勾股定理證明-G043
【作輔助圖】
1. 分別在直角三角形ABC 較短的兩邊AC BC 向外作兩個正方形, ACDE 及 BCFG 。 2. 將ED 及 GF 兩延長線交於P點，連接 PC ，並作 AH , BI 皆與 PC 平行且等長。
3. 連接HI 得第三個四邊形ABIH。
4. 延長 PC 交AB 於M 點，交 HI 於 J 點。
5. 分別將HA 延長交 EP 於K 點，將 IB 延長交 GP 於L點。
A B
C D
E
F
G
H J I
P
K L
M
【求證過程】
在直角三角形 ABC 較短的兩邊向外作兩個正方形，按帕普斯（Pappus）定理【註: 補 充說明】所指示的方式得到第三個正方形，利用切割與拼湊面積的方法來證明面積和相 等，最後推得出勾股定理的關係式。
1. 首先證明第三個平行四邊形ABIH為一正方形：
先說明三角形 CPD 全等於三角形 ABC ，因為CD AC,CDP ACB90 ,
DPCF BC，所以 CPD ABC（SAS 全等)，可推得PC AB.
因為EP/ /AC ，所以DPC ACM ，故AMC180 CAM ACM
180 DCP DPC CDP 90 ，又因為KH / /PJ / /LI ，所以 90 .
AMC MAH MBI
由前述，又因為AH BI PC AB，故可知平行四邊形ABIH為一正方形，其邊長 為AB。
2. 證明較小的兩個正方形面積和等於依帕普斯（Pappus）定理所指示的方式得到第三 個正方形ABIH面積：
因為 AH BI PC且AH / /BI/ /PC ，所以
A B
C D
E
F
G
H J I
P
K L
M
ACDE BCFG AC AE BC BG
ACPK BCPL PC AM PC BM PC AM BM AB AB
ABIH
(等底同高)
3. 由上述面積之間的關係，即可推得勾股定理：
由第 2 點結論可知
, ABIH BCFG ACDE
因為正方形 ABDE 邊長為AB, 正方形 ACFG 邊長為 AC , 正方形 CBHI 邊長為 BC , 所以可推得
2 2 2
, AB BC AC
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯(E.S. Loomis)在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1933 年 10 月 26 日想到的。
2. 心得：按帕普斯（Pappus）定理所指示的方式做出第三個平行四邊形，利用面積相 等的性質的方法來證明。Pappus 定理在任意三角形情況下皆可成立，而此證 明是在直角三角形條件下得到較小的兩個正方形面積和相等於斜邊上的正方 形。利用特殊化原則觸發本題的證明，也暗示可行的證明方法和勾股定理有 關，非常具有啟發性。
3. 評量：
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4. 補充說明：帕普斯（Pappus）定理：
帕普斯（Pappus）是 西 元 三 世 紀 的 一 位 希 臘 數 學 家 ， 在他的《數學匯 編》(Mathematical Collection Book IV)敘述：假設 ABC 是一個任意三角形，
ACDE 及 BCFG 分別是在AC BC 邊上的任意平行四邊形，延伸 ED 及 GF, 使其交於P點，並作 AI , BH 皆與 PC 平行且等長，則滿足：
. ABHI面積 ACDE面積+ BCFG面積
A B
C D
E
F
G
H I
P
Pappus 定理的圖例 K J
L M
【證明過程】
(1) 將IA 延長交 EP 於 J 點，將 HB 延長交 GP 於K點。
因為JA/ /PC ,AE/ /CD ,EP/ /AC ，得到
,
AEJ CDP EAJ DCP
, AECD，所以 AEJ CDP（ASA
全等)，因此 JA PC AI;
同理可證 BGK CFP（ASA 全等)， KBPCBH 。
(2) 延長 PC 交AB 於M 點，交 IH 於L點，JI / /PL KH, / /PL ，則：
( )
( )
ACDE BCFG
ACPJ BCPK
AMLI MBHL AI BH PC ABHI
等底同高
因為 , 所以等底同高
結論：
因此畢氏定理為帕普斯（Pappus）定理的特殊化(將一般性三角形改 為直角三角形)例子。
Pappus 定理的特殊化圖例
A B
C D
E
F
G
H J I
P
K L
M
