勾股定理證明-G100
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 連接 HG(於證明過程第 1 點說明 H G F
共線)。3. 過 F 作 FL // AB ，分別與 AG , BK 交於 M 點, N 點。
4. 連接 BE , FK 。
A B
C
D E
F
G
H K
M
L N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 將正方形 ABKH 切割成兩個長方形，最後由底高的面積計算得到這兩個長方形的面積 和會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，再得到 H
G F共線：因為 AH
AB, AG
AC，且
GAH
90
BAG
CAB，所以 AHG ABC
(SAS 全等).可得到
HGA
BCA
90，又
FGA
90，所以
HGA
FGA
180，故 H
G F共線。2. 證明四邊形 ABNL 為長方形，四邊形 ABFM 為平行四邊形，且長方形 ABNL 與平行四 邊形 ABFM 的面積相等：
由作圖的平行關係可知四邊形 ABNL 的四個內角皆為直角，因此四邊形 ABNL 為長方 形。又因為 AB // MF , AM // BF ，所以四邊形 ABFM 為平行四邊形，且
ABNL AB AL MF BN
ABFM
長方形 面積＝
＝
＝平行四邊形 面積.
3. 證明四邊形 LNKH 為長方形，且長方形 LNKH 面積為三角形 HKF 面積的兩倍：
由作圖的平行關係可知四邊形 LNKH 的四個內角皆為直角，因此四邊形 LNKH 為長 方形，且
2 (1 ) 2
2
LNKH HK HN
HK HN HKF
長方形 面積＝
＝
＝ 面積.
4. 證明三角形HKF 與三角形 ABE 全等：
因為 AHG
ABC，所以 HG
BC，因此HF
HG GF
BC
AC
CE
AC
AE，且由作圖的平行關係可知 FHK EAB
，又 HK
AB，故HKF ABE
(SAS 全等).5. 證明三角形 ABC 與三角形 FMG 全等：
因為四邊形 ABFM 為平行四邊形，所以 AB
MF，且由作圖的平行關係可知 CBA MAB GMF
，又
ACB
FGM
90，所以 ABC FMG
(AAS 全等).6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
2 2 2 (
ABKH LNKH ABNL
HKF ABFM
ABE ABFM
ABC BCE ABFM
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝ 面積＋平行四邊形 面積 ＝ 面積＋平行四邊形 面積
＝ 面積＋ 面積)＋平行四邊形 面積
2 ABC 2 BCE ABFM
ABC FMG BCED
ABFM
ABC FMG
＝ 面積＋ 面積＋平行四邊形 面積
＝( 面積＋ 面積)＋正方形 面積 ＋平行四邊形 面積
＝( 面積＋ 面積＋平行 ABFM BCED
ACFG BCED
四邊形 面積)
＋正方形 面積 ＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB
AC
BC 即2 2 2
. c
a
b【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 269.
2. 心得：此題證明作圖並不複雜，證明的關鍵在於證明三角形 HKF 與三角形 ABE 全 等，以及三角形 ABC 與三角形 FMG 全等，進一步透過面積相等的圖形轉 換，推得正方形 ABKH 的面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積 和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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