勾股定理證明-G197
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH .
2. 延長 CA 至 E 點，使得 AECBa，以 AE 為邊長向內作正方形 AEDL . 3. 連 BL .
4. 延長 CB 至 F 點，使得 BF CAb. 5. FK , DH 相交於 M 點。
6. 過 L 點作垂直 FK 的直線，交 FK 於 G 點。
A B
H
C
K D
E
G
F
M L
【求證過程】
以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形 AEDL 的面 積加上正方形 BLGF 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明四邊形 BLGF 是面積為b 的正方形： 2
設 CAB x, CBA y，且已知x y 90。因為
90 90
BAL CAB x y CBA
, BA AB, ALBC，所以 BAL ABC
(SAS 全等).
即 BLAC b, BLA90, LBAx，且
BAL ABC
面積 面積。
因為FBK 90 CBA90y x CAB, BF CAb, BK ABc，所以 BKF ABC
(SAS 全等), 即BFK ACB90，且
BKF ABC
面積 面積。
四邊形 BLGF 中，因為CBL CBA LBA yx 90，所以FBL90，又 90
BFK
, LGF 90，可推得
四邊形BLGF的四個內角都是直角，
又 BL b , BF b，故
BLGF b2
四邊形 是面積為 的正方形。
2. 證明三角形 HAE 與三角形 ABC 全等：
HAE與 ABC 中，因為 AH c AB, AE a CB, AEH 90 BCA，所以 HAE ABC
(RHS 全等).
3. 證明三角形 KHM 與三角形 ABC 全等：
因為 BKF ABC，所以 BKF ABC y，可推得
90 90
MKH BKF y x CAB
，又因為 HAE ABC，所以
EHA CAB x
，可推得MHK90 EHA90x y CBA，又
HK c AB，因此
KHM ABC
(ASA 全等).
4. 證明四邊形 LDMG 為長方形且面積等於三角形面積的兩倍：
四邊形 LDMG 中，因為
360 360 90 90 90 90
GLD ALB ALD BLG
,
180 180 90 90
LDM LDE
, LGM 180 LGF 18090 90，所 以四邊形 LDMG 的四個內角都是直角，可推得四邊形 LDMG 為長方形，因此
2
LDMG LD LG ab
ABC
長方形
面積。
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH CEMF ABC HAE KHM BKF
CEMF ABC ABC ABC ABC
CEMF ABC BAL ABC
正方形 面積 面積- 面積- 面積- 面積- 面積
面積- 面積- 面積-
四邊形
四邊形 面積- 四邊形
面積
面積- 面積- 面積-
2 面積
CEMF ACBL LDMG
AEDL BLGF
四邊形 四邊形 長方形
正方形 正方
面積- 面積- 面積
面積 形 面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz. Leipzig & Berlin : Teubner.Leitzmann, 20.
2. 心得：此證明的輔助圖恰好為一個大正方形，證明的方式為利用正方形 ABKH 面積 等於四邊形 CEMF 面積減去四個三角形的面積，而四邊形 CEMF 面積減去四 個三角形的面積恰好等於正方形 AEDL 的面積加上正方形 BLGF 的面積，就 能推導出正方形 ABKH 面積等於正方形 AEDL 的面積加上正方形 BLGF 的面 積，進而得到勾股定理的關係式。
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