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“C40N4” — 2016/12/12 — 15:00 — page 1 — #1
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本期 「有朋自遠方來」 訪談 George Lusztig 教授。 1976 年, 他與 Deligne 合作, 證明表示論與 Schubert variety 的拓樸、 幾何具有關聯, 引領了代數及表 示論突破性的發展。 1979 年, 他與 Kazhdan 引入組合學工具, 具體而微地描述 Schubert variety 的拓樸與幾何。 始自 1986 年, 他又深入研究 quantum groups。
他優游於眾多領域, 結合各領域的精髓, 成功計算了李型有限群及李代數不可化約 表現的特徵標 (characters)。 他喜歡獨自研究, 進行繁複困難的計算; 內向靦腆, 酷 愛瑜珈, 言辭簡潔, 思路清晰; 在欲言又止間, 流露大師風範。
關於例外群 degree 之計算, Lusztig 教授於訪談中提及電腦科學所提供之莫 大助益。 本期另有數篇文章精心闡述或示範數學與電腦科學相輔相成的景況。
先談著色問題。 1928 年 van der Waerden 證明了定理: 「對任意自然數 k 和 l, 若一段自然數之長度不小於於某一數 n(k, l), 則將其著 k 色之後, 必存在同色 而長度為 l 的等差數列。」 張鎮華教授鋪陳相關結果之發展脈絡, 並對重要結果給予 淺顯易懂的證明。
日前, 藉助於超級電腦, 三位電腦科學家總算解決了 「布林畢氏三元數問題」。
該電腦輔助性證明, 文件大小達到 200 TB, 相當於美國國會圖書館所有數位化資 料的總和, 是人類迄今得到的最 「長」 的一個數學 「證明」。 李信明教授講述相關歷 史, 並提供讀者可入手的相關問題。
布林畢氏三元數問題初由 Ronald Graham 和 Paul Erd¨os 於 1970 年提 出:「能否將正整數集合 N 中的每個數字分別染上藍色或紅色, 使得 N 中滿足畢氏 定理 a2+ b2 = c2 的任意三數 a, b 和 c 不同色? 」 三位電腦科學家利用對稱性和 數論的技巧, 將交付電腦計算的可能染色方法減少至 1 萬億種左右; 電腦進行平行 計算大約 2 天後, 「證明」 正整數集合 N = {1, 2, . . . , 7824} 具有問題所述的性質, 但加入 7825 後就不復如此。 不無遺憾地, 人類無法閱讀此 「證明」, 也無法用紙筆 驗證之。
而在線上決策問題, 所有可能之決策呈機率分布, 另有損失函數衡量各決策所 招致的損失。 在每回合, 決策者根據之前各回合的損失做出決策。 為衡量決策者表 現之優劣, 另有數個專家, 在所有回合做固定決策。 進行 T 回合後, 最佳專家累積 損失為 LT, 決策者累積損失之期望值為 ET, 遺憾程度 (regret) 則定義為 ET 與 LT 的差。 決策者若適任, 其遺憾程度應以 sublinear o(T ) 的速度成長。 呂及人教 授深耕線上決策領域, 在文章中清晰有趣地介紹該領域, 且概要講解他的研究成果。
他並將該領域與賽局理論做深刻的連結: 在特殊形態的賽局, 若每個參與者採行低 遺憾程度的線上演算法, 則整個賽局會快速趨近某種 Nash equilibrium。
蘇柏奇、 陳明璋、 顏貽隆先生的文章示範繪圖軟體在數學證明及數學教學的應 用。 讀者何不也親自用軟體做做動態實驗?
梁惠禎
2016 年 12 月
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“C40N4” — 2016/12/12 — 15:00 — page 2 — #2
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第 四 十 卷
第 四 期
有朋自遠方來一一專訪 George Lusztig 教授 · · · · 3
任意長度等差級數一一
van der Waerden 話當年 · · · 張鎮華 18 需要十億年才能看完世界最長的數學證明 · · · · 李信明 30 線上決策與賽局理論 · · · · 呂及人 44 數播信箱 · · · · 周伯欣 46 拋物線的切線族交出奇跡 · · · · 蘇柏奇 · 陳明璋 · 顏貽隆 47 遞迴數列的 「特徵多項式」 與 「線性衍生遞迴式」 · · · 陳建燁 57 回響 : 兩個幾何問題的另解 · · · · 連威翔 63 超級正交拉丁方與超級雙重幻方系 · · · · 梁培基 · 邱荷生 71 楊輝的六階幻方 · · · · 聶春笑 82 三個著名定理的等價證明 · · · · 趙國瑞 89 空間多邊形的幾個性質 · · · · 吳 波 93
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