研究動機

第一節 研究動機

歷史上，最著名的數學文本首推歐幾里得(Euclid, 325-265 B.C.)的《幾何原本》

(原名《原本》，The Elements)，書中許多命題(proposition)以作圖問題形式呈現成 了 著 名 的 特 徵 之 一 ， 而 且 這 些 問 題 都 可 以 利 用 無 刻 度 的 直 尺 與 圓 規 完 成 (Hartshorne, 2000)。同時書中也依循著演繹的規範提出嚴密的證明，造就其偉大 的歷史意義──使用公理法建立起邏輯演繹體系。

在這樣的歷史背景下，「幾何」為數學教學中重要的主題之一，其不但與日常 生活息息相關，更是培養創造、推理及思考能力的有效途徑之一(謝豐瑞, 1994)。

在我國目前中學數學課程中，幾何主要落在「程序計算的幾何」及「推理證明的 幾何」，尺規作圖所佔比例並不高，但由歷年國中基本學力測驗試題分析，每年至 少會有 1 題題目，其題幹本身會借用尺規作法的慣用敘述，或用以探索尺規作圖 的過程、結論與應用(彭良禎與洪萬生, 2011)，足見尺規作圖在國中幾何教學仍佔 有重要的地位。研究者在任教這幾年間，發現學生在尺規作圖的學習成效不彰，

譬如研究者曾在課堂上測驗九年級學生 98 學年度第一次國中基本學力測驗數學 科第 33 題，題目如下所示：

如右圖，直線 AB、直線 CD 為不平行之二 直線，今欲作一圓 O 同時與直線 AB、直 線 CD 相切，以下是甲、乙兩人的作法：

(甲) 1.過 D，作一直線 L 與直線 AB 垂直，

且交直線 AB 於 E 2.取

DE

中點 O

3.以 O 為圓心，

OE

長為半徑畫圓，則圓 O 即為所求 (乙) 1.設直線 AB 與直線 CD 相交於 P

2.作∠BPD 之角平分線 L

3.過 C，作一直線 M 與直線 CD 垂直，且交直線 L 於 O 4.以 O 為圓心，

OC

長為半徑畫圓，則圓 O 即為所求 對於兩人的作法，下列敘述何者正確？

(A)兩人皆正確 (B)兩人皆錯誤 (C)甲正確，乙錯誤 (D)甲錯誤，乙正確

結果班上超過一半的學生選擇(A)。此題學生可以透過閱讀作法並著手尺規作 圖的方式發現，在甲作圖法中，若以 O 為圓心且

OE

長為半徑畫圓，該圓與直線 CD 將有兩個交點，其中一個交點即為 D 點，故此圓不與直線 AB 相切。譚克平 與 陳宥良 (2009)針對此題在該次測驗的作答情形進行分析，發現答對率僅約 28％，

且發現超過半數的應試者選擇(A)及(C)選項，換句話說，有超過半數的應試者認 為甲作圖法是正確的。雖然此題測驗判斷作圖方法的正確與否只需要有幾何知識

「圓的切線性質」，但是藉由尺規作圖可以幫助學生具體思考題目，以利於判斷正 A

B

C

D

確與否。由此可發現即使國中畢業生，在「尺規作圖」這個主題的成就表現仍舊 不佳。

在「尺規作圖」單元的學習最大特色在於其工具使用上的限制──直尺只能 用來畫出一條直線通過給定的兩點，不能使用上面的刻度，而圓規只能依給定的 圓心和半徑畫圓或畫弧。在如此特殊的工具使用規定下，學生必須要有充足的幾 何知識並主動去應用，才可以在尺規作圖中畫出特定的線段或角度(Kramer, Hadas,

& Hershkowitz, 1986)。換句話說，尺規作圖解題者必須先假想圖形已完成，再藉 由分析該圖形獲得圖形中未知元素與已知條件之間的關係，發現並應用相關的幾 何性質，利用直尺及圓規在工具使用規定下完成作圖(Smart, 1988)。這種學習活 動所需要的解析(analysis)與綜合(synthesis)能力，實在是數學經驗的極珍貴部分 (彭良禎 與 洪萬生, 2011)。因此，尺規作圖被認為訓練學生幾何思維的最好教材 之一(Austin, 1982; Gibb, 1982; Robertson, 1986)。

尺規作圖單元為國中數學不可或缺的一環，研究者好奇目前國內對於尺規作 圖的有哪些相關研究，所以截至 2013 年 12 月 31 日止，透過臺灣博碩士論文知識 加值系統，以「尺規作圖」為關鍵字進行搜索，可發現國內相關的尺規作圖研究 主要有五類：(1)尺規作圖的學習成就表現(洪志宗, 2013; 劉繕榜, 2000)；(2)探究 式教學法融入尺規作圖單元(許湄, 2008)；(3)多媒體教學融入尺規作圖單元(張祐 誠, 2008; 曾妙玲, 2008; 曾喬志, 2008; 劉仁智, 2010)；(4)摺紙教學融入尺規作圖 單元(陳宥良, 2008; 陳聖別, 2011; 曾喬志, 2008)；(5)數學史教學融入尺規作圖單 元(王郁文, 2008)。雖然在尺規作圖的教學研究不在少數，卻大多集中於以教師為 中心的教學法，但近年來，強調教學改以學生的為中心，老師扮演引導者的角色，

所以研究者好奇學生在自我學習下，對於尺規作圖單元的學習會如何？

PISA（the Programme for International Student Assessment，國際學生能力評量 計劃）是由 OECD（Organisation for Economic Co-operation and Development，經 濟合作暨發展組織）從西元二○○○年起，每三年大規模舉行一項測驗，其目的

在評估十五歲青少年閱讀、數學和科學的素養，強調學生能夠在生活中靈活應用 在學校習得的知識。我國自二○○六年第一次參加後，對於青少年是否具備參與 未來社會所需的基礎知識和技能日益重視。「生活化」和「應用」是 PISA 評比的 兩個關鍵字。思考、判斷和自學能力是 PISA 評比的三大素養最重視的核心能力。

柯華葳 (2006)指出閱讀力就是一種「自學能力」和「思考能力」，所以閱讀已成 為國民教育的能力指標之一(教育部, 2008)。近年來，在中小學的課程中閱讀被廣 泛 地 提 倡 ， 但 是 閱 讀 不 應 只 是 一 般 語 文 閱 讀 而 已 ， 尚 包 括 其 他 學 科 閱 讀

（content-area reading）能力提升(秦麗花 與 邱上真, 2004)。所以研究者認為若能 在課室中讓學生透過自行閱讀的方式學習，將是一種以學生為中心的學習方式。

然而，理解是閱讀的基本條件，若缺乏理解就算不上真正的閱讀(吳惠琪, 2004)。只是單純讓學生自行閱讀學習不代表其可以完整正確理解其文本呈現的知 識內容。研究為了解閱讀理解的相關研究，透過臺灣博碩士論文知識加值系統，

以「閱讀理解」對論文關鍵詞進行搜索，結果發現西元二○○六年後共計有 655 筆資料，進一步以「數學」為相關詞進行檢索結果只剩下 201 筆資料，再進一步 以「幾何」為相關詞進行檢索，其結果只剩下 16 筆資料。顯示國內致力於數學閱 讀理解的研究不在少數，但幾何閱讀理解的研究仍不多，且其研究主題或內容多 半與幾何證明有關(王俐文, 2007; 王繹婷, 2008; 呂鳳琳, 2010)，查閱國外相關研 究亦多限於幾何證明的閱讀理解(Mejia-Ramos, Fuller, Weber, Rhoads, & Samkoff, 2012; K. L. Yang & Lin, 2008)。所以尺規作圖文本的閱讀理解相關研究並不多見，

故研究者好奇學生對於透過自行閱讀理解尺規作圖的文本內容後，可以真正理解 的層次與表現。

閱讀理解上，文本的編排佔有極大的重要性，理想的文本應具有結構性、連 貫性、一致性、與合適性，如此才可幫助讀者在閱讀時的記憶與理解，及閱讀後 的回憶(Armbruster & Anderson, 1981)。翻閱國內主要三家出版社的教科書後，可

先」的呈現方式，即在命題之後，緊接著呈現作圖過程，然後才呈現說明作圖步 驟的原由；另一種是「說明先」的呈現方式，即在命題之後，緊接著說明作圖步 驟的原由，然後才呈現作圖過程。Dee-Lucas 與 Larkin (1990)的研究發現大學生 在閱讀物理文本時，就立即性記憶而言，「應用先（principle-first）」的文本明顯比

「論證先（proof-first）」的文本好。此外，陳雅華(2008)探討國中七年級學生自行 閱讀不同編排順序的勾股定理文本後在數學能力的表現，結果指出學習成績較差 的學生在閱讀「應用優先」的文本，因其內容一開始即平舖直述定理及應用方法，

對學生在之後的文本內容理解與解題上則有較大的幫助。然而，物理文本與勾股 定理文本在論證與應用之間的關係較為薄弱，換句話說，學生不懂得如何證明勾 股定理，但仍有能力應用勾股定理進行解題。可是根據 Smart (1988)提出的尺規 作圖學習步驟，建立圖形中未知元素與已知條件之間的關係，有助於學生理解作 圖步驟。若能建立作圖物件與產物之間的關係，並了解作圖的原由，將有助於學 生完成尺規作圖。所以學生在閱讀「作圖先」的文本是否對於學生在尺規作圖的 數學能力表現上仍有較大的幫助；亦或閱讀「說明先」的文本，幫助學生連結作 圖物件與產物之間的關係並建立尺規作圖的原由後，對於學生在尺規作圖的數學 能力表現上有較大的幫助。這點仍有待研究進一步的確認探討。

Rothkoph (1971)以閱讀教學為例指出，學生展書而讀並不一定對字字有所反 應，所以只構成所謂的「名義的刺激作用」（nominal stimulation）。學習的發生應 始自學生從眾多刺激中作選擇性的反應，並加以瞭解與熟習，這些真正被個體所 接受並反應的刺激，稱之為「有效的刺激作用」（effective stimulation）(張玉成, 1993)。

依據聯結論或行為主義的學習理論觀點，發問乃是一種刺激，常能引起學生的注 意，並促進學生思考。認知論者認為強調發問應能突破知識記憶水平，進而擴展 至高層認知的思考領域。柯華葳 (2006)則將閱讀的自我發問視為閱讀中的自我對 話，強調閱讀的自我監督，認為透過閱讀過程中的提問與思考，能促使學童進行 反思，增進閱讀的深度與理解。同時，數學文本所涵蓋的內容主要以數學相關的

概念與方法為主，其表徵方式會採用較多非一般語言所見的數學符號；並且依循 特有的數學結構與邏輯組織，以問題導向的方式引導學生思考數學概念或方法，

有助於學生對內容有較完整的思考脈絡進而提升其閱讀理解成效，不會陷入文本 的字詞中而未察覺統整摘要的必要性(陳雅華與楊凱琳, 2010)。在過去的教科書文 本上，大多以直述的方式呈現，容易造成學生閱讀上被動的接受、機械式理解。

若將文本的呈現方式更改為問答的方式，將可能有助於學生閱讀形成自我對話，

促進學生思考。所以在尺規作圖文本的設計上，除了採取傳統直述式文本外，另 外設計問答式的文本，並於研究中去調查學生對兩種文本呈現方式的接受程度。

依據 PISA 在閱讀素養的試題評量，以閱讀歷程作為主要評量架構，將閱讀

依據 PISA 在閱讀素養的試題評量，以閱讀歷程作為主要評量架構，將閱讀

在文檔中 探討閱讀不同特徵之幾何尺規作圖與說理文本的理解表現 (頁 9-15)