第四章 研究結果與討論
第一節 不同文本編排對學生數學能力表現的影響
本節主要探討學生在閱讀四種不同編排的尺規作圖文本，在數學能力層次上 是否有不同。研究者將以尺規作圖之先備知識測驗卷及閱讀理解評量測驗卷的成 績數據作為評估三個能力層次表現的依據。由於有四種不同編排的文本，所以用 組 A 表示「問答式作圖先」文本的組別、組 B 表示「問答式說明先」文本的組別、
組 C 表示「直述式作圖先」文本的組別、組 D 表示「直述式說明先」文本的組別，
其中扣除掉無效樣本後，其中 A 組有 135 人，B 組有 121 人，C 組有 116 人，D 組有 102 人。
一、學生在尺規作圖先備知識測驗的表現
首先，以實驗操作（即閱讀不同文本的四組，A、B、C、D 組）為自變項，
尺規作圖之先備知識測驗卷各面向所得之分數為依變量，進行平均數分析（如表 4-1 所示），以瞭解學生所具有先備知識。進一步，將學生分別按照「概念心像」、
「概念定義或性質」、及「尺規操作」三個面向得分高低分成三個群組（高得分組、
中得分組、及低得分組），並分別依各面向各群組學生答題狀況，更深入地瞭解三 個群組的學生在各面向所具有或缺乏的先備知識。
表 4-1-1 先備知識測驗知識認知各面向得分之敘述統計
組別 人數 概念心像 概念定義與性質 尺規操作 平均數 標準差 平均數 標準差 平均數 標準差 A 組
(問答作圖先) 135 0.75 0.19 0.50 0.18 0.44 0.28 B 組
(問答說明先) 121 0.72 0.20 0.47 0.17 0.41 0.27 C 組
(直述作圖先) 116 0.73 0.19 0.48 0.18 0.44 0.31 D 組
(直述說明先) 102 0.76 0.18 0.49 0.19 0.47 0.27 合計 474 0.74 0.19 0.49 0.18 0.44 0.28
表 4-1-1 顯示 A、B、C、D 四組學生在先備知識測驗中知識認知三個面向（概 念心像、概念定義與性質、尺規操作）得分之平均數與標準差。受測學生的在概 念心像的平均得分（0.74 分）顯著優於概念定義或性質平均得分（0.49 分）
（p＝0.00），概念定義或性質平均得分亦顯著優於尺規操作平均得分（0.44 分）（p
＝0.00）。其中約有 64.6%的學生可以答對概念心像 10 小題中的 7 小題；約有 70.7%
的學生可以答對概念定義或性質 10 小題中的 4 小題；約有 47.9％的學生可以答對 尺規操作 4 小題中的 2 小題。
進一步分析，概念心像高得分組除第 16 題外，其餘各小題均有 80% 以上的 答對率。第 16 題題目如下：
16. 在「數學」的英文單字「MATHEMATICS」中，請你勾選出線對稱圖形 的英文字母。（可複選）
□ M □ A □ T □ H □ E □ I □ C □ S
此題主要檢測學生是否具有「線對稱圖形」的概念心像，由作答情形可發現 概念心像高分組學生的錯誤類型大致可分成兩類：(1)多勾選「S」這個選項，此 類學生可以推知其將點對稱的圖形判斷為線對稱圖形；(2)未勾選「E」、「C」兩 個選項，因為兩選項的對稱軸均為水平直線，所以推測其概念心像中缺乏對稱軸 為水平直線的線對稱圖形。
概念心像低得分組在第 6 題、第 9 題、及第 17 題中均有 50% 以上的答對率，
其中第 17 題的答對率更高達 82% 。此三題的題目如下：
6. 請你畫出一個小於 90°的“角”的圖形。（不需要嚴密地表示作圖過程，只 需把腦中想到的圖形畫出來即可。）
9. 下圖中，相鄰兩點的距離相等。請問哪個點「平分」
AB
？（單選）□ A □ C □ D □ E □ B □ F □ G
17. 已知等腰三角形是線對稱圖形，請你利用直尺在下圖的等腰三角形中畫出
「對稱軸」。（不需要嚴密地表示作圖過程，只需把腦中想到的圖形畫出來 即可。）
第 6 題在檢測「角」的概念心像；第 9 題在檢測「平分」的概念心像；第 17 題在檢測「對稱軸」的概念心像。所以概念心像低分組的學生仍具有「角」、「平 分」、「對稱軸」的心像，但是其中第 16 題檢測「線對稱圖形」的心像時，答題表 現不理想，可推測低分組學生可判斷出簡單的幾何圖形（如：等腰三角形），但對 複雜的圖形（如：英文字母）仍感困難。
概念心像中分組在第 6 題、第 9 題、及第 17 題答題最佳，均有 89% 以上的
G
B E
D C
A F
題的作答錯誤類型與概念心像高分組一樣，唯錯誤類型學生比例更高，答對率顯 得更低。其中第 4 題的題目如下：
4. 請你利用直尺在下圖中，畫出一個“直線 AB”的圖形。
此題在檢測「直線」的概念心像及操作「直尺」的能力，由作答情形可發現 大多數的學生可正確使用直尺畫出直線，但是大多均只是連接 A、B 兩點的線段，
顯出在概念心像中分組的學生對於「直線」與「線段」兩者之間的心像仍模糊不 清。
概念定義或性質高分組除在第 18①題、第 18②題、第 19②題、與第 20②題 外，其餘 6 小題的答對率均達 84% 以上。在先備知識測驗卷中的第 18 題、第 19 題、與第 20 題屬於尺規作圖單元問題，主要在於確定學生在閱讀尺規作圖文本前 不具有尺規作圖相關數學知識，所以學生在這 4 小題作答狀況不佳屬預期的結 果。
概念定義或性質低分組在第 5 題及第 7 題的答對率分別為 65% 及 90%，這 兩題的題目如下：
5. 「∠1＝∠2」可以讀成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（請把你的讀法寫下來）
7. 在平面上，有兩條相異的直線 L 與 M 相交於一點。
請問兩直線 L 與 M 的夾角是幾度時，我們稱為「垂直」？（單選）
□ 30° □ 45° □ 60° □ 75° □ 90°
第 5 題透過數學符號讀法的方式檢測學生能否瞭解「∠」符號的意義，第 7 題在檢測學生是否瞭解「垂直」的定義。由學生作答的情形可知低分組的學生大
B
A
中分組也都分別有 100% 及 99% 的答對率，顯示施測學生中只有極少數的學生 不瞭解垂直的定義。
概念定義或性質低分組在第 1 題、第 5 題、及第 7 題的答對率均高達 81% 以 上，其中第 1 題的題目如下：
1. 「
AB
＝ CD 」可以讀成：＿＿＿＿＿＿＿＿。（請把你的讀法寫下來）此題透過數學符號讀法的方式檢測學生能否瞭解線段符號的意義，由學生的 作答情況可知中分組學生相較低分組學生，除了瞭解「∠」符號的意義及垂直的 定義外，還更能理解線段符號的意義。但中分組的學生在第 3 題、第 18①題、第 18②題、第 19②題、與第 20②題均未達 45%，其中第 18①題、第 18②題、第 19
②題、與第 20②題為尺規作圖單元問題，作答情況不佳屬預期結果。第 3 題的題 目如下：
3. 下列是對於「直線 AB」的敘述，何者是正確的？
□ 可向兩邊無限延伸。
□ 兩邊皆為端點。
□ 一邊為端點，另一邊可無限延伸。
此題主要是想瞭解學生是否明白「直線」的性質，學生的錯誤作答大多是勾 選「兩邊皆為端點」，同時參照概念心像中分組在第 4 題的答題情形，足見學生易 將「直線」與「線段」混淆。
尺規操作高分組除在第 19①題與第 20①題外，其餘 2 小題的答對率均達 85%
以上。在先備知識測驗卷中的第 18 題、第 19 題、與第 20 題屬於尺規作圖單元問 題，主要在於確定學生在閱讀尺規作圖文本前不具有尺規作圖相關數學知識，所 以學生在這 2 小題作答狀況不佳屬預期的結果。
尺規操作低分組在 4 小題的答對率均不高於 30 %，其中第 13 題的答對率最 高。第 13 題的題目如下：
13. 請利用直尺、圓規，在下圖畫出以 A 點為圓心，通過 B 點的「弧」。
此題主要瞭解學生是否可以讀懂「以 A 點為圓心」，並操作圓規進行畫弧的 動作。雖然尺規操作低分組在此題有最高的答對率，但也只有 30 % 而已。檢視 學生的作答情形，可發現大多數的錯誤類型為「畫出通過 A、B 兩點的弧」。由於 學生大多可以正確操作圓規畫弧，推測在尺規操作低分組的學生亦有足夠的能力 操作圓規畫弧。第 12 題主要在瞭解學生是否具有弧的概念心像，而尺規操作低分 組的學生在第 12 題的答對率只有 38 % ，所以可推測此題學生作答情形不佳可能 受到弧形概念心像的影響。
尺規操作中分組在第 4 題與第 13 題的答對率分別為 40 % 及 84 %。審視學 生在第 4 題的作答情形，可發現多數的學生均有正確使用直尺畫出圖形，可是畫 出圖形並非直線，可推知尺規操作中分組在第 4 題主要受到直線的心像與定義的 影響而未能正確作出圖形。
先備知識測驗卷中在確立學生的先備知識中是否具有尺規作圖單元相關知識 的第 18 題、第 19 題、與第 20 題，其題目如下：
A
B
18. 有一條已知的
AB
與直線 L。小明想試著在直線 L 畫出 CD ，使得 CD 的長 度剛好等於AB
的長度。於是小明按照下列的步驟作圖：(1) 在 L 上任取一點 C。
(2) 拿直尺丈量
AB
的長度，恰好為 10 公分。(3) 拿直尺在直線 L 上標示一點 D，使 CD 的長度等於 10 公分。則 CD 即 為所求。
① 請問你認為小明的作圖步驟是否符合「尺規作圖」？
□ 是 □ 否 □ 我不知道
② 請說明你如此判斷的理由。
19. 在隨堂小考上，有一道尺規作圖的題目。小明因為時間不足的關係，結果 只寫完作法，卻來不及完成畫圖。下面是題目的原始圖形與小明寫下的作 法。
【作法】
(1) 以 A 點為圓心，適當 長為半徑，
畫兩弧交直線 L 於 B、C 兩點。
(2) 分別以 B、C 為圓心，
大於1
2BC為半徑，
畫 兩 弧 ， 兩 弧 交 於 P、Q 兩點。
(3) 拿直尺畫出連接 P、
Q 的直線，
則直線 PQ 即為所 求。
① 請你根據小明的作法，在上面右圖中，幫他完成這道尺規作圖題。
② 你認為此題目是希望小明完成什麼呢？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
請說明你的理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
A L
20. 今年元宵節，某縣市在溪河上架設一個圓形舞台，作為主燈的展示區。若 已知在下面地圖中，此舞台恰好是以
AB
為直徑的圓形。① 請你利用尺規作圖的方法，幫忙小明在下面的地圖中，畫出此圓形舞 台，並寫出作法。
② 請說明為什麼你的作法畫出來的圖形是以
AB
為直徑的圓形。【作法】
【理由】
在 474 份樣本中，第 18①題、第 19①題、與第 20①題的答對率分別為 23.4 %、
20 %、與 10.5 %，但在說明理由的第 18②題、第 19②題、與第 20②題的答對率 分別為 3.8 %、0.2 %、與 7 %。其中第 18①題為單選題，所以造成多數學生猜測 不符合尺規作圖的限制，卻不知其真正的原因。第 19①題中因為提供作法讓學生 閱讀並作圖，研究者推測部分學生雖然不瞭解尺規作圖的意義，卻有能力自行閱 讀理解去完成作圖，但不能說明其作圖的結果為何。其中還有少數的同學可以將 第 19①題中的作法遷移，而順利完成第 20①題的作圖。
綜合上述，受測學生在概念心像方面，大多數均已具有「角」、「平分」、「對 稱軸」的心像，並可判斷出簡單的幾何圖形（如：等腰三角形）的鉛垂對稱軸。
對低分組的學生，無法正確判斷出較複雜圖形（如：英文字器）的對稱軸，且直
對低分組的學生，無法正確判斷出較複雜圖形（如：英文字器）的對稱軸，且直