該批青蘋果以 8 個裝一盒時，會剩下幾個？ 

(A) 1  (B) 3  (C) 5  (D) 7 

(  C  )7.右表是 11 月分的日曆，從 11 月 1 日起，老師規定：日數是  3 的倍數考英語，日數是 4 的倍數考數學，但星期六、日不 考，則下列敘述何者正確？ 

(A) 11 月分英語共考 5 次  (B) 11 月分數學共考 7 次 

(C) 11 月分同時考英語和數學的只有 1 天  (D) 11 月分總共考了 12 天 

(  D  )8.若 a 與 b 互質，則[(a , b) , [a , b]]＝？ 

(A) 1  (B) a  (C) b  (D) a×b 

(  D  )9.針對數學老師在黑板上三個數的算式，大雄、胖虎、

小夫、靜香四人做了以下敘述，則下列何者正確？

大雄：2 ² ×7 是三個數的公因數

胖虎：2 ² ×3 ² ×7 是三個數的最大公因數 小夫：2 ² ×3×7 是三個數的公倍數

靜香：2 ³ ×3 ² ×5×7×11 是三個數的最小公倍數 

(A) 大雄  (B) 胖虎  (C) 小夫  (D) 靜香  (  B  )10. 求[3×5 ² ×7 , 2 ² ×5 ² ×7 ² ]為(3×5 ² ×7 , 2 ² ×5 ² ×7 ² )的多少倍？ 

(A) 1  (B) 84  (C) 1 

84  (D) 42 

分數的運算 - 最大公因數與最小公倍數  B1 

日 一 二 三 四 五 六  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30 

280 

2  396  252  140 

2  198  126  70 

7  99  63  10 

3  99  9 

10 

3  33  3 

10  11  1

二、填充題：(每格 4 分，共 40 分)  1.求下列各式的值。(以標準分解式表示) 

(1) [2 ³ ×3 , 2 ⁴ ×3 ⁴ ×7 ² , 2×3 ³ ×5 ⁴ ]＝  2 ⁴ ×3 ⁴ ×5 ⁴ ×7 ²  。  (2) (420 , 140 , 84)＝  2 ² ×7  。 

(3) ([60 , 36] , 90)＝  2×3 ² ×5  。  (4) 21×22×24×25＝  2 ⁴ ×3 ² ×5 ² ×7×11  。  2.介於 3 

5 和 4 

5 之間(不包含 3  5 和 4 

5 )的真分數，而且其分母恰好為 35 的最大分數是  27

35  。  3.若(a , b , c)＝6，且[a , b , c]＝180，a＝18，b＝36，則 c＝  30  。 

4.兩 個 大 於  200  的 自 然 數 ， 其 最 大 公 因 數 為  2 ² × 3 ³ ， 最小 公倍 數為  2 ³ ×3 ³ ×7 ² ， 則此兩自 然數 為  2 ³ ×3 ³ 、2 ² ×3 ³ ×7 ²  。(以標準分解式表示) 

5.某國中每天上課七節，校長每隔兩節必巡堂一次，教務主任每隔一節必巡堂一次，若今天第一節時校 長與教務主任一同去巡堂，則今天的第 二、六 節校長及教務主任都沒有巡堂。 

6.我國農曆以天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)、地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、

未、申、酉、戌、亥)記年，其順序如下表，依序為為甲子、乙丑、丙寅、……、癸亥等，已知民國 69  年為庚申年，則：

天干 甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸，甲，乙，丙，丁，…… 癸 甲 地支 子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，子，丑，…… 亥 子

記年 甲子，乙丑，丙寅，丁卯，戊辰，己巳，庚午，辛未，壬申，癸酉，

甲戌，乙亥，丙子，丁丑，…… 癸亥 甲子 

(1) 要相隔  60  年相同的記年才會重複(由甲子年到下一個甲子年的時間)。 

(2) 民國 100 年之干支記年為 辛卯年 。 三、計算題：(每題 10 分，共 20 分) 

1.設 a＝28×15×12，b＝2 ³ ×3 ² ×5×7 ² ，c＝2160，則 

)  ,  ,  ( 

]  ,  ,  [ 

c  b  a 

c  b 

a  ＝？(以標準分解式表示)  答：2×3×7 ² 

2.  有 147 個男生和 189 個女生參加童軍露營，想要平均分成若干小隊： 

(1) 若每小隊都要有男生和女生，且男、女生人數一樣多，則最多可分成幾隊？ 

(2) 若男生和女生要分開編隊，且每隊人數一樣多，則最少可分成幾隊？

一、選擇題：(每題 4 分，共 40 分) 

(  B  )1.兩數 270 和 351 的公因數共有多少個？ 

(A) 2  (B) 4  (C) 6  (D) 8 

(  B  )2.用 a 除 109 餘 1，除 183 餘 3，若 a 為一正整數，則滿足此條件的 a 共有幾個？ 

(A) 9  (B) 6  (C) 5  (D) 4 

(  A  )3.有兩個分數  1  89 、 1 

71 ，分別乘以正整數 A 後，都會成為一個整數，則下列何者正確？ 

(A) A 為 89、71 的公倍數  (B) A 為 89、71 的公因數  (C) A 為 89 的因數、71 的倍數  (D) A 為 89 的倍數、71 的因數  (  C  )4.小謙以短除法求甲、乙兩數的最大公因數的過程中，被妹妹弄髒了一部分(如

圖斜線部分)。但小謙還記得丙和丁兩數的乘積為  42，則甲×乙的結果是多 少？ 

(A) 42×9×5  (B) 42 ² ×9×5  (C) 42 ² ×3 ³ ×5  (D) 42 ² ×3 ⁴ ×5 

(  D  )5.一長方體為  156cm×96cm×60cm，今在其所有表面都塗上紅色，欲把它切成最少塊大小相同的 正方體，則完全沒有紅色的小正方體有幾塊？ 

(A) 520  (B) 580  (C) 208  (D) 198 

(  D  )6.公車總站上 11 號公車發每一班車的時間固定，甲生在一週中，發現 10：00、10：36、11：00  均可等到公車發車，若今天甲生在 11：20 到總站等車，則需再等幾分鐘，公車便會發車？ 

(A) 24  (B) 16  (C) 12  (D) 4 

(  C  )7.星光唱片行為反制盜版猖獗，設計了一組產品識別編號為☆☆­★★­◎◎◎，其中◎◎◎為☆

☆與★★的最小公倍數。例如：周傑倫專輯的識別編號為 12­18­036，則其所代表的意思為[12 ,  18]＝36。則下列哪一張專輯最有可能是盜版？ 

(A) 42­28­084  (B) 10­75­150  (C) 87­21­133  (D) 81­63­567  (  B  )8.若 a 與 b 互質，則[(a , b) , b]＝？ 

(A) a  (B) b  (C) ab  (D) 1 

(  A  )9.(28 , 36 , 48)＋[20 , 24 , 30]＝？ 

(A) 124  (B) 132  (C) 144  (D) 150  (  D  )10. 已知 A＝8×12×15，B＝2 ³ ×3 ² ×5×7，則下列敘述何者正確？ 

(A) A、B 的最大公因數為 2 ² ×5×7  (B) A、B 的最大公因數為 2 ³ ×3 ³ ×5×7  (C) A、B 的最小公倍數為 2 ³ ×3 ² ×5×7 ²  (D) A、B 的最小公倍數為 2 ⁵ ×3 ² ×5×7 

分數的運算 - 最大公因數與最小公倍數  B2 

9  15  甲 丁

乙 丙

二、填充題：(每格 4 分，共 40 分)  1.求下列各式的值。 

(1) (49 , 91)＝  7  。 

(2) (3×5 ² ×11 , 630)＝  15  。 

(3) [2 ³ ×7 ² ×11 ² , 2 ² ×5×7×13]＝  2 ³ ×5×7 ² ×11 ² ×13  。  2.設 a＝56×77×143，b＝98×110，則：(以標準分解式表示) 

(1) (a , b)＝  2 ² ×7 ² ×11  。  (2) [a , b]＝  2 ³ ×5×7 ² ×11 ² ×13  。 

3.a、b 的最大公因數為 11，最小公倍數為 231，a－b＜100，則 a＋b＝  110  。  4.某數用 3、4、5、6 去除都餘 2，且某數為 7 的倍數，則某數最小為  182  。 

5.霍格華茲魔法學校的鄧不利多校長宣布，只要當天日期的月分與日期互質就稱為「互質日」，例如：5  月 7 日因為(5 , 7)＝1，所以 5 月 7 日為互質日。請 7 問本週(12 月 2 日至 12 月 8 日這七天)共有幾天是

「互質日」？答：  2  天。 

6.甲、乙兩台怪機器，甲機器通電後恰巧第 3、6、9、……分鐘掉下 1 個金幣，乙機器通電後恰巧第 5、 

10、15、……分鐘掉下 1 個金幣(不考慮停電)。 

(1) 兩台機器同時通電，則通電後第  15  分鐘兩台機器同時掉下 1 個金幣。 

(2) 若兩台機器共要掉下 200 個金幣，至少要通電  375  分鐘。

三、計算題：(每題 10 分，共 20 分) 

1.將 280 除以甲數餘 16，880 除以甲數餘 22，若甲數不超過 40，則甲數最大可為多少？

答：33 

2.如右圖，甲車依逆時針方向繞著圓周行駛，每 30 分鐘繞一周；乙車依順時針方向繞 著圓周行駛，每 50 分鐘繞一周；丙車沿著直徑^¯ AB 來回行駛，每 10 分鐘來回一趟。

若甲、乙、丙三車同時由 A 點出發，則甲、乙、丙三車在幾分鐘以後，會在 B 點第 一次同時相遇？

答：75 分鐘後 

A 

B